2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 第二章　直线和圆的方程 基础预习 重点探究 巩固演练 同步分级训练(十一)两条直线平行和垂直的判定 1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件． 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直． 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题. 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养． 基础预习 NO.1 新知初探 初试身手 魔术师的地毯 有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：“这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．”魔术师拿出事先准备好的两张 图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧．”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在 纳闷哩，这是怎么回事呢？ 为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直． (1)　　　(2) 1．两条直线平行与斜率之间的关系 类型 条件 对应关系 图示 斜率存在 α1＝α2________ l1∥l2⇔________ 斜率不存在 α1＝α2________ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 ≠90° ＝90° k1＝k2 思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ 提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． 2．两条直线垂直与斜率之间的关系 图示 对应关系 l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为0)⇔_________________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒______ k1k2＝－1 l1⊥l2 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等．(　 　) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行．(　 　) (3)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．(　 　) (4)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1.(　 　) × √　 × × 2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　 　) A．－3　　　 B．3　　　 C．－　　　 D． 3．若直线l1，l2的方向向量分别为(1，－3)和(1，k)，且l1⊥l2，则k＝___. 4．(教材P58T6(1)改编)l1的斜率为－ ，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为－_____. B 重点探究 NO.2 探究一 探究二 探究三 例1　(1)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． ①l1经过点A(2，3)，B(－4 ， 0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2 ， 2)； [思路探究]　(1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 探究1 两直线平行的判定及应用 ②l1的斜率为－ ，l2经过点A(4,2)，B(2,3)； ③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)； 解：③由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2. ④l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)． (2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行． [思路探究] (2)利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得． 判断两条不重合直线是否平行的步骤 1．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标． 解：设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC. 例2　(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)； [思路探究]　判断两直线垂直，当斜率存在时，利用k1k2＝－1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为0. 探究2 两直线垂直的判定及应用 ②l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20，3)； ③l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． 解：③由A，B的横坐标相等得 l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值． [思路探究]　(2)含字母的问题判断要分k存在和不存在两种情况来解题． 解：因为直线l2经过点C(2 ， 3)，D(1，a－2)，所以l2的斜率存在，设为k2. 当k2＝0，即a－2＝3，亦即a＝5时，A(3 ， 5)，B(3 ， 3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1⊥l2；当k2≠0，即a－2≠3，亦即a≠5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k2＝－1，得 • ＝－1，解得a＝2.综上可知，a的值为5或2. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.  (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.  (3)三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论. 2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4 ， 4)，C(－m，m)，D(3 ， 3m＋2)，若直线AB⊥CD ，求m的值． 解：∵A，B两点纵坐标不相等， ∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD， ∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3. ①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时C，D两点的纵坐标均为－1. ∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得 [探究问题] 1．两直线l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？ 提示：(1)两条直线的斜率存在；(2)两直线不重合． 探究3 两直线平行与垂直的综合应用 2．对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1k2＝－1吗？为什么？ 提示：不一定．当两条直线的斜率都存在时，k1k2＝－1，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零． 例3　△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值． 解：因为∠A为直角，则AC⊥AB， 所以kAC•kAB＝－1， [思路探究]　由A为直角顶点可得kAB•kAC＝－1. 1．(变条件)本例中，将“C(2，m)”改为“C(2,3)”，你能判断三角形的形状吗？ 解：如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－ ，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB•kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°. ∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形． 2．(变条件)本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？ 解：由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角． 若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB•kBC＝－1， 若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC•kBC＝－1， 综上可知，m＝3或m＝±2. 3．(变条件)若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？ 解：若∠A为直角，则AC⊥AB， 所以kAC•kAB＝－1， 若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB•kBC＝－1， 若∠C为直角，则AC⊥BC， 所以kAC•kBC＝－1， 得m＝±2. 综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2. 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 1．两直线平行或垂直的判定方法 斜率 斜率均不存在 一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 斜率均存在 斜率均存在 斜率 斜率均不存在 一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 相等 积为－1 直线 平行或重合 垂直 平行或重合 垂直 课 堂 小 结 2．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想. 巩固演练 NO.3 1．下列说法正确的是(　 　) A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 D A 3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是______. 4．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_________. －1 5．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值． 解：直线l1的方向向量为(－3－m ， 3)， 直线l2的方向向量为(－2，1)． 同步分级训练(十一) 两条直线平行和垂直的判定 NO.4 A级 基础过关练 B级 能力提升练 一、选择题 1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是 (　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 D [设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则有k1•k2＝－1，从而直线l1与l2垂直．] 2．若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为(　　) A．－1 B. C．2 D. B 3．已知直线l1和l2互相垂直，且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为(　　) A．(2 ， 0) B．(0 ， 2) C．(0 ， 1) D．(1 ， 0) [由条件知，kl1＝ ＝1，∵l1⊥l2，∴kl2＝－1.∴l2的方程为y－1＝－1×(x－1)， 令x＝0，y＝2.故l2与y轴交点坐标为(0，2)．] B 4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 C 5．已知点A(2，3)，B(－2 ， 6)，C(6 ， 6)，D(10 ， 3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 [先画出四边形ABCD的大致图形，如图所示，由斜率公式得kBC＝kAD＝0，kAB＝kCD＝－ ，所以四边形ABCD为平行四边形．] B 二、填空题 6．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋ －4，若l1∥l2，则m的值为 . [由题意得m2＋ －4＝tan 60°，解得m＝±2.] ±2 7．已知△ABC中，A(0 ， 3)，B(2，－1)，E，F分别是AC、BC的中点，则直线EF的斜率为 . [根据三角形的中位线定理，得EF∥AB， ∴kEF＝kAB＝ ＝－2.] －2 8．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为 时，AB⊥CD. [设点D(x ， 0)，因为kAB＝ ＝4≠0， 所以直线CD的斜率存在． 则由AB⊥CD知，kAB•kCD＝－1， 所以4•＝ －1，解得x＝－9.] (－9，0) 三、解答题 9.如图，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3)． (1)求OC所在直线的斜率； 解：由斜率公式得kOC＝ ＝3. ∴OC所在直线的斜率为3. (2)过点C作CD⊥AB于点D，求直线CD的斜率． 解：(2)因为OC∥AB，∴kOC＝kAB. 又CD⊥AB，∴kCD•kAB＝3kCD＝－1. 10．已知在▱ABCD中，A(1 ， 2)，B(5 ， 0)，C(3 ， 4)． (1)求点D的坐标； 解：设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝ kCD，kAD＝kBC， 所以D(－1，6)． (2)试判定▱ABCD是否为菱形？ 所以kAC•kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 11．(多选)下列说法正确的有(　　) A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 B．若l1∥l2，则k1＝k2 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直 D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行 AD [根据平行的判断，A正确，但B不一定正确，因为有可能斜率均不存在；根据垂直的判断，当一条直线斜率不存在，另一条斜率为零时，两直线才垂直，故C不正确，D正确．] 12．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　) D 13．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)，若l1∥l2时，a的值为 ，若l1⊥l2时，a的值为 . 1或6 3或－4 14．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12 ， 6)，D(2 ， 12)，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的是 .(把正确选项的序号填在横线上) ①④ 15.已知两条直线 ， ，m为何值时， 与 （1）相交？ （2）平行？ （3）垂直？ 解：（1）由 ，解得 ，-7． ，-7时，两条直线相交． （2）由 ，解得 ，-7．经过验证： 时两条直线重合，舍去． 时，两条直线平行． （3） 时，两条直线不垂直． 时，由两条直线相互垂直可得： ，解得 ． 时两条直线相互垂直． 本节内容到此结束!