福建省连城县冠豸中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

冠豸中学2026-2027学年上期九年级第一次核心素养能力训练 数学试题 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个根，则b的值为（   ） A．1 B．－1 C． D．－2 4.用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 6．如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．方程的解是_____． 12．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________ 13．将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 14．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是______米． 15．二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是______． 16．已知抛物线，．若抛物线与线段恰有一个公共点， 则m的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，的取值范围为_____； (3)将该抛物线向上平移_____个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点.． 19．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两根，且=7，求a的值． 20．（8分）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 21．（8分）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 22.（10分）已知二次函数的解析式为y＝x2－2x＋c. (1)若点(h，c)在该二次函数的图象上，求h的值； (2)若该二次函数图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后经过点(－2，5)，求平移后的二次函数解析式； (3)当－1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥－4. 23．（10分）某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为 元/件时，月销售量为 件，且 与 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为 元/件． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）设月销售利润为 元，求 与 之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； （3）若物价部门规定该产品售价不得高于 元/件，且商店要求月销售利润不低于 元，求售价 的取值范围． 24.（12分）根据以下素材，完成探索任务。 素材1：某农户承包了一块长方形果园ABCD，果园的平面图如图1所示，其中AB＝50 m，BC＝80 m.准备按图1铺设道路，下侧一条横向道路的宽度为x m，左侧一条纵向道路的宽度为2x m，其余(阴影)部分种植橙子树，下侧一条横向道路宽度x不超过3 m，且不小于1.5 m。 素材2：经过调研，该果园有100棵橙子树(图2)，每棵树平均能结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个. 任务1：解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响 (1) 请直接写出横向道路宽度x的取值范围； (2) 若种植的面积是3648m2，则路面设置的宽度是否符合要求(参考数据：＝1849，＝7396) 任务2：解决果园种植的预期产量问题 (3)若农户预计果园橙子的总产量为60500个，则果园应该种多少棵橙子树？ 25．（14分）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由。 试卷第1页（共3页） 九年级数学第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $