2.4.2 圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4　圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 第二章　直线和圆的方程 基础预习 重点探究 巩固演练 同步分级训练(十八)圆的一般方程 目录 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养. 2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 基础预习 NO.1 新知初探 初试身手 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？ (2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般 方程． D2＋E2－4F＞0 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示________. ②D2＋E2－4F＝0时表示点_____________________. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ 提示：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0. 圆 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．(　 　) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．(　 　) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．(　 　) (4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件．(　 　) × × √ √ 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　 　) A．(1，＋∞)　　　　　　　　 B. C．(1，＋∞)∪ D．R 3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则它的圆心坐标为_______. 4．过点(0,0)，(4，0)和(0,6)三点的圆的一般方程为___________________. A x2＋y2－4x－6y＝0 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 重点探究 NO.2 探究一 探究二 探究三 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 探究1 圆的一般方程的认识 例1　(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是___________. [把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.] (－∞，1) 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长． ①x2＋y2－4x＝0； 解：①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2. ②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0； 2 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 ③x2＋y2＋2ax＝0. 解：③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. 当a＝0时，方程表示点(0 ， 0)，不表示圆； 当a≠0时，方程表示以(－a ， 0)为圆心，|a|为半径的圆． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2 2 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； 解： ∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同， ∴它不能表示圆． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； 解：∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项， ∴它不能表示圆． (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； 解：∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (4)2x2＋2y2－5x＝0. 2 2 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 探究2 求圆的一般方程 例2　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2 ， 3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 解：法一：设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 ∵kAB•kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点， 坐标为(1，－1)，r＝ |BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心a，b和半径r，一般步骤为：  (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)； (2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；, (3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为 ，求圆的一般方程． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 探究3 与圆有关的轨迹问题 [探究问题] 1．求轨迹方程与轨迹有什么区别？ 提示：轨迹是一个图形，比如是直线、圆之类，而轨迹方程是这个图形的方程． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？ 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 解：设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点公式得点P坐标为(2x－2，2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 解：设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋ |BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 解：设T(x，y)． 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时有kOT•kBT＝－1. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或1时点(0，0)(0 ， 1)(1 ， 0)(1 ， 1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．(变结论)本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程． 解：设点E(x，y)，P(x0，y0)． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1， ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4， 整理得点E的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－ ＝0. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 1．直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程； (2)用x，y表示x0，y0； (3)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程； (4)化简方程为最简形式． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 1．求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．圆的方程的几种特殊情况 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 过原点 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0) 圆心在y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0) 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 3．求涉及曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 巩固演练 NO.3 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　 　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 A 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　 　) C．m＜2 D．m≤2 A 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于 . 4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 . －2 (－2，－4) 5 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 5．已知Rt△ABC的顶点A(8,5)，直角顶点为B(3,8)，顶点C在y轴上． (1)求顶点C的坐标； 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)求Rt△ABC外接圆的方程． 解：因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心的坐标为M(4,4)，半径为r＝ ＝ ，所以外接圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17. 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 同步分级训练(十八)　圆的一般方程 NO.4 A级 基础过关练 B级 能力提升练 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 一、选择题 1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有 (　　) A．D＋E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F B 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为 ， 则a＝(　　) A．0或－1 B．0 C．7 D．－1或7 [将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4， 所以圆的圆心坐标为(1，4)， 所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝ ＝ ，整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7.] D 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 3．圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x轴所得弦的长度等于(　　) [令y＝0，则圆的方程转换为x2＋4x＋1＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝1， B 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 4．已知两定点A(－2，0)，B(1 ， 0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π ＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π.] B 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [根据题意，设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，圆的半径为1且经过点(3 ， 4)，则有(x－3)2＋(y－4)2＝1，则点C的轨迹为以点(3 ， 4)为圆心，半径为1的圆，点(3,4)到原点的距离d＝ ＝5，则C到原点的距离的最小值为5－1＝4.故选A.] A 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 二、填空题 6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为 . (2，－3) 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 7．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝ . 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 8．已知两点A(－2 ， 0)，B(0 ， 2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是 . 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 三、解答题 9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 2 2 2 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2 ， 3)． (1)P(a ， a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； 解：∵点P(a，a＋1)在圆上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4，5)， 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 11．(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　 ) A．圆心在直线y＝－x上 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 D．圆的半径为 |a| ACD 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 [圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2.圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x. ∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0，0)代入圆的方程适合，∴C正确，又r2＝2a2，∴r＝ |a|，∴D正确．故选ACD.] 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为 (　　) A．－2 B．0 C．1 D. [该方程若表示圆，则有(－a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜ ，其中B项满足条件，应选B.] B 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 13．M(3,0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为 ，最短的弦所在的直线方程是 . [由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，kCM＝ ＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.] x－y－3＝0 x＋y－3＝0 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 14．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－ ，0)，C( ，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆． (1)求圆M的方程； 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由． 解：圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0. 解得x＝0，y＝－3.∴圆M过定点(0，－3)． 2.4.2　圆的一般方程 返回目录 本节内容到此结束! 其中圆心为__________，圆的半径为r＝ _______________. 解：②方程可变形为2＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故方程不表示任何图形． 判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方＋＝，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题. 解：∵方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝， ∴它表示以为圆心，为半径长的圆. ∴ 解：法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， 解：圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0. 则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 提示：设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. [思路探究]　(1)→→ [思路探究] (2)→→ → 即×＝－1， ∵B(1，1)，∴ A．m＜ B．m≤ 解：设点C(0，m)，由题意：kAB•kBC＝－1，且kAB＝＝－，所以kBC＝＝，解得m＝3，所以点C(0，3)； [由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.] A．2 B．2 C．4 D．2 所以|AB|＝|x1－x2|＝＝2.故选B.] [设P(x，y)，由条件知＝2，整理得x2＋y2－4x [由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得 所以点B的坐标为(2，－3)．] [圆x2＋y2＋2y－3＝0的圆心(0，－1)，半径为2，圆心到直线的距离为＝，所以|AB|＝2＝2.故答案为2.] 2 [|AB|＝＝2，又AB方程为＋＝1，即x－y＋2＝0，圆x2＋y2－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝－1＝，∴S△ABC的最小值为×2×＝3－.] 3－　 解：圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. 由7t2－6t－1＜0得－＜t＜1. 故t的取值范围是. 解：由(1)知：圆的圆心坐标为(t＋3，4t2－1)，半径为. 解：r＝ ＝≤. ∴r的最大值为，此时t＝，圆的标准方程为＋＝. ∴|PQ|＝＝2， kPQ＝＝. 解：∵圆心C的坐标为(2，7)， ∴|QC|＝＝4， 圆的半径是2，点Q在圆外， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. 解： 设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)， ∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a.∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0. 由 $