精品解析：福建省厦门集美中学附属滨水学校2025—2026学年第一学期滨水学校九年级10月阶段性练习 数学

2025—2026学年第一学期滨水学校九年级10月阶段性练习 数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. ，3 D. ，2 2. 一元二次方程的解是（　 ） A. B. C. ， D. ， 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于抛物线的判断中，错误的是（ ） A. 最小值是4 B. 最大值是4 C. 当，y随x的增大而减小 D. 当，y随x的增大而增大 6. 随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的 64 元，求年平均下降率．设年平均下降率为 x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（　　） A. 年平均下降率为80%，符合题意 B. 年平均下降率为18%，符合题意 C. 年平均下降率为1.8%，不符合题意 D. 年平均下降率为180%，不符合题意 7. 二次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ） 1 2 3 4 3 9 A. 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5 9. 如图，某工程队计划将一块长64m、宽32m的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（　　） A. B. C. D. 10. 已知抛物线满足，且点，，在该抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，共24分） 11. 二次函数的顶点是________． 12. 方程的解是______． 13. 厦门一中海沧校区为丰富学生的业余生活，准备组织一次篮球比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，设参加比赛的队伍有x队，则可列方程为_____． 14. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是________s． 15. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为_______． 16. 已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数． 列表： （1）将二次函数化为顶点式_______； （2）在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象； （3）根据图象回答：当 时， 的取值范围是_______． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m 的取值范围； （2）当时，求另一个根的值． 20. 某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件 元出售，可卖出件． （1）分析填空；商品的单件利润是________元．（用含的代数式表示） （2）当售价为多少元时，利润可达元． 21. 已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求直线解析式； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 22. 一辆正常速度行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，汽车急刹车时的滑行路程s（m）与时间t（s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间t/s 0 0.5 1 1.5 滑行路程s/m 0 7 12 15 （1）根据表中的数据，求出s关于t的函数表达式； （2）问该车从刹车到停住，滑行的时间和路程． 23. 在足球比赛中，进攻队会抓住任意球直接射门，而防守队会利用“人墙” 进行防守（队员站成一排，且可起跳阻挡足球飞向球门），如图所示，在一场足球比赛中，A队球员主罚任意球，此时罚球点离球门远角的距离是30米，假设足球飞行的路线是一条抛物线，离罚球点19米时，球到达最高度米，若以罚球点为原点建立坐标系，球门的高度是米．问： （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算说明，足球能否射中门框范围？（这里只判定是否高出球门横梁） （3）假设人墙在起跳后能到达的高度是米，现代足球规则上要求人墙要距离罚球点至少米，人墙能否在空中成功防守？若能，求出人墙此时的位置；若不能，请说明理由． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，同时点从点出发沿射线方向以的速度移动，如果，两点同时出发，设点移动的时间为． （1）当，求的周长； （2）经过多少秒，面积是矩形的六分之一． 25. 在二次函数中． （1）若函数图象的顶点在轴上，求的值． （2）若点在抛物线上，令，求证：． （3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期滨水学校九年级10月阶段性练习 数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. ，3 D. ，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的特点即可求解． 【详解】一元二次方程的二次项和常数项分别为，3 故二次项系数和常数项分别是2，3 故选B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程一般式，解题的关键是熟知一元二次方程的特点． 2. 一元二次方程的解是（　 ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】把方程化为，再化为两个一次方程求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 4. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的表达式是． 故选：A 5. 下列关于抛物线的判断中，错误的是（ ） A. 最小值是4 B. 最大值是4 C. 当，y随x的增大而减小 D. 当，y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线开口朝下，顶点坐标为，故最大值为4，无最小值，此选项符合题意； B、抛物线开口朝下，顶点坐标为，故最大值为4，此选项不符合题意； C、对于抛物线，由于，当时，函数值随值的增大而减小，不符合题意； D、对于抛物线，由于，当时，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键． 6. 随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的 64 元，求年平均下降率．设年平均下降率为 x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（　　） A. 年平均下降率为80%，符合题意 B. 年平均下降率为18%，符合题意 C. 年平均下降率为1.8%，不符合题意 D. 年平均下降率为180%，不符合题意 【答案】D 【解析】 【分析】根据：平均年下降率是大于0且小于1的数． 【详解】由已知可得，平均年下降率是大于0且小于1的数，故选项D说法正确． 故选D． 【点睛】本题考核知识点：一元二次方程与应用题．解题关键点：应用题中方程的根的检验． 7. 二次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的开口，对称轴，与轴交点以及的函数值，逐个判断即可． 【详解】解：二次函数开口向下，则，A选项错误，不符合题意； 二次函数与轴交点在轴上方，则，B选项错误，不符合题意； 二次函数的对称轴，化简可得：，C正确，符合题意； 由函数图象可得，当时，，即，D选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象以及基本性质． 8. 如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ） 1 2 3 4 3 9 A. 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】由表格可得抛物线与轴的一个交点在和之间，进而求解． 【详解】解：由表格时，，时，， ∴的一个解在2与3之间， ∴的一个近似解是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程的关系等知识点，解题的关键是一元二次方程的解为其对应二次函数图像与x轴交点的横坐标． 9. 如图，某工程队计划将一块长64m、宽32m的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程. 【详解】解：设小路的宽为x 米，则绿化区域面积相当于长为米，宽为米的矩形面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 10. 已知抛物线满足，且点，，在该抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴为直线，根据即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ∴抛物线开口向上，离对称轴近的点其函数值更小， 点，，， 由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是， 即根据增减性可得， 故选：A． 二、填空题（本大题有6小题，共24分） 11. 二次函数的顶点是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为是解题的关键． 12. 方程的解是______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】将原方程移项变形后，利用直接开平方方法即可求解． 【详解】解：移项得 ， 对等式两边直接开平方，得 ， 因此方程的解为 ，． 13. 厦门一中海沧校区为丰富学生的业余生活，准备组织一次篮球比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，设参加比赛的队伍有x队，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），比赛的队伍有总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设参加比赛的队伍有x队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 14. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是________s． 【答案】1.6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，令即可解得答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， 令得， 解得或， 足球从踢出到落地所需的时间是． 故答案为：1.6． 15. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵已知α、β是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键． 16. 已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据的正负分类讨论，确定最小值的位置，代入计算得到的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵在区间内，分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，即时， 代入得， 整理得， 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 在中，离对称轴更远， ∴时取得最小值， 代入得， 整理得， 解得； 综上，的值为或． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ，， ∴，； 【小问2详解】 ， ， 解得，． 18. 已知二次函数． 列表： （1）将二次函数化为顶点式_______； （2）在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象； （3）根据图象回答：当 时， 的取值范围是_______． 【答案】（1）； （2） 如图： （3）． 【解析】 【分析】（）由于二次项系数是，直接加上一次项系数一半的平方来凑成完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，把一般式转化为顶点式； （）先求出对称轴，在对称轴两边各取两个点，运用列表、描点、连线的方法画出图形即可； （）观察所画函数图象，找出y在给定区间内的最大值与最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 列表： 【小问3详解】根据图象可知：时，． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m 的取值范围； （2）当时，求另一个根的值． 【答案】（1）的取值范围是； （2）另一个根的值是 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴另一个根的值是． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 20. 某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件 元出售，可卖出件． （1）分析填空；商品的单件利润是________元．（用含的代数式表示） （2）当售价为多少元时，利润可达元． 【答案】（1）； （2）当售价为或元时，利润可达元． 【解析】 【分析】（）根据“利润售价进价”，即可列出代数式； （）根据题意列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据可得：单件利润为， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴当售价为或元时，利润可达元， 答：当售价为或元时，利润可达元． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求直线解析式； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【答案】（1）直线为 （2） 证明：抛物线过点， ， ∴抛物线为：， 联立直线与抛物线解析式，即有： 可得 ， ∵，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， 直线与抛物线有两个交点． 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入直线可得到，从而可得答案； （2）先求解，再联立直线与抛物线解析式，消去，可得到关于的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可． 【小问1详解】 解：直线过点， ，即， ∴直线为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是二次函数的顶点式，一元二次方程根的判别式的应用等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 22. 一辆正常速度行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，汽车急刹车时的滑行路程s（m）与时间t（s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间t/s 0 0.5 1 1.5 滑行路程s/m 0 7 12 15 （1）根据表中的数据，求出s关于t的函数表达式； （2）问该车从刹车到停住，滑行的时间和路程． 【答案】（1） （2）该车从刹车到停住，滑行的时间为和滑行路程为． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出s关于t的函数表达式； （2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后求出s的最大值即可． 【小问1详解】 解：设， 由表格可得：， 解得， 即s关于t的函数表达式是； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，s取得最大值16， ∴该车从刹车到停住，滑行的时间为和滑行路程为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． 23. 在足球比赛中，进攻队会抓住任意球直接射门，而防守队会利用“人墙” 进行防守（队员站成一排，且可起跳阻挡足球飞向球门），如图所示，在一场足球比赛中，A队球员主罚任意球，此时罚球点离球门远角的距离是30米，假设足球飞行的路线是一条抛物线，离罚球点19米时，球到达最高度米，若以罚球点为原点建立坐标系，球门的高度是米．问： （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算说明，足球能否射中门框范围？（这里只判定是否高出球门横梁） （3）假设人墙在起跳后能到达的高度是米，现代足球规则上要求人墙要距离罚球点至少米，人墙能否在空中成功防守？若能，求出人墙此时的位置；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）足球能射中门框范围，理由： ∵罚球点离球门远角的距是30m， ∴令，得． ∵，即球低于球门横梁， ∴足球能射中门框范围． （3）人墙不能在空中成功防守，理由： 罚球点离人墙的距离为， 将代入得． ∵人墙在起跳后能到达的高度是米米， ∴人墙不能在空中成功防守． 【解析】 【分析】（1）现设出足球经过的路线所代表的函数解析式，再将坐标代入求出解析式； （2）把代入函数解析式计算函数值，再与比较即可得到答案； （3）将代入函数解析式计算函数值，再与比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ 抛物线过点，顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入，， 解得：， ∴抛物线解析式为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，建立函数关系与熟练的利用二次函数的性质解题是关键． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，同时点从点出发沿射线方向以的速度移动，如果，两点同时出发，设点移动的时间为． （1）当，求的周长； （2）经过多少秒，面积是矩形的六分之一． 【答案】（1）； （2）秒． 【解析】 【分析】（）当时，先求出，的长，再根据勾股定理可求出的长，最后即可求出周长； （）分情况当点在线段上，则有，此方程无实数根；当点在射线上时，即可求解． 【小问1详解】 当时，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴的周长为：； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∴矩形的面积是， 由题意可得：，， ∴， 当点在线段上时，即，如图， ， ∴， ∴， ∵面积是矩形的六分之一， ∴， 整理得：， ∵， ∴原方程无实数根， 当点在射线上时，即，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴矩形的面积是， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵面积是矩形的六分之一， ∴， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 综上可知：经过秒，面积是矩形的六分之一． 【点睛】此题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形中动点问题如何转化为一元二次方程的应用． 25. 在二次函数中． （1）若函数图象的顶点在轴上，求的值． （2）若点在抛物线上，令，求证：． （3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， ∴关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $