假期作业1 空间向量及其运算-【快乐假期】2026-2027学年高二数学寒假作业（人教A版）

=0022 锲而不舍，金石可镂。 假期作业一空间向量及其运算 完成日期： 月 日 《《思维整合室 (4)向量垂直的坐标表示 a⊥b台 (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 知识梳理 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 1.空间向量的概念 al= (1)相等向量 1b= 的向量叫做相等向量. cos(a,b〉= (2)共线向量或平行向量 (6)空间两点间的距离公式 如果表示若干空间向量的有向线段所在 设A(x1y1,之1)，B(x2y2,之2)，则 的直线互相 ,那么这些向量叫 ABI= 做共线向量或平行向量，如a平行b记 作： 自测自查 2.两个向量的夹角 1.(1)大小相等且方向相同(2)平行或重合 a∥b2.(1)(a,b〉[0，π](2)垂直a⊥b (1)若a,b是两个非零向量，则其夹角记为 3.lallbl cos 0 4.(1)lal cos 0 (2)0 ,范围是 (3)a·a5.(1)(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (2)若(a,b)=90°，则称a与b ,记作： (a1-b1,a2-b2,a3-b）(aa1,da2,a3） 3.公式：a·b= a1b1十a2b2十ab3(2)(x2-12-yz-x） 4.性质：(1)a·e= (其中e为单位 (3)(a1aa)=x(b,b2,b) a1=az_as b1 b2 63 向量) (2)若a⊥b,则a·b= ,反之也 (4)ab1+a2b2+a3b3=0(5)λWa+a+a 成立 /+十 a·b a1b1十a2b2十a3b3 (3)la2= 1ab√+ag+a/6++的 5.坐标运算 (6W(x2-x)2+(y2-y1)2+(z2-1) 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,bg). (1)a+b= 要点记忆 a-b= 空间向量数量积运算与运算律 λa= 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 a·b= 配律及数乘结合律，不满足以下两条 (2)设A(x1y1之1)，B(x2y2,之2）， (1)消去律：由a·b=b·c不能推出a=c,即 则AB= 向量不能约分 (3)向量平行的坐标表示 (2)乘法结合律：(a·b)c=a(b·c)不一定成 a∥b(b≠0)台 立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的 或当b与三条坐标轴都不平行时， 向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向 a∥b台 量，但c与a不一定共线， 飞空快乐假期 《技能提升台 c号Bi+号BC+号Bi 技能提升 1.在△ABC中，若∠C=90°，A(1,2,-3k), D.BA+3BC+3ED B(一2,1,0)，C(4,0,一2k),则k的值为() 7.(多选)已知三条直线11,2，l3的一个方向 A.√10 B./10 向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c= C.25 D.土√10 (-3,12,一9)，则下列说法错误的是() 2.设O是△ABC的外心，则AO,BO,CO是 A.1⊥2，但l1与l不垂直 B.11⊥l3,但L1与L2不垂直 A.相等向量 B.平行向量 C.12⊥1，但2与11不垂直 C.模相等的向量D.起点相同的向量 D.L1,L2,L3两两互相垂直 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一 8.(多选)以下四个命题中，不正确的是() 点0，都有OMi=x01+号Oi+号0花，则x A.若O驴-0i+号0i,则P,A,B三点 的值为 共线 A君 c D.0 B.△ABC是直角三角形的充要条件是AB· 4.若向量a=(2,2,3),b=（-1,2,1),c=(0, AC=0 1,1),则a·(b十c)= A.5 C.设{a,b,c}是空间一个基底，则{a十b,b十c, B.8 C.10 D.12 c十a}构成空间的另一个基底 5.我国古代数学名著《九章 D.|(a·b)cl=a·|bl·|cl 算术》中，将底面为矩形 9.在空间四边形ABCD中，AB·CD+BC· 且一侧棱垂直于底面的 AD+CA.BD= 四棱锥称为阳马.如图所 示，已知四棱锥PAB 10.在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cosx+1, 2c0s2x十2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中 CD是阳马，PA⊥平面ABCD,且PE= x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则 PC,若AB=a,AD=b,AP=c,则BE x的值为 A.5 1.若A02,,B(1,-1,),C(-21,8)是 1 5 4a-4b+ 平面a内的三点，设平面a的法向量a 1 5 3.a十b =(x,y,之)，则x:y:之= 4 12.如图，已知平行四边形ABCD,从平面ABCD 63 C. 1 外一点O引向量OE=k D.- 4a+ 3 b十 3 OA,OF kOB,OG= 4 kO元，Oi=kOD. A 6.在三棱锥A-BCD中，M为AC的中点，若 (1)求证：四点E,F, MN=2ND,则BN= () G,H共面； A.合BA+日BC+Bd B号BA+号BC+BD ·2 三0022 禽二数半卧) (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH. 14.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PB, PD的中点，PA=AB=1,BC=2. (1)求证：EF∥平面ABCD: (2)求证：平面PAD⊥平面PDC 13.已知向量a=(1,1,0),b=(一1,0，c),且 1a+b=5. (1)求c的值； (2)若a十b与2a一b互相垂直，求实数 的值. 高考冲浪 1.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0,1),b= (2,x),若b⊥(b-4a),则x= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k), a∥b,则k的值为 ·3·三0022 高二数类 参考答案 假期作业一空间向量及其运算 技能提升台技能提升 F成=（合1BD- 1.D2.C3.A （-1,20,F店=-2B0, 4.C[b+c=(-1,2,1)+(0,1,1)=(-1,3,2),又a= 即EF∥BD (2,2,3),.a·(b+c)=(2,2,3)·(-1,3,2)=-2+6+ 又BDC平面ABCD,EF 6=10. 5.D[根据向量线性运算原则求解即可. 平面ABCD, 曲题意，PE-}元-C-A可)-子A衣-应 所以EF∥平面ABCD. 4 (2)证明：由(1)可知AP= +A0)--名a+名-子c,P店-店- (0,0,1),AD=(0,2,0), =a-c, DC=(1,0,0), B成-p店-P-子a+b--a-0)= 3 因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0, AD·DC=(0,2,0)·(1,0,0)=0, 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. 6.A[因为M为AC的中点，所 又AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD,所以DC⊥平面 以BM=2(BA+BC).又因为 PAD.因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC 高考冲浪 M=2N方，所以M=子Mò N 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2 -号(B防-B,所以B成=D 4x=0,解得x=2.] 2.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. BM+M=号B防+子BM- 答案：15 假期作业二立体几何中的向量方法 号ò+号×2Bi+B脑=i+c+号航.] 技能提升台技能提升 7.BCD[,a·b=0,a·c≠0，b·c=0,.只有A正确， 1.A2.D3.C BCD错误. 4.C[当二面角A-BD-C为锐角时，其大小为(n1,n2〉= 8.ABD[只有C正确.] 晋当二面角ABDC为能角时，其大小为一m,) 9.010.号或号1.2：3：(-4) 12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， -吾-经] 5.D ..AC=AB+AD, 6.D[依题意，PA,PB,PC两两垂 :EG=OG-OE=k·OC-k·OA=k(OC-OA) 直，建立如图所示的空间直角坐 =kAC=k(AB+AD) 标系.设PA=PB=PC=2,则 =k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE P(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), =EF+Ei,E,F,G,H共面； C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1), (2)证明：：EF=OF-OE=k(OB-OA)=k·AB, 则PE=(1,1,0),PF=(0,1,1), 又EG-k·AC,∴，EF∥AB,EG∥AC,又AB∩AC=A, AF=(-2,1,1). 所以，平面ABCD∥平面EFGH. 设平面PEF的法向量为n=(x,y,x), 13.解：(1)a+b=(1,1,0)+(-1,0,c)=(0,1,c), 则：P店十y0令z=1,可得平面PEF的一个法 所以a十b|=√/1+c2=√5，解得c=土士2. n·PF=y+z=0, (2)当c=2时，ka十b=(k,k,0)十（一1,0,2）=(k一1，k, 向量n=(1,-1,1). 2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), 因为a十b与2a-b互相垂直，所以3(k-1)十2k一22= 设直线AF与平面PEF的夹角为，则sin0=n·A 0,解得是=名 AF 当c=-2时，ka十b=(k,k,0)十(-1,0，-2)=(k-1, k,-2),2a-b=(2,2,0)-（-1,0,-2)=(3,2,2). 3X6 号又9e,引，故os9=-( 因为ka十b与2a-b互相垂直，所以3(k-1)+2k-22= 0,解得=5 7 7.ABC 综上=子 8.ABC[以D为原点，分别以DA, 14.(1)证明：以，点A为原，点，AB所在直线为x轴，AD所在 DC,DD1的方向为x轴、y轴、之轴的 A 直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间 正方向建立如图所示的空间直角坐 直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0), 标系。 D(0,2,0),P(0,0,1).点E,F分别是PB,PD的中点， 由题意知，A(1,0,0),B(1,1,0),E 1 1 (,20C01,1D,D0,01D. ·39·