专题03 立方根重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 立方根重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、立方根概念理解 1 题型二、求一个数的立方根 2 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 3 题型四、立方根的实际应用 4 题型五、与立方根有关的规律探索 5 题型六、算术平方根和立方根的综合应用 6 题型七、计算器——平方根和立方根 7 第二部分·练提高题型 题型一、立方根的规律探究问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 2．（25-26七年级上·福建三明·期中）若正方体的体积为，则它的棱长为_____________． 知识点02 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为________． 【基础题型一 立方根概念理解】 【例1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）“3的立方根”用符号表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·湖南常德·期末）若的立方根是，则______． 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）在实数，，，，0中，无理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26七年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【基础题型二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在实数，，，0.8080108，中，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2026·浙江·模拟预测）写出一个立方根不大于2的整数：________． 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知实数，，，，且，互为倒数，的绝对值为，的算术平方根是8，求． 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）若，则和的关系是（     ） A． B．、互为相反数 C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·单元复习）已知，则的值为________． 1．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）若，，则x的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则____________________． 3．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． (1)求和正数的值； (2)若的整数部分为，求的算术平方根． 【基础题型四 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）已知一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍，则大正方体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（教材变式）如图所示的是由64个完全相同的小立方体组成的4阶魔方，体积为，则每个小立方体的表面积为_____________． 1．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西大同·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成A、B两个小正方体铁块，其中小正方体铁块A的体积为，求小正方体铁块B的棱长． 【基础题型五 与立方根有关的规律探索】 【例1】（2026七年级上·湖南邵阳·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【例2】（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）已知，，那么约为______． 1．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 3．（24-25七年级下·吉林白城·阶段检测）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 1．（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数一定是或 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【基础题型七 计算器——平方根和立方根】 【例1】（2026·山东淄博·二模）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）在计算器上按键显示的结果是 ________________________． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为___________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【提高题型一 立方根的规律探究问题】 【例1】（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【例2】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则_____． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数             2．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 3．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 5．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期末）立方根等于的实数是________． 7．（25-26七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算：________；________． 8．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根__________． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 11．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和，且，求的算术平方根． 12．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知某正数x的两个不同的平方根分别是和，b的立方根是，求： (1)求x的值； (2)求的平方根． 13．（25-26七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 14．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   15．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 立方根重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、立方根概念理解 1 题型二、求一个数的立方根 2 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 3 题型四、立方根的实际应用 4 题型五、与立方根有关的规律探索 5 题型六、算术平方根和立方根的综合应用 6 题型七、计算器——平方根和立方根 7 第二部分·练提高题型 题型一、立方根的规律探究问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 2．（25-26七年级上·福建三明·期中）若正方体的体积为，则它的棱长为_____________． 【答案】 【分析】正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键． 知识点02 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为________． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 【基础题型一 立方根概念理解】 【例1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）“3的立方根”用符号表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意立方根与平方根的符号差异，立方根的根指数3不可省略． 【详解】解：3的立方根用符号表示为． 【例2】（24-25七年级上·湖南常德·期末）若的立方根是，则______． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：若的立方根是，则， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）在实数，，，，0中，无理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，逐个判断所给数的类型，统计无理数个数即可得到答案． 【详解】解：是无限不循环小数，∴是无理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，∴是无理数； 是无限不循环小数，∴是无理数； 是整数，属于有理数； 综上，无理数共个． 2．（25-26七年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可； （）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根等于它本身， ∴或或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的立方根是或或． 【基础题型二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在实数，，，0.8080108，中，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，是无理数；，是有理数， ∴无理数共有3个． 【例2】（2026·浙江·模拟预测）写出一个立方根不大于2的整数：________． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：， ∴小于或等于8的整数均可， ∴这个整数可以是1（答案不唯一）． 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义求解即可，任意一个数都有立方根，正数立方根是正值、负数的立方根是负值、的立方根是本身． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 【答案】7 【分析】先估算出的取值范围，确定和的值，即可计算得到的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，且，是两个连续的整数， ，， ． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知实数，，，，且，互为倒数，的绝对值为，的算术平方根是8，求． 【答案】 【分析】先根据题意求得，，，的值，再进行计算求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ． 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）若，则和的关系是（     ） A． B．、互为相反数 C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据可得．所以与互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴、互为相反数． 【例2】（25-26七年级上·全国·单元复习）已知，则的值为________． 【答案】0或2或6 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， ∴或或， 故答案为：0或2或6． 1．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）若，，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则____________________． 【答案】 【分析】由平方根、立方根可得，，可求，由，可得，则，由，可得，即，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为， ∴，， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵m为整数，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，无理数的估算，无理数的整数部分，代数式求值等知识．熟练掌握平方根，立方根，无理数的估算，无理数的整数部分，代数式求值是解题的关键． 3．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． (1)求和正数的值； (2)若的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，再代入计算的值； （2）先由立方根的定义求，再估算的范围得到整数部分，最后计算的算术平方根． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 【基础题型四 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）已知一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍，则大正方体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，先得出一个大正方体的体积，再结合体积公式得出一个大正方体的边长为，最后由表面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍， ∴一个大正方体的体积为， ∴ ∴一个大正方体的边长为， ∴一个大正方体的表面积是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（教材变式）如图所示的是由64个完全相同的小立方体组成的4阶魔方，体积为，则每个小立方体的表面积为_____________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出每个小正方体的棱长，即可解答． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 则每个小立方体的表面积为 故答案为：． 1．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了无理数的估算和立方根的应用，运用立方根知识进行估算求解即可． 【详解】由题意得，该铁块棱长是， ∵ ， 该铁块棱长大小的范围是． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山西大同·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为________． 【答案】 【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积． 【详解】解：因为无盖正方体的体积是，所以边长为， 所用面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了解它们之间的关系． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成A、B两个小正方体铁块，其中小正方体铁块A的体积为，求小正方体铁块B的棱长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：（1）根据题意得，大正方体铁块的棱长为． 答：这个大正方体铁块的棱长为． （2）解：根据题意得，小正方体铁块B的体积为， 所以小正方体铁块B的棱长为． 答：小正方体铁块B的棱长为． 【基础题型五 与立方根有关的规律探索】 【例1】（2026七年级上·湖南邵阳·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）已知，，那么约为______． 【答案】21.54 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 1．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 2．（24-25七年级上·全国·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 3．（24-25七年级下·吉林白城·阶段检测）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 1．（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数一定是或 【答案】D 【分析】根据特殊数的性质及负数的平方根、立方根相关结论，即可排除错误选项． 【详解】解：负数没有平方根，的平方根是，故A选项错误； 的立方根是，既不是正数也不是负数，故B选项错误； 负数有立方根，例如的立方根是，故C选项错误； 只有非负数才有算术平方根，故满足条件的数必为非负数，又的立方根与算术平方根均为，的立方根与算术平方根均为，其余非负数均不满足，故D选项正确． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________． 【答案】 ， 1或0 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点．立方根等于其本身的数是，；设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a． 【详解】解：立方根等于其本身的数是，； 设这个数为a，由题意知， ， 解得：或0， 故答案为：，；1或0． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【基础题型七 计算器——平方根和立方根】 【例1】（2026·山东淄博·二模）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 【例2】（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）在计算器上按键显示的结果是 ________________________． 【答案】 【分析】读懂计算器按键，还原算式；按照实数运算顺序，先开方、除法，后减法，算出最终数值． 【详解】解：由按键顺序可得算式：， ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可． 【详解】解：用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为___________． 【答案】4 【分析】本题考查的是计算器的使用，求一个数的立方根，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【答案】(1)在数轴上位于整数和之间 (2)，（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】（1）由，可得出在哪两个整数之间； （2）先借助计算器，将估算到小数点后第位； 再结合，不难找出有理数和的值． 【详解】（1）解：，，且， ， 即在数轴上位于整数和之间； （2）借助计算器，得， 取， ， （答案不唯一，符合条件即可）． 【提高题型一 立方根的规律探究问题】 【例1】（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 【例2】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则_____． 【答案】 【分析】根据题中所给规律可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、立方根等知识点，掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． 的平方根是，故该选项错误，不符合题意；     B． 是负数没有平方根根，故该选项错误，不符合题意；     C． 的立方根是2，故该选项正确，符合题意；         D． 是无理数，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是8， ∴这个数是， ∴的立方根是， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 5．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期末）立方根等于的实数是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 7．（25-26七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算：________；________． 【答案】 【详解】解：∵，且一个数的算术平方根为非负数， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 【答案】486 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为， ∴第二个水箱的表面积为． 11．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和，且，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根的概念，由正数的两个平方根互为相反数，得，由，求得，即可求解，关键是掌握上述概念的性质． 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ，解得， ． ， ，解得， ， 的算术平方根是． 12．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知某正数x的两个不同的平方根分别是和，b的立方根是，求： (1)求x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正数的两个不同平方根互为相反数求出a的值，再计算得到正数x； （2）根据立方根的定义求出b，计算出的值，最后求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵正数x的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵b的立方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 13．（25-26七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【详解】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 14．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 15．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能装下，理由： 圆柱形蛋糕的直径为， ， ，即， ， ， ，即， 这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 【分析】（1）设圆柱形蛋糕的半径为，根据题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （2）通过立方根的定义即可求解； （3）通过无理数的估算，实数比较大小即可求解． 【详解】（1）解：设圆柱形蛋糕的半径为， ， （负数舍去）， （2）解：， 答：这个正方体礼品盒的棱长为； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $