专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+12大题型+自我检测）2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用-综合”为逻辑主线，系统整合4个核心知识点与14类题型，突出运算步骤与符号法则，强化实际应用与跨知识综合能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个核心概念+即时训练|明确运算步骤（先符号后绝对值）、“奇负偶正”法则、除法转化乘法|从乘法法则到运算律，再到倒数与除法，形成完整运算体系| |基础题型|12类题型+例题|简便运算技巧（分配律逆用）、实际问题建模方法|覆盖单一运算到四则混合，结合生活场景（温度、配送）| |提高题型|2类综合题型|数轴位置分析、绝对值化简与运算结合|实现运算与几何（数轴）、代数（绝对值）的跨知识融合|

专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数乘除中的简便运算 9 题型十、有理数四则混合运算 10 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 11 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 12 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东江门·期末）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，同号相乘得正，任何数与0相乘得0． 【详解】∵ A中两负数相乘，积为正； B中0乘任何数得0，非负； C中绝对值后为正数乘正数，积为正； D中负数乘正数，积为负． ∴ 积为负数的是D． 故选：D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：______． 【答案】 9 【分析】本题考查了有理数乘法的运算，熟练掌握分数乘整数的法则是解题的关键． 根据分数乘整数的法则：分数乘整数，用整数乘分子作分子，分母不变，再约分化简即可． 【详解】． 故答案为：9． 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（26-27六年级上·上海金山·期中）（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将101拆分为后，利用乘法分配律展开即可得到结果． 【详解】解：． 2．（2026七年级上·湖南张家界·模拟预测）简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2026·重庆·模拟预测）3的倒数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数， ， 的倒数是． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）的倒数是_____；_____没有倒数． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为的两个数互为倒数；没有倒数．根据倒数的定义直接作答即可． 【详解】解：， 的倒数是， 没有倒数，因为乘以任何数都等于，不等于． 故答案为：；． 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·北京·期中）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简：___；___；___． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据有理数的除法法则，同号得正，异号得负，并化简绝对值的商． 【详解】解：， ， ， 故答案为 ：①；②；③． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·广东清远·期末）计算：（   ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握其运算法则是关键，根据两个负数相乘，结果为正数即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：___________. 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，同号两数相乘得正，异号两数相乘得负． 根据两个负数相乘，结果为正数即可求解． 【详解】解：， 故答案为：48． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．6 B．9 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，理解题中“铺地锦”的计算方法是关键；按照“铺地锦”的计算方法计算即可求解． 【详解】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格， 因此． 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若p、q互为倒数，且a为最大的负整数时，则的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查倒数，有理数的运算，根据倒数的定义，得到，最大的负整数为，再利用有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，，最大的负整数为， ∴， ∴； 故答案为：2025． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义的运算规则进行计算． （1）直接根据新运算解答即可； （2）直接根据新运算解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）四个有理数相乘，，其中一个有理数被污染，若积为负，则被污染的有理数可能是（   ） A．0 B．2025 C． D．0.00051 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据 “”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，被污染的有理数是一个负数； 故满足题意的只有C选项； 故选C． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）三个连续非正整数的积是0，则这三个整数的和是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘法和加法，关键是掌握任何数与零相乘都得0． 根据题意确定这三个整数是：，然后再求和即可． 【详解】解：三个连续非正整数的积是0，则这三个整数是：， 则它们的和为：， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法． 一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题即可． 【详解】∵，， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）把分别填在图①中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是正数． （2）把分别填在图②中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数． 【答案】 （1）如图所示，答案不唯一： 3 6 9 （2）如图所示，答案不唯一： 2 3 4 6 7 8 【分析】本题考查了有理数的乘法符号规则，掌握几个有理数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，利用此规则排列数字使每行、每列及对角线的积符合要求是解题的关键． （1）要让积为正，需保证每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数． （2）要让积为负，需保证负因数个数为奇数． 【详解】（1）已知有共6个负数，共3个正数。 按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数(如2个)的原则排列， 此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为2个，积为正． （2）已知有共3个负数，共6个正数。按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为奇数(如1个)的原则排列， 此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为1个，积为负． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是 ，那么7千米高空的气温是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是有理数的运算在实际生活中的应用，先求得7千米高空气温下降了多少摄氏度，再用减法进行求解． 【详解】解：， 7千米高空的气温是， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）规定：水位上升为正，水位下降为负．若水位每天下降，今天的水位记为，则3天后的水位记为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，3天后的水位用算式表示是：， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图中能说明“”与“”相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据图形，可以分别写出四幅图所列的算式，然后即可判断哪个选项符合题意，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，图线段的长； 图大长方形的面积：； 图总的球的个数：； 图总的钱数：（元）； 由上可得，能说明“”与“”相等的是， 故选：． 2．（2025·北京门头沟·二模）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是_______（填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元． 【答案】 ② 64 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； （2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 3．（25-26七年级上·广东惠州·期末）某水果店新进了10箱橘子，以每箱30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 (1)10箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱多重_______千克； (2)与标准重量比较，10箱橘子总计超过或不足多少千克？ (3)若橘子每千克售价8元，则出售这10箱橘子可卖多少元？ 【答案】(1)3 (2)不足5千克 (3)出售这10箱橘子可卖2360元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正负数的应用． （1）用最重的与标准质量的差值减去最轻的与标准质量的差值，即可求出两箱的质量差． （2）将每类与标准质量的差值乘以对应箱数后求和，结果为正表示总计超过标准重量，结果为负表示总计不足标准重量． （3）先计算10箱橘子的实际总质量，再乘以每千克的售价，即可得到总销售额． 【详解】（1）解：（千克） 答：最重的一箱比最轻的一箱多重3千克． （2）解：（千克） 答：与标准重量比较，10箱橘子总计不足5千克． （3）解：（千克） （元） 答：出售这10箱橘子可卖2360元． 【基础题型四 倒数】 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）实数-3的倒数是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数为． 【例2】（25-26七年级上·湖北十堰·期末）的绝对值是______；的倒数是______． 【答案】 2 4 【分析】本题考查计算绝对值和倒数，解题关键是负数的绝对值是它的相反数，分子分母交换位置求一个数的倒数． 根据绝对值、倒数定义可解答，即：负数的绝对值是它的相反数，乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的绝对值是2，的倒数是4． 故答案为：2，4． 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图，数轴上点表示的数的倒数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过数轴读取点P对应的数，再依据“乘积为1的两个数互为倒数”的定义，计算该数的倒数，最后匹配选项即可解题． 解题的关键是先从数轴上确定点P表示的数，再根据倒数的定义求出该数的倒数． 【详解】解：由数轴可知，点表示的数是， 根据倒数定义可知，的倒数是． 2．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）已知a，b互为相反数，x，y互为倒数，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查相反数和倒数的性质，解题的关键是利用“互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1”进行代入计算． 根据相反数．倒数的性质，得到和的值，再代入代数式计算． 【详解】解：因为互为相反数．所以， 因为、互为倒数．所以， 因此． 故答案为：1． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算顺序解答即可； （2）利用思路2或3的计算方法解答即可． 【详解】（1）解：用分别除以，，，再把所得结果相加是错误的， 故答案为：1； （2）解：思路2： ； 思路3：原式的倒数为： ， 故． 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据乘法分配律的逆运算解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： _______ _______ ．_______ 【答案】 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【分析】本题考查了乘法交换律、结合律以及分配律，熟练掌握乘法的运算法则及运算规律是解决本题的关键．根据乘法的运算规律求解即可． 【详解】解： （乘法交换律） （乘法结合律） （乘法分配律）． 故答案为：乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）严谨的数学推理能力是数学的基本发展目标，是数学习得的基本表现．例如爱思考的小安证明“同分母分数的加法法则”，推理过程如下： 设两个同分母分数为，，则 （____**___） ． 以上推理过程中，**处应填（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法法则 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法分配律，观察解题可知，**处应用了乘法分配律的逆运算，据此可得答案． 【详解】解：观察解题可知，**处应用了乘法分配律的逆运算， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意可得甲乙丙，进而列出算式即可求解，根据题意求出甲、乙、丙之间的比是解题的关键． 【详解】解：∵甲与乙的比是，乙与丙的比是， ∴甲乙丙， ， ， ∴乙是， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)小丽 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算和倒数，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据题目中小明和小丽的解答过程，可以判断小丽的解法正确； （2）仿照小丽的解法，先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：小明的解法中没有按照先算小括号，再算除法的顺序做，故小明的解法错误； 小丽的解法是正确的； 故答案为：小丽； （2）解：原式的倒数为： ， 原式． 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 【答案】乙 【分析】先用除法求出甲、乙的加工速度，再比较即可． 【详解】解：甲：（个/分钟），（个/分钟）， ∵， ∴乙的加工速度快． 答：乙的加工速度快． 1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 【答案】B 【分析】本题考查十进制数转化为二进制数，使用“除2取余，逆序排列”的方法求解即可 【详解】解：∵余1 余0 余1 余1 余1 将所得余数从下往上逆序排列，得到二进制数11101， 故选：B 2．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，…，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据运算符号“”的定义，将分式化简后，利用有理数的乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料：计算： 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为，所以原式． (1)上述得出的结果不同，其中有错误的解法，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：； 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，乘法分配律，解题的关键是注意有理数的混合运算顺序． （1）根据除法不具有分配律求解即可； （2）利用乘法分配律先求出原式加号左边的第一部分结果，再根据倒数的性质得到加号右边的第二部分的结果，再相加即可． 【详解】（1）解：根据乘法具有分配律，而除法不具有分配律，得解法一是错误的， 故答案为：一； （2）解： ， ∴， ∴原式． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【答案】A 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据容器底面积与水面高乘积固定为求解即可． 【详解】解：∵分别往这四个容器中注入的水， ∴A容器内部底面积为，容器内水面高为； B容器内部底面积为，容器内水面高为； C容器内部底面积为，容器内水面高为； D容器内部底面积为，容器内水面高为； ∴容器内水面最高的是A容器， 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）甲数相当于乙数的，甲数是30，则乙数是_____． 【答案】 【分析】题目中给出甲数相当于乙数的，即甲数与乙数存在特定的数量关系，已知甲数的值，要求乙数，可根据除法运算，用甲数的值除以来得到乙数．本题主要考查了有理数的除法运算以及分数与除法的关系．熟练掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”以及有理数的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： 1．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费（元）随用户通话时间（分钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算） 通话时间t/分钟 1 2 3 4 … 电话费y/元 … 若小明通话6分钟，则需要付电话费（   ） A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元 【答案】B 【分析】题目主要考查有理数的乘除法的运算，理解题意，得出通话每分钟的电话费为0.15元是解题关键 【详解】解：根据题意得：， ∴小明通话6分钟，则需要付电话费元， 故选：B 2．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）个同学照如图的样子围成一圈报数，王莉报到“”后，由李小杰维续报“”，像这样一直报下去，报到的是___． 【答案】马方圆 【分析】本题考查数字的规律，根据题意，按照到每个数为一个循环进行报数，用除以，结合余数判断报到的是谁即可．正确理解题意并打出规律是解题的关键． 【详解】解：（轮）， ∴报到的是马方圆． 故答案为：马方圆． 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过单(送一次外卖称为一单)的部分记为“+”，低于单的 部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送 餐 量 (单位： 单 ) (1)这一周送餐量最高的是星期 ，送餐量最低的是星期 ，送餐量最高的比最低的高 单． (2)根据以上数据，求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ 【答案】(1)四，五， (2)单 【分析】本题主要考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解答本题的关键． （1）从表中分别找出送餐最多和最少的一天，再利用减法计算即可求解． （2）用每天单的标准总和，加上每天的出入量，再除以即可求解． 【详解】（1）解：由表可知：送餐量最高的是星期四，最低的是星期五；送餐量最高的比最低的高：（单）． 故答案为：四，五， （2）解： （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐单． 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（2026七年级上·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将除法转化为乘法后按从左到右的顺序计算即可． 【详解】解： ． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：其中正确的是__________．（填序号） ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 【答案】①② 【分析】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解．本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有9种不同的运算结果，即，，，，，，，，，故③错误． 综上，①②都是正确的， 故答案为：①②． 1．（25-26七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）某种少年读物，如果按照原价格销售，每销售一本获利元，现在降价销售，结果销售量增加一倍，获利增加倍，则每本书售价降价_______元． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除法的应用，先根据题意得出现在每本读物获利的金额，进而算出每本书售价降价的金额，即可解题． 【详解】解：假设原销售量为本，则降价后销售量为本， 则根据题意可得现在每本书获利（元）， 每本书售价降价（元）； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)解答过程从第__________开始出错； (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2) ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算．原式先计算括号中的运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】（1）解：有错；解答过程从第二步开始出错，原因是同级运算中，没按从左到右的顺序进行计算． 故答案为：二； （2）略 【基础题型九 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）简便计算 (1) (2) 【答案】(1)34 (2) 【分析】本题主要考查了除法的性质、有理数混合运算、有理数乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据除法的性质“一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积”进行简便运算即可； （2）先对原式进行变形，然后再运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 2．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 3．（2026七年级上·广东佛山·模拟预测）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 【基础题型十 有理数四则混合运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 【例2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）在数学中，为了简便，记，，，，，，则________． 【答案】2 【分析】根据题目给出的新定义运算，先计算两个求和式的差，再化简商，最后计算得到结果． 【详解】解：根据题意可得， ． 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）都是有理数，且保证以下各式都有意义，则下列计算正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②③④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】C 【详解】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．通过计算每个等式的左右两边，判断其是否相等即可． 【分析】解：①∵， 而， ∴两边不相等，故①错误； ②∵， 且， ∴两边相等，故②正确； ③∵， 而， ∴两边不相等，故③错误； ④∵， 且， ∴ 两边相等，故④正确； 综上，②和④正确． 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算：，如，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将对应有理数代入运算公式，再依据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由新定义运算可得 3．（26-27七年级上·河南新乡·期中）沛沛做一道计算题的解题过程如下： 计算： 解：原式…………………① ……………………………② …………………………………③ …………………………………………④ (1)沛沛从第_________步开始出现错误； (2)请你写出正确完整的解题过程； 【答案】(1)① (2) 解：原式 【分析】（1）根据除法没有分配律，应该先计算括号里的减法运算，然后计算除法即可求解此题； （2）首先处理括号内的分数减法，再按运算顺序，先计算乘除部分，最后计算加减部分，依据有理数加减运算法则得出最终结果． 【详解】（1）因为除法没有分配律，所以应该先计算括号里的减法运算，然后计算除法，所以第①步开始出现错误． （2）略． 【基础题型十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·西藏·期末）某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用利润售价进价，利润率利润进价，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得利润率为． 【例2】（26-27七年级上·湖北武汉·期中）如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 【答案】厘米/厘米 【分析】先求出正方形的边长，进而分别求出10平方厘米的长方形和40平方厘米的长方形的长，再作差即可． 【详解】解：正方形的面积为（平方厘米）， 则正方形的边长是10厘米， 10平方厘米和20平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）， 那么10平方厘米的长方形的宽是3厘米，则长是厘米． 同理40平方厘米和30平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）． 那么40平方厘米的长方形的宽是7厘米，则长是厘米． 所以的长就是40平方厘米的长方形的长平方厘米的长方形的长． 即（厘米）． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题目定义可得所表示的数为，再进行计算求解. 【详解】解：， 故选：D． 2．（25-26七年级下·北京平谷·期末）某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一辆共享单车满电状态下可骑行，当前已经骑行．如果在电量不足情况下继续骑行，系统将根据电量规则进行预警或锁车．请通过计算说明，系统会对这辆车采取什么措施？ 《共享单车智能电量管理规则》规定： 剩余电量：正常骑行，无提示 剩余电量：弹窗提醒，建议尽快还车 剩余电量：自动断电锁车，无法继续骑行． 【答案】系统会弹窗提醒，建议尽快还车． 【分析】先求出剩余电量，再根据规定判断即可． 【详解】解：剩余电量： ， 系统会弹窗提醒，建议尽快还车． 【基础题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2026·北京顺义·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由数轴得出 a、b 的取值范围，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ， ∴A．，故 A 选项不符合题意； B．，故 B 选项不符合题意； C．由，，则，故 C 选项不符合题意； D．由，则，故 D 选项符合题意． 【例2】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则________，________0． 【答案】 【分析】本题考查了数轴及有理数乘法的符号规律．由有理数的乘法法则可知要确定、与0的大小关系需确定因数中负因数的个数，因此需先确定a、b、c、d的正负；由数轴上原点左边的数小于0、原点右边的数大于0可得、、、；接下来，分别确定、中负因数的个数，结合有理数乘法法则即可完成解答 【详解】解：由数轴上的a，b，c，d四个数可知、、、；． 在a，b，c中有两个负数，一个正数，负因数的个数为偶数，因此． 在a，b，c，d中有三个负数，一个正数，负因数的个数为奇数，因此． 故答案为：；． 1．（2026·宁夏银川·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的位置关系、有理数的大小比较以及绝对值的几何意义，根据数轴确定 a，b 的取值范围及它们到原点的距离大小，逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，、， 故选项 A 错误； 由于在原点左侧，b 在原点右侧， 则， 故选项 C 错误； 由于a 到原点的距离大于 1，b 到原点的距离小于 1， 则、，即， 因此，， 故选项B错误，选项D正确． 2．（25-26七年级上·重庆渝北·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示且，则a，b，，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，把和在数轴上表示出来，进而比较大小即可． 【详解】解：由题意，将和在数轴上进行表示如图： 由数轴可知：； 故答案为： 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 【答案】(1)； (2)；；；． 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． （1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ∴； （2）∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得，且， ∴； ∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得， ∴． 故答案为：；；；． 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·期中）一动点P从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进6个单位长度，后退4个单位长度的程序运动，已知点P每秒前进或后退1个单位长度．设表示第n秒点P在数轴的位置所对应的数，如，，，，则为（    ） A．404 B．405 C．406 D．407 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，解答此题的关键是找出循环的规律．本题应先解出点P每10秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案． 【详解】解：依题意得，点P每10秒完成一个前进和后退，即前10个对应的数是1、2、3、4、5、6、5、4、3、2；11～20是3、4、5、6、7、8、7、6、5、4． 即每10秒，点P完成一次前进和一次后退运动，且每10秒内点P向数轴正方向运动2个单位， ∵， ∴． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）小明将画在纸上的数轴上对折，把表示的点与表示的点重合．此时与表示的点重合的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、折叠问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式．先求出折痕处的点表示的数，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据数轴上的点判断式子的正负，以及有理数加法、乘法法则，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据数轴得到，再结合有理数加法、乘法法则分析判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， ， 则A、C、D结论错误，不符合题意，B结论正确，符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为，m，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺处，点C对齐刻度尺处．那么，数轴上点B所对应的数m为______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、有理数的加减运算、有理数的除法运算，根据已知条件算出数轴上1个单位长度表示实际长度是解题的关键．先算出数轴上1个单位长度表示实际长度cm，然后根据间的实际长度，求出数轴上点所对应的数即可． 【详解】解：根据题意知，数轴上1个单位长度表示实际长度， ∵间的实际距离为， ∴在数轴上表示的单位长度为：， ∴数轴上点所对应的数为． 故答案为： ． 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，相邻两点之间的距离均为n（n为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点________，点E所表示的数是________； (2)若点E所表示的数是10，求n的值及点D所表示的数． 【答案】(1)；4 (2)；点D所表示的数是6 【分析】（1）根据点表示的数为，得出原点是点和点表示的数； （2）当点所表示的数是10时，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点表示的数是， ∴原点是点． ∴点表示的数为． （2）解：由题意，当点所表示的数是10时，， ∴点所表示的数为． 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（25-26七年级上·重庆·期中）已知有理数，，，，，且，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为1，则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．1或3 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数和绝对值的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数得到，据此利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值是1， ∴， ∴． 故选：A 【例2】（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）绝对值为1到2025的2025个连续整数中，奇数是正数，偶数是负数，那么这2025个整数之和______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 利用加法的结合律计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）根据算式，，不能得到的结论是（    ） A．两数相乘，同号得正 B．两数相乘，异号得负 C．两数相乘，积的绝对值等于各因数绝对值的积 D．两数相乘，交换因数的位置，积不变 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：A：观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，同号得正，故此选项不符合题意； B、观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，异号得负，故此选项不符合题意； C：观察算式得到两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积，故此选项不符合题意； D：观察算式可知：没有两个有理数相乘时交换乘数的位置的算式，故此选项符合题意； 故选：D ． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、在数轴上分别对应的数为、，则A、两点间的距离表示为．根据以上知识解题： （1）若数轴上两点A、表示的数为、． ①A、之间的距离可用含的式子表示为__________． ②若该两点之间的距离为2，那么值为__________． （2）的最小值为__________． （3）已知，则的最大值是_____，最小值是_____． 【答案】 / 1或/或1 3 6 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式进行解答即可； （2）根据绝对值的几何意义可知，表示x的点与表示点，表示的点的距离之和，得出当x表示的点在与之间时，这个距离之和最小，求出结果即可； （3）根据得出当，时，符合题意，得出的最小值为3，的最小值为5，求出的最大值和最小值即可． 【详解】解：（1）①由题意得：， 故答案为：． ②由题意得：， ∴， ∴解得：或． 故答案为：1或． （2）由绝对值的几何意义可得， 当时，有最小值， 取代入可得：， ∴最小值为3． 故答案为：3． （3）∵， ∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3， 的最小值为5， ∴的最大值为：， 的最小值为：． 故答案为：6；． 【点睛】本题主要考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便． 3．（25-26七年级上·北京·期末）2025年10月12日，北京大学附属中学建校65周年主题活动日在本部黄庄校区圆满举行．六十五载风雨兼程，北大附中牢牢把握“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一核心要义，坚持以北大精神为根脉，以真实世界为课堂，以未来需要为导向，培养了一代代优秀学子． 规定：对于三个有理数，，，先将每两个数都做一次求和，再将这些和的绝对值进行求和，记作，若，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对数组，，做上述运算：，且，故数组，，为“校庆数组”． (1)已知数组，，，则________； (2)已知数组，，为“校庆数组”，写出一个满足要求的整数m的值______ ； (3)已知k为整数，试判断：数组，，是否可能为“校庆数组”，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 数组，，不可能为“校庆数组”， 理由：数组，，为“校庆数组”的条件是， ∴， ∵表示到的距离，表示到的距离， 当时，两者之间的距离之和为27，不为42，∴不符合题意； 当时，， ∴，解得：， ∴不为整数，不符合题意； 当时，， ∴，解得：， ∴不为整数，不符合题意； ∴数组，，不可能为“校庆数组”． 【分析】本题主要考查绝对值的性质和几何意义、有理数的新定义运算，理解是“校庆数组”的条件是解题的关键． （1）根据，代入数组，，直接计算即可； （2）根据数组，，为“校庆数组”得到，进而根据几何意义发现数轴上与，之间的位置关系，判断所在的范围，即可写出满足条件的m的值； （3）根据数组，，若为“校庆数组”，得到，进而根据几何意义讨论数轴上与，的位置关系进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵数组，，为“校庆数组”， ∴， ∴， ∵表示到的距离，表示到的距离，两者之间的距离之和为26，而到之间的距离恰好为26， ∴为到之间的一个整数， ∴可以为； （3）略 1．（24-25七年级上·四川广元·期中）如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，不符合题意； 、，箭头所指的数可能是算式的积，符合题意； 、中里最小为，则，不符合题意； 、，若里为，则，不符合题意； 2．（25-26七年级上·重庆·期中）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，且满足，则下列各式：①；②；③．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及有理数运算法则的应用，解题的关键是掌握绝对值的性质．①根据数轴上数的正负来判断大小即可；②根据数轴上数的正负和绝对值的意义进行判断即可；③根据数轴上数的正负去掉绝对值符号再计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的有2个． 故选：C． 3．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配率，根据题意，结合乘法分配律的定义：两个数的和或差与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加或相减．据此判断即可． 【详解】解：A．，运用了乘法交换律和结合律； B．计算后，用验算，运用了乘法交换律； C．想，得出，运用了“商不变的规律”； D．竖式计算，把看作，分别用和1乘，再将两个积相加，运用了乘法分配律． 故选：D． 4．（25-26六年级上·山东济南·期末）式子“1＋2＋3＋4＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，通过对以上材料的阅读，计算＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义代入求值即可． 先根据求和符号的意义展开式子，再利用分式裂项拆分的方法，通过裂项相消计算出结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，某校体育场是一个400米的半圆式田径场地，为了便于计算、丈量、画线，该体育场的直段长80米，则弯道的半圆半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握圆的周长公式．根据跑道的周长求出弧形部分的长度，根据圆的周长公式求出结果即可． 【详解】解：∵跑道全长400米，其中直道的长为80米， ∴半圆形弯道的半径为（米）， 故选：C． 6．（25-26七年级上·全国·期末）在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据题意可知将最小的负数和最大的两个正数相乘结果即为本题答案． 【详解】解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）的末尾共有零的个数是___________． 【答案】3986 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律．根据乘法分配律法则把原式变形为，进一步计算求解即可． 【详解】解： ． 即末尾共有零的个数是3986． 故答案为：3986． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）如果（甲、乙、丙、丁都不为），那么把甲、乙、丙、丁数从小到大依次排列后第三个是_______． 【答案】甲 【分析】设等式结果为，分别计算出甲、乙、丙、丁的数值，再比较大小得到排序结果． 【详解】解：设， 则，，，， 比较大小得，即， 因此从小到大依次排列后，第三个数是甲． 9．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 10．（2026·北京·模拟预测）如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】 34 5 【分析】（1）求出​到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解； （2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解，特别注意理想通勤时间之和计算时校车时间需要计算6次． 【详解】解：（1）根据题意得：​到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 这6名学生从自家住宅至处总步行时间和为． 校车从​处到学校的行驶时间为， ∵一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和， ∴这6名学生的理想通勤时间之和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小． 11．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）定义运算“”为：． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； （）根据新定义列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ， ∴． 12．（25-26七年级上·云南昭通·期中）学习了有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算． 有两名同学解法如下： 李明：原式， 张华：原式， (1)对于上述两种解法，你认为______（填李明或张华）的解法计算简便． (2)请你尝试用张华的方法计算：． 【答案】(1)张华 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正确掌握乘法分配律是解答本题的关键． （1）比较两种解法可得答案； （2）运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：对于上述两种解法，张华的解法计算简便． 故答案为：张华； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 【答案】(1)， (2) 的相反数是3， 在数轴上表示如下； ； (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的知识和相反数． （1）利用有理数的大小比较解答； （2）利用数轴知识，相反数的定义解答； （3）利用数轴知识解答． 【详解】（1）解：由数轴知：，， ∴，； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴点D在数轴上表示的数是． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·广东江门·期中）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． 【答案】(1)②，没有按运算顺序算 (2) 解：原式 ． 【分析】本题考查了有理数的乘除，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除的混合运算的运算顺序解题即可； （2）根据相关运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ∴解题从第②步开始出现错误，错误的原因是没有按运算顺序算； 故答案为：②，没有按运算顺序算； （2）略 15．（25-26七年级上·河南周口·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送___________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由60元底薪和送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)23 (2)53单 (3)1252元 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，有理数的混合运算的应用，正数和负数的意义，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）外卖小哥这一周送餐量最多的一天的单数减去最少的一天的单数即可得出结果； （2）用总送餐量除以7即可得出平均每天送餐量； （3）根据工资构成方式列式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送（单）； 故答案为：23； （2）解：由题意，得（单）． 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）解：由题意，得 （元）． 答：该外卖小哥这一周工资收入1252元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数乘除中的简便运算 9 题型十、有理数四则混合运算 10 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 11 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 12 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东江门·期末）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：______． 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（26-27六年级上·上海金山·期中）（     ） A． B． C． D． 2．（2026七年级上·湖南张家界·模拟预测）简便运算：________． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2026·重庆·模拟预测）3的倒数是（     ） A． B． C． D．3 2．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）的倒数是_____；_____没有倒数． 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·北京·期中）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简：___；___；___． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·广东清远·期末）计算：（   ） A． B．6 C． D．5 【例2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：___________. 1．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．6 B．9 C．3 D．0 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若p、q互为倒数，且a为最大的负整数时，则的值为______． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)求的值． 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）四个有理数相乘，，其中一个有理数被污染，若积为负，则被污染的有理数可能是（   ） A．0 B．2025 C． D．0.00051 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）三个连续非正整数的积是0，则这三个整数的和是_____． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为________． 3（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）把分别填在图①中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是正数． （2）把分别填在图②中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是 ，那么7千米高空的气温是 （    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）规定：水位上升为正，水位下降为负．若水位每天下降，今天的水位记为，则3天后的水位记为_____． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图中能说明“”与“”相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京门头沟·二模）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是_______（填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元． 3．（25-26七年级上·广东惠州·期末）某水果店新进了10箱橘子，以每箱30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 (1)10箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱多重_______千克； (2)与标准重量比较，10箱橘子总计超过或不足多少千克？ (3)若橘子每千克售价8元，则出售这10箱橘子可卖多少元？ 【基础题型四 倒数】 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）实数-3的倒数是（     ） A．3 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·湖北十堰·期末）的绝对值是______；的倒数是______． 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图，数轴上点表示的数的倒数是（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）已知a，b互为相反数，x，y互为倒数，则_____． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： _______ _______ ．_______ 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）严谨的数学推理能力是数学的基本发展目标，是数学习得的基本表现．例如爱思考的小安证明“同分母分数的加法法则”，推理过程如下： 设两个同分母分数为，，则 （____**___） ． 以上推理过程中，**处应填（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法法则 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是______． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 2．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，…，则的值为______． 3．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料：计算： 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为，所以原式． (1)上述得出的结果不同，其中有错误的解法，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：； 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）甲数相当于乙数的，甲数是30，则乙数是_____． 1．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费（元）随用户通话时间（分钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算） 通话时间t/分钟 1 2 3 4 … 电话费y/元 … 若小明通话6分钟，则需要付电话费（   ） A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元 2．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）个同学照如图的样子围成一圈报数，王莉报到“”后，由李小杰维续报“”，像这样一直报下去，报到的是___． 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过单(送一次外卖称为一单)的部分记为“+”，低于单的 部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送 餐 量 (单位： 单 ) (1)这一周送餐量最高的是星期 ，送餐量最低的是星期 ，送餐量最高的比最低的高 单． (2)根据以上数据，求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（2026七年级上·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：其中正确的是__________．（填序号） ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 1．（25-26七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）某种少年读物，如果按照原价格销售，每销售一本获利元，现在降价销售，结果销售量增加一倍，获利增加倍，则每本书售价降价_______元． 3．（25-26七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)解答过程从第__________开始出错； (2)请写出正确的计算过程． 【基础题型九 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）简便计算 (1) (2) 【例2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）用适当方法计算 (1) (2) 2．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 3．（2026七年级上·广东佛山·模拟预测）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【基础题型十 有理数四则混合运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）在数学中，为了简便，记，，，，，，则________． 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）都是有理数，且保证以下各式都有意义，则下列计算正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②③④ B．①③ C．②④ D．②③ 2．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算：，如，则的值为_________． 3．（26-27七年级上·河南新乡·期中）沛沛做一道计算题的解题过程如下： 计算： 解：原式…………………① ……………………………② …………………………………③ …………………………………………④ (1)沛沛从第_________步开始出现错误； (2)请你写出正确完整的解题过程； 【基础题型十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·西藏·期末）某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·湖北武汉·期中）如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 2．（25-26七年级下·北京平谷·期末）某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一辆共享单车满电状态下可骑行，当前已经骑行．如果在电量不足情况下继续骑行，系统将根据电量规则进行预警或锁车．请通过计算说明，系统会对这辆车采取什么措施？ 《共享单车智能电量管理规则》规定： 剩余电量：正常骑行，无提示 剩余电量：弹窗提醒，建议尽快还车 剩余电量：自动断电锁车，无法继续骑行． 【基础题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2026·北京顺义·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则________，________0． 1．（2026·宁夏银川·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆渝北·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示且，则a，b，，的大小关系是______． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·期中）一动点P从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进6个单位长度，后退4个单位长度的程序运动，已知点P每秒前进或后退1个单位长度．设表示第n秒点P在数轴的位置所对应的数，如，，，，则为（    ） A．404 B．405 C．406 D．407 【例2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）小明将画在纸上的数轴上对折，把表示的点与表示的点重合．此时与表示的点重合的数是______． 1．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为，m，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺处，点C对齐刻度尺处．那么，数轴上点B所对应的数m为______． 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，相邻两点之间的距离均为n（n为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点________，点E所表示的数是________； (2)若点E所表示的数是10，求n的值及点D所表示的数． 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（25-26七年级上·重庆·期中）已知有理数，，，，，且，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为1，则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．1或3 【例2】（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）绝对值为1到2025的2025个连续整数中，奇数是正数，偶数是负数，那么这2025个整数之和______． 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）根据算式，，不能得到的结论是（    ） A．两数相乘，同号得正 B．两数相乘，异号得负 C．两数相乘，积的绝对值等于各因数绝对值的积 D．两数相乘，交换因数的位置，积不变 2．（25-26七年级上·浙江绍兴州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、在数轴上分别对应的数为、，则A、两点间的距离表示为．根据以上知识解题： （1）若数轴上两点A、表示的数为、． ①A、之间的距离可用含的式子表示为__________． ②若该两点之间的距离为2，那么值为__________． （2）的最小值为__________． （3）已知，则的最大值是_____，最小值是_____． 3．（25-26七年级上·北京·期末）2025年10月12日，北京大学附属中学建校65周年主题活动日在本部黄庄校区圆满举行．六十五载风雨兼程，北大附中牢牢把握“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一核心要义，坚持以北大精神为根脉，以真实世界为课堂，以未来需要为导向，培养了一代代优秀学子． 规定：对于三个有理数，，，先将每两个数都做一次求和，再将这些和的绝对值进行求和，记作，若，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对数组，，做上述运算：，且，故数组，，为“校庆数组”． (1)已知数组，，，则________； (2)已知数组，，为“校庆数组”，写出一个满足要求的整数m的值______ ； (3)已知k为整数，试判断：数组，，是否可能为“校庆数组”，并说明理由． 1．（24-25七年级上·四川广元·期中）如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，且满足，则下列各式：①；②；③．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 4．（25-26六年级上·山东济南·期末）式子“1＋2＋3＋4＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，通过对以上材料的阅读，计算＝（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，某校体育场是一个400米的半圆式田径场地，为了便于计算、丈量、画线，该体育场的直段长80米，则弯道的半圆半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（25-26七年级上·全国·期末）在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）的末尾共有零的个数是___________． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）如果（甲、乙、丙、丁都不为），那么把甲、乙、丙、丁数从小到大依次排列后第三个是_______． 9．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 10．（2026·北京·模拟预测）如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 11．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）定义运算“”为：． (1)求； (2)求． 12．（25-26七年级上·云南昭通·期中）学习了有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算． 有两名同学解法如下： 李明：原式， 张华：原式， (1)对于上述两种解法，你认为______（填李明或张华）的解法计算简便． (2)请你尝试用张华的方法计算：． 13．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 14．（25-26七年级上·广东江门·期中）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． 15．（25-26七年级上·河南周口·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送___________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由60元底薪和送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $