专题4.5 因式分解24道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦因式分解6大核心题型，24道压轴题构建从基础方法到综合应用的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知结果求参数|4道|整式乘法逆向推理参数|概念逆向应用| |提公因式法|4道|代数式求值的公因式提取|基础方法训练| |添括号技巧|4道|符号变换与整体代换|公式法前置技能| |平方差公式|4道|公式辨析与创新题型|特殊形式分解| |完全平方公式|4道|配方条件判断与多解|完全平方式特征应用| |综合方法|4道|实际情境综合题|方法融合与模型意识|

专题4.5 因式分解24道压轴题型专训（6大题型） 1 题型一 已知因式分解的结果求参数 题型二 提公因式法分解因式 题型三 熟练使用添括号 题型四 熟练使用平方差公式分解因式 题型五 熟练使用完全平方公式分解因式 题型六 综合提公因式法和公式法分解因式 【经典例题一 已知因式分解的结果求参数】 1．（25-26七年级下·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 2．（25-26七年级下·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 【经典例题二 提公因式法分解因式】 1．（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．（23-24七年级下·广东清远·期末）已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 【答案】2027 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 4．（25-26七年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 【经典例题三 熟练使用添括号】 1．（25-26七年级下·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将代入已知等式，求出的值；然后将代入目标代数式，变形后代入的值计算最终结果． 【详解】解：∵当时，， ，即， 移项得． 当时，， ∴． 2．（2023·七年级下 重庆）对多项式任意加一个或者两个小括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”．例如：，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③只添加一个小括号，共有3种不同的结果；④所有的“加算操作”共有4种不同的结果．以上说法中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查添括号法则，根据题意枚举所有“加算操作”的结果，逐一判断四个说法即可． 【详解】解：原多项式为 ，“加算操作”指添加1个或2个括号，且仍只含减法运算． 因为，与原多项式相等， ①正确． ② 若结果与原多项式之和为，则结果需为， 无论如何添加括号， 的符号始终为正，不可能得到 ， 不存在这样的操作，②正确； 所有只添加一个小括号的不同结果： ， ， ， ， 可得共有种不同结果，不是种， ③错误． ④ 所有“加算操作”中，添加两个括号后得到的结果如下：， ， ， ， 所有“加算操作”共有种不同结果， ④正确． 综上，正确的说法共个，故选C． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为____________． 【答案】1998 【分析】先把，代入，整理得，再把，代入，整理得，变形为，再整体代入即可求解． 【详解】解：把，代入得， 整理得， 把，代入得 ． 故答案为：1998 【点睛】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体代入是解题关键． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为12，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 【经典例题四 熟练使用平方差公式分解因式】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，将多项式化为几个整式的积的形式，通过展开验证各选项是否正确；注意完全平方公式、平方差公式的结构特征，以及提公因式法要分解彻底． 【详解】解：A、， 此选项不符合题意； B、， 此选项符合题意； C、， 此选项不符合题意； D、，故分解不彻底， 此选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）设，，，都是正整数，且，，，则______． 【答案】 【分析】设，（，为正整数），则，，，，根据题意可得，则，然后由为质数，，，为正整数可得，解得，所以，然后求出，，最后代入即可求解． 【详解】解：设，（，为正整数）， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵为质数，，，为正整数， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据例题的方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． 【经典例题五 熟练使用完全平方公式分解因式】 1．（24-25七年级下·重庆江津·期中）有个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4059，则；③当时，；其中正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，解一元一次方程，完全平方公式因式分解；根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第项为：， 第项为：， ， ， 第项为：， ， 第项为：， ， 以此类推， 第项为：， 为正整数． 当时，．故①正确． 第项与第项之差可表示为：， 则， 解得． 故②不正确． 当时， ． 故③正确． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 【答案】(1)①③⑤ (2)或 (3)，，，． 【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）根据完全平方式的定义分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①， ②无法写成另一个整式的完全平方的形式， ③， ④无法写成另一个整式的完全平方的形式， ⑤ ⑥，无法写成另一个整式的完全平方的形式； （2）解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）解：∵， ， ， ， ∴多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 【经典例题六 综合提公因式法和公式法分解因式】 1．（25-26七年级下·广西玉林·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 4 … 明文 … 玉 家 美 林 乡 爱 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．玉林美 B．家乡美 C．爱美丽 D．爱玉林 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的实际应用，先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再结合表格对应关系得到明文即可． 【详解】解： 根据表格对应关系，对应“家”，对应“美”，对应“乡” 则组合后明文为“家乡美”． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 3．（24-25七年级下·北京）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）利用因式分解计算： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）观察式子，每一项都含有公因式3.14，可利用提公因式法进行因式分解来简便计算． （2）先对分子分母分别进行因式分解，再进行约分计算． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 因式分解24道压轴题型专训（6大题型） 1 题型一 已知因式分解的结果求参数 题型二 提公因式法分解因式 题型三 熟练使用添括号 题型四 熟练使用平方差公式分解因式 题型五 熟练使用完全平方公式分解因式 题型六 综合提公因式法和公式法分解因式 【经典例题一 已知因式分解的结果求参数】 1．（25-26七年级下·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【经典例题二 提公因式法分解因式】 1．（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 2．（23-24七年级下·广东清远·期末）已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 4．（25-26七年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【经典例题三 熟练使用添括号】 1．（25-26七年级下·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·七年级下 重庆）对多项式任意加一个或者两个小括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”．例如：，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③只添加一个小括号，共有3种不同的结果；④所有的“加算操作”共有4种不同的结果．以上说法中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为____________． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为12，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【经典例题四 熟练使用平方差公式分解因式】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）设，，，都是正整数，且，，，则______． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【经典例题五 熟练使用完全平方公式分解因式】 1．（24-25七年级下·重庆江津·期中）有个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4059，则；③当时，；其中正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 【经典例题六 综合提公因式法和公式法分解因式】 1．（25-26七年级下·广西玉林·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 4 … 明文 … 玉 家 美 林 乡 爱 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．玉林美 B．家乡美 C．爱美丽 D．爱玉林 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京）因式分解：________． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）利用因式分解计算： (1)． (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $