精品解析：福建省连城县冠豸中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

冠豸中学2026-2027学年上期九年级第一次核心素养能力训练 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. －2 4. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 方程的解是_____． 12. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 13. 将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 14. 如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是______米． 15. 二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是______． 16. 已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 19. 已知关于x的方程：． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，，满足，求a的值． 20. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 21. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 22. 已知二次函数的表达式为． （1）若点在该二次函数的图象上，求的值； （2）若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点，求平移后的二次函数表达式； （3）当时，函数有最大值和最小值，求证：． 23. 某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； （3）若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 24. 综合实践问题：根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和产量问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备按如图铺设道路，下侧一条横向道路的宽度为x米，左侧一条纵向道路的宽度为米，其余（阴影）部分种植橙子树，下侧一条横向道路宽度x不超过3米，且不小于1.5米． 素材2 经过调研，若该果园有100棵橙子树，每棵树平均能结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出横向道路宽度x的取值范围． （2）若种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．（参考数据：） 任务2 解决果园种植的预期产量问题． （3）若农户预计果园橙子的总产量为60500个，则果园应该种多少棵橙子树？ 25. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冠豸中学2026-2027学年上期九年级第一次核心素养能力训练 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义，化简为一般形式，是解题的关键． 【详解】解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程整理为,是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； D、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 3. 已知是方程的一个根，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=-2代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可． 【详解】解：根据题意，得 4-2×b-2=0，即2b+2=4， 解得，b=1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 5. 已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于点在抛物线上，可把点的坐标代入抛物线的解析式，得到的值，再代入代数式即可求出值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，求代数式的值，在解决问题的过程中用到了整体思想．把看成一个整体并求出其值是解题的关键． 6. 如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：B． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元一次方程的解，根据二次系数非零及根的判别式，找出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．分类讨论及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，即：时，方程为：，有实数根； 当时， 解得：且， 综上所述：， 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据 时两函数值均为 ，判断两图象应交于 轴上同一点，排除交点不重合的选项；再根据一次函数图象判断 的符号，结合二次函数开口方向及对称轴位置进行验证． 【详解】解：在中，当 时，， 在中，当 时，， ∴一次函数与二次函数的图象交于轴上的点， 观察图象，B、D选项中两图象在轴上的交点不重合， 故排除B、D； A选项中，一次函数图象从左上到右下，则， 二次函数图象开口向上，则，二者的符号不一致， 故排除A； C选项中，一次函数图象从左下到右上，且与轴交于正半轴，则， 二次函数图象开口向上，与轴交于正半轴，则， 且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， 即对称轴在 轴左侧，与图象相符，故此选项符合题意． 10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac＜b2，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故②正确； ∵=1，即b=2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0， 即3a+c=0，故③错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大， ∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确； 所以其中结论正确的有①②⑤，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以该方程的解为：，． 12. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程转化为一般形式后，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 13. 将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质，即可求得平移后的抛物线解析式． 【详解】解：根据平移性质可知，平移后的抛物线解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是抛物线平移的性质，左加右减，上加下减，注意加减运算都在自变量一侧． 14. 如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是______米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值即为水柱的最大高度． 【详解】解：， ∴水柱的最大高度是5米， 故答案为：5． 15. 二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 16. 已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的对称性、抛物线与线段交点个数等知识点，分情况画出图形成为解题的关键． 分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出点m的值，然后再结合图形即可解答． 【详解】解：∵抛物线为， ∴如图：当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线的顶点在线段上时，，解得：； 结合图象可知，m的取值范围是或或． 故答案为：或或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】  解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点，即， 当时，， ∴与y轴有一个交点，即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 19. 已知关于x的方程：． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，，满足，求a的值． 【答案】（1）证明：根据题意得： ， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）或3 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，可得到关于a的方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：或3， 即a的值为或3． 【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握判别式确定根的存在情况，灵活应用根与系数的关系是解题的关键． 20. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】（1）经过2秒或秒； （2）经过1秒或2秒． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； 【小问2详解】 设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 21. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； 【小问2详解】 解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为； 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 22. 已知二次函数的表达式为． （1）若点在该二次函数的图象上，求的值； （2）若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点，求平移后的二次函数表达式； （3）当时，函数有最大值和最小值，求证：． 【答案】（1）或； （2） （3） 证明：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内，当时，取最大值为， 当时，取最小值为， ， ， ． 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）代入，求解一元二次方程即可∶ （2）先得出顶点式，然后根据平移的法则得出表达式，再将代入求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【小问1详解】 ∵点在该二次函数的图象上， ， ， 解得或； 【小问2详解】 解： ∵二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后的二次函数表达式为， 平移后的二次函数经过点， ， 解得， 平移后的二次函数表达式为； 【小问3详解】 略 23. 某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； （3）若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 【答案】（1） （2），售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得函数关系式，再得出的取值范围即可； （2）根据利润（每件的售价每件的成本）月销售量可得与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可； （3）先求出的取值范围，再根据二次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得：， 解得， ∴， ∵该产品的成本为元/件， ∴，即， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为400， 答：与之间的函数关系式为，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元； 【小问3详解】 解：∵该产品的成本为元/件，物价部门规定该产品售价不得高于元/件， ∴， ∵二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，随的增大而增大， 将代入得：， 解得或， ∵商店要求月销售利润不低于元，即， ∴． 24. 综合实践问题：根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和产量问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备按如图铺设道路，下侧一条横向道路的宽度为x米，左侧一条纵向道路的宽度为米，其余（阴影）部分种植橙子树，下侧一条横向道路宽度x不超过3米，且不小于1.5米． 素材2 经过调研，若该果园有100棵橙子树，每棵树平均能结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出横向道路宽度x的取值范围． （2）若种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．（参考数据：） 任务2 解决果园种植的预期产量问题． （3）若农户预计果园橙子的总产量为60500个，则果园应该种多少棵橙子树？ 【答案】（1）；（2）符合要求；（3）种110棵 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次方程的应用． （1）结合题意横向道路宽度x不超过3米，且不小于1.5米，即可得出答案； （2）根据题意得，列式，即可得出答案； （3）根据题意设增种x棵橙子树，总产量橙子树的棵树每棵树结的橙子数量，据此即可求出答案． 【详解】解：（1）横向道路宽度x不超过3米，且不小于1.5米， ； （2）根据题意得，， 整理得， 解得或88（舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设增种x棵橙子树，则果园橙子的总产量为， 解得， （棵）， 果园应该种110棵橙子树，可以使果园橙子的总产量为60500个． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解； （3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为： 【小问2详解】 解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中． 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