专题05 实数章末易错必刷题型专训（52题13个考点）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 实数章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 无理数】 1．（2026·浙江·模拟预测）下列各数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）______ （填“是”或“不是”）无理数． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）举出三个有关无理数的实例． 4．（26-27七年级上·浙江温州·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数； (2)任意一个无理数的绝对值都是正数． 【易错必刷二 无理数的大小估算】 5．（2026·浙江·二模）试估算在哪两个整数之间（     ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 6．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）若n为正整数，且满足，则__________． 7．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 8．（2025七年级上·浙江湖州·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【易错必刷三 实数的性质】 9．（25-26七年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）的相反数是________． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ． 12．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【易错必刷四 实数的大小比较】 13．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）在实数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江杭州·模拟预测）比较大小：______6．（填“”“”或“”） 15．（2026七年级下·广东佛山·模拟预测）比较大小 (1)与 (2)与 16．（2025七年级上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【易错必刷五 实数与数轴】 17．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在数轴上，对应的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 18．（2025·浙江·模拟预测）如图，数轴上的点表示的实数为___． 19．（25-26七年级上·浙江·期中）把下列实数表示在数轴上，并用“”连接． ，，，． ________________________________ 20．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图： (1)过A，B两点画一条数轴，使点A表示2，点B表示． (2)在所画数轴上画出表示，，的点，并把这5个数按从小到大的顺序用“<”连接． < < < <． 【易错必刷六 求一个数的算术平方根】 21．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）2的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 22．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知，，则________． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，c都是实数，且满足，．求： (1)a，b，c的值； (2)的值． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力 (1)求，，，，，的值，对于任意负数，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 【易错必刷七 利用算术平方根的非负性解题】 25．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知，那么的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 26．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 27．（25-26七年级上·全国·单元测试）若，求的值． 28．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当为9时，值为__________； (2)如果输入0和1，是否能输出有意义的值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请直接写出输入值满足的条件； (4)当输出的值是时，输入的值唯一吗？请写出其中两个输入的值． 【易错必刷八 估计算术平方根的取值范围】 29．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 30．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，则______． 31．（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 32．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段检测）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【易错必刷九 已知一个数的平方根，求这个数】 33．（25-26七年级下·广西柳州·期中）如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 34．（25-26七年级上·江西九江·期中）若一个正数m的两个平方根分别为和，则的值为______． 35．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）已知一个数的两个不相等的平方根分别为和． (1)求这个数； (2)平方根． 36．（24-25七年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 解：根据题意，得或……………………………第一步 解得或………………………………第二步 当时，，所以这个数是9………………………第三步 当时，，所以这个数是1…………………第四步 综上所述，这个数是9或1…………………………第五步 任务： (1)上述解法是错误的，错在第___________步； (2)请写出本题正确的解题过程． 【易错必刷十 已知一个数的立方根，求这个数】 37．（25-26七年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）一个数的立方根是，那么这个数是______． 39．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，b的立方根是． (1)求a，b (2)c是的整数部分，求的平方根 40．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【易错必刷十一 与立方根有关的规律探索】 41．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 42．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 43．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 44．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【易错必刷十二 实数的混合运算】 45．（24-25七年级下·全国·单元复习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果是________． 47．（25-26七年级下·北京朝阳·阶段检测）计算：； 48．（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【易错必刷十三 与实数运算相关的规律题】 49．（24-25七年级上·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______. 51．（2026·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 52．（2026八年级·全国·模拟预测）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 无理数】 1．（2026·浙江·模拟预测）下列各数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数”逐个判断即可，是无理数． 【详解】，，是有理数；是无理数． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）______ （填“是”或“不是”）无理数． 【答案】是 【分析】本题考查了无理数的定义，先将化简为最简根式，再根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：， 是无理数，有理数与无理数的乘积（非零有理数）仍为无理数， 是无理数， 是无理数． 故答案为：是． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）举出三个有关无理数的实例． 【答案】 三个无理数实例为，，（每相邻两个1之间依次多1个0）． 【详解】略 4．（26-27七年级上·浙江温州·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数； (2)任意一个无理数的绝对值都是正数． 【答案】(1) 该说法错误．两个整数相除的结果可以表示为分数，属于有理数， 例如，是无限循环小数，属于有理数． (2) 该说法正确．无理数是无限不循环小数，不为0，所以正无理数的绝对值是它本身，为正数；负无理数的绝对值是它的相反数，仍为正数，故任意一个无理数的绝对值都是正数． 【分析】（1）正确掌握无理数的概念，无理数是无限不循环小数，其余能用两个整数之比表示的数均为有理数． （2）明确无理数一定不是 0，且除0以外的任何数取绝对值后一定为正． 【详解】（1）略． （2）略． 【易错必刷二 无理数的大小估算】 5．（2026·浙江·二模）试估算在哪两个整数之间（     ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， ∴在3与4之间． 6．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）若n为正整数，且满足，则__________． 【答案】6 【分析】估算的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可解答． 【详解】解：， 即， ，且为正整数， ． 7．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提． （1）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （2）估算无理数的大小，根据题意确定x、y的值，代入计算后再求其相反数即可． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分 又∵， ∴的整数部分， ∴； （2）∵ ∴ 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴ ∴的相反数是． 8．（2025七年级上·浙江湖州·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【易错必刷三 实数的性质】 9．（25-26七年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）的相反数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ． 【答案】 ，，， 【详解】解：；；；． 12．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案． 【详解】解：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了实数的绝对值， 理解绝对值的意义是解题的关键． 【易错必刷四 实数的大小比较】 13．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）在实数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴最大的数是． 14．（2026·浙江杭州·模拟预测）比较大小：______6．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大 【详解】解：，，且， 15．（2026七年级下·广东佛山·模拟预测）比较大小 (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，灵活运用实数的大小比较方法是解题关键． （1）先根据分子相同，分母大的数小，得到，再根据实数的大小比较法则求解即可； （2）先求出差的2倍等于，再判断出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ，，且， ， ， ， ． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）先比较与的大小，再根据实数的大小比较的方法比较即可； （2）先比较与的大小，再根据实数的大小比较的方法比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷五 实数与数轴】 17．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在数轴上，对应的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，用数轴上的点表示无理数，直接利用，进而得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则对应的点为P． 18．（2025·浙江·模拟预测）如图，数轴上的点表示的实数为___． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得点表示的实数为， 故答案为：． 19．（25-26七年级上·浙江·期中）把下列实数表示在数轴上，并用“”连接． ，，，． ________________________________ 【答案】 把各数表示在数轴上，如图所示： ；；； 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示实数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：， 用“”连接为：． 20．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图： (1)过A，B两点画一条数轴，使点A表示2，点B表示． (2)在所画数轴上画出表示，，的点，并把这5个数按从小到大的顺序用“<”连接． < < < <． 【答案】(1)见解析 (2)，2，，． 【分析】本题考查作图复杂作图，数轴，实数的大小比较等知识，解题的关键是学会利用数轴比较实数的大小． （1）根据要求作出图形即可； （2）利用数轴比较实数的大小． 【详解】（1）数轴如图所示： （2），， 数轴表示如图所示． ， 故答案为：，2，，． 【易错必刷六 求一个数的算术平方根】 21．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）2的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：2的算术平方根是． 22．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知，，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 23．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，c都是实数，且满足，．求： (1)a，b，c的值； (2)的值． 【答案】(1)2，4，； (2)2． 【分析】本题考查绝对值和算术平方根非负性，代数式求值，求算术平方根．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键． （1）利用非负性求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 解得：； （2）解：由（1）知，，，， ， ， ， ． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力 (1)求，，，，，的值，对于任意负数，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 【答案】(1)，，，，，，对于任意负数，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）中即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，熟记概念，性质并准确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，， 对于任意负数，； （2）解：由（）可知，的算术平方根为． 【易错必刷七 利用算术平方根的非负性解题】 25．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知，那么的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的非负性，求得的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选A． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键． 26．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 27．（25-26七年级上·全国·单元测试）若，求的值． 【答案】3 【分析】根据绝对值、平方、算术平方根等非负数的性质即可求出的值，然后即可解决问题． 【详解】解：由已知，得， 所以 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及平方根的基本性质，注意：绝对值、开平方、平方在本题当中它们都是非负数，只有都为等式才能成立． 28．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当为9时，值为__________； (2)如果输入0和1，是否能输出有意义的值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请直接写出输入值满足的条件； (4)当输出的值是时，输入的值唯一吗？请写出其中两个输入的值． 【答案】(1) (2)存在，和1 (3)当时，导致开平方运算无法进行 (4)的值不唯一，或 【分析】根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，即可判断； （3）根据算术平方根的非负性，被开方数是非负数即可求解； （4）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：将取算术平方根得，是有理数，输入； 将取算术平方根得，是无理数，输出 故答案为：． （2）解：∵0和1的算术平方根分别是0和1，始终是有理数； ∴当和1时，始终输不出有意义的值． （3）解：由题意知当时，导致开平方运算无法进行． （4）解：的值不唯一，或． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于熟练掌握算术平方根的计算与非负性． 【易错必刷八 估计算术平方根的取值范围】 29．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 30．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】运用算术平方根解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算． 31．（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2) 解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）略 32．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段检测）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) 在表中介于和之间， 理由：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）略 【易错必刷九 已知一个数的平方根，求这个数】 33．（25-26七年级下·广西柳州·期中）如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的含义，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数，进一步可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得. 则， 这个正数是，它的平方根为. 故选：D 34．（25-26七年级上·江西九江·期中）若一个正数m的两个平方根分别为和，则的值为______． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列方程求出a的值，再求出m 的值，最后求出代数式的值． 【详解】解：∵正数m的两个平方根分别为和， ∴， 解得． 当时，， ∴， ∴． 故答案为：8． 35．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）已知一个数的两个不相等的平方根分别为和． (1)求这个数； (2)平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的求法和性质是解题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据平方根的定义列方程解出求出，再求出和中，平方后可得的值； （2）求出，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个数的两个不相等的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴，， ∴数的两个不相等的平方根分别为和， ∴数； （2）解：， ∴平方根为． 36．（24-25七年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 解：根据题意，得或……………………………第一步 解得或………………………………第二步 当时，，所以这个数是9………………………第三步 当时，，所以这个数是1…………………第四步 综上所述，这个数是9或1…………………………第五步 任务： (1)上述解法是错误的，错在第___________步； (2)请写出本题正确的解题过程． 【答案】(1)四 (2) 解：根据题意，得或， 解得或， 当时，，所以这个数是9， 当时，，不符合算术平方根的定义，舍去． 综上所述，这个数是9． 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握二者的定义是解答本题的关键．如果一个数x的平方等于a，即，x叫做a的平方根；如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． （1）根据平方根和算术平方根的定义分析即可； （2）根据平方根和算术平方根的定义写出正确的过程即可． 【详解】（1）解：∵当时，，不符合算术平方根的定义，舍去， ∴第四步错误． 故答案为：四； （2）略 【易错必刷十 已知一个数的立方根，求这个数】 37．（25-26七年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 38．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）一个数的立方根是，那么这个数是______． 【答案】 【分析】根据立方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根的概念，熟记知识点是关键． 39．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，b的立方根是． (1)求a，b (2)c是的整数部分，求的平方根 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方根，立方根的含义，无理数的整数部分的含义，掌握以上知识是解题的关键. （1）由平方根的含义求解，由立方根的含义求解，从而可得答案； （2）由无理数的整数部分的含义求出，再结合，求解，从而可得答案. 【详解】（1）解： 某正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， ∵b的立方根是 ， （2）解：∵， ∴， 是的整数部分， ； 将代入 得， 的平方根是． 40．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）当，时，， ∴的立方根为3． 【易错必刷十一 与立方根有关的规律探索】 41．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 42．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 43．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 44．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【易错必刷十二 实数的混合运算】 45．（24-25七年级下·全国·单元复习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根与算术平方根，立方根，掌握会求一个数的平方根、算术平方根与立方根是解题的关键．根据求一个数的平方根、算术平方根与立方根，逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、无意义，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 46．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果是________． 【答案】12 【详解】解：原式 ． 47．（25-26七年级下·北京朝阳·阶段检测）计算：； 【答案】 【详解】解： ． 48．（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)9 (2) (3)0 (4)2 【分析】（1）先计算乘方，算术平方根，再合并即可； （2）先去括号，再合并即可； （3）先计算算术平方根，立方根，再合并即可； （4）先计算绝对值，乘方，再合并即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式； （4）解：原式． 【易错必刷十三 与实数运算相关的规律题】 49．（24-25七年级上·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 50．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______. 【答案】57 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），令求出a与b的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， 则． 故答案为：57． 【点睛】此题主要考查了数字类规律探索，找出题中的规律：（的正整数）是解本题的关键． 51．（2026·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)， 证明如下： 等式左边为 等式右边为 左边等于右边，即 【分析】本题考查了数字类的规律以及实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左右边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第4个等式； （2）解：由第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 第4个等式： …… 第个等式： 证明略 52．（2026八年级·全国·模拟预测）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案． （2）总结规律即可解答． （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $