2.4.2 圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 1 课时学习素养目标：1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程， 会进行圆的一般方程与标准方程的互化，提升逻辑推理的核心素养.2. 能解决与圆有关的轨迹问题. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 圆的一般方程 任务学习二 与圆有关的轨迹问题 拓展培优 圆的直径式方程与参数方程 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 圆的一般方程 4 对圆的标准方程 进行变形，使等式的右边 为0，左边是关于， 的多项式，这个多项式的二次项系数有什么特征？ 若把多项式中的系数记为，的系数记为，常数项记为 ，试分析 ，，与，，间的关系及，， 三者之间的关系. [答案] 方程 可变形为 ，左边的多项式中， 的 系数均为1.由题设可得，等式变形后为 ，则 ，， ，显然 ，所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 新知梳理 圆的一般方程为 ， 其中圆心坐标为__________，半径 _ _______________. 当时，方程 表示点 . 当时，方程 不表示任 何图形. 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 能力提升 角度1 对圆的一般方程的理解 例1 下列方程是否表示圆？若是，写出圆心坐标和半径，若不是，说 明理由. （1） ； [解析] 因为 ，所以该方程不表示任何图形. （2） ； [解析] 因为，所以该方程表示点 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 （3） ； [解析] 因为 ，所以该方程表示圆，其圆心为 ，半径为 . （4） ； [解析] 该方程中有含 的项，所以该方程不表示圆. （5） . [解析] 该方程中和 的系数不相等，所以该方程不表示圆. 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 迁移应用1（1）（2025安徽芜湖期末）已知曲线 是圆，则实数 的值为( ) A A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 或 [解析] 若曲线是圆，则，解得或 . 当时，曲线的方程为 ， 整理得 ，方程不能表示圆，故舍去； 当时，曲线的方程为 ， 整理得，方程可以表示圆.综上，实数 的值为2. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 （2）多选题 已知方程 ，则下列说法正确 的有( ) BC A. 当时，方程表示圆心为 的圆 B. 当时，方程表示圆心为 的圆 C. 当时，方程表示半径为 的圆 D. 当 时，方程表示半径为2的圆 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 [解析] 当时，方程为 ，其中 ，方程表示点 ，故A中说法错误； 当时，，方程表示圆心为 的圆，故B中 说法正确； 当时，方程为，表示半径为 的圆，故C 中说法正确； 当时，方程为，表示圆心为 ， 半径为的圆，故D中说法错误.故选 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 角度2 求圆的一般方程 例2 （链接教材P86例4）已知，，，则 的 外接圆的一般方程为 ( ) C A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 [解析] 设的外接圆的一般方程为 ， 由题意可得 解得所以 的外接圆的一般方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 解题感悟 应用待定系数法求圆的一般方程的步骤 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 迁移应用2 已知圆经过点和点，且圆心在轴上，求圆 的一般方程. [解析] 设圆的一般方程为 ，则圆心坐标为 ， 所以解得 则圆的一般方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 任务学习二 与圆有关的轨迹问题 16 例3 在平面直角坐标系中，已知，，以 为斜 边，求直角顶点 的轨迹方程. [解析] 设点，点为边的中点，则 ， ， 以为斜边， 为直角顶点， ， 点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆除点， 之外的部分， 点的轨迹方程为且 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 变式1 在例3的条件下，若动点满足，求点 的轨迹方程. [解析] 设，则， ， 所以，即 ， 所以点的轨迹方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 变式2 在变式1的条件下，设，点是线段的中点，求点 的 轨迹方程. [解析] 设， ， 因为点是线段 的中点， 所以即 又因为点在圆 上， 所以，即 ， 所以点的轨迹方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 解题感悟 求动点的轨迹方程的常用方法 1.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的 轨迹方程. 2.直接法：根据题目提供的条件直接列出动点的轨迹方程. 3.代入法（相关点法） 用所求动点的坐标表示已知动点的坐标，并将 其代入已知动点的坐标所满足的方程，从而得到所求动点的轨迹方程. 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 拓展培优 圆的直径式方程与参数方程 21 拓展知识 1.圆的直径式方程 设，，则以 为直径的圆的方程为 .其证明过程如下： 设 为圆上一动点， 为圆的直径，， . ， ， ， 故圆的方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 2.圆的参数方程 设圆的方程为，则圆的方程可变形为 ， 令 ， ，则圆 的参数方程为 为参数. 一般地，圆的参数方程为 为参数. 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 能力提升 例4（1）已知圆的一条直径的端点为， ，则圆的一般方 程为_____________________. [解析] 易知以 为直径的圆的方程为 ， 整理得圆的一般方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 （2）圆 的参数方程为_ __________________________. 为参数 [解析] 由题得圆的标准方程为 ， 圆的圆心坐标为，半径 ， 所以该圆的参数方程为 为参数 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 迁移应用3（1）已知圆过点，，当圆 的周长最小时， 其标准方程为__________________. [解析] 当圆以 为直径时，周长最小，此时圆的方程为 ，化简得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 （2）已知点在圆上，则 的最 大值为________，最小值为_________. [解析] 圆的标准方程为 ，其参数方程为 为参数，所以 ，所以 ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 素养评价·课堂达标 28 1.已知圆的方程为 ，则圆的圆心坐标和半径分别 是( ) D A. ，5 B. ， C. ，5 D. ， [解析] 将圆的一般方程 化成标准方程为 ，所以其圆心坐标为，半径为 .故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 2.方程 表示圆的条件是( ) B A. B. 或 C. D. [解析] 因为方程 表示一个圆，所以 ，解得或 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 30 3.易错题 若点在圆外,则实数 的取值范 围是_______. [解析] 因为点在圆 外，所以 解得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 易错提醒 易忽略方程表示圆的条件而致错. 高 中 同 步 课 堂 学 案 32 4.易错题 （2025四川宜宾期中）点是圆 上的定点， 为圆上异于点的动点，则线段 的中点的轨迹方程为____________ _____________. [解析] 设线段的中点为 ， 因为，两点不重合，所以 ， 则， ， 所以 ， 即点的轨迹方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 易错提醒 易忽略， 两点不重合而致错. 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 $