陕西西安浐灞国际港陕西师范大学陆港中学2026-2027学年高一上学期第一次学科素养诊断数学试卷

2026—2027 学年第一学期高一数学学科素养月度诊断 （时间 120 分钟　　满分 150 分） 一、单选题（满分40分，每题5分，每题只有一个选项正确） 1．已知集合 ，，则 的元素个数是（　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．已知命题 ：，则命题 成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，若 ，则实数 取值的集合为（　　） A． B． C． D． 6．“”是“函数 的定义域为 ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．若不等式 的解集是 ，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，满分18分，每题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中，正确的是（　　） A．若 ，，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若 ，则 D．设 ，则 的最小值为 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的解集为 C． D． 的解集为 11．对任意 ，记 ，并称 为集合 的对称差．下列命题中，是真命题的为（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 且 ，则 D．若 且 ，则 三、填空题（满分15分，每题5分） 12．若 ，，则 与 的大小关系是　　　　　　． 13．已知不等式 对任意正实数 恒成立，那么正实数 的最小值为　　　　　　． 14．设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立，命题 ：存在 ，使得不等式 成立，若 、 有且只有一个真命题，则实数 的取值范围是　　　　　　． 四、解答题（满分77分） 15．（13分） 已知集合 ，，．求： （1）集合 ； （2）集合 ； （3）集合 ，． 16．（15分） 已知集合 ，，且 ． （1）若 ：， 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 ：， 是真命题，求实数 的取值范围． 17．（15分） 已知 ． （1）若 ，，求关于 的不等式 的解集；（结果用 表示） （2）若 ，，，求 的最小值． 18．（17分） 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为 米，底面积为 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 元，屋顶和地面以及其他报价共计 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 米（）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围． 19．（17分） 定义：对于定义域为 的函数 ，若 ，有 ，则称 为 的不动点．已知函数 ，． （1）当 ， 时，求函数 的不动点； （2）若 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围； （3）设 且 的两个不动点为 ，，且 ，求实数 的最小值． 高一数学月度诊断　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年第一学期高一数学学科素养月度诊断 参考答案 一、单选题（满分40分，每题5分） 1.己知集合A={x∈N|x<4,B={-1,0,1,4,5},则A⌒B的元素个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】先把A具体写出来，再与B求交集，数元素个数. 【解答】 A={x∈N|x<4)={0,1,2,3},又B={-1,0,1,4,5}, 所以A⌒B={0,1},共2个元素.故选B. 2.命题“3x≥2，x2<5”的否定是() A.3x≥2，x2≥5 B.x<2,x2≥5 C.∀x≥2，x2≥5 D.x<2,x2≥5 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变 【解答】 “3x≥2，x2<5”的否定是“x≥2，x2≥5”.故选C. 3.函数f(x)= x-2 Vx-1 的定义域为() A.(1,2) B.(1,2] C.（-0,1][2,+n) D.(-0,1)U[2,+w) 【答案】D 【分析】根号内非负、分母不为零，两者同时满足. 【解答】 需号子0且1.即g-2-20且1 解得x<1或x≥2， 所以定义域为(（-n,1)U[2,+0).故选D. 4.已知命题p:x2-4x+3<0,则命题p成立的一个充分不必要条件是() A.x≤3 B.1<x<4 C.1<x≤2 D.1<x<3 【答案】C 【分析】卫即1<x<3;充分不必要条件对应p的真子集. 高一数学月度诊断（答案）第1页（共9页） 【解答】 由x2-4x+3<0得1<x<3. A项：x≤3不能推出1<x<3(如x=0),不充分： B项：(1,4)2(1,3)，是必要不充分条件： C项：(1,2](1,3)，是充分不必要条件，符合： D项：与原范围相同，是充要条件， 故选C 5.已知A={xx2-3x+2=0},B={xar=1},若B三A,则实数a取值的集合为() c.{0 【答案】A 【分析】先解出A,再由BsA分类讨论a=0与a≠0. 【解答】 A={1,2}. 当a=0时，B=☑sA,符合： 当a≠0时，B= 1 a 由。1或2得a=1或a- a 1 所以a的取值集合为0,1，二.故选A. 2 6.“0<a<1”是“函数f(x)= 1 的定义域为R”的() ax2-2ax+1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求“定义域为R”的充要条件，再判断充分性与必要性. 【解答】 p:1<x<3. 当a=0时，原不等式为1>0，恒成立，解集为R; 当a≠0时，需△=(-2a)-4a<0,即4a(a-1)<0,解得0<a<1. 故选C. 7.已知m>0,n>0,2m+n=1,则上+2的最小值为（) Anl n A.4 B.22 C. 2 D.16 【答案】c 高一数学月度诊断（答案）第2页（共9页） 【分析】用“1的代换把待求式与2+n=1相乘，再用基本不等式. 【解答】 1+22m+m= 1n4 +2=+”+4"≥+2=9 An n 2 4m n 24n2 2 当且仪当物把，即1=m,结合2m+1得m名n-号时取等号。 An n 3 故最小值为？.故选C 8.若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,则m的范围是() A.[1,9) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,9] 【答案】A 【分析】按二次项系数-1是否为0分类，注意=1时不是二次不等式. 【解答】 当m=1时，原不等式为2>0，恒成立，解集为R,符合题意： 当m≠1时，需m-1>0且△=(m-1)-8(-1)<0, 即m>1且(m-1)(-9)<0,解得1<m<9, 综上，1≤m<9,即[1,9).故选A. 二、多选题（满分18分，每题6分） 9.下列说法中，正确的是() A.若a<b,c<d,则ac<bd B.“a>b>0是1<1的充分不必要条件 C.若ax>y,则x>y D.设xR,则y=(12)中的最小为 【答案】BCD 【分析】逐项判断：A举反例；B看充分性与必要性；C注意>0；D注意等号能否取到. 【解答】 A项：取a=-2,b=-1,c=-4,d=-3,则c=8>bd=3,不成立，错误： B项：Q>b>0三1<，充分性成立：取a=-1,b=l,有<但a>b>0不成立，必要性不成立 a b 正确； C项：由ax>a2y知a≠0，两边同除以a>0得x>y,正确： D项：（x2+2)+ x2+2 ≥2，但等号需x2+2=1,不可能： 高一数学月度诊断（答案）第3页（共9页） 2之，正确。 令1=x2+2≥2，y=t+}在[2，+)上递增，故最小值为2+1= 故选BCD. 10.已知关于x的不等式m2+bx+c≤0的解集为{xx≤-2或x≥3}，则下列说法正确的是() A.a<0 B.+c>0的解集为{xk>6} C.8a+4b+3c<0 D.cx2+bx+a<0的解集为 【答案】BC 【分析】由解集得a>0及两根-2,3，用韦达定理把b,c用a表示后逐项判断， 【解答】 由解集为{x|x≤-2或x≥3}知a>0,且-2,3是2+bx+c=0的两根， 所以-2+3=1=-6，-2×3=-6=C,即b=-a,c=-6, a a A项：a>0,错误： B项：ar+c>0即-6a>0,即x>6,正确； C项：8a+4b+3c=8a-4a-18a=-14a<0,正确： 1 错误. 故选BC. 11.对任意A,B三R,记A⊕B={xx∈AUB,xEAOB},并称A田B为集合A,B的对称差.下列命 题中，是真命题的为() A.若A={-1,0,1},B={0,1,2},则A⊕B={1,2} B.若A={x|-1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A⊕B={x|-1≤x≤0}U{x|1≤x≤2} C.若A,B三R且A①B=B,则A=O D,若A,BSR且A⊕B=O,则A=B 【答案】ACD 【分析】按定义A⊕B=(AUB)、（AOB)逐项验证. 【解答】 A项：AUB={-1,0,1,2},A∩B={0,1},故ADB={-1,2},正确： B项：AUB=[-1,2],A⌒B=[0,1],故A⊕B=[-1,0)U(1,2],而选项中0、1都在内，错误； C项：若A⊕B=B,则B八A=B(即A⌒B=O)且AUB=B(即ASB),所以A=O,正确： D项：若A⊕B=②，则AUB=A∩B,即A=B,正确. 高一数学月度诊断（答案）第4页（共9页） 故选ACD 三、填空题（满分15分，每题5分） 12.若m=x2-1,n=2(x+1)-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是 【答案】n≥m 【分析】作差比较，注意配方 【解答】 n=2(x2+2x+1)-4x-4+1=2x2-1, n-m=(2x2-1)-（x2-1)=x2≥0， 所以n≥m（当x=0时取等号). 13.已知不等式心+1≥8对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为 1 【答案】16 【分析】分离参数：a≥° 2.8子恒成立，再求右边函数的最大值， 【解答】 因为x>0,原不等武式等价于2。之对任意x>0恒成立 令1=1>0，则8三=8-r=--4}+16≤16， xx 1 当且仅当t=4,即x=三时取等号， 所以a≥16，即正实数a的最小值为16. 14.设命题P:对任意x∈[0,1]，不等式5x-3≥m2-4恒成立，命题q:存在x∈[「-2,1]，使得不等 式x2-2x+m-1≤0成立，若p、q有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是 【答案】(-w,1)U(2,3] 【分析】先分别求出卫、q为真的条件，再按“有且只有一个真”分两类求并集. 【解答】 命题p为真：5x-3≥m2-4对x∈[0,1]恒成立，左边最小值为5×0-3=-3， 所以2-41≤-3，即n2-4m+3≤0，解得1≤m≤3： 命题g为真：存在x∈[-2,1使m≤-x2+2x+1, 因为-x2+2x+1=-(x-1)+2在[-2，上的最大值为2，所以m≤2. ①p真q假：1≤m≤3且>2，得2<m≤3； ②p假q真：m<1或m>3,且m≤2，得m<1. 高一数学月度诊断（答案）第5页（共9页） 综上，m∈(-n,1)U(2,3]: 四、解答题（满分77分） 15.(13分) 已知集合U={x|-5≤x≤4)，M={x|-2≤x<3},CN={x|-3<x≤1}.求： (1)集合N: (2)集合N⌒(C,M: (3)集合MON,MUN 【答案】(1)N={x|-5≤x≤-3或1<x≤4}；(2)NO(CyM）={x|-5≤x≤-3或3≤x≤4)：(3) M∩N={x|1<x<3},MUN={x-5≤x≤-3或-2≤x≤4) 【分析】(1)N是C,N在U中的补集；(2)先求C,M再取交集；(3)按交集、并集的定义求解. 【解答】 (1)因为CN={x|-3<x≤1}，={x|-5≤x≤4， 所以N={x|-5≤x≤-3或1<x≤4}. (2)因为M={x|-2≤x<3},所以CM={x|-5≤x<-2或3≤x≤4}， 与N取交集得N⌒(CM）={x|-5≤x≤-3或3≤x≤4. (3)M⌒N={x|1<x<3}: MUN={x|-5≤x≤-3或-2≤x≤4. 16.(15分) 已知集合A={x|2≤x≤7乃，B={x|-3m+4≤x≤2-1}，且B≠0. (1)若p:x∈A,x∈B是真命题，求实数m的取值范围： (2)若q:r∈B,x∈A是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)m之4：(2)m≥2 3 【分析】先由B≠②得m≥1；(1)A≤B;(2)AOB≠②. 【解答】 由B≠⑦得-3m+4≤2-1，即1m≥1. (1)p为真即A≤B,需-3m+4≤2且21-1≥7， 即m≥2且m≥4，所以m≥4. (2)q为真即A⌒B≠⑦，需-3+4≤7且2m-1≥2， 即m2-1且m≥所以m 3 2 17.(15分) 高一数学月度诊断（答案）第6页（共9页） 己知f(x)=ax2-bx+3. (1)若a>0,b=a+3,求关于x的不等式f(x)>0的解集；（结果用a表示） (2)若f-1)=4,a>0,b>-1,求1+2的最小值. a b+l 【答案】1)当0<a<3时，解集为，lU2+w:当a=3时，解集为x≠：当a>3时， a 解集为（引o:23#会2 2 【分析】(1)因式分解后比较两根3与1的大小：(2)由f(-)=4得a+(b+1)=2,再用“1的代 换” 【解答】 1)f()=2-(a+3)x+3=(a-3)(x-),两根为1与3 当0<a<3时，名1，解失为(-m(怎+m: 当a=3时，3-1，不等式为30k-)2>0,解集为xx≠1： 当a>3时，吾1，解续为〔引Lo) (2)由f(-)=a+b+3=4得a+b=1,即a+(b+1)=2. 所。品ao小2 由基本不等式+1+20≥25， a b+1 所以1+2≥3+22 ab+121 当且仅当+1=2a,即b+1=V2a,结合a+b=1得a=2(V5-)时取等号， a b+l 故最小值为3+2√2 2 18.(17分) 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面 积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因 此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平 方米150元，屋项和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米 (2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ 高一数学月度诊断（答案）第7页（共9页） (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 9000a(1+x) 元（a>0),若无 论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求α的取值范围， 6 【答案】(1)x=4米时报价最低，最低为14400元：(2)0<a< 【分析】(1)把各项造价用x表示，用基本不等式求最小值并检验等号条件；(2)转化为不等式恒成 立，分离参数后求函数最小值 【解答】 (1)因为左右两侧墙长均为x米，底面积为12平方米，所以前后墙长为12米. 1 前面墙的面积为3×12-36，造价为400×36-1400（元）： 左右两面墙的面积和为2×3x=6x,造价为150×6x=900x（元)· 设甲工程队的总报价为y元，则y=90x+1440+7200,2≤x≤6. 因为900x+14400≥2√500×14400=7200， 当且仅当900x=1400,即x=4时取等号，且4∈[2,6]， 所以当x=4米时总报价最低，最低为7200+7200=14400（元）· (2)由题意，对任意xc[2,6都有900a0+0<900x+1440+7200, 两边同乘00得10a1+)<2+8x+16=(k+4,即10a<+4 900 x+1 令1=x+1c[B7小，则+4-+3-+9+6225+6=12. x+1 t 当且仅当1=3（即x=2)时取等号，所以10a<12,即a<,又a>0, 故a的取值范围是 19.(17分) 定义：对于定义域为D的函数f(x),若x∈D,有f(x)=,则称x为f(x)的不动点.已知函 数f(x)=ax2+(b-1)x+b-8,a≠0. (1)当a=1,b=0时，求函数f(x)的不动点： (2)若b∈R,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； 3)设ae)且f的两个不动点为，，且/飞)-。是求实数b的最小值. 【答案】(1)4和-2；(2)0<a<10;(3)12 高一数学月度诊断（答案）第8页（共9页） 【分析】(1)解f(x)=x;(2)“恒有两个相异不动点”即f(x)=x的判别式恒正，转化为关于b的 。,再用韦达定理求b并求最值。 a 二次式恒正：(3)由不动点的定义把条件化为xx= 【解答】 (1)当a=1,b=0时，f(x)=x2-x-8,令f(x)=x得x2-2x-8=0, 解得x=4或x=-2,即不动点为4和-2. (2)令f(x)=x得x2+(b-2)x+b-8=0, 由题意该方程对任意b∈R都有两个相异实根，即 △=(b-2)-4a(b-8)=b2+(4-4ab+4+32a>0对任意b恒成立， 所以(4-4a2-4(4+32a<0,即16(a-1)2-16-128a<0,化简得a2-10a<0, 又a≠0，所以0<a<10. (3)由，x3都是不动点知f()=,f(x3)=为3， 所以f(3)=,= a-11 又=6-8，所以b-8a,即b=8+ a a a-1 a-1 令1=a-1(0,2,则6-8++少-8+1+228+2+2=12， t 当且仅当t=1,即a=2e(1,3)时取等号，故b的最小值为12. 高一数学月度诊断（答案）第9页（共9页）2026一2027学年第一学期高一数学学科素养月度诊断 (时间120分钟满分150分) 一、单选题（满分40分，每题5分，每题只有一个选项正确) 1.已知集合A={x∈N|x<4),B={-1,0,1,4,5},则A⌒B的元素个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.命题“x≥2，x2<5”的否定是（) A.3x≥2，x2≥5 B.r<2,x2≥5 C.∀x≥2，x2≥5 D.x<2,x2≥5 3.函数f()=-i x-2 的定义域为() A.(1,2) B.1,2] C.（-n,1][2,+0) D.（-m,1)U[2,+w) 4.已知命题p:x2-4x+3<0,则命题p成立的一个充分不必要条件是() A.x≤3 B.1<x<4 C.1<x≤2 D.1<x<3 5.己知A={xx2-3x+2=0},B={xar=1},若B三A,则实数a取值的集合为() A.{01 c.0.2 2 n.{2 6.“0<a<1是函数f()Fa-2ar+ 的定义域为R”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知m>0,>0,2m+n=1,则人+2的最小值为() Am n A.4 B.2W5 2 D.16 8.若不等式(m-1)x2+(-1)x+2>0的解集是R,则m的范围是() A.[1,9) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,9] 高一数学月度诊断第1页（共5页） 二、多选题（本题共3小题，满分18分，每题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法中，正确的是() A.若a<b,c<d,则c<bd B.“a>b>0是1<的充分不必要条件 a b C.若ax>y,则x>y D.设xR.则y=(+2)的最小怕为 10.已知关于x的不等式2+bx+c≤0的解集为{xx≤-2或x≥3}，则下列说法正确的是() A.a<0 B.ar+c>0的解集为{xk>6 C.8a+4b+3c<0 D.cx2+br+a<0的解集为 11,对任意A,BSR,记A①B={x|x∈AUB,x在AOB},并称A田B为集合A,B的对称差.下列命 题中，是真命题的为() A.若A={-1,0,1},B={0,1,2},则A⊕B={-1,2} B.若A={x|-1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A⊕B={x|-1≤x≤0}U{x1≤x≤2} C.若A,B三R且A⊕B=B,则A=O D.若A,B∈R且A⊕B=O,则A=B 三、填空题（满分15分，每题5分） 12.若m=x2-1,n=2(x+1)-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是 13.已知不等式am+1≥8对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为 14.设命题P:对任意x∈[0,1]，不等式5x-3≥m2-4m恒成立，命题q:存在x∈[-2,1]，使得不等 式x2-2x+-1≤0成立，若卫、q有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是 高一数学月度诊断第2页（共5页） 四、解答题（满分77分） 15.(13分) 已知集合U={x|-5≤x≤4}，M={x|-2≤x<3},CN={x|-3<x≤1).求： (1)集合N: (2)集合N∩(CM: (3)集合MON,MUN, 16.（15分) 己知集合A={x|2≤x≤7}，B={x|-3l+4≤x≤2-1}，且B≠0. (1)若p:x∈A,x∈B是真命题，求实数m的取值范围： (2)若g:x∈B,x∈A是真命题，求实数m的取值范围. 高一数学月度诊断第3页（共5页） 17.(15分) 已知f(x)=ax2-bx+3. (1)若a>0,b=a+3,求关于x的不等式f(x)>0的解集；（结果用a表示） (2)若f-)=4,a>0,b>1,求+2的最小值 a b+l 18.(17分) 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面 积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因 此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平 方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米 (2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900α1+）元(a>0),若无 论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求α的取值范围. 高一数学月度诊断第4页（共5页） 19.(17分) 定义：对于定义域为D的函数f(x),若x∈D,有f(x)=x。,则称为f(x)的不动点.已知函 数f(x)=ax2+(b-1)x+b-8,a≠0 (1)当a=1,b=0时，求函数f(x)的不动点： (2)若Vb∈R,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围： 3)设ae3)且的两个不动点为：，且/6)二1求实数6的最小值. 高一数学月度诊断第5页（共5页） 2026—2027 学年第一学期高一数学学科素养月度诊断 参考答案 一、单选题（满分40分，每题5分） 1．已知集合 ，，则 的元素个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把 具体写出来，再与 求交集，数元素个数． 【解答】 ，又 ， 所以 ，共 个元素．故选B． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变． 【解答】 “，”的否定是“，”．故选C． 3．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根号内非负、分母不为零，两者同时满足． 【解答】 需 且 ，即 且 ， 解得 或 ， 所以定义域为 ．故选D． 4．已知命题 ：，则命题 成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 即 ；充分不必要条件对应 的真子集． 【解答】 由 得 ． A项： 不能推出 （如 ），不充分； B项：，是必要不充分条件； C项：，是充分不必要条件，符合； D项：与原范围相同，是充要条件． 故选C． 5．已知 ，，若 ，则实数 取值的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出 ，再由 分类讨论 与 ． 【解答】 ． 当 时，，符合； 当 时，，由 或 得 或 ． 所以 的取值集合为 ．故选A． 6．“”是“函数 的定义域为 ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求“定义域为 ”的充要条件，再判断充分性与必要性． 【解答】 ：． 当 时，原不等式为 ，恒成立，解集为 ； 当 时，需 ，即 ，解得 ． 故选C． 7．已知 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用“ 的代换”把待求式与 相乘，再用基本不等式． 【解答】 ， 当且仅当 ，即 ，结合 得 ， 时取等号， 故最小值为 ．故选C． 8．若不等式 的解集是 ，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按二次项系数 是否为 分类，注意 时不是二次不等式． 【解答】 当 时，原不等式为 ，恒成立，解集为 ，符合题意； 当 时，需 且 ， 即 且 ，解得 ． 综上，，即 ．故选A． 二、多选题（满分18分，每题6分） 9．下列说法中，正确的是（　　） A．若 ，，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若 ，则 D．设 ，则 的最小值为 【答案】BCD 【分析】逐项判断：A 举反例；B 看充分性与必要性；C 注意 ；D 注意等号能否取到． 【解答】 A项：取 ，，，，则 ，不成立，错误； B项：，充分性成立；取 ，，有 但 不成立，必要性不成立，正确； C项：由 知 ，两边同除以 得 ，正确； D项：，但等号需 ，不可能； 令 ， 在 上递增，故最小值为 ，正确． 故选BCD． 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的解集为 C． D． 的解集为 【答案】BC 【分析】由解集得 及两根 ，用韦达定理把 用 表示后逐项判断． 【解答】 由解集为 知 ，且 是 的两根， 所以 ，，即 ，． A项：，错误； B项： 即 ，即 ，正确； C项：，正确； D项： 即 ，两边同除以 得 ，解得 或 ，错误． 故选BC． 11．对任意 ，记 ，并称 为集合 的对称差．下列命题中，是真命题的为（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 且 ，则 D．若 且 ，则 【答案】ACD 【分析】按定义 逐项验证． 【解答】 A项：，，故 ，正确； B项：，，故 ，而选项中 、 都在内，错误； C项：若 ，则 （即 ）且 （即 ），所以 ，正确； D项：若 ，则 ，即 ，正确． 故选ACD． 三、填空题（满分15分，每题5分） 12．若 ，，则 与 的大小关系是　　　　　　． 【答案】 【分析】作差比较，注意配方． 【解答】 ， ， 所以 （当 时取等号）． 13．已知不等式 对任意正实数 恒成立，那么正实数 的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】分离参数： 恒成立，再求右边函数的最大值． 【解答】 因为 ，原不等式等价于 对任意 恒成立． 令 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，即正实数 的最小值为 ． 14．设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立，命题 ：存在 ，使得不等式 成立，若 、 有且只有一个真命题，则实数 的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】先分别求出 、 为真的条件，再按“有且只有一个真”分两类求并集． 【解答】 命题 为真： 对 恒成立，左边最小值为 ， 所以 ，即 ，解得 ； 命题 为真：存在 使 ， 因为 在 上的最大值为 ，所以 ． ① 真 假： 且 ，得 ； ② 假 真： 或 ，且 ，得 ． 综上，． 四、解答题（满分77分） 15．（13分） 已知集合 ，，．求： （1）集合 ； （2）集合 ； （3）集合 ，． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1） 是 在 中的补集；（2）先求 再取交集；（3）按交集、并集的定义求解． 【解答】 （1）因为 ，， 所以 ． （2）因为 ，所以 ， 与 取交集得 ． （3）； ． 16．（15分） 已知集合 ，，且 ． （1）若 ：， 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 ：， 是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】先由 得 ；（1）；（2）． 【解答】 由 得 ，即 ． （1） 为真即 ，需 且 ， 即 且 ，所以 ． （2） 为真即 ，需 且 ， 即 且 ，所以 ． 17．（15分） 已知 ． （1）若 ，，求关于 的不等式 的解集；（结果用 表示） （2）若 ，，，求 的最小值． 【答案】（1）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；（2） 【分析】（1）因式分解后比较两根 与 的大小；（2）由 得 ，再用“ 的代换”． 【解答】 （1），两根为 与 ． 当 时，，解集为 ； 当 时，，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ． （2）由 得 ，即 ． 所以 ， 由基本不等式 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ，结合 得 时取等号， 故最小值为 ． 18．（17分） 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为 米，底面积为 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 元，屋顶和地面以及其他报价共计 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 米（）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围． 【答案】（1） 米时报价最低，最低为 元；（2） 【分析】（1）把各项造价用 表示，用基本不等式求最小值并检验等号条件；（2）转化为不等式恒成立，分离参数后求函数最小值． 【解答】 （1）因为左右两侧墙长均为 米，底面积为 平方米，所以前后墙长为 米． 前面墙的面积为 ，造价为 （元）； 左右两面墙的面积和为 ，造价为 （元）． 设甲工程队的总报价为 元，则 ，． 因为 ， 当且仅当 ，即 时取等号，且 ， 所以当 米时总报价最低，最低为 （元）． （2）由题意，对任意 都有 ， 两边同乘 得 ，即 ． 令 ，则 ， 当且仅当 （即 ）时取等号，所以 ，即 ，又 ， 故 的取值范围是 ． 19．（17分） 定义：对于定义域为 的函数 ，若 ，有 ，则称 为 的不动点．已知函数 ，． （1）当 ， 时，求函数 的不动点； （2）若 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围； （3）设 且 的两个不动点为 ，，且 ，求实数 的最小值． 【答案】（1） 和 ；（2）；（3） 【分析】（1）解 ；（2）“恒有两个相异不动点”即 的判别式恒正，转化为关于 的二次式恒正；（3）由不动点的定义把条件化为 ，再用韦达定理求 并求最值． 【解答】 （1）当 ， 时，，令 得 ， 解得 或 ，即不动点为 和 ． （2）令 得 ， 由题意该方程对任意 都有两个相异实根，即 对任意 恒成立， 所以 ，即 ，化简得 ， 又 ，所以 ． （3）由 都是不动点知 ，， 所以 ． 又 ，所以 ，即 ． 令 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 ． 高一数学月度诊断（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $