专题02 认识实数及运算难点题型专训（2个知识点+10大题型+自我检测）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 从有理数到实数及实数运算重难点题型专训（2个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、无理数 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、无理数整数部分的有关计算 3 题型四、实数概念理解 4 题型五、实数的分类 5 题型六、实数的性质 6 题型七、实数与数轴 7 题型八、实数的大小比较 8 题型九、实数的混合运算 9 题型十、实数运算的实际应用 10 第二部分·练提高题型 题型一、无理数估算综合问题 1 题型二、实数的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义解答，即有理数包含整数和分数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数，开方开不尽，为无限不循环小数，属于无理数，和都是整数，属于有理数． 2．（25-26去年级上·浙江衢州·期中）在，，，0，（相邻两个5之间依次多一个4），，中，无理数有______个 【答案】 【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：无理数为，0.454454445……（相邻两个5之间依次多一个4），，，共有个， 故答案为：． 知识点02 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（2026·浙江·二模）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中可能表示有理数，也可能表示无理数，∴A错误． ∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴B错误． ∵0是整数，整数属于有理数，∴C正确． 属于开方开不尽的无理数，∴D错误． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）把下列各数分别填入相应的横线上（填序号）： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 整数： ； 分数： ； 无理数： ． 【答案】①⑤；②③；④⑥ 【分析】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据整数，分数，无理数定义进行判断． 【详解】解：整数：，； 分数：，； 无理数：，． 故答案为：①⑤；②③；④⑥． 【基础题型一 无理数】 【例1】（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 【答案】D 【分析】根据无理数的定义逐项进行判断． 【详解】解：A. 无限小数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； B. 带根号的数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； C. 无理数的平方不一定是有理数，例如，该选项说法错误； D. 无理数一定是无限不循环小数，该选项说法正确． 【例2】（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数中是无理数的是______． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的每个实数逐一判断，即可得到结果． 【详解】解：是分数，分数属于有理数， 是有限小数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 开立方开不尽，是无限不循环小数，无理数． 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，逐个判断选项中的数是否为无限不循环小数． 【详解】解：A、是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、，是正整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、属于无理数，故本选项符合题意； D、是有限小数，属于分数，是有理数，故本选项不符合题意； 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）有一个数值转换器，设计流程如图： 当输入的值为_____时，该程序无法输出值 【答案】负数或0或1 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：∵负数没有算术平方根， ∴不能输出； 当输入时，算术平方根为0，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出； 当输入时，算术平方根为1，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出； 综上，当输入的值为负数或0或1时，该程序无法输出值 故答案为：负数或0或1． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小丽发现：是无理数，是无理数，是无理数．于是她猜想：两个无理数的和一定还是无理数．你认为她的猜想正确吗？为什么？ 【答案】不正确. ∵ 是无理数，是无理数， ，0是有理数， ∴ 存在两个无理数的和为有理数， ∴ 小丽的猜想不成立． 【分析】根据无理数的概念进行判断即可． 【详解】略 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）下面四个数中，最接近整数5的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整数5转化为，先通过被开方数与25的差初步筛选选项，再精确比较剩余两数与5的差的大小． 【详解】解：∵， ∵，，，． ∴排除A，B选项． ∵． ∴，即． ∵． ∴，即． ∴更接近整数5． 【例2】（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先确定的取值范围，再推导的范围，结合条件得到正整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∵ 为正整数，且满足， ∴ ． 1．（26-27七年级上·浙江舟山·阶段检测）我们可以用有理数估计一个无理数的大致范围，请估计67的立方根的大小在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】由，且，由此得到67在4的立方和5的立方之间，从而求得答案． 【详解】解：∵，且， ∴，即67的立方根的大小在4和5之间． 2．（25-26七年级下·河南安阳·期末）写出一个比大且比小的整数为_________．（写一个即可） 【答案】1（或2） 【分析】先估算的取值范围，再根据范围找出符合条件的整数即可． 【详解】解：，， ， ，即， 可得， 比大且比小的整数为或，任写一个即可（答案不唯一）． 3．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 【答案】(1) (2)；137 (3)183和184 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得求解即可； （3）根据，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴整数n值为183和184． 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的小数部分是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的估算，解决此题的关键是熟练掌握一个数的平方根；先根据估算得到的整数部分，再用减去整数部分即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如果的整数部分为，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键． 由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分． 故答案为：3． 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键． 首先根据点在数轴上的位置确定其整数部分和小数部分，然后再分别对各个选项进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，点在4和5之间。因为其整数部分为，小数部分为，所以， 又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么，即是点所表示的数减去4，所以是一个大于0小于1的无理数． A：由前面可知是有理数，是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误； B：已知，那么，所以是错误的，故该选项错误； C：因为，，那么，所以，故该选项错误； D：因为，，那么，故该选项正确； 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 估算和的整数部分，通过比较相邻平方数确定和的值，最后代入，进行计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分； ∵ ，即， ∴ 的整数部分； 则． 故答案为：． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为 (2) 【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案； （2）利用例题结合，，可求得a与b的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， 的整数部分为，的小数部分为． （2）解：，， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根为． 【基础题型四 实数概念理解】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有_____个． 【答案】1 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数的是π， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数． 1．（2026·吉林·模拟预测）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 【详解】解：实数a与2024互为相反数， a的值为， 故选：D 2．（25-26八年级上·广东清远·期中）若，则  ______． 【答案】2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 、 的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出 ， 的值是解题关键． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在“有理数及其运算”一章中曾把整数和分数统称为有理数．学习了本章后，你对有理数的概念有哪些新的认识？请将你的认识写成一篇小短文． 【答案】学习实数后对有理数概念的新认识： 在“有理数及其运算”的入门学习里，我最初只简单记住了“整数和分数统称为有理数”的定义，把有理数当成一类可以直接写出明确整分形式的数．但学完实数章节后，我对有理数的概念有了更立体、更本质的全新理解： 首先是摸到了有理数的“本质内核”，跳出了最初的表层分类．以前我以为只有明明白白写成整数（比如、0、5）或者两个整数比的分数形式（比如​、）才是有理数，现在才明白有理数的核心属性是“可以表示为两个互质整数的比值（分母不为0）”．哪怕是看起来无限的数，只要它能写成这种整数比的形式，依然属于有理数——比如以前我误以为无限循环小数是“没完没了的无理数”，现在才知道、这类无限循环小数，都可以通过代数方法转化为分数，这就把有理数的边界从“有限的整、分数”拓展到了所有循环的无限小数． 其次是在整个实数大家族的参照下，看清了有理数的“位置特性”．以前我对数的认知只停留在有理数的范围里，以为数轴上的点全都是有理数，有理数是密密麻麻填满整条直线的．但引入无理数之后我才发现，有理数其实只是实数轴上的“稀疏子集”：虽然任意两个有理数之间都能找到无数个其他有理数，但它们中间还插着无穷多不能表示为整数比的无理数，比如边长为1的正方形的对角线长度、圆周率这些，有理数和无理数互相交织，才把整条数轴完全填满． 最后我也重新理解了有理数的运算属性．以前我只知道有理数做加减乘除（除数不为0）结果还是有理数，现在才明白这种“封闭性”是有理数集非常关键的特点：哪怕你做有限次的四则运算，永远都跳不出有理数的范围，只有引入开方、取特定常数这类新运算，才会跨进无理数的领域．而且有理数的稠密性、有序感，也让它成为我们理解更复杂的实数、甚至后续虚数的基础——我们日常计量用到的几乎所有数值，比如称重、测距的结果，本质上都是用有理数近似得到的，它既是我们认识数的起点，也是连接抽象数学和现实应用的重要桥梁．这次对有理数的重新认知，也让我意识到数学概念从来不是固定不变的标签，随着数系不断拓展，我们总能从旧概念里挖出全新的内涵． 【详解】略 【基础题型五 实数的分类】 【例1】（26-27八年级上·全国·课后作业）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0.3 D． 【答案】B 【详解】解：A、是分数，是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、0.3是有限小数，是有理数，不符合题意； D、是整数，是有理数，不符合题意． 【例2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）在实数3.1415926，，0，，，，，0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）中，无理数的个数是________． 【答案】3 【分析】本题主要考查无理数，无理数是指无限不循环小数．根据每个实数的性质，逐一判断是否为无理数． 【详解】解：3.1415926是有限小数，属于有理数； 为无理数； 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 中100的立方根不是整数，也不是分数，属于无理数； 0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）是无限不循环小数，属于无理数． 因此，无理数有、和0.1010010001…，共3个． 故答案为：3． 1．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 2．（25-26七年级上·四川眉山·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，1， 正数集合{________________}； 负分数集合{________________}； 非负整数集合{________________}． 【答案】 1， 1， 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握各类数的定义是解题的关键． 根据实数的分类进行判断即可． 【详解】解：正数：1，； 负分数：； 非负整数：1，． 故答案为：1，；；1，． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 【答案】无理数家族：，，；有理数家族：，，；整数：，；分数： 【分析】本题考查了实数，熟记实数的分类是解题的关键．根据实数的分类解答即可． 【详解】解：， 无理数家族：，，； 有理数家族：，，； 整数：，； 分数：． 【基础题型六 实数的性质】 【例1】（2022·湖南长沙·模拟预测）实数3的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：实数的相反数是. 【例2】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）的绝对值是_____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，计算即可得到结果． 【详解】解：． 1．（25-26七年级下·河北唐山·期中）化简：（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 3．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据实数的性质移项可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意，移项得， ，都是有理数， 也是有理数， 是无理数， ， ， ， 的平方根是． 【基础题型七 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（     ） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定点P的取值范围，再估算各选项数值的大小即可判断． 【详解】解：由图可知，点P在1和2之间，即， A、，故本选项不合题意； B、由可得，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、由得，故本选项不合题意． 【例2】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围． 由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数． 【详解】解：∵，， ∴数轴上介于和之间的整数有、、、， ∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个． 1．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】先根据无理数的估算可得，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知，点所表示的数与最接近． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 【答案】 【详解】解：∵点从原点滚动到点， ∴， ∴点对应的数为， ∴点对应的数的相反数是． 3．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】详见解析， 【分析】先计算算术平方根，估算无理数的大小，再在数轴上标出表示下列各数的点，根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，则 如图所示： 上述各数大小关系为： 【基础题型八 实数的大小比较】 【例1】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四个选项中是最大的数． 【例2】（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 【答案】 【分析】先根据正负性判断，负数小于0和正数，再比较两个负数的大小，利用“绝对值大的负数反而小”得到结果. 【详解】解：对给出的数按正负分类：负数为，；非负数为，，； ∵负数小于所有非负数， ∴最小的数一定在和中； ∵，，， ∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 因此最小的数是. 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）实数，，，中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本利用实数比较大小的法则，正数大于0，0大于负数，两个正数（含无理数）比较，可通过平方后比较大小得到结果. 【详解】解：∵ 是负数，小于所有正数和0，∴ 排除D选项， ∵  ，， ∵ ， ∴ ， ∴ 四个数中最大的数是 . 2．（2026·北京西城·二模）若是一个大于2且小于3的无理数，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先计算2和3的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是无理数，且， ∴的值可以是（答案不唯一）． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握平方法比较正数大小和负数比较大小的规则是解题的关键． （1） 两个正数比较大小，可通过平方法，平方值大的原数更大．分别计算两数的平方，比较平方结果即可； （2） 两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，用平方法比较绝对值的大小，再根据负数比较规则判断原数大小． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，， ， ． 【基础题型九 实数的混合运算】 【例1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义和绝对值的定义可得：原式，再根据有理数的加法法则计算． 【详解】解：． 【例2】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的性质、算术平方根的性质以及同类二次根式的合并，分别计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：A：∵负数的立方根是负数，且，∴，A错误； B：∵，∴，B错误； C：合并同类二次根式得，C错误； D：根据立方根的性质，可得，D正确． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知有理数a，b满足，则_____． 【答案】 【分析】先将该等式整理，按照有理数和无理数进行分组得到，根据有理数和无理数的和为无理数，得出是有理数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵a，b都是有理数， ∴，解得：， ∴． 3．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型十 实数运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【提高题型一 无理数估算综合问题】 【例1】（24-25七年级下·天津·期中）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数，估算无理数的值介于（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴估算无理数的值介于4和5之间． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·山东日照·期中）在学习无理数的估算时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡写的是，小颖抽到的卡写的是1，那么赢家是________．（填“小丽”或“小颖”） 【答案】小颖 【分析】用作差法比较大小即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ， 赢家是小颖． 1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间．例如，因为，即，所以，的整数部分是． 素材2：国际标准的系列长方形纸张（常用于信封）遵循长宽比为的规则．假设某定制纸的面积为．每降低一个号数（如从到），是将上一号纸张沿长边对折而成，面积减半．参考数据：，，． 【问题】 (1)设纸（由对折一次得到）的宽为． ①求纸的面积； ②求纸宽的整数部分． (2)请估算纸的宽（单位：）介于哪两个相邻整数之间？ 【答案】(1)①；② (2)介于和两个相邻整数之间 【分析】（1）①根据纸由对折一次得到可知，即可求解；②设纸的宽为，则长为，利用面积列方程求解即可； （2）设纸的宽为 ，长为 ，已知面积为，列方程求解即可. 【详解】（1）①解：∵从到，共对折了次， ∴； ②解：设纸的宽为，则长为， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 结论：纸宽的整数部分是； （2）解：设纸的宽为 ，长为 ，已知面积为， ， 即：， ， ∴， ， ∵ ∴， 结论：纸的宽介于和两个相邻整数之间. 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键． （1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分为； （2）解：， ， ∴， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目信息，找出前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可； （）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可； 本题考查了无理数的估算，解题的关键是读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【提高题型二 实数的规律探究问题】 【例1】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）阅读下列材料： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，属于基础题，注意掌握“夹逼法”的运用及二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据，，得出，，然后再进行计算即可． 【详解】解：，， ，， ． 【例2】（25-26七年级下·广东东莞·期中）（1）填表 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 0.001 　　 0.1 　　 　　 100 （2）利用如表中的规律，解决下列问题： ①已知，　　； ②已知，，则的值为　　． （3）当时，比较和的大小． 【答案】（1）0.01；1；10（2）①14.14；②3240000（3）当时，；当或时，；当时， 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用表格中的规律解答即可； （3）利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】解：（1），，； （2）①， ； ②， ，即 ，即， ， ； （3）当时，，从而； 当或时，； 当时，，从而． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，实数大小的比较，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 2．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）（1）填表： a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.001 0.1 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题： 已知=1800，，则a的值为 ； （3）当a≥0时，比较和a的大小． 【答案】（1）0.01，1，10；（2）3240000；（3）当时，；当时，；当或时， 【分析】（1）根据算术平方根的意义填表即可； （2）根据表格得出规律，再利用得出的规律求出a的值即可； （3）分类讨论a的范围，比较大小即可． 【详解】解：（1）填表如下： a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.001 0.01 0.1 1 10 100 … 故答案为0.01，1，10； （2）观察表格可得规律：当被开方数a的小数点向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位； =1800，， 即从18到1800小数点向右移动2位，则a的小数点向右移动了4位 a=3240000 故答案为：3240000； （3）根据题意得：当时，； 当时，； 当或时， 【点睛】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解题的关键． 3．（25-26七年级下·广东汕尾·期末）我们知道，无理数就是无限不循环小数．例如，就是无理数，所以的小数部分是不可能全部写出来的．但我们可以用来表示的小数部分．再如，是无理数，因为，即，所以的整数部分为2，的小数部分为．请你观察上面规律后解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （3）已知，其中是x整数，且，求的相反数． 【答案】（1）3，；（2）；（3）． 【分析】（1）利用无理数的估算求值； （2）利用无理数的估算确定a和b的值，然后代入求解； （3）根据无理数的估算确定x和y的值，然后求解． 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是-3， 故答案为：3；-3； （2）∵＜＜，＜＜， ∴1＜＜2，2＜＜3， ∴a=-1，b=-2， ∴ =(−1)+(−2)−8 =3-+5-2-8 =--2； （3）∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴12＜10+＜13， 又∵x是整数，且0＜y＜1， ∴x=12，y=10+-12=-2， ∴x-y=12-（-2）=14-， ∴x-y的相反数是-14． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算，掌握算术平方根的概念和实数的混合运算法则是解题关键． 1．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在，π，0，，，0.2020020002……（每两个相邻2之间依次多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：，0是整数，是分数，均为有理数， 是无限不循环小数，为无理数， 是开方开不尽的数，为无理数， 0.2020020002……（每两个相邻2之间依次多一个0）是无限不循环小数，为无理数 综上，无理数共3个． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定点P表示的数的范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点P表示的数在2和3之间， ∵， ∴， 又∵， ∴点P表示的数可能是． 5．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）写出一个比大且比小的无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，找出大小介于和之间的无理数即可． 【详解】解：将和变形为算术平方根形式，得，， 只要找被开方数大于、小于，且开方开不尽的数，就符合要求，例如，满足，且是无理数，符合题意． 7．（25-26七年级下·广西桂林·期末）实数的相反数是______． 【答案】/ 【分析】此题考查了实数的性质，相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故答案为：． 8．（26-27七年级·浙江·期中）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 9．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明． (1)无限小数都是无理数． (2)无限小数都是实数． (3)带根号的数都是无理数． (4)实数都是有理数． (5)实数都是无理数． 【答案】(1)不正确，反例：（无限循环小数） (2)正确 (3)不正确，反例： (4)不正确，反例： (5)不正确，反例：1 【分析】本题考查了实数、有理数、无理数和无限小数的概念．有理数包括整数和分数（无限循环小数），无理数是无限不循环小数，实数包括有理数和无理数．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数）．带根号的数不一定都是无理数，有些是有理数．实数包括有理数和无理数，因此不都是有理数或不都是无理数． （1）根据无限小数和无理数的概念判断即可； （2）根据无限小数和实数的概念判断即可； （3）根据无理数的概念判断即可； （4）根据实数的概念判断即可； （5）根据实数的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，不是无理数，例如是有理数， ∴说法不正确． （2）解：∵所有无限小数都是实数，因为实数包括有理数和无理数，而无限小数要么是有理数（循环），要么是无理数（不循环）， ∴说法正确． （3）解：∵带根号的数不一定都是无理数，例如，2是有理数， ∴说法不正确． （4）解：∵实数包括有理数和无理数，例如π是无理数，也是实数，但π不是有理数， ∴说法不正确． （5）解：∵实数包括有理数和无理数，例如1是有理数，也是实数，但1不是无理数， ∴说法不正确． 12．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 13．（25-26七年级下·湖南·阶段检测）阅读下面求近似值的方法，回答问题： 第1步：任取正数； 第2步：令，则； 第3步：令，则； … 以此类推，得到． 其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值． 仿照上述方法，求的近似值．取，则： (1)_____． (2)求的三阶不足近似值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给公式求解即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由（1）得， ∴， ∴的三阶不足近似值为． 14．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 15．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)正方形的边长为，的长在2和3之间 (2) 【分析】（1）根据正方形面积求出边长，进而求出结论； （2）根据实数与数轴上的点的关系得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， ， ， 的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，， 则点在数轴上表示的数为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 从有理数到实数及实数运算重难点题型专训（2个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、无理数 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、无理数整数部分的有关计算 3 题型四、实数概念理解 4 题型五、实数的分类 5 题型六、实数的性质 6 题型七、实数与数轴 7 题型八、实数的大小比较 8 题型九、实数的混合运算 9 题型十、实数运算的实际应用 10 第二部分·练提高题型 题型一、无理数估算综合问题 1 题型二、实数的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．（25-26去年级上·浙江衢州·期中）在，，，0，（相邻两个5之间依次多一个4），，中，无理数有______个 知识点02 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（2026·浙江·二模）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）把下列各数分别填入相应的横线上（填序号）： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 整数： ； 分数： ； 无理数： ． 【基础题型一 无理数】 【例1】（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 【例2】（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数中是无理数的是______． 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）有一个数值转换器，设计流程如图： 当输入的值为_____时，该程序无法输出值 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小丽发现：是无理数，是无理数，是无理数．于是她猜想：两个无理数的和一定还是无理数．你认为她的猜想正确吗？为什么？ 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）下面四个数中，最接近整数5的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若n为正整数，且满足，则________． 1．（26-27七年级上·浙江舟山·阶段检测）我们可以用有理数估计一个无理数的大致范围，请估计67的立方根的大小在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（25-26七年级下·河南安阳·期末）写出一个比大且比小的整数为_________．（写一个即可） 3．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的小数部分是（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如果的整数部分为，则的值为_____． 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根． 【基础题型四 实数概念理解】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有_____个． 1．（2026·吉林·模拟预测）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 2．（25-26八年级上·广东清远·期中）若，则  ______． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在“有理数及其运算”一章中曾把整数和分数统称为有理数．学习了本章后，你对有理数的概念有哪些新的认识？请将你的认识写成一篇小短文． 【基础题型五 实数的分类】 【例1】（26-27八年级上·全国·课后作业）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0.3 D． 【例2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）在实数3.1415926，，0，，，，，0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）中，无理数的个数是________． 1．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·四川眉山·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，1， 正数集合{________________}； 负分数集合{________________}； 非负整数集合{________________}． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 【基础题型六 实数的性质】 【例1】（2022·湖南长沙·模拟预测）实数3的相反数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）的绝对值是_____________． 1．（25-26七年级下·河北唐山·期中）化简：（   ） A． B． C． D．5 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 3．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【基础题型七 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（     ） A．π B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 1．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 3．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【基础题型八 实数的大小比较】 【例1】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）实数，，，中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京西城·二模）若是一个大于2且小于3的无理数，则的值可以是________．（写出一个即可） 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【基础题型九 实数的混合运算】 【例1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）计算：______． 1．（25-26七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知有理数a，b满足，则_____． 3．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）计算． (1)； (2)． 【基础题型十 实数运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【提高题型一 无理数估算综合问题】 【例1】（24-25七年级下·天津·期中）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数，估算无理数的值介于（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【例2】（25-26七年级下·山东日照·期中）在学习无理数的估算时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡写的是，小颖抽到的卡写的是1，那么赢家是________．（填“小丽”或“小颖”） 1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间．例如，因为，即，所以，的整数部分是． 素材2：国际标准的系列长方形纸张（常用于信封）遵循长宽比为的规则．假设某定制纸的面积为．每降低一个号数（如从到），是将上一号纸张沿长边对折而成，面积减半．参考数据：，，． 【问题】 (1)设纸（由对折一次得到）的宽为． ①求纸的面积； ②求纸宽的整数部分． (2)请估算纸的宽（单位：）介于哪两个相邻整数之间？ 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 【提高题型二 实数的规律探究问题】 【例1】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）阅读下列材料： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【例2】（25-26七年级下·广东东莞·期中）（1）填表 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 0.001 　　 0.1 　　 　　 100 （2）利用如表中的规律，解决下列问题： ①已知，　　； ②已知，，则的值为　　． （3）当时，比较和的大小． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 2．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）（1）填表： a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.001 0.1 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题： 已知=1800，，则a的值为 ； （3）当a≥0时，比较和a的大小． 3．（25-26七年级下·广东汕尾·期末）我们知道，无理数就是无限不循环小数．例如，就是无理数，所以的小数部分是不可能全部写出来的．但我们可以用来表示的小数部分．再如，是无理数，因为，即，所以的整数部分为2，的小数部分为．请你观察上面规律后解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （3）已知，其中是x整数，且，求的相反数． 1．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在，π，0，，，0.2020020002……（每两个相邻2之间依次多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 6．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）写出一个比大且比小的无理数______． 7．（25-26七年级下·广西桂林·期末）实数的相反数是______． 8．（26-27七年级·浙江·期中）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 9．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明． (1)无限小数都是无理数． (2)无限小数都是实数． (3)带根号的数都是无理数． (4)实数都是有理数． (5)实数都是无理数． 12．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 13．（25-26七年级下·湖南·阶段检测）阅读下面求近似值的方法，回答问题： 第1步：任取正数； 第2步：令，则； 第3步：令，则； … 以此类推，得到． 其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值． 仿照上述方法，求的近似值．取，则： (1)_____． (2)求的三阶不足近似值． 14．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 15．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $