专题01 平方根重难点题型专训（3个知识点+10大题型+自我检测）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 平方根重难点题型专训（2个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、平方根概念理解 1 题型二、求一个数的算术平方根 2 题型三、求一个数的平方根 3 题型四、已知一个数的平方根，求这个数 4 题型五、利用算术平方根的非负性解题 5 题型六、估计算术平方根的取值范围 6 题型七、求算术平方根的整数部分和小数部分 7 题型八、与算术平方根有关的规律探索题 8 题型九、算术平方根的实际应用 9 题型十、平方根的应用 10 第二部分·练提高题型 题型一、平方根中的几何问题 1 题型二、平方根的规律探究问题拓展 2 第三部分・自我检测 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列说法中正确的是（   ） A．任何数的平方根有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．只有正数才有平方根 D．不是正数，没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的基本概念，根据平方根的定义逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：A、正数的平方根有两个，负数没有平方根，的平方根为，故原说法不正确； B、一个正数的平方根的平方就是这个数，故原说法正确； C、也有平方根，故原说法不正确； D、不是正数，但有平方根，故原说法不正确． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根的概念，解决本题的关键是根据平方根的概念列式． 一个正数的两个平方根互为相反数，即它们的和为零列式求解即可． 【详解】解：由平方根的性质，得 ， 化简得 ，解得 ． 故答案为： 1． 知识点02 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）在数，0，，，，中，有算术平方根的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的性质，只有非负数才有算术平方根，先计算出题干中各数的值，再逐个判断是否为非负数，统计符合条件的个数即可得到答案. 【详解】解：只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根， 对各数逐个判断： ，没有算术平方根， 是非负数，有算术平方根， ，有算术平方根， ，没有算术平方根， ，有算术平方根， ，有算术平方根， 有算术平方根的数共个. 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题根据正数平方根的性质解题，正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：正数的两个平方根互为相反数 整理得 解得 的算术平方根为． 【基础题型一 平方根概念理解】 【例1】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 【例2】（26-27七年级上·杭州·阶段检测）16的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，找出平方等于的数即可求解． 【详解】∵ ，， ∴ 的平方根为． 1．（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若一个实数的两个平方根分别为和，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是一个实数的两个平方根， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 【答案】 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方根 0 【分析】对于非负数，若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，据此计算对应值即可 【详解】解：根据定义逐个计算： 当被开方数为时， ∵ ，且是非负数， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 当被开方数为时， ∵ ，其中非负平方根为， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 当被开方数为时， ∵ ，其中非负平方根为， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 同理可推得其余被开方数的结果： 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为 完成表格见答案 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形） 【答案】拼成正方形的边长都是，一样大 拼割线如图所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【分析】阴影部分面积都是5，可得剪开重新拼成正方形的边长都是，一样大． 【详解】略 【基础题型二 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 【例2】（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【分析】先计算平方项，再根据算术平方根的定义计算最终结果． 【详解】解： ∵ ∴ 1．（25-26七年级下·四川南充·期中）下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，表示的算术平方根，结果为非负数，，C错误． 选项D，，，D正确． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）在如图所示的数值转换器中．当输入的值为16时，输出的数是________． 【答案】 【分析】根据数值转换器原理，输入x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直到结果为无理数时输出． 【详解】解：当输入的数x为16时，，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，是无理数，输出． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵，且， ，即； （3）解：∵，且， ，即； （4）解：∵， ， ． 【基础题型三 求一个数的平方根】 【例1】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先化简，再求化简后数的平方根． 【详解】解：， ∵， ∴的平方根是，即的平方根是． 【例2】（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）16的平方根是__________，5的算术平方根是__________． 【答案】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义，分别计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是； ∵，且， ∴5的算术平方根是． 1．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的求解方法，逐个判断即可． 【详解】解：是的算术平方根，为，A选项错误，不符合题意； 是的平方根，为，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识．根据正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：若一个正数的一个平方根是5，则它的另一个平方根是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1) ，这个正数是100 (2) 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． 【基础题型四 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知： 和互为相反数， ∴ ， 化简得， ∴； 故选C． 【例2】（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）已知的平方根是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（    ） A． B．5 C．5或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．本题先依据平方根的性质求得的值，然后再进行计算即可． 【详解】解: ∵是的一个平方根， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴ 当，时，， 当，时，． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）运动员射击时，枪弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为枪弹的加速度，为枪筒的长． (1)某款运动射击枪的枪弹的加速度，枪筒的长，求该射击枪枪弹射出枪口时的速度． (2)某款运动射击枪的枪弹的加速度，若射击枪枪弹射出枪口时的速度，求该款运动射击枪的枪筒的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知、，直接代入公式，分步计算根号内数值，再开平方求出速度； （2）已知、，直接代入公式计算． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得， 两边平方得， 解得． 【基础题型五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（2026七年级上·甘肃天水·模拟预测）已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 【例2】（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）代数式的最小值为____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性和求平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 【基础题型六 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·福建龙岩·阶段检测）与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】确定的取值范围，再比较距离得到最接近的整数，运用算术平方根的大小比较性质求解． 【详解】解：∵ ， ，， ∵ ， ∴ 更接近． 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算数平方根的估算， 根据圆的面积公式求出，即可得出答案 【详解】解：设圆的半径是r， 根据题意得， 解得. ∵， ∴r在之间. 故选：C 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2) ，， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2）略 【基础题型七 求算术平方根的整数部分和小数部分】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 【例2】（2026·重庆·二模）若，为整数，且满足，，则________． 【答案】 【分析】先通过估算无理数的范围，确定整数的值，再根据求出整数，结合二次根式有意义的条件舍去不符合题意的，最后代入计算得到结果． 【详解】解：， ． 又为整数，且满足， ， 把代入得， ． 当时， ，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 先确定的整数部分m和小数部分n，然后计算的值． 【详解】解：∵  ， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川巴中·期末）在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，一元一次方程的应用；根据加密规则，对每个加密数字反向推算明文数字，再转换为字母即可． 【详解】解：∵，，……，， ∴，且为整数， ∴， ∵为的整数部分， ∴，且为整数， ∴， ∴， 当加密数字为34时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是3，符合题意， ∴加密数字34对应的明文数字为13，对应的字母为M， 当加密数字为10时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是1，符合题意， ∴加密数字10对应的明文数字为1，对应的字母为A， 当加密数字为44时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是4，符合题意， ∴加密数字44对应的明文数字为20，对应的字母为T， 当加密数字为24时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是2，符合题意， ∴加密数字24对应的明文数字为8，对应的字母为H， 综上：明文字母按序组成的单词为． 故答案为：． 3．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的取值范围即可； （2）仿照示例作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵m是的整数部分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6， 所以可以取，则， 则． 【基础题型八 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 【例2】（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 【答案】20 【分析】本题主要考查与算术平方根有关的规律问题，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， ...， ∴第n行最后一个数为， ∵第28行最后一个数为， ∴第28行从左至右第22个数是． 故答案为：20． 1．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第8行共有个数，末尾数为， ∴第8行11个数也为倒数第6个数，即． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列各式： ，②，…… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1) ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律题，发现出规律是解题的关键． （1）根据给定的式子发现出规律即可得解； （2）总结规律得：，再结合求解即可． 【详解】（1）解：∵， ②， …… ∴根据此规律得：， 故答案为： （2）总结规律得：， ∴原式 ． 【基础题型九 算术平方根的实际应用】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）用张边长为的正方形硬纸片，拼成一个更大的正方形，在下面四个数中，的值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先说明的值为完全平方数，然后逐个判断即可． 【详解】解：拼成大正方形时，每行与每列的小正方形个数相等，故总个数为完全平方数． ∵ ，，，均为完全平方数，不是完全平方数， ∴ 的值不可能是99． 【例2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）我们日常使用的A型打印纸，设计时严格遵循长宽比值为的标准，保证纸张对折后长、宽比例保持不变，方便裁切与使用．已知某A型纸张的宽为，若其长与宽的比值为，则该纸张的长约为________（结果保留整数）． 【答案】297 【分析】根据题意，长与宽的比值为，已知宽的长度，可通过比例关系计算长的近似值，最后按要求保留整数即可． 【详解】解：设该纸张的长为． 由题意得：， 变形得：， 将代入得：， 根据四舍五入保留整数得． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：， ，即，故①错误； ，， ，故②错误； ， ，即， 正整数有，，，，共个，故③正确； 由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确； 2．（2026·江西上饶·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2s (2)正确，理由见解析 (3)90J，启示：严禁高空抛物． 【分析】(1) 本题考查算术平方根的实际应用，直接将代入公式计算即可． (2) 通过计算时的下落时间，与(1)中结果比较即可判断． (3) 先由求出下落高度，再代入能量公式计算． 【详解】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s． （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍． （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物． 【基础题型十 平方根的应用】 【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了平方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据和是同一个正数的两个平方根，可得，求出，从而求出其中的一个平方根为，可得这个正数为． 【详解】解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得：， ， 这个正数为． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若正方形的面积与长为6，宽为3的矩形面积相等，则该正方形的边长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， ∴（负值已舍去） 故选C． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 2．（25-26七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是____________． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根是和 ∴， ， 即这个正数的两个平方根是， ∴这个正数是， 故答案为：4． 3．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度． 【答案】米/秒 【分析】根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知千克，焦耳， ，               解得或（负数舍去）．      答：该学生的跑步速度是米/秒． 【提高题型一 平方根中的几何问题】 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题． 【详解】解：分割图形如下： ∵正方形的面积为， 故这个正方形的边长是：． 【例2】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，在方格中每个小正方形的边长都为1，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长为________． 【答案】 【分析】通过割补法计算阴影部分面积，根据正方形面积公式求边长，即可求解． 【详解】解：观察图形可知，阴影部分由上方的矩形和下方的梯形组成， 上方长方形长为2，宽为2， ∴上方长方形面积为， 下方梯形上底为2，下底为4，高为2， ∴下方梯形面积为， ∴阴影部分总面积为， 设新拼成的正方形边长为， ∵新正方形面积等于阴影部分面积 ， ∴， ∵， ∴， 新正方形的边长为． 1．（25-26七年级下·青海西宁·期末）如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，空白部分小正方形的面积为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，大正方形的边长为长方形的长和宽的和， ∴， ∵， ∴. 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______． 【答案】 【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为． ∴大正方形的边长是． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 【提高题型二 平方根的规律探究问题拓展】 【例1】（2026·云南临沧·一模）一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母部分均为，即可得到答案． 【详解】解：∵第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ... ∴第个式子为． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式为：；第二个等式为：；第三个等式为：；…根据等式所反映的规律，写出第四个等式为____________________． 【答案】 【分析】观察已知等式，总结等式的变化规律，推导得到第个等式的一般形式，再将代入即可得到第四个等式． 【详解】解：观察已知等式可得： 第个等式为，为正整数， ∴当时，，， 代入得第四个等式为：． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【答案】C 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索题，先根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）观察表格 a 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 1．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．表示16的平方根，等于 B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是1 D．没有平方根 【答案】D 【详解】解：A、∵是16的算术平方根，∴，A错误； B、∵2的算术平方根是，∴B错误； C、1的平方根是，C错误； D、∵是负数，∴没有平方根，D正确． 2．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）若用a、b表示的整数部分和小数部分，则a、b可表示为（ ） A．4和 B．3和 C．2和 D．5和 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键．根据被开方数越大算术平方根越大，可得，可得答案． 【详解】解：因为， 所以， 所以的整数部分， 所以， 所以选：A． 3．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，故①错误． ②∵，∴，故②正确． ③∵没有平方根，∴，解得，故③正确． ④由题意得且，∴，代入得，∴，其算术平方根为，故④错误． ⑤∵，∴，，解得，，∴，故⑤错误． 综上，正确的有个． 4．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 5．（25-26七年级下·河南商丘·期末）利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 【详解】解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 6．（25-26七年级下·北京·期末）的算术平方根为______． 【答案】 【详解】解：的算术平方根为． 7．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）一个正数的两个平方根为和，则这个正数是___________． 【答案】25 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ∴ ∴ ∴ ∴这个正数是25． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于________． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的值． 本题考查了算术平方根和完全平方式的非负性，掌握非负数的性质并能准确求解字母的值是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ； ∴ ． 故答案为：1． 9．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）已知的整数部分是，小数部分是，则______，______． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 10．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）小海和乐乐在运用计算器求与（其中、是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么和的数量关系是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据题意可知，则，计算即可得到答案． 【详解】根据题意可知，可得 ． 变形，得 ． 故答案为： 11．（25-26七年级下·江西南昌·期中）若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据非负数的性质即可求解； （）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）已知正数m的两个不同的平方根分别是和，求a和m的值． 【答案】a的值为4，m的值为49 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而求出m的值即可． 【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴． ∴a的值为4，m的值为49． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 13．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的． 因为， 所以， ， ，，所以． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 【答案】错在由得这一步 【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步． 【详解】解：错在由得这一步， 显然，， 所以． 【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误． 14．（25-26七年级下·广东韶关·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2， (2)2， (3) 【分析】本题考查无理数整数部分相关计算： （1）利用放缩法求出无理数的取值范围，可得整数部分，无理数减去整数部分即为小数部分； （2）先求出的取值范围，可得整数部分，减去整数部分即为小数部分； （3）同（2），求出整数部分和小数部分，代入求值即可． 【详解】（1）解：， 的整数部分是2，小数部分是； 故答案为：2，； （2）解：， ， 的整数部分是2，小数部分是； 故答案为：2，． （3）， 而整数部分是，小数部分是， ，， ． 15．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能放进去．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体的高， ∴能放进去． 【分析】本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）设这个魔方底面圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）根据算术平方根的估算比较直径与正方形边长的大小关系，再比较圆柱的高和长方体的高，即可判断得解． 【详解】（1）解：设这个魔方底面圆的半径为， 由题意，得， ∴， ∴， ∴这个魔方底面圆的半径； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根重难点题型专训（2个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、平方根概念理解 1 题型二、求一个数的算术平方根 2 题型三、求一个数的平方根 3 题型四、已知一个数的平方根，求这个数 4 题型五、利用算术平方根的非负性解题 5 题型六、估计算术平方根的取值范围 6 题型七、求算术平方根的整数部分和小数部分 7 题型八、与算术平方根有关的规律探索题 8 题型九、算术平方根的实际应用 9 题型十、平方根的应用 10 第二部分·练提高题型 题型一、平方根中的几何问题 1 题型二、平方根的规律探究问题拓展 2 第三部分・自我检测 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列说法中正确的是（   ） A．任何数的平方根有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．只有正数才有平方根 D．不是正数，没有平方根 2．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______． 知识点02 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）在数，0，，，，中，有算术平方根的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____． 【基础题型一 平方根概念理解】 【例1】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 【例2】（26-27七年级上·杭州·阶段检测）16的平方根是_________． 1．（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若一个实数的两个平方根分别为和，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形） 【基础题型二 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）计算：_______． 1．（25-26七年级下·四川南充·期中）下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）在如图所示的数值转换器中．当输入的值为16时，输出的数是________． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型三 求一个数的平方根】 【例1】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【例2】（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）16的平方根是__________，5的算术平方根是__________． 1．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【基础题型四 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）已知的平方根是，则的值为_____． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（    ） A． B．5 C．5或 D．或 2．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）运动员射击时，枪弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为枪弹的加速度，为枪筒的长． (1)某款运动射击枪的枪弹的加速度，枪筒的长，求该射击枪枪弹射出枪口时的速度． (2)某款运动射击枪的枪弹的加速度，若射击枪枪弹射出枪口时的速度，求该款运动射击枪的枪筒的长． 【基础题型五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（2026七年级上·甘肃天水·模拟预测）已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【例2】（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）代数式的最小值为____． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【基础题型六 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·福建龙岩·阶段检测）与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是________． 1．（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【基础题型七 求算术平方根的整数部分和小数部分】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·重庆·二模）若，为整数，且满足，，则________． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26八年级上·四川巴中·期末）在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 3．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【基础题型八 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 1．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列各式： ，②，…… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1) ； (2)计算． 【基础题型九 算术平方根的实际应用】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）用张边长为的正方形硬纸片，拼成一个更大的正方形，在下面四个数中，的值不可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）我们日常使用的A型打印纸，设计时严格遵循长宽比值为的标准，保证纸张对折后长、宽比例保持不变，方便裁切与使用．已知某A型纸张的宽为，若其长与宽的比值为，则该纸张的长约为________（结果保留整数）． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 2．（2026·江西上饶·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【基础题型十 平方根的应用】 【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．9 C．16 D．25 【例2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若正方形的面积与长为6，宽为3的矩形面积相等，则该正方形的边长为（    ） A．3 B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是____________． 3．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度．           【提高题型一 平方根中的几何问题】 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，在方格中每个小正方形的边长都为1，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长为________． 1．（25-26七年级下·青海西宁·期末）如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【提高题型二 平方根的规律探究问题拓展】 【例1】（2026·云南临沧·一模）一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式为：；第二个等式为：；第三个等式为：；…根据等式所反映的规律，写出第四个等式为____________________． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）观察表格 a 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则_______． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 1．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．表示16的平方根，等于 B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是1 D．没有平方根 2．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）若用a、b表示的整数部分和小数部分，则a、b可表示为（ ） A．4和 B．3和 C．2和 D．5和 3．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 5．（25-26七年级下·河南商丘·期末）利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京·期末）的算术平方根为______． 7．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）一个正数的两个平方根为和，则这个正数是___________． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于________． 9．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）已知的整数部分是，小数部分是，则______，______． 10．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）小海和乐乐在运用计算器求与（其中、是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么和的数量关系是_________． 11．（25-26七年级下·江西南昌·期中）若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）已知正数m的两个不同的平方根分别是和，求a和m的值． 13．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的． 因为， 所以， ， ，，所以． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 14．（25-26七年级下·广东韶关·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． 15．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $