期中（第1章-4章）阶段复习卷（考前押题卷二）-2026-2027学年北师大版九年级上册数学

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习卷（考前押题卷二） 一、选择题（共20分） 1．如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 4．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 5．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 7．如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 8．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点E的运动不断改变；④的值是定值．以上结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共16分） 11．把方程化成一元二次方程的一般形式为 ________． 12．荣荣在解一元二次方程时，只得出一个根，则被漏掉的根是_______． 13．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 14．在花艺造型中，黄金分割被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高与整体作品的高之比是黄金分割数（即）．若整体作品的高，则花材的高为______． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为，则的长为__________． 16．在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 17．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接．则的最小值为______． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点D的坐标为_______． 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解方程 （1）； （2）（配方法） （3）（公式法） 20．已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 21．依据下列各组条件，说明和是否相似： （1）； （2）； （3）． 22．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．    （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23．如图，菱形的对角线与相交于点，，菱形的边长为6．求： （1）对角线的长； （2）菱形的面积． 24．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，点是线段上的动点，点在的右侧，以为一边在轴上方作矩形，其中，，点从出发向终点运动，速度是每秒个单位，设运动时间为秒（）． （1）求线段，的长度； （2）连接，，设，求关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； （3）设矩形与重叠部分面积为． ①填空：当时，的值为________； ②当时，求的取值范围． 26．完成下列小题． （1）如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． （2）如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； （3）如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习卷（考前押题卷二） 一、选择题（共20分） 1．如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点为的中点， ， ， ． 2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需注意二次项系数不为0，且方程为整式方程这两个关键判定点． 【详解】解：A．未明确，不一定是一元二次方程，故A不符合题意； B．是一元二次方程，故B符合题意； C．含两个未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故D不符合题意． 3．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为，然后根据经过两轮传染后共有144人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：∵初始有1人患流感，每轮平均1人传染人， ∴第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为， ∴两轮后总患病人数满足：． 4．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 【详解】解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． 5．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算各方程的根的判别式，的方程没有实数根． 【详解】解：、，有实数根，不符合题意； 、，有实数根，不符合题意； 、，没有实数根，符合题意； 、，有实数根，不符合题意． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得． 7．如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理得到，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 8．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，不符合题意； D、∵，夹角和不一定相等， ∴不能证明，符合题意． 9．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点E的运动不断改变；④的值是定值．以上结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】作于M，于N，利用正方形的性质得出相等的边和角，证明和，逐项进行判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形，故②正确； ∵正方形和正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，是定值，故③错误， ∴， 又∵， ∴是定值．故④正确． 二、填空题（共16分） 11．把方程化成一元二次方程的一般形式为 ________． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，将原方程所有项移到等号左侧，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 因此一元二次方程的一般形式为 ． 12．荣荣在解一元二次方程时，只得出一个根，则被漏掉的根是_______． 【答案】 【分析】对原方程因式分解求解，得到所有根后即可找出被漏掉的根． 【详解】解：原方程为 因式分解得 可得或 解得， 因此被漏掉的根是． 13．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出与的位似比，再由位似图形的周长比等于位似比求解即可． 【详解】解：以原点为位似中心，将放大后得到，且点，， ，即将放大倍后得到， 与的位似比为， 则由位似图形的性质可知，与的周长比是． 14．在花艺造型中，黄金分割被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高与整体作品的高之比是黄金分割数（即）．若整体作品的高，则花材的高为______． 【答案】 【分析】根据比例式 ，列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， 即， ， ， 整理得， 即， 解得或（负值，舍去） 即花材的高为 ． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】先求出对角线、，再在中由勾股定理求边长；菱形面积还可以用底乘高，列方程求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，． ， ． ∵， ∴， ． ． 在中， ， ， ， ， 解得． 16．在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 【答案】或 【分析】作于点，设运动时间为，证明四边形是矩形，由题意分别表示出，，，由勾股定理得， 解方程即可． 【详解】解：作于点，设运动时间为， ， 矩形中，，，， ，，， 四边形是矩形， ，， 点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动， ，， ， ， ， 解得，或． 17．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接．则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据题意可得出四边形是矩形，则，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点，的坐标，结合勾股定理，可求出的长，再利用点到直线的距离，垂线段最短，可求出长的最小值，即长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵过点P分别作轴于点F，轴于点E，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点A， 当时，；当时，，解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当时，最小，则最小，此时， 的最小值为， 长的最小值为． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点D的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可求出，根据翻折可得出，然后根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：∵点B的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为. 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解方程 （1）； （2）（配方法） （3）（公式法） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【详解】（1） ， ∴，； （2） ， ∴，； （3） 方程的判别式为：， ∴， ∴，． 20．已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】（1），， （2） 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 21．依据下列各组条件，说明和是否相似： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）． 证明：∵， ∴． ∴． ∴ （2）． 证明：∵ 在中，， ∴． ∵， ∴． （3）． 证明：∵ ， ∴ ∴ 【分析】（1）计算三组对应边的比值，验证是否成比例，判断三角形是否相似； （2）先利用三角形内角和求出中的度数，再验证两组对应角是否相等； （3）验证两组对应边的夹角相等且夹边成比例，判断三角形是否相似． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．    （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形； （2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 答：的长为． 23．如图，菱形的对角线与相交于点，，菱形的边长为6．求： （1）对角线的长； （2）菱形的面积． 【答案】（1） （2）菱形的面积为 【分析】（1）由菱形的性质可得，再证明为等边三角形，即可得出结果； （2）先求出的长，再结合菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为6， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：由（1）可得为等边三角形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 24．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率 （2）现在的售价应定为每千克37.4元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解； （2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，列出方程求出，再用原定价减去降价即可求解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率． （2）解：设每千克应涨价元，则每天可售出千克， 根据题意得 ， 整理得， 解得，． 要使顾客得到实惠， ， 即每千克应涨价5元，定价为（元）． 答：现在的售价应定价37.4元． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，点是线段上的动点，点在的右侧，以为一边在轴上方作矩形，其中，，点从出发向终点运动，速度是每秒个单位，设运动时间为秒（）． （1）求线段，的长度； （2）连接，，设，求关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； （3）设矩形与重叠部分面积为． ①填空：当时，的值为________； ②当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）①或6；② 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）先表示出四点坐标，再根据两点之间距离公式表示出，即可解答； （3）①分在轴右侧和在轴左侧画出图形列出关于的方程可解得答案；②求出时的值（临界点），由图形可得答案． 【详解】（1）解：对于直线： 令，得，解得，即，因此； 令，得，即，因此； （2）解：点运动秒后，坐标为， ∵，， 由矩形性质得各点坐标：，，， 由两点之间距离公式得：， ， ∴， ∵点从出发向终点运动，速度是每秒个单位，， ∴； （3）解：当在轴右侧时，如图， ， ， 解得； 当在轴左侧时，设交于交于，如图： ， ， ， ， 解得； 因此的值为 或 ； ②当矩形向左运动时，重叠部分面积逐渐增大， 如图， 当时， ∵， ， 解得， 矩形整体进入时，此时； 当矩形继续向左运动，重叠部分面积逐渐变小， 连接交于，当在上时，直线平分矩形的面积，如图 ∵是的中点， ∴， 把代入得：，解得， ∴的取值范围为：（或写成）． 26．完成下列小题． （1）如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． （2）如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； （3）如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 【答案】（1） （2）①，② （3） 【分析】（1）根据相似三角形列比例式求解即可； （2）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （3）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，． ∴ ， 即正方形的边长为. （2）解：如图2，排列第一层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即： 解得． 因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即：， 解得． 因为，所以第二层最多排列个；， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图4，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个. 学科网（北京）股份有限公司 $