专题01 平方根（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根与平方根的概念、表示方法，明确两者的区别与联系，深入讲解双重非负性、小数点移动规律等性质，构建从概念理解到运算应用（如开平方、解方程）再到实际问题解决的学习支架。 该资料通过典例与变式分层设计题型，涵盖概念辨析、规律探究（如小数点移动、数阵规律）及实际应用（如正方形卡片包装、高空抛物时间计算），培养学生抽象能力与推理意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题01 平方根 1、了解算术平方根与平方根的概念，会表示一个非负数的算术平方根与平方。 2、了解求一个非负数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个非负数的算术平方根，并解决实际问题。 3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。 4、能用算术平方根解决一些简单的实际问题，培养学生的抽象和应用意识。 5、理解掌握算术平方根的双重非负性；探究（算术）平方根相关的规律问题。 1、算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的算术平方根。的算术平方根记为 ，读作：根号。 规定：0的算术平方根是 0 ，即。 2、平方根的定义：如果一个数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的平方根，也叫做二次方根 。 3、一个正数有 两个 平方根，这两个平方根互为 相反数 ；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负平方根是。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方和平方互为逆运算。 4、平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 2位 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位 。如：，，，. 5、平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。 6、平方根和算术平方根的联系： （1）平方根包含 算术 平方根；（2）被开方数都是 非负数 ；（3）0的平方根和算术平方根均为 0 。 7、算术平方根的性质： 题型01 求已知数的算术平方根 【典例】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏南京·三模）的算术平方根是__________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）计算 的结果为__________________． 【变式4】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）化简：_____ ． 【变式5】（24-25八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 题型02 平方根的相关概念理解 【典例】（24-25七年级下·广东·期中）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【变式1】（24-25·成都市八年级期中）下列说法正确的是( ) A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）下列各数，没有平方根的是（   ） A． B．0 C．3 D．9 【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根 C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为 题型03 求一个数的平方根 【典例】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）36的平方根是（   ） A．6 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）4的平方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】（2026·江苏徐州·三模）的平方根是_________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（   ） A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 题型04 已知平方根求数 【典例】82．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值；(2)求的算术平方根． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 题型05 利用平方根解方程 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）解方程：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程：． 【变式4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 题型06 算术平方根的非负性 【典例】（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2026·江苏盐城·二模）若，则______． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 题型07 与算术平方根有关的规律问题 【典例】（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 【变式2】（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【变式3】（24-25七年级下·重庆巴南·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 题型08 算术平方根的实际应用 【典例】（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【变式1】（2024·广东珠海·三模）如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（   ） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变 【变式2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是 ． 【变式3】（24-25七年级下·山西忻州·期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 【变式4】（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂． 【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成． 如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量． 【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量． 如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由． 【巩固训练】 1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）若数a的平方等于，那么数a可能是（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）9的算术平方根和25的平方根的和是（   ） A．8 B． C．8或 D．或2 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 5．（2026·广东茂名·一模）若实数、满足，则______． 6．（25-26八年级上·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，则_______． 9.（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)； （3） 10．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 11．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值；(2)求的平方根． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）一个正数的两个平方根记作，，且．若，．(1)求和这个正数；(2)直接填空：________． 【强化训练】 1.（24-25浙江七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（　　） A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形前拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为15的正方形的边长 B．15的算术平方根 C．在整数3和4之间 D．方程中未知数x的值 5．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）从表格中探究a与数位的规律，已知，若，用含m的式子表示b，则b是m的多少倍（    ）      …           1 100 10000 … …           1 10 100 … A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如果的算术平方根是，则下列式子中成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·湖北黄冈·期末）【动手实践】小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米．    8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值；(2)求的算术平方根． 9．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长．(2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 10．（25-26七年级下·广东汕尾·阶段检测）按要求解答问题：(1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题：①一定等于吗？_________．②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根 1、了解算术平方根与平方根的概念，会表示一个非负数的算术平方根与平方。 2、了解求一个非负数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个非负数的算术平方根，并解决实际问题。 3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。 4、能用算术平方根解决一些简单的实际问题，培养学生的抽象和应用意识。 5、理解掌握算术平方根的双重非负性；探究（算术）平方根相关的规律问题。 1、算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的算术平方根。的算术平方根记为 ，读作：根号。 规定：0的算术平方根是 0 ，即。 2、平方根的定义：如果一个数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的平方根，也叫做二次方根 。 3、一个正数有 两个 平方根，这两个平方根互为 相反数 ；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负平方根是。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方和平方互为逆运算。 4、平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 2位 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位 。如：，，，. 5、平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。 6、平方根和算术平方根的联系： （1）平方根包含 算术 平方根；（2）被开方数都是 非负数 ；（3）0的平方根和算术平方根均为 0 。 7、算术平方根的性质： 题型01 求已知数的算术平方根 【典例】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴的算术平方根是．故选：C． 【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根是，故选：B． 【变式2】（2026·江苏南京·三模）的算术平方根是__________． 【答案】/ 【详解】解：，∴ 【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）计算 的结果为__________________． 【答案】6 【详解】解：，故答案为：6． 【变式4】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）化简：_____ ． 【答案】4 【详解】解：∵，∴，故答案为：4． 【变式5】（24-25八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：，∴4的算术平方根是，即的算术平方根是，故选：A 题型02 平方根的相关概念理解 【典例】（24-25七年级下·广东·期中）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：当时，没有平方根，小丁说法错误； 当为正数时，没有平方根，小张说法正确； 因为，所以一定有平方根，小刘说法正确；故选：C． 【变式1】（24-25·成都市八年级期中）下列说法正确的是( ) A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 【答案】D 【解析】解：A. 非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误； B. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误； C. 因0的平方根是0，故本选项错误；D. 负数没有平方根，故本选项正确；故选：D 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）下列各数，没有平方根的是（   ） A． B．0 C．3 D．9 【答案】A 【详解】解：∵非负数都有平方根，负数没有平方根，∴四个数中只有没有平方根，故选：A． 【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根 C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为 【答案】D 【详解】解：A、当时，有平方根，原说法错误，不符合题意； B、只有正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意； C、正数的平方根有两个，它们互为相反数，原说法错误，不符合题意； D、的平方根为，原说法正确，符合题意；故选：D． 题型03 求一个数的平方根 【典例】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）36的平方根是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的平方根是．故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）4的平方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】4的平方根是，故选：C． 【变式2】（2026·江苏徐州·三模）的平方根是_________． 【答案】 【详解】解：将带分数化为假分数；∵，∴的平方根是． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（   ） A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是 【答案】B 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、是的平方根，故此选项正确，符合题意； C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意； D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意；故选：B． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵，∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是，∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ，∴的平方根是和，故D正确． 题型04 已知平方根求数 【典例】82．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值；(2)求的算术平方根． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得化简得：解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【答案】 【详解】解：一个正数的两个不同平方根为和， ，解得， 将代入得，该正数的一个平方根为，这个正数为． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：因为正数 的一个平方根是 ，所以另一个平方根是它的相反数，即 ． 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【详解】解：根据题意得，，解得， ，∴这个正数是，故答案为： 25． 题型05 利用平方根解方程 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或(2)或 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）解方程：． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 或． 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程：． 【答案】，． 【详解】解： 开平方得，， 解得：，． 【变式4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或(2)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型06 算术平方根的非负性 【典例】（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵且，又∵，∴且， ∴ ，，解得，，∴．故选：C． 【变式1】（2026·江苏盐城·二模）若，则______． 【答案】 【详解】解：∵，，且，∴，，解得，， 将，代入得：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【答案】16 【详解】解：∵，且，， ∴，即且，∴，，∴ ；故答案为16． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 【答案】 【详解】解：∵，a，b均为正整数，∴ ∴当b取最大值时，即时，，∴，解得，故答案为：4． 题型07 与算术平方根有关的规律问题 【典例】（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【答案】C 【详解】解：观察表格可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位．∵，即16.9的小数点向右移动两位得到1690， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 【答案】D 【详解】解：∵ ∴ 【变式2】（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的，． 【变式3】（24-25七年级下·重庆巴南·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一行                   第二行                       第三行                     第四行                                       由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第八行共有个数，末尾数为， ∴第八行十三个数也为倒数第四个数，即， 故选：D． 题型08 算术平方根的实际应用 【典例】（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得，或（负值舍去）． ∵正方形卡片的面积为，∴正方形卡片的边长为． ∵，∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【变式1】（2024·广东珠海·三模）如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（   ） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变 【答案】B 【详解】解；正方形面积为，则边长为，周长为． 将其分为个全等的等腰直角三角形后，直角边为，其面积不变，而周长为，因为，所以周长变大．故选B． 【变式2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是 ． 【答案】 【详解】解：由题意图2中正方形的面积为，∴图2中正方形的边长为．故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山西忻州·期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 【答案】4s 【详解】解：将代入公式，得： 答：落到地面所用时间为． 【变式4】（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂． 【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成． 如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量． 【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量． 如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由． 【答案】（1）（2），理由见解析； 【详解】（1）设秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得，，解得． 答：秤盘中物体的质量为． （2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得， ，两式相乘得， ， ． 答：物体的真实质量为． 【巩固训练】 1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）若数a的平方等于，那么数a可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方等于，∴为的平方根，∵的平方根为，∴，故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）9的算术平方根和25的平方根的和是（   ） A．8 B． C．8或 D．或2 【答案】C 【详解】解；9的算术平方根为3，25的平方根为， ∴9的算术平方根和25的平方根的和是或，故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故该项不符合题意；B、，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意；D、，故该项符合题意；故选：D． 4．（25-26七年级下·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【答案】D 【详解】解：A．当时，，此时有平方根，故该选项错误，不符合题意， B．算术平方根是其本身的数是和，故该选项错误，不符合题意， C．，没有平方根，故该选项错误，不符合题意， D．∵有意义，∴，即， ∵，∴，∴，故该选项正确，符合题意． 5．（2026·广东茂名·一模）若实数、满足，则______． 【答案】 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为，，，解得，， 将，代入得：． 6．（25-26八年级上·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是，∴这个正数是， 故这个正数的平方根是．故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 【答案】2026 【详解】解：，故答案为：2026． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，则_______． 【答案】5或1/1或5 【详解】 ， ∴或， 故答案为：5或1． 9.（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)； （3） 【答案】(1) (2)或 （3） 【详解】（1）解：； ， ， （2）解： 或 解得：或． （3）解： ． 10．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由表格可知，，的平方根是，故答案为：； （2）解：物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：之间的关系是． 由题意知，，∴，又， 由表格知，，该物体到达地面需要． 11．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值；(2)求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴，∴，∴； （2）解：∵，，∴，∴的平方根为． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）一个正数的两个平方根记作，，且．若，．(1)求和这个正数；(2)直接填空：________． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，解得：；∴，；∴这个正数为； （2）解： 【强化训练】 1.（24-25浙江七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（　　） A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1 【答案】D 【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意． C、a+1有可能小于，故C不符合题意．D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵较大数的算术平方根是，∴较大数为， 又这两个数是连续两个正整数，∴较小数为，∴较小数的算术平方根是，故选：D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形前拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵“T”字型图形由五个面积均为2的小正方形组成， ∴“T”字型图形面积为10，∴大正方形的面积是10，∴大正方形的边长是，故选：C． 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为15的正方形的边长 B．15的算术平方根 C．在整数3和4之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【详解】解：A、面积为15的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、15的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，故在整数3和4之间，故正确，不符合题意； D、，则，故D错误，符合题意；故选：D． 5．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）从表格中探究a与数位的规律，已知，若，用含m的式子表示b，则b是m的多少倍（    ）      …           1 100 10000 … …           1 10 100 … A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，，，，． 6．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如果的算术平方根是，则下列式子中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的算术平方根是，∴ ．∴． 7．（25-26八年级下·湖北黄冈·期末）【动手实践】小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米．    【答案】 【详解】解：由题意可得：边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为， ∴拼成的大正方形的面积为34，∴大正方形的边长为，故答案为： 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值；(2)求的算术平方根． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，，∴，； （2）解：，∴的算术平方根为． 9．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得．答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得，答：该大正方形的边长是． 10．（25-26七年级下·广东汕尾·阶段检测）按要求解答问题：(1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题：①一定等于吗？_________．②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 【答案】(1)；(2)①不一定；②； 【详解】（1）解：根据，可得：，； （2）解：①∵，当时，，当时，，∴不一定等于； ②∵，且，∴，∴， ∵，∴. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $