练案13 第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[13] 第二章2.12.1.2两条直线平行和垂直的判定 A组·基础巩固 9.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线 1.直线11，l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两 l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若11⊥12，求 a的值 根，则1与2的位置关系是 ( A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 2.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0), 则直线AB与直线CD A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上都不正确 3.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线1对 称，则1的倾斜角为 ( A.135°B.45° C.30° D.60° 4.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三 角形是 ( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以点A为直角顶点的直角三角形 D.以点B为直角顶点的直角三角形 5.（多选)满足下列条件的直线1与l2,其中11⊥2 的是 A.11的倾斜角为45°，1，的斜率为1 B的到率为-人经过点A2,0),B(3,) C.11经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点 M(-1,2),N(1,0)〉 D.l1的一个方向向量为(1，m),l2的一个方向 向茫为1，日点】 6.已知直线1的斜率为3，直线12经过点A(1, 2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a= ;若 直线l1⊥l2,则a= 7.已知l1的斜率是2，l2过点A(-1,-2),B(x, 6),且11∥12，则1og÷x= 8.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边 AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8), C(8,6),则点D的坐标为 —152 10.已知△ABC的顶点A(1,3),B(-1,-1),13.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直 C(2,1),求△ABC的边BC上的高AD的斜 的小路，已知矩形花园长|AD1=5m,宽1AB1 率和垂足D的坐标 =3m,其中一条小路为AC,另一条小路过点 D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与 DM互相垂直，此时BM的长为 m. 14.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 0(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-21,2), 其中t>0.试判断四边形OPQR是否为矩形. C组·拓展提升 15.已知点A(1,2),B(2,3),点C在x轴上， △ABC为直角三角形，请写出C的一个坐标 为 B组·综合运用 16.如图，已知直线1∥12，点A是11,12之间的定 点，点A到11,12之间的距离分别为3和2，点 11.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点，且有 B是I,上的一动点，作AC⊥AB,且AC与I 一点D满足CD⊥AB,CB∥AD,则D点的坐 交于点C,则△ABC的面积的最小值为 标为 A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 12.若11与l的斜率k,2是关于k的方程22-3k -b=0的两根，若1，⊥2，则b= ;若 11∥12，则b= -153∴022<-1或n22>1,解得0<m<2或2<m<4当直线 的斜率不存在时，m=2符合题意.综上，实数m的取值范围 是(0,4) 14.2 A,8.C三点其线s=6c即二号-名气号即6 2+26,两边同除以6，得1=云+名即+古-宁 15.B因为表示经过点0(0,0)和点A(x,f(x)的直线的 斜率，所以a,,C的几何意义可以表示为3个斜 a’b 率，作函数fx)=log2(x+1)的图象，如图所示.因为a>b>c >0,在函数图象上找到对应点(a,f(a),(b,fb),(c, f代c),将这三点与坐标原点0相连，如图所示，可得C> f(b)、f(a) a fx)=l0g2(x+1) 16.【解析】Y-的几何意义是过M(x,y),N(2,1)两点的直线 x-2 的斜率. 因为点M在函数x+2y=6的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB, 且A1,)(3,2) 又6u=-子= 所以的取值范图是(-”，2]U[分，+)】 练案[13] 1.D方程x2-3x-1=0有两个不同实根，且两根之积为-1， 即直线4,2的斜率之积为-1，所以11与2垂直. 5-3 -3 1 2A由题意知ka=243,km=-3263ka kD,同理可知kAC≠km,故A,B,C,D不共线，∴两直线平行 3Bw号名-1，w6=-11的斜字为1，倾斜 角为45° 4C~二=-子e是受6如· 4-13 -1-2 k4c=-1,∴.AB⊥AC,∴.△ABC是以点A为直角顶点的直角三 角形. 5.BCD1的倾斜角为45°，则其斜率为tan45°=1，所以(1∥L2 或1与2重合，所以A不符合题意；42经过点A(2,0),B(3, 同)，则其率为，--5，因为(-停)×万-1， 所以l1⊥2，所以B符合题意；l,经过点P(2,1),Q(-4, -5),则有w==1,5经过点M以-1,2)，N1,0),则 —25 有6：子-1，因为w·w=-1,所以41山，所以C 符合题意；山的一个方向向量为(1，m),则k1=m,l2的一个 方向向量为（小，品）则妇=品如·妇=-1，所以 L1⊥☑2，所以D符合题意.故选BCD. 6.53 若4仍，则号子-3，解得a=5;若416，则-子3 2-1 =-1,解得a=3 5 7-号因为4/，所以名=2，解得x=3.所以1g时3 1 -2 8.(0,-2)设点D(x,y),则由AB∥DC,AD∥BC可得kAB= c6=6即。-万合-之28总解得 0,y=-2 9.【解析】设直线l2的斜率为k2, 则号号 ①当a=4时，l1的斜率不存在， 6=-手，不符合题意： ②当a4时，4的斜率存在，此时名日 由66=1，得号名浮1 解得a=3或a=-4. ∴.当a=3或a=-4时，l1⊥l2 10.【解析】因为B(-1,-1),C(2,1), -1+12 所以kc=2+i=3, BC边上的商AD的斜率太w=一多 设D(x,),由ko=Y二3=-3 -引2， 及km=Y+ 2 得x= 6,则D(9.5 2915 133y 1313 山.D设D(,,则w9之3如=ke号 2+1 2-0=-2,又CD1AB,CB∥AD, 3,ks=2-3 [kcm·kB=-1, x-3 ·3=-1, y+1 x-1-2, 「x+3y=3,「x=0, 即D(0,1). l2x+y=1,ly=1, 122-号当416时，46=-分=-1，得6=2当4 时，k=,4=9-4x2×(-b6)=0得6=-号 8 13.以B为原点，建立如图所示的"1A 平面直角坐标系，则A(0,3),D(5, 3),C(5,0),设M(x,0),0<x<5.由 题意可知直线AC和直线DM的斜率B M C 都存在，由于AC与DM互相垂直，所以kAc·kM=-1,即 号音9-1，解得=9所以w的长为9m 14.【解析】由斜率公式得k=二0=i t-0 w片 t, 如3 所以kP=k,koR=kpn, 从而OP∥RQ,OR∥PQ 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kop·k=-1,所以OP⊥OR, 故四边形OPQR为矩形. 15.(3,0)(答案不唯一，(3,0)，(5,0)任意一个都可以)设 C(x,0),易知当x=1或x=2时，不合题意，因此当x≠1且 2时，可得如多岩=1，c=名=2当4 为直角时，6m·6c=1·子=-1，得x=3,C的坐标为 (3.0).当B为直角时6uc=1·二3=-1，得x=5,C 的坐标为(5,0).当C为直角时，kc·kc=x一‘x-2 23 -1,化简得x2-3x+8=0,该方程无解. 16.6以A为坐标原点，平行于1的直 线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系.设 B(a,-2),C(b,3).AC⊥AB,.k4c· 如-1子子-1，则6-6 B =0,b=6,6=6R△ABC的面积S=1AB1·1AC= 1 瓜+4·B+9=子瓜+4· 39+9= 宁2+i,平≥分户+元=6（当且仅当公=4时取 等号) 练案[14] 1.D直线与x轴平行，.其斜率为0，.直线的方程为y= -2. 2.A因为直线l的方向向量为(1，-2)，所以直线l的斜率k= -2,又直线1过点(-3,4)，所以直线方程为y-4=-2(x+ 3),令y=0,得x=-1,所以l在x轴上的截距为-1. 3.B该直线的斜率为-√3，当x=0时，y=2-√3，∴.其倾斜角 为120°，在y轴上的截距为2-5. —25 4.A所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为-2，故 方程为y-3=-2(x+1) 5.D由A(2,-5),B(4,-1),知线段AB的中点坐标为 (3,-3),又由斜率公式可得k6=15》=2,所以线段 4-2 A份的垂直平分线的斜率为太=一之。一分所以装段A的 垂直平分线的方程为y-(-3)=x-3) 6.BC将(5，-2)代入y=5x-1,可知不满足方程，故A不 正确；由y=√5x-1,知直线1的斜率为√5，故B正确；设直线L 的倾斜角为&，则tana=5,可得a=60°，故C正确；由y= 3x-1,令x=0,可得直线1在y轴上的截距为-1，故D不 正确. 7.y=-子+4或y=-号-4设14y=-子+6，令x=0,得 y=b:令y=0,得x=子4由题意，得子·161·0=6， .b2=16,.b=±4.故直线1的方程为y=-3x±4. 8.y=√5x-6或y=-√5x-6因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或 -5,又因为在y轴上的截距为-6，所以直线的斜截式方程 为y=5x-6或y=-5x-6. 9.【解析】(1)1∥L2, .两直线的斜率相等. .m2-2=-1且2m≠1， ∴.m=±1. (2):41h2m-1=2 1 3 .m=4 10.【解析】当直线I的斜率不存在时，l的方程为x=2,经检验 符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线I的方程为y-2=k(x-2), 令y=0,得x=2h-2 由三角形的面积为2.得}×24：引 2k-2×2=2 解得6=2 可得直线1的方程为y-2=分(x-2). 综上可知，直线（的方程为x=2或y=2x+1. 11.C对于选项A,y=ax过坐标原点，且a>0,直线y=x+a在 y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题 意；对于选项B,y=ax过坐标原点，且a>0,直线y=x+a在 y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题 意；对于选项C,y=ax过坐标原点，且a<0,直线y=x+a在 y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D,两直线均不过原点，不符合题意 12.D结合图象易知，sin0<0,cos0>0,则角0是第四象限角. 9