专题2.4二元一次方程组的应用重难点题型专训（6个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题2.4 二元一次方程组的应用重难点题型专训 （6个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 根据几何图形列二元一次方程组 题型二 根据实际问题列二元一次方程组 题型三 分配问题 (二元一次方程组的应用) 题型四 图表信息题 (二元一次方程组的应用) 题型五 行程问题 (二元一次方程组的应用) 题型六 工程问题 (二元一次方程组的应用) 题型七 几何问题 (二元一次方程组的应用) 题型八 方案问题 (二元一次方程组的应用) 题型九 数字问题 (二元一次方程组的应用) 题型十 年龄问题 (二元一次方程组的应用) 题型十一 销售、利润问题 (二元一次方程组的应用) 题型十二 和差倍分问题 (二元一次方程组的应用) 题型十三 古代问题 (二元一次方程组的应用) 题型十四 其他问题 (二元一次方程组的应用) 拓展题型一 用二元一次方程组解决图形几何问题 拓展题型二 用二元一次方程组解决实际问题 拓展题型三 古代问题的综合应用 知识点一：列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，设宣传画的一边长为x，另一边长为y，根据等量关系列出方程组，根据矩形的周长公式即可求解，找准等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设宣传画的一边长为x，另一边长为y， 则， ， 故选：B． 2．（25-26七年级下·安徽淮南·月考）在一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每个花坛的长为，宽为，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：设每个花坛的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：， 即每个花坛的长为，宽为， ∴每个花坛面积为． 故选：B 知识点二：利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以和的利润率定价后进行销售，共获利130元，则两件服装的成本分别为（   ） A．300元，200元 B．200元，300元 C．250元，250元 D．240元，260元 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用， 设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得等量关系：①成本共500元；②共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设A服装成本为x元，B服装成本y元， 由题意得：， 解得：． 答：A服装成本为300元，B服装成本200元． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场新购进一种服装，每套服装售价1000元．若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则这套服装中上衣原来的售价是________元/件． 【答案】800 【分析】设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元． 由题意，得 解得 ∴调价前上衣的单价是800元． 故答案为：800． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 知识点三：增长率问题 ． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元．已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（   ） A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出方程组是解题的关键. 设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元，根据题意列方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 根据题意列方程组得：， 解得：， 调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 故选：C. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 【答案】 去年的总收入为x万元 去年的总支出为y万元 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故答案为：去年的总收入为x万元，去年的总支出为y万元 知识点四：数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 【答案】B 【分析】根据已知条件，先通过数字关系列出关于、的方程组，再求解方程组得到、的值，从而确定原来的两位数． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据两位数的数字关系列出方程组并熟练求解是解题的关键． 【详解】解：∵十位数字为，个位数字为，且十位数字与个位数字之和为， ∴． ∵原来的两位数为，新的两位数为，新的两位数比原来的两位数大， ∴，化简得，即． 联立方程组，将两式相加，，得，解得． 把代入，得． ∴原来的两位数是， 故选：B ． 2．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是______． 【答案】26 【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为一位正整数，即可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意得：， ∴. 又∵x,y均为一位正整数， ∴， ∴， 即出门时看到的步数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 知识点五：行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据速度时间路程，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚去距县城的景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，小刚步行的速度为，则小刚乘车的路程为______，步行的路程为______． 【答案】 27 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设小刚乘车路程为千米，步行路程千米，根据题意可得等量关系：①步行路程＋乘车路程＝28千米；②汽车行驶千米时间＋步行千米的时间＝1小时，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设小刚乘车路程为千米，步行路程千米， 由题意得：， 解得：． 故答案为：27，1． 知识点六：工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 2．（2020八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 【经典例题一 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（22-23七年级下·福建漳州·期中）将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的一个大的长方形，或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽，若设小长方形的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的对边相等及正方形的邻边相等，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】依题意，得：． 整理得： 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程：________（填写一个）． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积，据此即可列方程． 【详解】解：正方形的面积为， 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积， ∴， 故答案：． 1．（24-25七年级下·山西临汾·月考）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形列出相关代数式并得到等量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即；大长方形的宽为，再根据长方形的周长公式可得即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即； 由图形可知：大长方形的宽为，则大长方形的周长为， 综上所述，可列方程组． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：与互补， ， ， ∴，解得：． 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，结合黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块， 由题意得． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·北京海淀·开学考试）若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可； （2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中与和的关系列方程组解答即可． 【详解】（1）设这个角为，它的垂角为， 根据题意，得， 解得：， 故这个角的度数为； （2）的度数为：或或， 理由如下：分两种情况： 在的内部时，   ， 解得或， ∴或； ②在外部时，   ， 解得或， ∴或（舍去）， 故的度数为：或或． 【点睛】题目主要考查角的计算及二元一次方程组的应用，理解题意，作出图形，根据图形列出方程组是解题关键． 【经典例题二 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某班同学去植树，若每人植4棵树，则余37棵；若每人植6棵树，则最后一人少植1棵，设该班有x人，y棵树，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据每人植4棵树时余37棵，可得；根据每人植6棵树时最后一人少植1棵，可得，据此列出方程组即可． 【详解】解：设该班有x人，y棵树， 由题意得，即， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）周末，某小组6名同学观看了电影《哪吒之魔童降世》，其中2人买了票，4人买了普通票，总计用了332元．已知每张票比普通票售价多16元，设每张票的售价为x元，每张普通票的售价为y元．根据题意，可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程组． 设每张VIP票的售价为x元，每张普通票的售价为y元，根据购票方式和两种票的数量关系，列出方程组即可． 【详解】解：设每张VIP票的售价为x元，每张普通票的售价为y元，根据题意得， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球，由题意知初二龚老师在一次比赛中14投10中得19分．若他投中了2个三分球，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球， 由题意得：， 故选：C． 2．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知将一种浓度为的农药稀释到时，治虫最有效．若设用x千克浓度为的农药加水y千克，才能配成的农药800千克，则依题意所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系是解方程问题的关键． 根据稀释后农药质量为800千克及农药的质量不变即可列出方程组． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·期末）A地急需从B地运100吨物资到A地，B地决定用大、小货车共20辆去完成运输任务．若大货车每辆运6吨物资，小货车每辆运2吨物资，且大、小货车均满载，则大货车、小货车各需多少辆？若设需大货车x辆，需小货车y辆，则根据题意可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意可得等量关系：两种货车的数量和为20，大货车运的吨数和小货车运的吨数之和为100吨；根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设需大货车x辆，需小货车y辆， 根据题意得：， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 【答案】演员的实际身高为，高跷的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设演员的实际身高为，高跷的高度为，等量关系：高跷高度为表演者实际身高的一半；演员的实际身高加上高跷的高度再减去等于；据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设演员的实际身高为，高跷的高度为， 则， 解得， 答：演员的实际身高为，高跷的高度为． 【经典例题三 分配问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（23-24七年级下·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·重庆·期末）我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸， 由题意得，， 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：由题意，得． 解得． 则安排20名工人生产镜片． 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，则节火车车厢和辆汽车共装________吨化肥． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥，根据运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，可列方程组，把方程组中的两个方程相加可得：，所以可得节火车车厢和辆汽车共装吨化肥． 【详解】解：设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥， 根据题意可得：， 得：， 方程两边同时除以得：， 节火车车厢和辆汽车共装吨化肥． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【经典例题四 图表信息题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据幻方的特点列出关于x、y的方程．根据“每行、每列和对角线上的数字和都相等”列出方程组并解答． 【详解】解：根据题意，得，即， 解得． 所以． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：5 1．（22-23七年级下·河南濮阳·月考）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（     ） 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水 支出金额单位：元 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设他们买了包饼干，瓶矿泉水，利用，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均数正整数，即可出结论． 【详解】解：设他们买了包饼干，瓶矿泉水， 根据题意得：， 又，均为正整数， ， 他们买了包饼干，瓶矿泉水． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 2．（24-25七年级下·河南安阳·月考）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分，根据王林得23分和李华得19分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求解． 【详解】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分， 根据题意，得， 解得：， ∴， 即张明得分为21分， 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东淄博·月考）把9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”图①，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其x的值为___________ 【答案】 【分析】设最下面的数是y，根据题意，得，解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设最下面的数是y，根据题意，得， 解得， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【经典例题五 行程问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 【答案】5.2 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可． 【详解】解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了， 由题意，得， 解得 故汽车在坡路上行驶了． 故答案为：5.2． 1．（25-26七年级下·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，当甲比乙跑得快时， 由题意得， 解得， ∴甲每分跑圈，乙每分跑圈， 当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈； 故选：B． 3．（2025七年级下·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【经典例题六 工程问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 1．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 【详解】解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【经典例题七 几何问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期中）中国建筑中的窗格图案反映了中国传统文化和中国建筑的美学精神，小明同学利用线段的平行与交错设计出一个大长方形窗格图案（如图），图中大长方形窗格图案是由8个大小相同的小长方形，2个大小相同的平行四边形与2个大小相同的正方形拼接而成的，若大长方形的周长为，则小长方形的周长是________．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形并结合题意得出二元一次方程组，解方程组即可得出的值，从而即可得解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 解得： ， ∴小长方形的周长为 ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并能从题意中找出等式，设长方形纸片的长为，宽为，由小正方形（阴影部分）的面积是9，可得，即，由大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为，可得，即，再求解即可． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， 小正方形（阴影部分）的面积是9， ，即， 大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为， ，即， ，解得， 大长方形的面积是， 故选：C 2．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（    ） A．8 B．12 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，先根据图形列出关于的二元一次方程组，解方程组求出，再求阴影部分面积即可． 【详解】由题意得， 解得， ∴阴影部分面积是， 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为___________平方米 【答案】1080 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出方程组是解题的关键．通过设每块小长方形茶室的长和宽，依据茶园的长和宽列出正确方程组，求解出长和宽，进而算出总面积． 【详解】解：设每块小长方形茶室的长为米，宽为米．由题意得 解得 每块小长方形面积为（平方米） 五块总面积为（平方米） 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在桌面上放着A，B两个正方形，共遮住了的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，求正方形A，B的面积． 【答案】正方形A的面积为，正方形B的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 设正方形A的面积为，正方形B的面积为，根据“共遮住了的面积；正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍”，列方程组求解即可． 【详解】解：设正方形A的面积为，正方形B的面积为， 由题意，得， 解得， 答：正方形A的面积为，正方形B的面积为． 【经典例题八 方案问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·贵州遵义·期中）中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案：______（两人座和三人座各几排） 【答案】两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排） 【分析】本题主要考查二元一次方程可能的整数解，根据题意列出二元一次方程并对可能得解进行求解即可． 【详解】解：设两人座有x排，三人座有y排，则 ， 那么，可能解或． 故答案为：两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排）． 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，建立方程分析正整数解是解题的关键．设购买种图书本，种图书本，根据共购买A、B两种图书480元列方程，求二元一次方程的正整数解即可求解． 【详解】解：设购买种图书本，种图书本，根据题意，得 , ， 为正整数， ，且为偶数， 解得， ，即， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有9种购买方案． 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，小明外出时想用不超过15元来购买这两种食品，且至少购买一根火腿肠和一盒方便面，那么他可以采用的不同的购买方案有（   ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【答案】C 【分析】本题主要考考查了二元一次方程组和不等式组的应用，能根据题意列出不等式组是解此题的关键． 根据题意列出不等式组，求出不等式组的整数解即可． 【详解】设买x根火腿肠,y盒方便面, 由题意可得：,解得：，, ∵为整数， ∴买1 根火腿肠有4 种购买方案；买2根火腿肠有3 种购买方案；买3 根火腿肠有3种购买方案；买4根火腿肠有2种购买方案；买5 根火腿肠有1种购买方案；买6 根火腿肠有1种购买方案. 共有4+3+3+2+1+1=14(种). 故选 C. 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 【答案】租用4辆大巴，2辆中巴 【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题．设租用x辆大巴，y辆中巴，根据“租用车辆恰好坐满”列出方程，结合x，y均为非负整数，且得到方程的解，即可解答． 【详解】解：设租用x辆大巴，y辆中巴，根据题意，得 ， 化简得， ∵x，y均为非负整数，且， ∴， ∴租用4辆大巴，2辆中巴． 故答案为：租用4辆大巴，2辆中巴 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元． (1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？ 【答案】(1)A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元 (2)该茶叶店有2种购进方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设A，B茶叶的单价分别为元，元，根据购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元，进行列方程组，即可作答． （2）先理解题意，列式，整理得，因为、都为正整数，22与15互质，得出n的正整数取值为15、30，即可作答． 【详解】（1）解：设A，B茶叶的单价分别为元，元， 依题意，得， 解得， ∴A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； （2）解：由（1）得A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； 设购进A茶叶盒，购进B茶叶盒， ∵某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元． ∴， 整理得， ∵、都为正整数， ∴是的正倍数， 则， ∴ ∵22与15互质， 则n的正整数取值为15、30， 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； 综上：该茶叶店有2种购进方案． 【经典例题九 数字问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（    ） A．266 B．288 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设这两个数为x和y，由题意得等量关系：两数之和是36，两数之差是12，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设这两个数为x和y， 依题意得：， 解得， ∴， 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·贵州贵阳·月考）如图所示是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为___和___． 【答案】 2 9 【分析】本题主要考查了二阶幻方．熟练掌握二阶幻方图形及要求，是解决问题的关键． 设外圆周上空白圆圈内的数字为x，内圆周上空白圆圈内的数字为y，根据要求①②列方程组，解方程组即得． 【详解】设外圆周上空白圆圈内的数字为x，内圆周上空白圆圈内的数字为y， 依题意得，， 解得． 故答案为：2，9． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 2．（23-24七年级下·宁夏银川·月考）“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（    ） A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8 【答案】D 【分析】本题是一道有关探究规律的题目，侧重考查知识点的应用能力，依题意，得,再解二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 【答案】 B 45 【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法． 仿照三元一次方程组的解法求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 所以最大，最大值为45； 故答案为：，45 ． 4．（23-24九年级下·江西抚州·月考）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【答案】（1）①②③；（2），．表见解析 【分析】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）根据有理数的运算法则计算即可解决问题． （2）由幻方的性质求得，再根据题意求得，；再根据规律以及，列方程组求解即可． 【详解】解：（1）①，；①正确； ②，；②正确； ③，；③正确； ④，；④不正确； 故答案为：①②③； （2）根据题意得， ， ； ，即， ∵， ∴，解得， ∴． 填表： 4 9 8 11 7 3 6 5 10 【经典例题十 年龄问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 【例2】（23-24七年级下·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 【答案】 28 21 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【经典例题十一 销售、利润问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，3种包装的饮料每瓶各多少元（   ） A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元 B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元 C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元 D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握题目中的等量关系． 设小瓶单价为x角，大瓶为y角，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设小瓶单价为x角，大瓶为y角，根据1个中瓶比2小瓶便宜2角可知中瓶价格为角， 大、中、小各买1瓶，需9元6角， 可列方程，即得， 根据1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角， 可列方程，即， 联立后可得． 解得 即小瓶单价为1.6元，大瓶为元， ， 即1个中瓶3元， 即1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元， 故选：C 【例2】（24-25七年级下·四川泸州·月考）某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要元书店推销时甲种图书打八折，乙种图书打七五折，结果买两种图书共少用元则原来甲种图书需要______元 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设原来甲种图书需要元，乙种图书需要元，根据“原价买这两种图书共需要元，打折后买两种图书共少用元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设原来甲种图书需要元，乙种图书需要元， 根据题意得：， 解得：， ∴原来甲种图书需要元． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的部分信息，根据其中的数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（   ） 书名 数量/本 单价/（元/本） 金额/元 《假如给我三天光明》 5 50 250 《爱的教育》 ■ 30 ■ 《边城》 ■ 25 ■ 合计 30 950 A．12本，13本 B．13本，12本 C．15本，10本 D．10本，15本 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设购买《爱的教育》《边城》的数量分别为本和本，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设购买《爱的教育》《边城》的数量分别为本和本，由题意，得： ，解得：， 答：购买《爱的教育》《边城》的数量分别为本和本； 故选C． 2．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）小明恰用元买笔记本和中性笔，一个笔记本2元，一个中性笔3元（两种都要至少买一件），那么他有几种购买的方案（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． 设买笔记本个，中性笔个，且，，为正整数，依题意得，，即，然后求解作答即可． 【详解】解：设买笔记本个，中性笔个，且，，为正整数， 依题意得，， 解得，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，共有3种购买的方案， 故选：B． 3．（25-26七年级下·重庆·自主招生）某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 【答案】2000 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本，根据总本数和总花费建立方程组，求解即可． 【详解】解：设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本， 由题意得，， 解得， 即丁种练习本共买了2000本． 故答案为：2000． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）茶叶促销活动前后，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同． A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两茶叶的原价分别是多少？ (2)B茶叶打几折销售？ (3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【答案】(1)每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元 (2)七折 (3)三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶． 【分析】（1）通过设A、B茶叶原价，依据打折前的销量与销售额关系以及A茶叶打折后价格和B茶叶打折前价格的关系列方程组求解． （2）设B茶叶折扣，根据打折后的销量与销售额关系列方程求解． （3）设购买A、C茶叶的数量，依据花费金额列方程，结合正整数条件确定购买方案． 本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系并列出方程（组）是解题的关键． 【详解】（1）解：设每两A茶叶的原价为元，每两B茶叶的原价为元， 由题意，得 解得 所以每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元． （2）解：设B茶叶打折销售， 由题意，得， 解得， 所以B茶叶打七折销售． （3）解：设王阿姨购买A茶叶两，C茶叶两， 由题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以可取 所以王阿姨共有三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶． 【经典例题十二 和差倍分问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·江西吉安·期末）某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；得到关于总分的关系式是解决本题的难点．题目难度相对不大，属于基础题，注重考查同学们的基础知识，同学们平时需要多加积累基础知识，认真审题，正确解答．根据及格人数和不及格人数之和为150，及总分的关系式得到的两个关系式求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得 ， 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 【答案】 5 10 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设男生有x人，女生有y人，然后根据题意可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人，由题意得： ， 解得：， ∴男生有5人，女生有10人； 故答案为5；10． 1．（23-24七年级下·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．根据题意，设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，列出二元一次方程组，解出答案即可． 【详解】解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个， 根据题意得：， 解得： 则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个， 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 【答案】B 【解析】略 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界纪录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为______条． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 【经典例题十三 古代问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·四川巴中·期末）古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题目中的两个等量关系分别列出方程，组成方程组即可． 【详解】解：绫七尺、罗九尺，共价适等， ， 绫三尺、罗五尺共价二百八十文， ， 可列方程组为， 故选项C符合题意． 故选：C． 【例2】（2025·四川成都·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据今有5头牛、7只羊，值钱920金，设每头牛、每只羊的价格各为金，金，得，根据将牛与羊互换其中一只（头），值金相同，得，即，由此即可求解． 【详解】解：今有5头牛、7只羊，值钱920金，设每头牛、每只羊的价格各为金，金， ∴， 将牛与羊互换其中一只（头），值金相同， ∴，即， ∴方程组为， 故答案为： ． 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（    ） A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程等价于，表示乙得到甲所有钱的后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：第二个方程，等价于，即乙增加甲钱的后共有钱50， 故缺失条件为“乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”， 故选：C． 2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：若…，若…，问每头牛，每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为（　　） A．5头牛2只羊值10两；10头牛4只羊值16两 B．5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两 C．2头牛5只羊值10两；10头牛4只羊值16两 D．2头牛5只羊值10两；4头牛10只羊值16两 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据二元一次方程组找准等量关系是解题的关键． 根据方程组的结构，每个方程对应一个条件，即牛和羊的数量组合及其总金数． 【详解】解：第一个方程表示5头牛和2只羊的总价值为10两， 第二个方程表示4头牛和10只羊的总价值为16两， 故选：B． 3．（22-23七年级下·福建厦门·期末）数学典籍《九章算术》卷七中记载用“盈不足术”的思想解决以下问题： 题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 答：七人，物价五十三． 术：置所出率，盈、不足各居其下，令维乘所出率，并以为实．并盈，不足为法，实为物价，法为人数． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：买一个物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱． 则人数和物品价格分别为多少？ 答案：共有七个人，物品价格是53钱． 解法： 将该问题一般化，购买一个物品若每人出钱为，剩余；若每人出钱，不足．根据以上算法，人数为 ____________，物价为____________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据题材所给计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱，由得共有七个人，物品价格是53钱， ∴计算过程为两次出钱数作为第一行，剩余数与不足数作为第二行列出算式，再将算式维乘，左上对角相乘得左上，右上对角相乘得右上，下不变得第二个算式，再将上下合并即可． ∴， ∴人数为，物价为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组之古代问题，根据题材总结出计算方法是解题的关键． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）古代数学文化  《九章算术》中的“玉石问题”：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何（斤、两是古代的质量单位，这里1斤6两；寸是古代的长度单位）．意思是1立方寸玉重7两，1立方寸石料重6两．现有一块形状为正方体的石头，里面含有玉，棱长是3寸，质量是11斤．请问这块石头中玉和石料各重多少？ 【答案】玉的质量为98两，石料的质量为78两 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据石头的总重及体积，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设玉的质量为两，石料的质量为两． 根据题意，得 解得 答：玉的质量为98两，石料的质量为78两． 【经典例题十四 其他问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（23-24七年级下·云南楚雄·期中）若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组． 每个盘子重x千克，每个杯子重y千克，根据题意列方程组求出，然后代入求解即可． 【详解】解：每个盘子重x千克，每个杯子重y千克， 根据题意得， 解得 ∴（千克）． ∴20个盘子和10个杯子的总重量为2.4千克． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·河南鹤壁·开学考试）西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了_______条大船，_______条小船． 【答案】 6 4 【分析】通过建立二元一次方程组，根据总船数和总人数列出方程，并利用消元法求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设租大船x条，小船y条， 根据题意，得方程组：， 解得， 故租大船6条，小船4条， 故答案为：6，4． 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材的影片，该片以长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事．某校组织师生观看电影《长津湖》．现有甲、乙两种电影票，甲种电影票每张24元，乙种电影票每张18元．已知全班35名同学购票共用了750元，那么甲、乙两种电影票分别购买了（   ） A．20张，15张 B．15张，20张 C．25张，10张 D．10张，25张 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲种电影票购买了张，乙种购买了张，根据总人数为35，总费用为750元，可列方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种电影票购买了张，乙种购买了张， 根据题意得：， 解得， 因此，甲种票20张，乙种票15张， 故选：A． 2．（2025·广东韶关·一模）如图，两灯泡与的电阻之和为，闭合开关S后，测得灯泡与两端的电压分别为2V、4V，则灯泡与的电阻与分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据串联电路的总电阻等于各电阻阻值之和，电压比等于电阻的阻值比，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选：B． 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，图4中的“？”表示，将求得的值代入计算即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·月考）笼子里有若干只鸡和兔子，共有25个头、80只脚．笼子里鸡和兔子各有多少只？ 【答案】10只鸡，15只兔子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握根据头数和脚数的等量关系列出方程组，解二元一次方程组是解题的关键． 设鸡和兔子的数量为未知数，根据头的总数和脚的总数分别列方程，组成二元一次方程组求解． 【详解】解：设笼子里有只鸡，只兔子． 依题意，得 解得 答：笼子里有只鸡，只兔子． 【拓展训练一 用二元一次方程组解决图形几何问题】 【例1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）线段上有两点和，其中，，若，则线段的值为（   ） A．14 B．10 C．7 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了线段的和差计算，根据题意列方程是解题的关键．设，得到①，，即②，由①②解得，即可求出线段的值． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， 则设， ∵， 即①， ∵ ∴ ∴②， 由①②解得， ∴， 故选：C 【例2】（22-23七年级下·江苏南京·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则_________． 【答案】12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 根据图1得：， 根据图2得：， 联立解得， ∴， 则． 故答案为：12． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列出方程组是解题的关键．设小盒茶叶的长为，宽为，根据图①和图②的包装情况列出方程组，求解出、，进而得出正方形礼盒的边长． 【详解】解：设小盒茶叶的长为，宽为． 由得，代入得 正方形礼盒边长为（） 故选：． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个， 根据题意得：， 整理得：m+n＝5（x+y）， ∵x、y都是正整数， ∴m+n是5的倍数， ∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数， ∴m+n的值可能是2020． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为________． 【答案】70 【详解】通过观察图形，找到小长方形长和宽的数量关系，再结合大长方形的周长，建立二元一次方程组来求解． 解：设小长方形的长为，宽为． 水平方向上，个小长方形的长等于个小长方形的宽，即． 周长：． 因此，得到方程组： ， ： ，即： ③联立①得： ，解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 ∴小长方形的长，宽． ∴大长方形的长为，宽为． ∴面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是通过观察图形找到小长方形长与宽的数量关系，再结合大长方形的周长建立方程求解． 4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现在8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为3的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出，的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积． (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____． (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何问题(二元一次方程组的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设小长方形的长为，宽为，根据图1，图2中的信息，列出方程组求解，再求每个小长方形的面积； （2）设一只杯高为，每增加1只杯高增加，根据图3的信息列出方程组求解； （3）设小长方形的长为，宽为，再根据图中信息列出方程求解，然后求出阴影部分面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 则， 解得：， 所以每个小长方形的面积为． （2）设一只杯高为，每增加1只杯高增加， 则，解得：， 所以把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是， 故答案为：； （3）设小长方形的长为，宽为， 则，解得：， 所以大长方形宽为（）， 所以阴影部分的面积之和为（）． 【拓展训练二 用二元一次方程组解决实际问题】 【例1】（23-24七年级下·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为， 根据题意得， 解得， ， 故选D． 【例2】（25-26七年级下·重庆·期末）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业。该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园．假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的．由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90％．假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱和．开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％．请问从早上9点开始，经过________小时植物园游客数量达到饱和． 【答案】 【分析】设每个入口1小时进入x人，每个出口1小时外出y人，植物园的设计容量为a．根据题中给出的两个等量关系，列出方程组，求出x，y的值，从而可计算出开放2个入口，4个出口且承载量为设计可承载人数的84%时的饱和时间． 【详解】解：设每个入口1小时进入x人，每个出口1小时外出y人，植物园的总设计承载人数为a人． 根据题意，得， 解得， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目蕴含的等量关系列出方程组是解题的关键． 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速是解题的关键．设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据飞机顺风速度时间路程，飞机逆风速度时间路程，列方程组进行求解． 【详解】解：设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时， 由题意得，， 解得，， 答：飞机无风时的平均速度为765千米/时， 故选：C． 2．（22-23七年级下·天津河西·期末）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解方程组后进一步计算即可得到答案． 【详解】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元， ∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元， ∴， 解得， ∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元， ∵（元）， ∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元； 故选：C． 3．（25-26七年级下·重庆·期末）某车间生产一款工艺茶壶，每把茶壶由一个壶身和一个壶盖两种组件构成，该车间共有4条生产线生产这两种组件．车间规定：每条生产线一天内只能生产同一种组件，但第二天可以更换生产的组件类型．每条生产线每天的生产数量如下表： 生产线组件 甲 乙 丙 丁 壶身/个 25 35 30 25 壶盖/个 35 30 20 40 （1）如果只开通一条生产线，6天最多能生产__________把茶壶； （2）如果四条流水线都开通，6天最多能生产__________把茶壶． 【答案】 90 415 【分析】本题考查了一元一次方程解决实际问题，正确理解题意是解题关键． （1）根据各流水线生产壶身与壶盖个数，确定6天生产的茶壶个数，即可求解； （2）生产的组件要配套，得出一元一次方程，进而求解分析求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）要生产完整的茶壶，需要1个壶身+1个壶盖，需找到单条生产线6天内壶身和壶盖产量的最优搭配： 设天做壶身，天做壶盖， 甲：， 解得， 取整数，3天壶身、3天壶盖：，，最多75套； 乙：，， 3天壶身、3天壶盖：，，最多90套； 丙：， ， 2天壶身、4天壶盖：，，最多60套； 丁：， ， 3天壶身、3天壶盖：，，最多75套； 对比得单条生产线最多生产90把茶壶； 故答案为：90； （2）要最大化产量，让擅长生产壶身的生产线多做壶身，擅长壶盖的多做壶盖： 壶身效率：乙（35）＞丙（30）＞甲（25）=丁（25）， 壶盖效率：丁（40）＞甲（35）＞乙（30）＞丙（20）， 安排： 乙全程做壶身：， 丁全程做壶盖：， 甲：设天做壶身，产量，天做壶盖，产量， 丙：设天做壶身，产量，天做壶盖，产量， 总壶身：， 总壶盖：， 令壶身=壶盖： 整理得， 取整数解：，， 此时壶身，壶盖，刚好匹配， 最终四条生产线6天最多生产415把茶壶． 故答案为：415． 4．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆 (2)共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；方案②运费最少，最少运费是7800元 【分析】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解是解题的关键． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案．根据两种方案得出运费解答即可． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得， 解得， 答：需甲车型8辆，需乙车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得， 消去得，解得， 因a，b是正整数，且不大于16，得， 且是正整数，解得或， 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 两种方案的运费分别是： ①； ②． 答：共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 方案②运费最少，最少运费是7800元． 【拓展训练三 古代问题的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有22只脚，鸡和兔相差（   ）只． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题可通过假设法求解，先假设全是鸡，利用实际脚数与假设脚数的差值求出兔的数量，再算出鸡的数量，最后计算两者的数量差． 【详解】解：假设全是鸡， 每只鸡有2只脚， 8只鸡的总脚数为：(只)， 实际总脚数为22只， 脚数的差值为(只)， 每只兔比每只鸡多只脚， 兔的数量为：(只)， 鸡的数量为：(只)， 鸡和兔相差：(只)， 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 答：（1）人数为_____人；（2）车辆数为_____辆 【答案】 【分析】通过设车辆数为未知数，根据两种乘车方式下人数相等建立方程求解即可． 【详解】解：设车辆数为辆，由题意可得 ． 解得， ∴人数为． ∴（1）人数为人；（2）车辆数为辆． 故答案为，． 1．（25-26七年级下·重庆·期末）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解。设甲原有文钱，乙原有文钱，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半文钱，乙的钱甲所有钱的文钱，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲原有文，乙原有文， ∵ 甲得到乙所有钱的一半后共有文， ∴， ∵ 乙得到甲所有钱的后共有文， ∴， 方程组为： ． 故选：B． 2．（25-26七年级下·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式． 【详解】解：设共有人，辆车． 对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数； 对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即， 所以，故①正确，②错误． “每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数， 所以，故③正确，④错误． 综上，符合题意的是①③， 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖北·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 【答案】3，2 【分析】通过设未知数列出方程组，并利用加减消元法求解． 本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子 根据题意，得方程组 为消去，将第一个方程乘以2，第二个方程乘以5，得 两式相减，得 解得 将代入第一个方程，得 所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子， 故答案为3，2． 4．（25-26七年级下·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 【答案】1只雀重斤，1只燕重斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可． 【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤， 根据题意得：，解得， 即1只雀重斤，1只燕重斤． 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得出关于、的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于三阶幻方中心数的三倍， 则 解得， ，即， 解得， 因此， 故选：D． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 5．（22-23七年级下·广东广州·月考）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 7．（25-26七年级下·广西贵港·期末）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 8．（2022·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）小红用390元购买甲、乙两种书，已知甲种书每本40元，乙种书每本20元，若购买的甲种书比乙种书多，则总共购买的本数最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，将解决最值的问题需通过设未知数转化为不等式组求解是解题的关键． 设甲、乙两种书的购买数量为正整数x、y，根据总花费限制和甲比乙多的条件列不等式组，再运用列举法求解即可． 【详解】解：设购买甲种书本，乙种书本（为正整数） ∵小红用390元购买甲、乙两种书，且甲种书比乙种书多， ∴，整理得：，即， ∵甲种书比乙种书多， ∴， ∴， ∴且，解得：且， ∵为正整数 ∴ 设总共购买本数， 当时，y最大为5，； 当时，y最大为3，； 当时，y最大为1，． ∴S的最大值为12． 故选C． 10．（23-24七年级下·安徽亳州·月考）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 根据题意找到规律即可解答． 【详解】解：如图，设中间两个数分别为，， 由题意可得，， ， ， 即， 整理得：． 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，， 此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意； 当时，； 此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意． 故选：D． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为___． 【答案】100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 13．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）某采摘园计划拿出一笔固定的资金分两天购进甲、乙、丙三种水果树苗，且购买甲、乙、丙三种树苗的总价之比为3:4:6．第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金之比为2:3:1，第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，则采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为________． 【答案】5:11 【分析】设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】解：设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，则余下的资金为m﹣2x﹣3x﹣x， ∵第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗， ∴（m﹣2x﹣3x﹣x）+2x＝m， 化简得：m＝26x， ∴购买乙、丙树苗的总金额为：m＝×26x＝20x， ∴采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为（26x×﹣3x）：（26x×﹣x）＝5：11． 故采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为5：11． 故答案为：5：11． 【点睛】本题考查应用类问题，多元方程问题，关键是根据题意列出多个方程进行解答即可． 14．（24-25七年级下·重庆·开学考试）元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是______元． 【答案】4000 【分析】本题主要考查了一次方程的应用．设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为，再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，，根据销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，列出方程，求得，得到单包各种口味的汤圆的利润，再根据芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，列出方程，求解即可． 【详解】解：设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为， 再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，， 依题意得， 解得， 则单包花生味的利润为元，芝麻味的利润为元，奥巧味的利润为元， 由题意得， 解得， 所以总利润：（元）， 故答案为：4000． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数， ∵小玲给小倩2元，小倩给小玲n元， ∴，， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 故答案为：4． 16．（25-26七年级下·全国·单元测试）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 17．（25-26七年级下·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 18．（25-26七年级下·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 【答案】参加调查问卷的学生有48名 【分析】通过设未知数，根据数量关系列出方程组，求解出各项目的人数，进而得出参加调查问卷的学生总数． 【详解】解：设选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，则选手工制作的有人，选趣味数学的有人． 根据题意，得 整理①，得．③ 整理②，得．④ ③④，得， 整理，得． ③④，得，即． ∵都是正整数， ∴或或或或或当或或或或时，都不是整数，不符合题意； 当时，． ∴选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，选手工制作的有人，选趣味数学的有人．由于每名学生都填了调查表，且只选了一个项目，则（人）． 故答案为：参加调查问卷的学生有名． 【点睛】本题考查通过设定未知数建立方程组，解题关键是根据题目中的数量关系准确设出未知数，列出方程组，再结合正整数的条件进行求解． 20．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨 (3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆 【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨； （3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案． 【详解】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨， 则根据题意，得， 解得， （吨）； 故答案为：540； （2）由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； （3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆， 则20m+15n=190, ∴， ①当m=2时，n=10； ②当m=5时，n=6； ③当m=8时，n=2． ∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 二元一次方程组的应用重难点题型专训 （6个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 根据几何图形列二元一次方程组 题型二 根据实际问题列二元一次方程组 题型三 分配问题 (二元一次方程组的应用) 题型四 图表信息题 (二元一次方程组的应用) 题型五 行程问题 (二元一次方程组的应用) 题型六 工程问题 (二元一次方程组的应用) 题型七 几何问题 (二元一次方程组的应用) 题型八 方案问题 (二元一次方程组的应用) 题型九 数字问题 (二元一次方程组的应用) 题型十 年龄问题 (二元一次方程组的应用) 题型十一 销售、利润问题 (二元一次方程组的应用) 题型十二 和差倍分问题 (二元一次方程组的应用) 题型十三 古代问题 (二元一次方程组的应用) 题型十四 其他问题 (二元一次方程组的应用) 拓展题型一 用二元一次方程组解决图形几何问题 拓展题型二 用二元一次方程组解决实际问题 拓展题型三 古代问题的综合应用 知识点一：列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 2．（25-26七年级下·安徽淮南·月考）在一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（   ） A． B． C． D． 知识点二：利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以和的利润率定价后进行销售，共获利130元，则两件服装的成本分别为（   ） A．300元，200元 B．200元，300元 C．250元，250元 D．240元，260元 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场新购进一种服装，每套服装售价1000元．若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则这套服装中上衣原来的售价是________元/件． 知识点三：增长率问题 ． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元．已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（   ） A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 知识点四：数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 2．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是______． 知识点五：行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚去距县城的景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，小刚步行的速度为，则小刚乘车的路程为______，步行的路程为______． 知识点六：工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 2．（2020八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 【经典例题一 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（22-23七年级下·福建漳州·期中）将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的一个大的长方形，或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽，若设小长方形的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程：________（填写一个）． 1．（24-25七年级下·山西临汾·月考）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为______． 4．（22-23七年级下·北京海淀·开学考试）若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【经典例题二 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某班同学去植树，若每人植4棵树，则余37棵；若每人植6棵树，则最后一人少植1棵，设该班有x人，y棵树，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）周末，某小组6名同学观看了电影《哪吒之魔童降世》，其中2人买了票，4人买了普通票，总计用了332元．已知每张票比普通票售价多16元，设每张票的售价为x元，每张普通票的售价为y元．根据题意，可列方程组为________． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知将一种浓度为的农药稀释到时，治虫最有效．若设用x千克浓度为的农药加水y千克，才能配成的农药800千克，则依题意所列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）A地急需从B地运100吨物资到A地，B地决定用大、小货车共20辆去完成运输任务．若大货车每辆运6吨物资，小货车每辆运2吨物资，且大、小货车均满载，则大货车、小货车各需多少辆？若设需大货车x辆，需小货车y辆，则根据题意可列方程组为________． 4．（25-26七年级下·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 【经典例题三 分配问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（23-24七年级下·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 1．（25-26七年级下·重庆·期末）我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，则节火车车厢和辆汽车共装________吨化肥． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【经典例题四 图表信息题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 【例2】（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____． 1．（22-23七年级下·河南濮阳·月考）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（     ） 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水 支出金额单位：元 A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·河南安阳·月考）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 3．（24-25七年级下·山东淄博·月考）把9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”图①，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其x的值为___________ 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【经典例题五 行程问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 1．（25-26七年级下·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 3．（2025七年级下·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【经典例题六 工程问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 1．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【经典例题七 几何问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期中）中国建筑中的窗格图案反映了中国传统文化和中国建筑的美学精神，小明同学利用线段的平行与交错设计出一个大长方形窗格图案（如图），图中大长方形窗格图案是由8个大小相同的小长方形，2个大小相同的平行四边形与2个大小相同的正方形拼接而成的，若大长方形的周长为，则小长方形的周长是________．（结果用含的代数式表示） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（    ） A．8 B．12 C．15 D．16 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为___________平方米 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在桌面上放着A，B两个正方形，共遮住了的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，求正方形A，B的面积． 【经典例题八 方案问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【例2】（23-24七年级下·贵州遵义·期中）中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案：______（两人座和三人座各几排） 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，小明外出时想用不超过15元来购买这两种食品，且至少购买一根火腿肠和一盒方便面，那么他可以采用的不同的购买方案有（   ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元． (1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？ 【经典例题九 数字问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（    ） A．266 B．288 C． D． 【例2】（23-24七年级下·贵州贵阳·月考）如图所示是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为___和___． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·宁夏银川·月考）“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（    ） A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 4．（23-24九年级下·江西抚州·月考）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【经典例题十 年龄问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【例2】（23-24七年级下·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 3．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【经典例题十一 销售、利润问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，3种包装的饮料每瓶各多少元（   ） A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元 B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元 C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元 D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元 【例2】（24-25七年级下·四川泸州·月考）某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要元书店推销时甲种图书打八折，乙种图书打七五折，结果买两种图书共少用元则原来甲种图书需要______元 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的部分信息，根据其中的数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（   ） 书名 数量/本 单价/（元/本） 金额/元 《假如给我三天光明》 5 50 250 《爱的教育》 ■ 30 ■ 《边城》 ■ 25 ■ 合计 30 950 A．12本，13本 B．13本，12本 C．15本，10本 D．10本，15本 2．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）小明恰用元买笔记本和中性笔，一个笔记本2元，一个中性笔3元（两种都要至少买一件），那么他有几种购买的方案（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 3．（25-26七年级下·重庆·自主招生）某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）茶叶促销活动前后，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同． A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两茶叶的原价分别是多少？ (2)B茶叶打几折销售？ (3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【经典例题十二 和差倍分问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（24-25七年级下·江西吉安·期末）某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 1．（23-24七年级下·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界纪录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为______条． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【经典例题十三 古代问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（25-26七年级下·四川巴中·期末）古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·四川成都·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为______． 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（    ） A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：若…，若…，问每头牛，每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为（　　） A．5头牛2只羊值10两；10头牛4只羊值16两 B．5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两 C．2头牛5只羊值10两；10头牛4只羊值16两 D．2头牛5只羊值10两；4头牛10只羊值16两 3．（22-23七年级下·福建厦门·期末）数学典籍《九章算术》卷七中记载用“盈不足术”的思想解决以下问题： 题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 答：七人，物价五十三． 术：置所出率，盈、不足各居其下，令维乘所出率，并以为实．并盈，不足为法，实为物价，法为人数． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：买一个物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱． 则人数和物品价格分别为多少？ 答案：共有七个人，物品价格是53钱． 解法： 将该问题一般化，购买一个物品若每人出钱为，剩余；若每人出钱，不足．根据以上算法，人数为 ____________，物价为____________．（用含的式子表示） 4． （25-26七年级下·全国·课后作业）古代数学文化  《九章算术》中的“玉石问题”：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何（斤、两是古代的质量单位，这里1斤6两；寸是古代的长度单位）．意思是1立方寸玉重7两，1立方寸石料重6两．现有一块形状为正方体的石头，里面含有玉，棱长是3寸，质量是11斤．请问这块石头中玉和石料各重多少？ 【经典例题十四 其他问题 (二元一次方程组的应用)】 【例1】（23-24七年级下·云南楚雄·期中）若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 【例2】（25-26七年级下·河南鹤壁·开学考试）西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了_______条大船，_______条小船． 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材的影片，该片以长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事．某校组织师生观看电影《长津湖》．现有甲、乙两种电影票，甲种电影票每张24元，乙种电影票每张18元．已知全班35名同学购票共用了750元，那么甲、乙两种电影票分别购买了（   ） A．20张，15张 B．15张，20张 C．25张，10张 D．10张，25张 2．（2025·广东韶关·一模）如图，两灯泡与的电阻之和为，闭合开关S后，测得灯泡与两端的电压分别为2V、4V，则灯泡与的电阻与分别是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是______． 5． （25-26七年级下·全国·月考）笼子里有若干只鸡和兔子，共有25个头、80只脚．笼子里鸡和兔子各有多少只？ 【拓展训练一 用二元一次方程组解决图形几何问题】 【例1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）线段上有两点和，其中，，若，则线段的值为（   ） A．14 B．10 C．7 D．5 【例2】（22-23七年级下·江苏南京·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则_________． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为________． 4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现在8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为3的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出，的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积． (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____． (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和． 【拓展训练二 用二元一次方程组解决实际问题】 【例1】（23-24七年级下·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·重庆·期末）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业。该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园．假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的．由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90％．假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱和．开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％．请问从早上9点开始，经过________小时植物园游客数量达到饱和． 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·天津河西·期末）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 3．（25-26七年级下·重庆·期末）某车间生产一款工艺茶壶，每把茶壶由一个壶身和一个壶盖两种组件构成，该车间共有4条生产线生产这两种组件．车间规定：每条生产线一天内只能生产同一种组件，但第二天可以更换生产的组件类型．每条生产线每天的生产数量如下表： 生产线组件 甲 乙 丙 丁 壶身/个 25 35 30 25 壶盖/个 35 30 20 40 （1）如果只开通一条生产线，6天最多能生产__________把茶壶； （2）如果四条流水线都开通，6天最多能生产__________把茶壶． 4．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【拓展训练三 古代问题的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有22只脚，鸡和兔相差（   ）只． A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 答：（1）人数为_____人；（2）车辆数为_____辆 1．（25-26七年级下·重庆·期末）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 3．（25-26九年级上·湖北·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 4．（25-26七年级下·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·广东广州·月考）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 7．（25-26七年级下·广西贵港·期末）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 8．（2022·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）小红用390元购买甲、乙两种书，已知甲种书每本40元，乙种书每本20元，若购买的甲种书比乙种书多，则总共购买的本数最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．（23-24七年级下·安徽亳州·月考）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为___． 13．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）某采摘园计划拿出一笔固定的资金分两天购进甲、乙、丙三种水果树苗，且购买甲、乙、丙三种树苗的总价之比为3:4:6．第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金之比为2:3:1，第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，则采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为________． 14．（24-25七年级下·重庆·开学考试）元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是______元． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 16．（25-26七年级下·全国·单元测试）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 17．（25-26七年级下·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 18．（25-26七年级下·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 19．（2025七年级下·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 20．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 学科网（北京）股份有限公司 $