专题02 实数综合运算与拓展应用七大题型 (专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专题02 实数综合运算与拓展应用七大题型 常考题型·精准突破 【题型 1】实数简单混合运算 【题型 2】实数在数轴上的表示、数轴化简 【题型 3】无理数的估算(估根号几在哪两个整数之间) 【题型 4】实数相反数、绝对值化简 【题型 5】利用实数性质解决简单方程 【题型 6】阅读理解、新定义题型 【题型 7】实数与几何结合(正方形面积求边长) 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】实数简单混合运算 1．计算：． 【答案】5 【详解】解： ． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4.4 (2) 【详解】（1）解：                       ． （2）解： ． 3．计算∶ 【答案】 【详解】解：原式． 4．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ◆【题型 2】实数在数轴上的表示、数轴化简 6．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的取值范围，再根据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴可得：，， 则，， 则． 7．实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选：A． 8．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 9．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． ◆【题型 3】无理数的估算(估根号几在哪两个整数之间) 10．若，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ． 11．估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 13．若为正整数，且满足，则的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】通过估算无理数的范围，结合不等式的基本性质化简原式，即可求出正整数的值 【详解】解：∵， ∴， 化简得， ∵， ∴，即， ∵为正整数，满足， ∴． ◆【题型 4】实数相反数、绝对值化简 14．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 15．的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的绝对值是． 16．实数的相反数是________． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 17．计管： ______． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． ◆【题型 5】利用实数性质解决简单方程 18．求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 19．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根的定义 （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数可得的值，将的值代入中，可得正数的值； （2）根据立方根的定义解方程即可； 掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得：， ∴ ∴这个正数为； （2）把代入，得： ， ∴， ∴． 20．已知64的立方根为，b的平方根等于它本身，关于x的方程满足． (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，或 (2)或 【分析】此题主要考查了平方根，算术平方根的含义，平方根含义解方程； （1）直接利用平方根即立方根的定义分别化简得出答案； （2）把（1）中的结果代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵64的立方根为，b的平方根等于它本身，关于x的方程满足， ，，， ∴，，或． （2）解：由（1）得： 当时，， 当时，． 21．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)请根据上述平方根的意义，求方程的解； (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地面40米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】（1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：∵有一个物体从离地面40米高处自由落下， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． ◆【题型 6】阅读理解、新定义题型 22．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 23．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②5；③45； (2)52． 【分析】（1）仿照题干中提供的解题思路解答即可； （2）根据题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 的立方根是两位数； ②， 的立方根的个位数是； ③划去的后三位数，得到， ， ， 的立方根的十位数是， ； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴能确定的立方根是个两位数． 140608的个位数是8， ∵， ∴能确定的立方根的个位数是2． 划去后面的三位608，得到数140， 而， 则． ∴， 由此确定140608的立方根的十位数是5，因此140608的立方根是52． 24．【阅读材料】 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们又知道，所以我们把叫作的整数部分，把叫作的小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的立方根； (3)已知，其中是整数部分，是小数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先估算的大小，即可求出其整数部分和小数部分； （2）先估算，的大小，确定和，再根据立方根的意义可得答案； （3）先估算的大小，再估算的大小，确定和，再根据平方根的意义可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵，， ∴，， ∴的小数部分：，的整数部分：， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵，其中是整数部分，是小数部分， ∴，， ∴， 又∵的平方根为， ∴的平方根为． 25．定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． (1) ， ． (2)如果，，求的平方根． 【答案】(1)3，； (2)． 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵2，， ，， ， ， ∴的平方根是． 26．新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． ◆【题型 7】实数与几何结合(正方形面积求边长) 27．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 28．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 29． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【详解】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 30．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 综合攻坚·知能拔高 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义和绝对值的定义可得：原式，再根据有理数的加法法则计算． 【详解】解：． 2．实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长，由得出长度，结合点坐标及点位置求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 4．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 5．如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 【答案】B 【分析】先估算的大小，再估算的大小，然后结合数轴即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数表示的点会落在点和之间． 6．的相反数是________，的绝对值是________，9的算术平方根是________． 【答案】 【分析】分别根据相反数的定义、绝对值的性质、算术平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得； 根据算术平方根的定义，若一个非负数的平方等于，则是的算术平方根， ∵， ∴的算术平方根是． 7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，进而得到，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 【答案】3 【分析】再结合整数条件求解．先根据正方形面积公式得到边长的范围，再利用“由内到外的嵌套关系”得到边长的大小关系，结合无理数的估算在范围内找出整数边长． 【详解】解：设正方形、、的边长分别为、、， 由题意，，， ，． 正方形由内到外依次嵌套， ，即． ，，且为整数， ． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)13 【详解】（1）解：． （2）解：． 10．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 11．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 12．如图，在长方形内两个正方形，的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式求出的长，进而求出的长，再根据长方形的周长公式求解即可； （2）求出长方形的面积，再减去两个正方形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴， ∴， ∴长方形的周长； （2）解：， ∴图形中阴影部分的面积为． 13．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 14．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1) ，，这三个数是“组合平方数”，理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）略 （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数综合运算与拓展应用七大题型 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】实数简单混合运算 1． 【答案】5 【详解】解： ． 2． 【答案】(1)4.4 (2) 【详解】（1）解：                       ． （2）解： ． 3． 【答案】 【详解】解：原式． 4． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ◆【题型 2】实数在数轴上的表示、数轴化简 6． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的取值范围，再根据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴可得：，， 则，， 则． 7． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选：A． 8． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 9． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． ◆【题型 3】无理数的估算(估根号几在哪两个整数之间) 10. 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ． 11． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 13． 【答案】C 【分析】通过估算无理数的范围，结合不等式的基本性质化简原式，即可求出正整数的值 【详解】解：∵， ∴， 化简得， ∵， ∴，即， ∵为正整数，满足， ∴． ◆【题型 4】实数相反数、绝对值化简 14． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 15． 【答案】C 【详解】解：的绝对值是． 16． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 17． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． ◆【题型 5】利用实数性质解决简单方程 18． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 19． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根的定义 （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数可得的值，将的值代入中，可得正数的值； （2）根据立方根的定义解方程即可； 掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得：， ∴ ∴这个正数为； （2）把代入，得： ， ∴， ∴． 20． 【答案】(1)，，或 (2)或 【分析】此题主要考查了平方根，算术平方根的含义，平方根含义解方程； （1）直接利用平方根即立方根的定义分别化简得出答案； （2）把（1）中的结果代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵64的立方根为，b的平方根等于它本身，关于x的方程满足， ，，， ∴，，或． （2）解：由（1）得： 当时，， 当时，． 21． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】（1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：∵有一个物体从离地面40米高处自由落下， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． ◆【题型 6】阅读理解、新定义题型 22． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 23． 【答案】(1)①两；②5；③45； (2)52． 【分析】（1）仿照题干中提供的解题思路解答即可； （2）根据题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 的立方根是两位数； ②， 的立方根的个位数是； ③划去的后三位数，得到， ， ， 的立方根的十位数是， ； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴能确定的立方根是个两位数． 140608的个位数是8， ∵， ∴能确定的立方根的个位数是2． 划去后面的三位608，得到数140， 而， 则． ∴， 由此确定140608的立方根的十位数是5，因此140608的立方根是52． 24． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先估算的大小，即可求出其整数部分和小数部分； （2）先估算，的大小，确定和，再根据立方根的意义可得答案； （3）先估算的大小，再估算的大小，确定和，再根据平方根的意义可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵，， ∴，， ∴的小数部分：，的整数部分：， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵，其中是整数部分，是小数部分， ∴，， ∴， 又∵的平方根为， ∴的平方根为． 25． 【答案】(1)3，； (2)． 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵2，， ，， ， ， ∴的平方根是． 26． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． ◆【题型 7】实数与几何结合(正方形面积求边长) 27． 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 28． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 29． 【答案】(1) (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【详解】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 30． 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义和绝对值的定义可得：原式，再根据有理数的加法法则计算． 【详解】解：． 2． 【答案】C 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 3． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长，由得出长度，结合点坐标及点位置求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 4． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 5． 【答案】B 【分析】先估算的大小，再估算的大小，然后结合数轴即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数表示的点会落在点和之间． 6． 【答案】 【分析】分别根据相反数的定义、绝对值的性质、算术平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得； 根据算术平方根的定义，若一个非负数的平方等于，则是的算术平方根， ∵， ∴的算术平方根是． 7． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，进而得到，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8． 【答案】3 【分析】再结合整数条件求解．先根据正方形面积公式得到边长的范围，再利用“由内到外的嵌套关系”得到边长的大小关系，结合无理数的估算在范围内找出整数边长． 【详解】解：设正方形、、的边长分别为、、， 由题意，，， ，． 正方形由内到外依次嵌套， ，即． ，，且为整数， ． 9． 【答案】(1)7 (2)13 【详解】（1）解：． （2）解：． 10． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 11． 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式求出的长，进而求出的长，再根据长方形的周长公式求解即可； （2）求出长方形的面积，再减去两个正方形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴， ∴， ∴长方形的周长； （2）解：， ∴图形中阴影部分的面积为． 13． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 14． 【答案】(1) ，，这三个数是“组合平方数”，理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）略 （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数综合运算与拓展应用七大题型 常考题型·精准突破 【题型 1】实数简单混合运算 【题型 2】实数在数轴上的表示、数轴化简 【题型 3】无理数的估算(估根号几在哪两个整数之间) 【题型 4】实数相反数、绝对值化简 【题型 5】利用实数性质解决简单方程 【题型 6】阅读理解、新定义题型 【题型 7】实数与几何结合(正方形面积求边长) 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】实数简单混合运算 1．计算：． 2．计算： (1)． (2)． 3．计算∶ 4．计算： (1) (2)． 5．计算： (1)； (2)． ◆【题型 2】实数在数轴上的表示、数轴化简 6．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ） A．0 B． C． D． 7．实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 8．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 9．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． ◆【题型 3】无理数的估算(估根号几在哪两个整数之间) 10．若，则有（     ） A． B． C． D． 11．估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 12．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 13．若为正整数，且满足，则的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 ◆【题型 4】实数相反数、绝对值化简 14．的相反数是（     ） A． B． C． D． 15．的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 16．实数的相反数是________． 17．计管： ______． ◆【题型 5】利用实数性质解决简单方程 18．求下列方程中x的值： (1)； (2) 19．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 20．已知64的立方根为，b的平方根等于它本身，关于x的方程满足． (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 21．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)请根据上述平方根的意义，求方程的解； (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地面40米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． ◆【题型 6】阅读理解、新定义题型 22．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 23．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 24．【阅读材料】 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们又知道，所以我们把叫作的整数部分，把叫作的小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的立方根； (3)已知，其中是整数部分，是小数部分，求的平方根． 25．定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． (1) ， ． (2)如果，，求的平方根． 26．新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． ◆【题型 7】实数与几何结合(正方形面积求边长) 27．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 28．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 29． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 30．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 综合攻坚·知能拔高 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 5．如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 6．的相反数是________，的绝对值是________，9的算术平方根是________． 7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____________． 8．如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 9．计算： (1)； (2)． 10．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 11．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 12．如图，在长方形内两个正方形，的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图形中阴影部分的面积． 13．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 14．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $