第5章 一次函数（重难点单元自测）数学新教材苏科版八年级上册

第5章 一次函数 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 5．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 6．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（） A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值 C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值 8．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（     ） A．长方体石块的高度为 B．当时，与的函数表达式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部 9．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，直线交坐标轴于两点，等边的边在轴负半轴上，顶点落在第二象限，且点为线段的中点，若将沿轴水平向左平移，当点落在直线上时，平移的距离为（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是一次函数，则的值为 ． 12．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）已知一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为________（用符号连接） 13．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 14．（25-26八年级下·福建福州·期末），两地相距，小明从地出发骑自行车以的速度前往地．用（）表示骑车时间，（）表示小明与地的距离，则关于的函数解析式是________． 15．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为“和谐点”，请写出函数图象上和谐点的坐标：______． 16．（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为 、 。 17．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②，且的值随着值的增大而减小；③当时，；④关于的方程的解是；其中正确的有_________．（只填写序号） 18．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知一次函数． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是_________； （2）在平面直角坐标系中有一条线段，其中，，若这个一次函数的图象与线段相交，则k的取值范围是____________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大？ (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)当m为何值时，函数图象经过第一、二、四象限？ 20．（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律． 如表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)【观察发现】若碗的数量为6个，则整齐叠放成一摞的这种规格的碗的高度为_______； (2)【建立模型】依据小亮测量的数据，写出表示y与x的函数关系的式子； (3)【解决问题】若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8时可放进柜子里，若要将整齐叠放成一摞的这种规格的碗放进柜子里，则此时碗的数量最多为多少个？ 21．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知直线． (1)为何值时，直线过原点． (2)为何值时，该直线与平行． (3)若函数的图象经过点，请求出这条直线与坐标轴围成的三角形面积． 22．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）A城有水果，B城有水果，现要把这些水果全部运往C，D两乡，C乡需要水果，D乡需要水果，设A城运往C乡的水果为x吨，运往C乡水果的总运费为元，运往D乡水果的总运费为元（要求所有运输量无0吨调配，均大于0且为整数）．运费如下表所示： C乡（元/吨） D乡（元/吨） A城 20 25 B城 15 24 (1)分别求出，关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 23．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】(2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】(3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 24．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于点，．过点的直线交轴于点，交直线于第二象限的点，且三角形与三角形的面积相等． (1)求直线的函数解析式；(2)若点在直线上，过点作轴的垂线交轴于点、交直线于点，且，求点的坐标；(3)将直线沿轴向下平移个单位长度，平移后的直线交轴于点．若三角形的面积为，则__________（直接写出答案）． 25．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的k（）倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 例如：如何求出直线的“2倍伴随线”的函数解析式？ 设直线上任意一点，则，根据定义，其“2倍伴随线”上的对应点Q为． 点Q在新直线上的坐标为，则，由此可得 将代入，得 整理得，即直线的“2倍伴随线”的函数解析式为 (1)若点在上，则下列四个点①、②、③、④，在的“k倍伴随线” 上的点有______（填序号）；(2)请求出直线的“3倍伴随线”的函数解析式； 【定义延伸】(3)若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是_____（填序号），并证明你认为正确的关系式； 【定义应用】(4)如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，直接写出k的值． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【探索发现】(1)如图①，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)如图②，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．若，过点B在y轴左侧作，且，连接，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由； 【拓展应用】(3)如图③，四边形为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限．若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一次函数 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C三个选项中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，故y是x的函数， D选项中，当时，有两个值与之对应，故不是x的函数． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当输入，，，解得，当输出的值为时，有两种情况， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得，故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ，∴，∴ 则关于、的方程组的解为．故选：B． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【详解】解：选项A：由表格数据可知，寄送物品质量越大，快递费用越高，A说法正确； 选项B：查表得，寄送物品质量为时，快递费用为元，B说法正确； 选项C：由表格规律，每增加，费用增加元，故估计质量为时，费用为元，C说法正确；选项D：寄送物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 5．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 【答案】A 【详解】解：对于一次函数，得，， 直线与的值相等，值不相等，两直线平行，A正确； 把代入，得，故图像不过原点，B错误； ，，函数图像经过一、二、三象限，C错误； 令，得，解得，故函数与轴交于点，D错误． 6．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，令，∴，∴， ∵，∴，∴，∴两个一次函数图象的交点的横坐标为1， ∴只有D选项中的函数图象符合题意； 7．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（） A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值 C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【详解】解：∵一次函数，∴，∴y随x的增大而减小， 则当时，函数y有最大值，故A不符合题意； 当时，函数y有最小值，故B不符合题意； 当自变量x满足，函数y满足，故C符合题意，D不符合题意． 8．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（     ） A．长方体石块的高度为 B．当时，与的函数表达式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部 【答案】C 【详解】解：由图②可知，当时，保持不变，说明此时石块未接触水面，则， 当时，石块开始进入水中，当时，保持不变，说明此时石块全部浸入水中， 由图①可知，石块初始位置底部距离容器底，则石块距离水底的高度， A．，故石块的高度为，故A选项错误； B．当时，设， 将点，代入得， 解得， ，故B选项错误； C．当时，， 此时，故C选项正确； D．当时，由图②可知， 此时石块距离水底的距离无法确定，故D选项错误 ． 9．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ，点的坐标为，即 ． 10．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，直线交坐标轴于两点，等边的边在轴负半轴上，顶点落在第二象限，且点为线段的中点，若将沿轴水平向左平移，当点落在直线上时，平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作，垂足为点， 令，得，点的坐标为，， 点为线段的中点，；为等边三角形， ，由勾股定理得：，点的坐标为， 设向左平移的距离为，则平移后点的坐标为， 将代入，得，解得：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴且，解得，故答案为：． 12．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）已知一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为________（用符号连接） 【答案】 【详解】解：∵函数是一次函数，∴， ∵，∴，∴随的增大而减小， ∵三个点的横坐标分别为，，，且满足， ∴对应纵坐标的大小关系为． 13．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 【答案】 【详解】解：设所求一次函数的解析式为， 该一次函数的图象与直线平行，∴． 该一次函数过点，，解得，该一次函数的解析式为． 14．（25-26八年级下·福建福州·期末），两地相距，小明从地出发骑自行车以的速度前往地．用（）表示骑车时间，（）表示小明与地的距离，则关于的函数解析式是________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，小明骑行的路程为， ∵ A，B两地总路程为，为小明与B地的距离， ∴关于的函数解析式为． 15．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为“和谐点”，请写出函数图象上和谐点的坐标：______． 【答案】 【详解】解：∵和谐点的横坐标和纵坐标相等，∴令， 将代入，得，移项整理得，解得， ∴，∴函数图象上和谐点的坐标为． 16．（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为 、 。 【答案】 【详解】解：当时，则有，解得：，当时，则有， ∴直线与x轴、y轴的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点坐标分别为， ∵直线与直线关于直线对称， ∴把点代入得：，解得：． 17．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②，且的值随着值的增大而减小；③当时，；④关于的方程的解是；其中正确的有_________．（只填写序号） 【答案】②③④ 【详解】解：∵的图象与轴的交点在轴的负半轴，∴，故①错误， ∵的图象经过一、二、四象限，∴，且的值随着值的增大而减小，故②正确， ∵时，的图象在的图象下方，∴当时，，故③正确， ∵两函数图象的交点的横坐标为，∴关于的方程的解是，故④正确， 综上所述：正确的有②③④． 18．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知一次函数． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是_________； （2）在平面直角坐标系中有一条线段，其中，，若这个一次函数的图象与线段相交，则k的取值范围是____________． 【答案】 或 【详解】解：（1）整理一次函数，可得 当，即时，，该结果与的取值无关， 因此无论取何非零值，函数图象都经过定点； （2）将代入，可得解得． 将代入，可得 解得． ∵一次函数图象恒过定点，要使一次函数图象与线段相交 ∴的取值范围为或． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大？ (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)当m为何值时，函数图象经过第一、二、四象限？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵y随x的增大而增大，∴，∴． （2）解：∵函数图象经过原点，∴当时，，∴． （3）解：∵函数图象经过第一、二、四象限， ∴，解得：，∴当时，函数图象经过第一、二、四象限． 20．（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律． 如表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)【观察发现】若碗的数量为6个，则整齐叠放成一摞的这种规格的碗的高度为_______； (2)【建立模型】依据小亮测量的数据，写出表示y与x的函数关系的式子； (3)【解决问题】若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8时可放进柜子里，若要将整齐叠放成一摞的这种规格的碗放进柜子里，则此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1)18(2)(3)10个 【详解】（1）解：由表格中两个变量的对应值的变化规律可知， 每增加1个碗，总高度增加 2.4，∴当时，， 即当碗的数量为6个时，碗的高度为18； （2）由表格中两个变量的对应值的变化规律可知，，即； （3）由题意得，，即，解得，所以x的最大整数值为10， 答：若要将整齐叠放成一摞的这种规格的碗放进柜子里，此时碗的数量最多为10个． 21．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知直线． (1)为何值时，直线过原点． (2)为何值时，该直线与平行． (3)若函数的图象经过点，请求出这条直线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)(2)(3)4 【详解】（1）解：将原点代入得， 即，解得； （2）解：∵该直线与平行，∴，解得； （3）解：将点代入得， 即，解得，即， 当时，，解得，即直线与x轴交点为， ∴这条直线与坐标轴围成的三角形面积． 22．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）A城有水果，B城有水果，现要把这些水果全部运往C，D两乡，C乡需要水果，D乡需要水果，设A城运往C乡的水果为x吨，运往C乡水果的总运费为元，运往D乡水果的总运费为元（要求所有运输量无0吨调配，均大于0且为整数）．运费如下表所示： C乡（元/吨） D乡（元/吨） A城 20 25 B城 15 24 (1)分别求出，关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 【答案】(1)，；x的取值范围是，且x为整数 (2)最少总运费为10844元，运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． (3)最少总运费元，运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． 【详解】（1）解：“运往乡的总运费”与两笔运费之和：； “运往乡的总运费”与两笔运费之和： ． ∵“所有运输量均大于0”，∴且（自动满足），∴，且为整数． （2）解：． ∵，∴随增大而增大，∴取最小值1时最少，元． ∴运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． （3）解：单价变为元，总运费 ． ∵，一次项系数，∴随增大而减小， ∴取最大值219（保持）时最少： （元）． 运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． 23．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】(2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】(3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 【答案】(1)描点见解析(2)(3)①无解；②， 【详解】（1）解：描点如图所示： （2）解：∵二元一次方程组的解是， 那么直线与的交点坐标是； （3）解：①由图象可知，图象和图象平行，∴方程组无解； ②把和代入方程，得，解得，即，． 24．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于点，．过点的直线交轴于点，交直线于第二象限的点，且三角形与三角形的面积相等． (1)求直线的函数解析式； (2)若点在直线上，过点作轴的垂线交轴于点、交直线于点，且，求点的坐标； (3)将直线沿轴向下平移个单位长度，平移后的直线交轴于点．若三角形的面积为，则__________（直接写出答案）． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：把代入直线，得，∴，∴， 把代入直线，得，∴，∴，， ∵，∴， ∵三角形与三角形的面积相等，∴， ∵点，∴，∴,∴， ∵点在第二象限，∴， 把代入直线，得，∴， 设直线的函数解析式为，把和代入， 得，解得，∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意可知，点关于轴对称，设，则， ∵点在直线上，∴，解得， ∴，∴； （3）解：∵将直线沿轴向下平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，，解得，∴， ∵三角形的面积为，∴, 即，解得或． 25．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的k（）倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 例如：如何求出直线的“2倍伴随线”的函数解析式？ 设直线上任意一点，则，根据定义，其“2倍伴随线”上的对应点Q为． 点Q在新直线上的坐标为，则，由此可得 将代入，得 整理得，即直线的“2倍伴随线”的函数解析式为 (1)若点在上，则下列四个点①、②、③、④，在的“k倍伴随线” 上的点有______（填序号）；(2)请求出直线的“3倍伴随线”的函数解析式； 【定义延伸】(3)若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是_____（填序号），并证明你认为正确的关系式； 【定义应用】(4)如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)②④(2) (3)正确的是②， 证明：直线的上任意一点，则，根据定义，其“k倍伴随线”上的对应点Q为．点Q在新直线上的坐标为，则，由此可得 将代入，得， 整理得，即直线的“k倍伴随线”的函数解析式为． 所以，；；故①错误；②正确． (4)2或3 【详解】（1）解：已知点在上，那么它在上的对应点坐标为，即， 上的点(由点变换而来)的横纵坐标满足，且横坐标， ①：此时，不满足的条件，所以不在上； ②：此时，满足条件；③：此时，不满足的条件； ④：此时，满足条件；因此，在上的点有②和④． （2）解：设直线上任意一点，则，根据定义，其“3倍伴随线”上的对应点Q为． 点Q在新直线上的坐标为，则，由此可得 将代入，得 整理得，即直线的“3倍伴随线”的函数解析式为． （3）略； （4）解：∵与x轴、y轴相交于A、B两点，∴，， 由（3）可知，直线的“k倍伴随线”解析式为， 由题意可知，，且点C不能与原点重合， 当时，为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，代入，得，， 当时，为等腰直角三角形，由题意， 坐标为时， 代入，得，（舍去）， 当时，为等腰直角三角形，由题意，坐标为时， 代入，得，（舍去）， 当时，为等腰直角三角形， 由题意，，则坐标为， 代入，得，， 当时，为等腰直角三角形， 由题意，，则坐标为， 代入，得，，故k的值为2或3． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【探索发现】(1)如图①，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)如图②，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．若，过点B在y轴左侧作，且，连接，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由； 【拓展应用】(3)如图③，四边形为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限．若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)证明：∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，，∴，，∴， 在和中，，∴； (2)当变化时，的面积是定值，理由如下：过点作轴， 同理可得，∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴当时，，即，∴， ∴，∴当变化时，的面积是定值； (3)点的坐标为或 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于点，交直线于， ∵点的坐标为，∴， 设，则，，， 由（1）可得，则，∴，解得， ∴，∴，此时，，符合题意； 当点在矩形外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得，则，∴，解得，∴， ∴，此时，，，符合题意； 综上所述，点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $