2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 32100 观察与思考：“过山车”是一项富有刺激性的娱乐项目.为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，如果把它们看成直线，那么两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 情景导入 32100 1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2. 能应用两条直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题. 学习目标 32100 一、两条直线平行 问题1：平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行. 当两条直线， 平行时，它们的斜率， 满足什么关系？ 一般来说“两条直线， ”指两条不重合的直线. 形 数 反之，亦成立 故 ⟹ ， 即 新知讲解 32100 追问1：对于这个关系，还有其他的证明方法吗？ 设两条直线的斜率分别为， 则直线，的方向向量分别为=(1，)，=(1，)， 于是 1× 1× =0 于是，对于斜率分别为， 的两条直线， ，有： 32100 追问2：当两条直线斜率不存在时，这两条直线是什么关系？ 追问3：当两条直线重合时，它们的斜率有什么关系？ y x O • A B • • C 斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. 共线 前提：斜率存在 直线，的斜率不存在，此时 显然，当=90°时， 32100 例1.已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 解：如图，由已知可得 直线的斜率， 直线的斜率. 因为，所以直线 例题讲解 32100 例2.已知四边形的四个顶点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明. 解：如图，由已知可得 边所在直线的斜率，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率，边所在直线的斜率为. 因为，所以 因此四边形是平行四边形. 画图会比较直观，便于判断和计算 例题讲解 32100 使用斜率公式判定两直线平行的步骤 注意：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 归纳 32100 1．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为________． 解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， 0或1 巩固练习 32100 二、两条直线垂直 问题2：当直线时，它们的斜率是否还有特殊的数量关系？ 设直线与直线的斜率分别为则：直线相交时斜率不相等 设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是，， 于是， 即. 也就是说，. 新知讲解 32100 追问：若与中某条直线的斜率不存在，且，另一条直线的斜率为多少？反之成立吗？ 当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为，即斜率k为0；反之亦然. 由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直. 即 32100 例3.已知，试判断直线与的位置关系. 解：直线的斜率， 直线的斜率. 因为，所以直线. 例4 已知三点，试判断的形状. 例题讲解 32100 例4 已知三点，试判断的形状. 解：边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率 由，得即 ∴是直角三角形. 32100 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率是否存在． 1.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 归纳 32100 2.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤： 由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形. （1）描点：在坐标系中描出给定的点. （2）猜测：根据描出的点，猜测图形的形状. （3）求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若存在，则根据给定的坐标求直线的斜率. （4）结论：由斜率之间的关系判断形状. 3.由几何图形的形状求参数的注意点： 归纳 32100 2.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 D 巩固练习 32100 3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 B 解 由方程3x2＋mx－3＝0， 知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立. 故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在; 设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. 巩固练习 32100 4.已知直线经过点，直线经过点 ①若，求的值； ②若，求的值. 解：据题意， ①若，则即解得或 . 经经验，当或时，. ②若，当时，，此时，，不符合题意. 当时，的斜率存在，此时由得 解得或∴当或时，. 巩固练习 32100 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° 对应关系 l1∥l2 ⇔ l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示     k1＝k2 1.两条直线平行与斜率之间的关系 提示：用斜率证明三点共线时，常常用到斜率相等这个结论。 α1＝α2＝90° 课堂小结 32100 2.两条垂直直线斜率之间的关系 类型 斜率都存在 l1（或l2）的斜率不存在 前提条件 α1≠90°，且α2≠90° α1＝90°（或α2＝90°） 对应关系 l1⊥l2⇔ l1⊥l2⇔ 图示     k1k2＝1 l2（或l1）的斜率为0 课堂小结 32100 1.判断正误. (1)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行.（ ） (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等.（ ） 答案：√,√. 随堂小练 基础 32100 2.判断下列各题中与是否垂直. (1)经过点；经过点 (2)的斜率为10；经过点 (3)经过点；经过点 解：(1)∵，，，∴与不垂直. (2)∵，，∴，∴. (3)由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴.，则轴，∴. 垂直 垂直 不垂直 随堂小练 基础 32100 3.已知，，，四点，若直线与直线平行，则____. 解：，当，即时，，不存在. ∴和不平行；当时，.由，得，即.∴或. 当时，，，∴与平行.当时， ，，，∴与重合. ∴当时，直线和直线平行. 3 随堂小练 提升 32100 $