专题06 实数章末48道压轴题型专训（6大题型）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 实数章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、无理数整数部分、小数部分综合求值 1 题型二、实数与数轴综合 2 题型三、实数的新定义运算 3 题型四、实数大小比较及估算证明综合问题 4 题型五、算术平方根、立方根的规律探究 5 题型六、平方根、立方根的实际应用 6 【经典例题一 无理数整数部分、小数部分综合求值】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）若的算术平方根是2，是27的立方根，c是的整数部分， (1)求a、b、c的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段检测）已知的小数部分用表示．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)的小数部分是______． (3)如果设的小数部分为，求的值． 3．（24-25七年级下·天津静海·阶段检测）已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 5．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 (1)295.84的算术平方根是______，316.84的平方根是______； (2)______；（保留一位小数）______．（精确到个位） (3)______，______； (4)若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有______个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 6．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值； (4)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点E所表示的数是 ． 7．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）综合与实践 问题情境 “综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确． 方法尝试 “善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 解决问题 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． (3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数． 8．（24-25七年级下·广东汕头·期末）阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 【经典例题二 实数与数轴综合】 9．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 10．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 11．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）观察图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)求左图中灰色正方形的面积，同时求出它的边长． (2)请将表示边长的点P大致画在右图的数轴上，并说明理由． 14．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为； (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想________． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．则图中，两点表示的数分别为________，________； (3)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长的值； (4)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 15．（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 16．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形．根据实数与数轴上的点是一一对应的，回答下列问题． (1)图2中A、B两点表示的数分别为________________，________________； (2)请你参照上面的方法： ①把5个边长为1的正方形排成一个长方形，如图3所示，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出该正方形边长的值（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）． ②在数轴上，用点表示数． 【经典例题三 实数的新定义运算】 17．（25-26七年级下·广东深圳·阶段检测）阅读理解，定义：“如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：计算：．请你根据对以上内容的理解，计算：． 18．（25-26七年级上·福建南平·期中）（1）定义新运算：对于任意实数，都有.例如，数字2和5在该新运算下结果为.计算如下：． (1)求的值； (2)请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2020.写出你定义的新运算，并写出计算过程. 19．（25-26七年级上·江苏南京·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 解决问题： (1)_______；_______； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求a的值． 20．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）给出定义如下：若一对实数满足，则称它们为 一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”. （1）数对中是“相关数”的是___________； （2）若数对是“相关数”，求的值； （3）是否存在有理数数，使数对和都是“相关数”，若存在，求出一对的值，若不存在，说明理由. 21．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于-1，记为．这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减乘法运算类似． 例如：   根据以上信息，完成下列问题： （1）填空 ； ． （2）计算： （3）计算：． 22．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 23．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问：据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．也可以这样理解：令①，则②，①+②：，即． 根据以上材料，回答下列问题： （1）已知，且，求的值； （2）对于正数，有，求的值． 24．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【经典例题四 实数大小比较及估算证明综合问题】 25．（25-26七年级上·全国·单元测试）比较与的大小；与的大小；与的大小；猜想与的大小关系，并证明你的结论． 26．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 27．（2026·北京·模拟预测）从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 28．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 29．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知，，，求证：． (1)证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)请用另一种方法证明． 30．（25-26七年级下·广西贵港·期中）根据下列信息，解答问题： 【已知信息】 ①实数有两个不同的平方根，分别是和； ②的立方根是4； ③的相反数是． 【问题解决】 (1)求出的值； (2)比较与的大小． 31．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 32．（25-26七年级下·广东广州·期末）广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【经典例题五 算术平方根、立方根的规律探究】 33．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律： ；；；… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)_______，_______； (2)猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 34．（26-27七年级上·江西吉安·阶段检测）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 35．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 36．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）【观察思考】 第1个等式：；        第2个等式：； 第3个等式：；        第4个等式： ； (1)直接写出第个等式： ； (2)如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． (3)证明（2）中的运算规律． 37．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 38．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 39．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 40．（25-26七年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【经典例题六 平方根、立方根的实际应用】 41．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）花袱子印染属于我国较为古老的印花布工艺，在陕西关中一带分布十分广泛．现有一块长方形花袱子印染面料，长和宽之比为，面料面积为．求这块长方形花袱子印染面料的长和宽． 42．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 43．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块面积为的长方形空地，长宽之比为． (1)求该长方形空地的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为，请通过计算判断能否按要求改造． 44．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，将体积为的正方体铁块A与体积为的铁块B熔化，制成一个高为的圆饼形工件C． (1)求铁块A的棱长． (2)求工件C的底面半径． 45．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 46．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）（1）填空 ①由可以确定是___________位数； ②由19683的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去19683后面的三位数683得到19，而，由此可以确定的十位上的数是___________；最后就可以求出的值了． （2）已知59319是一个数的立方数，按照上述方法，求59319的立方根． 47．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图三阶魔方是由27个同样大小的小立方体组成的，这个三阶魔方的体积是27 (1)求这个魔方的棱长 (2)求这个魔方的表面积，阴影部分的面积 (3)若把图1中的阴影部分正方形放到数轴上，使点与重合，那么点所表示的数是________ 48．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 实数章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、无理数整数部分、小数部分综合求值 1 题型二、实数与数轴综合 2 题型三、实数的新定义运算 3 题型四、实数大小比较及估算证明综合问题 4 题型五、算术平方根、立方根的规律探究 5 题型六、平方根、立方根的实际应用 6 【经典例题一 无理数整数部分、小数部分综合求值】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）若的算术平方根是2，是27的立方根，c是的整数部分， (1)求a、b、c的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）算术平方根、立方根、平方根的定义求出a、b、c的值即可； （2）将a，b，c的值代入，求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2， ∴ 解得：； ∵是27的立方根， ∴ 解得：； ∵，c是的整数部分 ∴． （2）解：∵，，， ∴ 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段检测）已知的小数部分用表示．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)的小数部分是______． (3)如果设的小数部分为，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)3 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再估算出的范围，即可得出答案； （3）先估算出的范围，求出的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是：， 故答案为：4，； （2）解：， ， ， ， 的小数部分是 故答案为：； （3）解：， ， 的小数部分， 3．（24-25七年级下·天津静海·阶段检测）已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义、无理数估算，属于基础题型，熟练掌握这三者是关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可求出、，估算出的范围即可求出； （2）将、、的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵的平方根是和，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 (1)295.84的算术平方根是______，316.84的平方根是______； (2)______；（保留一位小数）______．（精确到个位） (3)______，______； (4)若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有______个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2)，18.0 (3)， (4) (5)3 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）根据，由，，根据，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：，，， ， ，， ， 故答案：，18.0； （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 6．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值； (4)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点E所表示的数是 ． 【答案】(1)3； (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数和两点间的距离公式． （1）先估算的大小，求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，求出它的整数部分和小数部分，从而求出，，再代入所求式子进行计算即可； （3）先估算的大小，求出其整数部分和小数部分，再根据已知条件求出，，最后代入所求式子进行计算即可； （4）根据正方形的面积公式求出，从而求出，再设点表示的数为，根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3；． （2）解：， 的整数部分是2，小数部分是； 的整数部分是3，小数部分是， ， ． （3）解：， ， 的整数部分是13，小数部分为， ，其中是整数，且， ，， ； （4）解：正方形的面积为2， ， 设点表示的数为， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）综合与实践 问题情境 “综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确． 方法尝试 “善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 解决问题 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． (3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，以及相反数定义，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再类比题干求解，即可解题； （2）估算无理数的大小，进而确定a、b的值，再代入计算，即可解题； （3）先估算无理数的大小，进而确定、的值，再代入计算，最后结合相反数的定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解： ， 即，， ； （3）解：， ， ， ，其中是整数，且， ，， 则， 的相反数为． 8．（24-25七年级下·广东汕头·期末）阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 【答案】（1）5，；（2）12.21；（3）1；（4）14.93． 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】解：（1）， 的整数部分为5，小数部分为． 故答案为：5，； （2）解：当正方形面积为149，则它的边长为． ， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ． （3）解：， ， ， ，， ，． ∴； （4）， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ， ，，，， ． 故答案为：14.93． 【经典例题二 实数与数轴综合】 9．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动3个单位长度 ∴； （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 10．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)的平方根为 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，平方根的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴， （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的平方根为． 11．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)正方形的边长为，的长在2和3之间 (2) 【分析】（1）根据正方形面积求出边长，进而求出结论； （2）根据实数与数轴上的点的关系得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， ， ， 的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，， 则点在数轴上表示的数为：． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)2；3 (2) 将4个实数在数轴上表示出来如图所示． 【分析】本题考查无理数的估算、在数轴上表示实数．（1）根据估算的取值范围即可； （2）先化简绝对值，并估算，然后把数值表示在数轴上表示出来． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：． ， ， ． 由图可知． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）观察图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)求左图中灰色正方形的面积，同时求出它的边长． (2)请将表示边长的点P大致画在右图的数轴上，并说明理由． 【答案】(1)灰色正方形的面积为10，边长为 (2) 如图所示： 【分析】本题考查算术平方根，算术平方根大小的估算，理解算术平方根的定义是解题的关键． （1）采用割补法得到大正方形的面积减去4个三角形的面积即可得到灰色正方形的面积，而边长为面积的算术平方根，即可解答； （2）估算在整数3和4之间，且更接近于3即可在数轴上表示点P． 【详解】（1）解：灰色正方形的面积为：， 它的边长是10的算术平方根，即； （2）解：∵， ∴， 故点P应该表示在实数3和4表示的点之间，且9与10比较接近，因此和3也比较接近． 14．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为； (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想________． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．则图中，两点表示的数分别为________，________； (3)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长的值； (4)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1)B (2)， (3)面积为， (4)如图，点P即为所求： 【分析】（1）材料中求解得到这个数据时，是通过正方形的面积解决的，故体现了数形结合的思想； （2）结合题干可知图中半圆的半径长为，结合数轴即可作答； （3）先求出大正方形的面积，再减去四个三角形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解； （4）先求出大正方形的面积，再通过画弧的方法在数轴上作图即可． 【详解】（1）解：上述材料中说明问题的方式主要体现了数形结合的思想； （2）解：根据边长为的正方形的对角线长为，可知， 即，两点表示的数为，， （3）解：大正方形的面积为：， 四个三角形的面积为：， ∴中心小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：； （4）解：由题意得，大正方形的面积为， 则大正方形的边长为， 然后以数轴上表示的点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正方向相交，交点即为点． 15．（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；② 【详解】（1）解：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚动的距离为周长， ∴数轴上点对应的数是； （2）解：①各次滚动周数的绝对值之和为：， 总路程为：． ②各次滚动周数的代数和为：， 对应数轴上的数为． （3）解：①圆周长为：． 向右滚动三周，移动距离为：． 设额外滚动的距离为，则， ． ②， ， ，， ． 16．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形．根据实数与数轴上的点是一一对应的，回答下列问题． (1)图2中A、B两点表示的数分别为________________，________________； (2)请你参照上面的方法： ①把5个边长为1的正方形排成一个长方形，如图3所示，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出该正方形边长的值（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）． ②在数轴上，用点表示数． 【答案】(1)， (2) ①如图所示： ②如图所示： 【分析】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据图得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数； （2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （3）从开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M． 【详解】（1）解：边长为的小正方形沿对角线长为，由图①得：， ∴对角线为， 图②中A、B两点表示的数分别，； （2）①略； ②略． 【经典例题三 实数的新定义运算】 17．（25-26七年级下·广东深圳·阶段检测）阅读理解，定义：“如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：计算：．请你根据对以上内容的理解，计算：． 【答案】 【分析】本题主要是考查新定义运算问题，平方差公式，完全平方公式，读懂定义及其运算法则是解题的关键，根据平方差公式和完全平方公式展开，并代入计算即可； 【详解】解： ． 18．（25-26七年级上·福建南平·期中）（1）定义新运算：对于任意实数，都有.例如，数字2和5在该新运算下结果为.计算如下：． (1)求的值； (2)请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2020.写出你定义的新运算，并写出计算过程. 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）根据平方差公式即可构造新定义运算求解． 【详解】解：（1） ． （2）答案不唯一，合理即可. 如：定义新运算：对于任意实数，都有． ． 【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是熟知平方差公式的运用． 19．（25-26七年级上·江苏南京·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 解决问题： (1)_______；_______； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下实数的运算，求平方根，理解新定义是关键． （1）利用新定义计算解题即可； （2）根据，且，可得，，再根据当时，；当时，，即可求解； （3）由于，由，可得，根据是正数可求． 【详解】（1）解：；； 故答案为：，； （2）解：∵，且 ∴， ∴， 故的值为； （3）解：为正数， ，，， ， ， ，则（负值舍去）． 20．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）给出定义如下：若一对实数满足，则称它们为 一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”. （1）数对中是“相关数”的是___________； （2）若数对是“相关数”，求的值； （3）是否存在有理数数，使数对和都是“相关数”，若存在，求出一对的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，证明详见解析. 【分析】(1)根据“相关数”的定义和公式进行计算，左右相等的即为答案；（2）代入新定义公式得到方程，解方程即可解答；（3）先假设存在，分别代入新定义公式，假设相等得：，只有0的相反数仍等于它本身等于0，所以得到的值不为，即m-n≠mn+4，从而得解. 【详解】（1）∵数对（1,1）：左边：a-b=1-1=0，右边：ab+4=1×1+4=5，左边≠右边，∴（1,1）不是； 数对（-2，-6）：左边：a-b=-2-（-6）=4，右边：ab+4=（-2）×（-6）+4=16，左边≠右边，∴（-2,-6）不是； 数对（0，-4）：左边：a-b=0-（-4）=4，右边：ab+4=0×（-4）+4=4，左边=右边，∴（0,-4）是； 即数对中是“相关数”的是； （2）由题意得： 解： 答： （3）不存在. 理由：假设存在满足，满足， 且两个等式右边相同 若满足，则= 的值不为 和的结果不同， 综上所述，和的结果不同 ，不存在有理数，使数对和都是“相关数”， 【点睛】本题考查有理数的计算和解方程，解题关键是理解和运用新定义公式. 21．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于-1，记为．这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减乘法运算类似． 例如：   根据以上信息，完成下列问题： （1）填空 ； ． （2）计算： （3）计算：． 【答案】，1；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题目所给条件可得，计算即可得出答案； （2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案； （3）根据题目已知条件，可得出4个为一个循环，，即可得出答案． 【详解】解：（1），． 故答案为：，1； ； ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算及数字的变化规律，正确理解题目所给条件结合相关知识进行计算是解决本题的关键． 22．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据“阳光区间”的定义求解即可； （2）先根据“阳光区间”的定义分别求出a的范围，再结合为正整数，确定a的值； （3）先根据，，得出，进而得出，可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的“阳光区间”为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为； （2）解：∵无理数（为正整数）的“阳光区间”为， ∴， ∴， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，解得， ∴， 又∵为正整数， ∴或； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为． 23．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问：据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．也可以这样理解：令①，则②，①+②：，即． 根据以上材料，回答下列问题： （1）已知，且，求的值； （2）对于正数，有，求的值． 【答案】（1）10；（2）19800 【分析】（1）由得，代入公式求解即可． （2）根据代入公式求解出m的值，将m的值代入原式中，利用公式求解即可． 【详解】（1） （2） ，   又为正数，    则原式 【点睛】本题考查了新定义的运算，掌握新定义的运算规则是解题的关键． 24．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义，直接可得到答案； （2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解； （3）根据进行化简，即可求解． 【详解】（1），； （2）， ． ， ． （3）据材料，得， ． 【经典例题四 实数大小比较及估算证明综合问题】 25．（25-26七年级上·全国·单元测试）比较与的大小；与的大小；与的大小；猜想与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】猜想：，证明见解析. 【分析】运用倒数比较法，求出倒数比较大小，再根据倒数大的反而小比较原数的大小． 【详解】∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ， 猜想：． 证明：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，解题的关键是运用倒数比较法，倒数大的反而小． 26．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 【答案】小明的想法不可行，见解析 【分析】根据长方形长与宽的比例设未知数，利用长方形面积公式求出长方形的宽，再比较长方形宽与待裁圆形的直径大小，即可判断想法是否可行． 【详解】解：小明的想法不可行． 设长方形的长为，则宽为， 由题意得，， 则， ， ， 长方形的宽为， ，即， ， 想从中裁出半径为的圆形画纸，则圆形画纸的直径为，， ∴， 不能裁出． 答：小明的想法不可行，他不能从这张长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸． 27．（2026·北京·模拟预测）从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 【答案】问题一：4更大； 问题二：是无理数； 问题三：是正整数； 问题四：无理数比有理数“多”，理由：在实数轴上，有理数和无理数都是密集分布的，但有理数的数量是可数的，无理数的数量是“不可数”的，即无理数的数量比有理数的数量“多”，这里的“多”是从“可数”与“不可数”来比较的． 【分析】本题考查了实数比较大小，有理数，无理数，正整数， 问题一：计算出圆周长与直径的比值直接与4比较大小即可； 问题二：根据无理数的概念，开立方开不尽的数即可判断； 问题三：可以不妨取计算进行判断； 问题四：通过研究两个有理数之间可以找到无数个无理数来进行判断． 【详解】解：问题一：圆周长与直径的比值为：， ， 圆周长与直径的比值与4比较，4更大； 问题二：开立方，开不尽，故是无理数， 问题三：均为正整数，且， 不妨取， ， 为正整数， 是正整数； 问题四：略 28．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)π (2)，理由如下： 因为， 所以， 即， 所以． 【分析】（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答； （2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆的周长为π个单位长度， ∴点对应的数是π． （2）略 29．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知，，，求证：． (1)证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)请用另一种方法证明． 【答案】(1)， (2)证明：，， ． ， ， ，． ， ，即． 【分析】（1）结合题意应用不等式的性质进行求解； （2）运用求差法，结合算术平方根和平方差公式等知识进行变式、求解． 【详解】（1）解：，， ，． ， ，． ． ． （2）略 30．（25-26七年级下·广西贵港·期中）根据下列信息，解答问题： 【已知信息】 ①实数有两个不同的平方根，分别是和； ②的立方根是4； ③的相反数是． 【问题解决】 (1)求出的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数，列方程求出的值，进而求出的值；再根据立方根和相反数的定义，分别求出和的值； （2）先计算的值，再与比较大小． 【详解】（1）解： 实数有两个不同的平方根和， ， 解得， ， 的立方根是， ， ， 的相反数是， ， ； （2）解：， ， ， ∵， ∴，又， ． 31．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 32．（25-26七年级下·广东广州·期末）广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【答案】(1)长方形彩纸的长为，宽为； (2)解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为，由题意得：，解得：， ∵圆形纸胚的直径为，长方形彩纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来. 【分析】（1）设长方形彩纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设长方形彩纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴长方形彩纸的长为，宽为； （2）略 【经典例题五 算术平方根、立方根的规律探究】 33．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律： ；；；… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)_______，_______； (2)猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)， (2)， 证明： ． 【分析】（1）根据题干找出规律即可； （2）对等号左边被开方数进行通分计算，再根据完全平方公式以及二次根式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：由；；； 可得；； （2）解：猜想的第个等式：， 略 34．（26-27七年级上·江西吉安·阶段检测）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 35．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】（1）根据示例填写即可； （2）观察示例可知，当算术平方根符号内的式子为正时，去掉算术平方根符号的形式与原式相同；当算术平方根符号内的式子为负时，去掉算术平方根符号的形式与原式符号相反； （3）根据（2）所得规律分别表示出算式中的算术平方根，再运用有理数加法运算律计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： 36．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）【观察思考】 第1个等式：；        第2个等式：； 第3个等式：；        第4个等式： ； (1)直接写出第个等式： ； (2)如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． (3)证明（2）中的运算规律． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 证明：等式左边 ， 为正整数， ， 等式左边等式右边． 【分析】（1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案； （2）找到等式的规律，写出第个等式； （3）先将根据完全平方公式和二次根式的性质将等式左边化简，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：观察可知，第个等式：； （2）解：观察等式的规律：第个等式为：（为正整数）； （3）略 37．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 【答案】(1)规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 (2)①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 （2）根据（1）中的发现的规律， 38．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解：，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 39．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】 （1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍； （3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【分析】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1）略 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 40．（25-26七年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】 （1）①补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②1； （2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，． ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 【经典例题六 平方根、立方根的实际应用】 41．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）花袱子印染属于我国较为古老的印花布工艺，在陕西关中一带分布十分广泛．现有一块长方形花袱子印染面料，长和宽之比为，面料面积为．求这块长方形花袱子印染面料的长和宽． 【答案】这块长方形花袱子印染面料的长为，宽为 【分析】设这块长方形花袱子印染面料的长为，则宽为，根据题意可得，再结合平方根的计算法则计算即可得出结果． 【详解】解：设这块长方形花袱子印染面料的长为，则宽为， 由题意可得， 整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴，， ∴这块长方形花袱子印染面料的长为，宽为． 42．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 43．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块面积为的长方形空地，长宽之比为． (1)求该长方形空地的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为，请通过计算判断能否按要求改造． 【答案】(1)该长方形空地的长为，宽为； (2)能按要求改造． 【分析】（1）设该长方形空地的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求解即可； （2）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据正方形的面积公式列出方程求出y的值，再比较大正方形的边长与长方形空地的宽的大小和两个正方形的边长之和与长方形空地的长的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：设该长方形空地的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， 答：该长方形空地的长为，宽为； （2）解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴大正方形的边长为，两个正方形的边长之和为 ∵， ∴， ∴，， ∴能按要求改造， 答：能按要求改造． 44．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，将体积为的正方体铁块A与体积为的铁块B熔化，制成一个高为的圆饼形工件C． (1)求铁块A的棱长． (2)求工件C的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）根据圆柱的体积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴铁块A的棱长为； （2）解：设工件C的底面半径为， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴工件C的底面半径为． 45．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． 【详解】（1）解：立方体木块的体积是， 则棱长为； （2）解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 46．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）（1）填空 ①由可以确定是___________位数； ②由19683的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去19683后面的三位数683得到19，而，由此可以确定的十位上的数是___________；最后就可以求出的值了． （2）已知59319是一个数的立方数，按照上述方法，求59319的立方根． 【答案】（1）两，7，2；（2）39 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解答本题的关键． （1）①由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数； ②根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案； ③运用数立方的计算方法计算即可； （2）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴是两位数； 故答案为：两； ②∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数 ∴的个位数为7； 故答案为7； ③∵， ∴， ∴的十位上的数是2， 故答案为2； （2）由，可以确定是两位数； 由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； 如果划去59319后面的三位数319得到59，而， 由此可以确定的十位上的数是3； 所以． 47．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图三阶魔方是由27个同样大小的小立方体组成的，这个三阶魔方的体积是27 (1)求这个魔方的棱长 (2)求这个魔方的表面积，阴影部分的面积 (3)若把图1中的阴影部分正方形放到数轴上，使点与重合，那么点所表示的数是________ 【答案】(1)3 (2)54；5 (3) 【分析】（1）正方体的体积等于棱长的立方，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出魔方的棱长，进而求出每个小立方体的边长，求出表面积，利用割补法求出对应的面积即可； （3）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到的长，用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：魔方的棱长为． （2）解：棱长为3， ∴魔方表面积：。 ∵每个小立方体的边长都是， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 解得，即， ∵点与重合， 点在数轴上表示的数为：． 48．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $