精品解析：山东济南市历城区济南外国语学校2026-2027学年度第一学期九年级 数学学科小练习（10月）

济南外国语学校2026—2027学年度第一学期 初三数学学科小练习 注意事项： 1．本试卷共3个大题，24个小题，全部答在答题卡相应区域，超出答题区域作答无效． 2．全卷满分150分，考试时间110分钟． 3．答卷前务必将姓名、班级、座号、考号等填、涂准确． 4．请用2B铅笔做选择题，用0.5mm黑色签字笔做非选择题． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目的要求） 1. 下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义逐项分析即可，若a，b，c，d是成比例线段，则a:b=c:d． 【详解】解：A. ∵1:2≠3:4，故A选项不能构成比例线段，不符合题意； B. ∵2:4=1:2≠6:8=3:4，故B选项不能构成比例线段，不符合题意； C. ∵，故C选项不能构成比例线段，不符合题意； D. ∵2:3=4:6，故D选项能构成比例线段，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查成比例线段，根据有关性质把四条线段分别计算比值并进行比较可以得到解答． 2. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 3. 如果x、y都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等式两边同时除以即可得到正确结果． 【详解】解：∵ 都不为零，且， 等式两边同时除以，得 ， 化简得 ． 4. 下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求线段的长，相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判断即可． 【详解】解：根据勾股定理，， 由题意可知：， 所以，夹直角的两边的比为， A、该三角形中无直角，故本选项不符合题意； B、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项不符合题意； C、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项符合题意； D、该三角形中，夹直角的两边长为和，比为，故本选项不符合题意． 5. 已知，如图，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵​的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 6. 已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A、由图知，，即，故选项不符合题意； B、由图知，，即，故选项不符合题意； C、由图知，，即，故选项符合题意； D、由图知，，即，故选项不符合题意； 故选：C． 7. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（ ） A. 42cm B. 38cm C. 62cm D. 70cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，cm， ∴， ∴； 故选B． 8. 将沿方向平移得到．若，且阴影面积与的面积比为，则平移距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设与交于点D，首先由平移得到，，证明出，然后利用相似三角形的性质得到，设，，然后利用求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点D ∵将沿方向平移得到 ∴， ∴ ∵且阴影面积与的面积比为， ∴ ∴ ∴设， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴平移距离为3． 故选：A． 9. 如图，四边形和都是平行四边形，点F在边上，且，连接分别交，于点G，H，设与面积的比为k，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 根据平行四边形的性质证明，，可得，，设，则，可得，设，则，，可得，令点到的距离为，由可得答案． 【详解】解：四边形和都是平行四边形， ，， ，， ，， ，设，则， ，， ， 设，则，， ∵， ∴， 令点到的距离为， ， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据作图可知平分，结合可证，从而得出，，接着利用勾股定理求出，得到，然后证明，利用相似比求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据相似比即可求出． 【详解】解：由作图可知，平分，  ， ，  ， 在和中，  ，  ， ，， 在矩形中，，， ， ， 四边形是矩形，  ， ，，  ，  ，  ， 在中，， ，  ，即， ． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷为非选择题，共14个大题， 2．用0.5mm黑色签字笔答在答题卡相应区域内，超出答题区域作答无效． 二．填空题 11. 已知，且，则______ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值．由可得，从而得到，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 13. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则_____．   【答案】8 【解析】 【分析】先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 14. 图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂，可分别绕点旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即两点重合），夹嘴间的距离的长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断和性质，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 根据题意，可得，，，由此可得，根据相似三角形的性质，对应边成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在正方形中，分别为边的中点，与分别交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于，利用正方形的性质求出是的中位线，得到的长，判定出，利用全等的性质和勾股定理得到，判定出，再利用相似三角形的比值关系运算求解即可． 【详解】解：过点作交于，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，中位线的判定及性质等知识点，合理做出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 三．解答题 16. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 17. 矩形矩形，它们的相似比为，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【解析】 【详解】解：∵点的坐标为，矩形， ∴， ∵矩形矩形，它们的相似比为， ∴， ∴， 解得， ∵矩形，点在第三象限， ∴点的坐标为． 18. 如图，在中，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【答案】证明：，，， ， 又， ． 【解析】 【分析】根据两边成比例切夹角相等证明相似即可． 【详解】略 20. 已知，且，求的值． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用设k法进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． （1）请画出； （2）与的周长之比为______； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质解答即可； （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 【小问3详解】 解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 22. 某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长．    【答案】这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米 【解析】 【分析】设米，则米，由矩形的性质可得，，过点作于点，交于点，则米，证明四边形为矩形，得出米，则米，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设米，则米， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点作于点，交于点，则米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米． 23. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 【答案】（1），； （2）路灯的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到，； （）过作于，则，，证明，求得，进而求得即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 根据反射可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：路灯的长约为． 24. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）设、交于点O，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）作，交于X，先四边形是平行四边形，得到，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （3）连接，，作点B关于的对称点R，连接，，由对称性可得，，，，由（2）可得；当A、G、R共线时，有最小值，即最小，最小值为的长，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：（1）如图1， 设、交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2， 作，交于X， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图4 连接，，作点B关于的对称点R，连接，， 由对称性可得，，，， 由（2）得，， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值， 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南外国语学校2026—2027学年度第一学期 初三数学学科小练习 注意事项： 1．本试卷共3个大题，24个小题，全部答在答题卡相应区域，超出答题区域作答无效． 2．全卷满分150分，考试时间110分钟． 3．答卷前务必将姓名、班级、座号、考号等填、涂准确． 4．请用2B铅笔做选择题，用0.5mm黑色签字笔做非选择题． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目的要求） 1. 下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 3. 如果x、y都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，如图，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ） A. B. C. D. 7. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（ ） A. 42cm B. 38cm C. 62cm D. 70cm 8. 将沿方向平移得到．若，且阴影面积与的面积比为，则平移距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，四边形和都是平行四边形，点F在边上，且，连接分别交，于点G，H，设与面积的比为k，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷为非选择题，共14个大题， 2．用0.5mm黑色签字笔答在答题卡相应区域内，超出答题区域作答无效． 二．填空题 11. 已知，且，则______ 12. 若，则的值是______． 13. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则_____．   14. 图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂，可分别绕点旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即两点重合），夹嘴间的距离的长为________． 15. 如图，在正方形中，分别为边的中点，与分别交于点．若，则的长为______． 三．解答题 16. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 17. 矩形矩形，它们的相似比为，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点的坐标为，求点的坐标． 18. 如图，在中，，．求的长． 19. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 20. 已知，且，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． （1）请画出； （2）与的周长之比为______； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 22. 某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长．    23. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 24. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $