第五章 一元一次方程 单元测试培优试卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 单元检测试卷 第五章《一元一次方程》 单元检测培优卷 【新教材人教版】 满分：150分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B的方程含两个未知数， 选项C的方程是分式方程， 选项D的方程中未知数最高次数为2，均不符合一元一次方程的要求； 只有选项A的符合要求． 2．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 3．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故选：C． 4．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得：． 5．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可． 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 6．下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：A选项，∵，两边同乘2得，移项得，故A错误. B选项，∵，两边同乘m得，故B错误. C选项，∵，两边同时加3得，移项得，故C正确. D选项，当时，恒成立，x与y不一定相等，故D错误. 7．现定义运算“*”，对于任意有理数，，满足 如：，．若，则有理数的值为（     ） A．4或10 B．4或 C．10 D．4 【答案】D 【分析】分两种情况：当时，当时，分别根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得，此时不满足，不符合题意； ∴有理数的值为4． 8．等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加c，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 9．现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据配套关系找等量关系即可列方程.总铁皮共140张，张制盒身，剩余张制盒底，根据一个盒身配两个盒底的要求，得到盒身与盒底的数量比为，即可列出方程． 【详解】解：设用张白铁皮制盒身， ∵总铁皮共140张， ∴制盒底的铁皮数量为张，可得盒身总数量为，盒底总数量为 ， 又∵一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，即盒身数量与盒底数量的比为， ∴可列方程． 10．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和，根据长方形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 12．方程：的解为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， . 13．若，则________； 【答案】 或 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， 因此 或 ． 14．对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 15．已知，，则________． 【答案】2015 【分析】本题考查代数式求值，等式的性质，将第一个等式的两边分别乘以2，变形后，与第二个等式相加，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：2015． 16．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2026次相遇在边___________． 【答案】 【分析】根据第一次相遇时两人路程和为两边长度和，其他相遇时两人路程和为4边长度和，结合相遇列式，找到规律即可得到答案； 【详解】解：∵乙的速度是甲的速度的3倍， ∴设甲的速度是，则乙的速度为， 设第一次相遇的时间为， 则可得， 解得， 第一次相遇时，甲走的路程为， ∵甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行， ∴第一次相遇在的中点上， 设第二次相遇的时间为， 根据题意列一元一次方程得，， 解得， 第二次相遇时，甲走的路程为， ∴第二次相遇在的中点上， 同理计算可得第三次相遇在的中点上， 第四次相遇在的中点上， 第五次相遇在的中点上， 依次循环，根据， ∴第2026 次相遇在边的中点上． 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本题6分）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 18．（本题6分）下面是小颖同学解一元一次方程的过程： 解：去分母，得．    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得．        第五步 (1)小颖的解答过程从第________步开始出错； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：由小颖的解答过程可知，第一步去分母时方程右边常数项1漏乘了6，故小颖的解答过程从第一步开始出错； （2）略 19．（本题8分）如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据两点间距离公式可得到B点表示的数； （2）后点表示的数为，点表示的数为，再由两点之间距离公式建立方程求解①②． 【详解】（1）解：因为数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， 则， 所以B点表示的数为， （2）解：①根据题意得，后点表示的数为，点表示的数为 则， 解得， 所以当时，点表示的数相同； ②根据题意得， 解得或 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为 所以当点与点之间的距离为6时，点所表示的数为或． 20．（本题8分）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 【答案】(1) “3，2.5”不是“等效数对” (2) (3) 【分析】（1）计算3与2.5的和与积，对比是否相等，结合“等效数对”定义判断； （2）根据“等效数对”定义列一元一次方程，求解得x的值； （3）将代数式变形为含与的结构，代入整体计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ “3，2.5”不是“等效数对”； （2）解：∵ “”是“等效数对”， ∴， ， ， 解得； （3）解：∵“”为“等效数对”， ∴， ∴ ． 21．（本题8分）课本再现： 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． (1)的意义可理解为数轴上表示数x和____________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (2)数轴上表示x的点位于与2之间，则____________； (3)若数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 的值为或 【分析】 （1）将变形为两点距离的标准形式，即可确定对应的数； （2）根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简计算； （3）分在左侧、与之间、右侧三类情况，去绝对值后解方程，舍去不符合范围的解． 【详解】（1）解：∵数轴上点，表示数，时，距离为， 又， ∴ 表示数和的两点距离； （2）解：∵ 数轴上表示的点位于与之间， ∴，， ∴； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ， 令， 解得，符合； ②当时， ， 此时方程无解； ③当时， ， 令， 解得，符合， 综上所述，的值为或． 22．（本题10分）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，元 (2)购进种商品件 (3)元或者元 【分析】（1）种商品的利润率用“利润率”直接计算，将上述公式变形后，可得“”，代入公式即可求解种商品每件进价． （2）可以设购进种商品件，则购进种商品件，由于总进价是元，根据等量关系列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，每件种商品利润率为， 种商品每件进价为元， 故每件种商品利润率为，种商品每件进价为元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 去括号，得， 整理，得， 解得， 答：该商场购进种商品件． （3）解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元，此时按总售价打九折， 由题意得， 解得； 打折前购物金额超过元，此时元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠， 可列方程， 去括号，得， 解得， 答：小华在购物打折前的总金额为元或者元． 23．（本题12分）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b，的值，________，________，________． (2)如图点M，N，P是数轴上三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x ①若，则________； ②若点P表示的数是，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？ 【答案】(1) (2)①或6.5 ②2.5秒或10.5秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出a，b的值，再根据两点之间距离公式解答； （2）①先根据题意可得或，再分两种情况讨论得出答案；②先求出蚂蚁所在的点到点M，点N的距离之和是8的点，再列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且， 解得， ∴A，B两点之间的距离为； （2）解：①∵， ∴或． 当时，， 解得； 当时，， 解得， 所以或6.5； ②设经过t秒，点P运动到点Q（Q表示的数是y）时，蚂蚁所在的点与点M，点N的距离之和是8， 当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得， ∴或， 解得或， 所以当经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点与点M，点N的距离之和是8． 24．（本题14分）买两种布料共，花了元，其中蓝布料每米元，黑布料每米元，两种布料各买了多少米？ (1)若设买了蓝布料，请你补全下列表格： 类型 买的长度／ 单价／元 金额／元 蓝布料 黑布料 (2)列出一元一次方程，解决实际问题． 【答案】(1) 类型 买的长度／m 单价／元 金额／元 蓝布料 黑布料 (2)买了蓝布料，买了黑布料 【分析】（1）根据已知等量关系填空即可； （2）根据等量关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设买蓝布料的长为， 则买黑布料的长为，买黑布料的金额为元 （2）解：设买蓝布料的长为， 根据题意，得， 解得， ， 答：买了蓝布料，买了黑布料． 25．（本题14分）如图，数轴上有，两点，，之间距离为，原点在，之间，到的距离是到距离的两倍，则 (1)点表示的数为________，点表示的数为________； (2)若点是，之间的一点，且满足到原点的距离与到的距离之和等于到的距离，则点所表示的数为________； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①设到的距离为，到的距离为，当为何值时，； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中，点行驶的总路程和点最后位置在数轴上对应的数． 【答案】(1)，5 (2) (3)①或；②点行驶的总路程的总路程为30，点最后位置在数轴上对应的数为20 【分析】（1）由可知，将15平均分成三份，占两份为10，占一份为5，由数轴可知，在原点的左边，在原点的右边，从而得出结论； （2）分两种情况：①点在原点的左边，即在线段上时，②点在原点的右边，即在线段上时，分别根据列式即可； （3）①分两种情况：点在原点的左侧和右侧时，表示的代数式不同，，分别代入列式即可求出t的值； ②点运动的时间就是点从点开始到追到点的时间，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为5． （2）解：设点所表示的实数为，分两种情况： ①点在线段上时，则，如图， ∵， ∴，解得； ②点在线段上时，则，如图， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，点所表示的数为． （3）解：①当时，如图， ，，，， ∵， ∴， 解得； 当点与点重合时，如图， ，解得， 当时，如图， ，， 则， 解得； 综上所述，当为秒或秒时，． ②当点到达点时，，此时，，即点所表示的数为10， 从此时开始，点、相遇的时间即为点运动的时间， ， 点行驶的总路程为，点最后位置在数轴上对应的数为30． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元检测试卷 第五章《一元一次方程》 单元检测培优卷 【新教材人教版】 满分：150分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 4．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 6．下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．现定义运算“*”，对于任意有理数，，满足 如：，．若，则有理数的值为（     ） A．4或10 B．4或 C．10 D．4 8．等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 10．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 12．方程：的解为______． 13．若，则________； 14．对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 15．已知，，则________． 16．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2026次相遇在边___________． 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本题6分）解方程． (1) (2) (3) 18．（本题6分）下面是小颖同学解一元一次方程的过程： 解：去分母，得．    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得．        第五步 (1)小颖的解答过程从第________步开始出错； (2)请写出正确的解答过程． 19．（本题8分）如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 20．（本题8分）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 21．（本题8分）课本再现： 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． (1)的意义可理解为数轴上表示数x和____________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (2)数轴上表示x的点位于与2之间，则____________； (3)若数x满足，求x的值． 22．（本题10分）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 23．（本题12分）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b，的值，________，________，________． (2)如图点M，N，P是数轴上三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x ①若，则________； ②若点P表示的数是，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？ 24．（本题14分）买两种布料共，花了元，其中蓝布料每米元，黑布料每米元，两种布料各买了多少米？ (1)若设买了蓝布料，请你补全下列表格： 类型 买的长度／ 单价／元 金额／元 蓝布料 黑布料 (2)列出一元一次方程，解决实际问题． 25．（本题14分）如图，数轴上有，两点，，之间距离为，原点在，之间，到的距离是到距离的两倍，则 (1)点表示的数为________，点表示的数为________； (2)若点是，之间的一点，且满足到原点的距离与到的距离之和等于到的距离，则点所表示的数为________； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①设到的距离为，到的距离为，当为何值时，； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中，点行驶的总路程和点最后位置在数轴上对应的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $