九年级数学上学期期中模拟卷·素养提升卷（新教材人教版九上25～28章：一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转）

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 4 5 6 7 8 9 10 A C 0 A D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 2025 12.x(x-)=870 13.-1 14.x>0.2 15.1≤x≤6 16. 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(6分) 【详解】(1)解：x2-2x-8=0 (x-4)(x+2)=0 x-4=0或x+2=0 x=4,x2=-2 …(3分) (2)解： (x-2)}=3x-6 (x-2)}=3(x-2) (x-2)}2-3(x-2)=0 (x-2)(x-2-3)=0 x-2=0或x-5=0 x=2,x2=5 .(6分) 18.(6分) 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：一元二次方程 x2+3x-1=0 的两个根为， +53 1 2,书= 2·…(3分) 3 1+1-5+x=2=3 (2)解：xx 1 …(6分) 2 19.(6分) 【详解】(1)如图，△48G即为所求， 4(5,…(1分) B B) .…(5分) (2)如上图， △AB,C即为所求： 4,(-1,5) …(6分) 20.(6分) h=k(p>0) 【详解】(1)解：设h与P的函数关系式为P 因为图家过020：将p=1”有=20代入4 p,得 20= 1, 解得k=20. h=20(p>0) 所以h与P的函数关系式为P …(4分) 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 (2)解：当p=2gcm时，h= 2 =10cm 答：密度计浸入该液体中的高度h为l0cm.…(6分) 21.(8分) 【详解】(1)解：“垂直于墙的一边长为(m ,则平行于墙的一边长为 40-2x)m 又，平行于墙的一边不能超过墙长20m,即40-2x≤20，解得x≥10， S=x(40-2x)=-2x2+40x(10≤x≤20) .…(4分) (2)解：根据题意得-2x2+40x=192,即x2-20x+96=0, 解得：x=8或x=12 .x=8不符合实际，应取x=12.…(8分) 22.(8分) 【详解】(1)解：令y=0得-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3: 令x=0得y=3」 故4(-1.0)，B(3,0,CQ.3).…(4分) (2)解：由图象知，函数值大于0的部分在两交点之间，故-x2+2x+3>0的解集为1<x<3 当x=-2时，y=-(-2)}°+2×(-2)+3=-5 2时，y=-2+2×2+3=3 当- y=-x2+2x+3=-(x-12+4 1,4) .顶点坐标为 故当-2≤x≤2时，-5≤y≤4.…(8分) 23.(10分) 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：点A在一次函数乃=x+1的图象与反比例函数力=工(k为常数，kt0)的图象上， ,x=1,y=1+1=2 当时， A1,2) .k=1×2=2;…(3分) 2 (2)解：一次函数片=x+1的图象与反比例函数h=元的图象交于4、B两点， x+1=2 , 整理得2+x-2=0,解得x=-2,x=1, 点A的横坐标为1， ∴点B的横坐标为-2， 则由图可知，不等式x+1> x的解集为x>1或-2<x<0:…(5分) (3)解：如图，直线AB交y轴于点C, 当x=0时，y=0+1=1, C(0,1) 则 设P0川，则CP=n-1 点A的横坐标为1，点B的横坐标为-2， S.w-S.c+5.w-ixlxCP+ix-xCP-3CP 1 2 SA4BP =6 419 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n-=6,则n-14或n-1上4 解得n=5或n=-3, 则P0,5或a-刃 …(10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：“△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=60° AD是等边△ABC的中线， .AD平分∠BAC, ·∠BAD=号∠BAC=30° ~线段BE绕点E顺时针旋转得到线段EF,点F与点A重合， ∴.BE=AE ∴，∠ABE=∠BAE=30° ∠BEA=180-∠ABE-∠BAE=120°，即∠BEF=120°：·(3分) (2)解：如图，连接EC, 是等边三角形， 是中线， C..ABC AD .AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线， ∴BE=CE, LEBC=∠ECB, ∴.∠BEC=180°-2∠ECB :BE旋转得到EF, .BE=EF, .EC=EF, ∴.∠ECF=∠F 519 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠CEF=180°-2∠ECF, .∠BEF=360°-∠BEC-∠CEF ∴.∠BEF=360°-(180°-2∠ECB)-(180°-2∠ECF) =2(∠ECB+∠ECF) =2∠ACB =2×60°， =120°：…(6分) (3)解：如图，过点F作FG⊥AE,垂足为G,过点E作EH⊥AB,垂足为H, 设AF=a, ∴AE=25a .在Rt△AGF中，∠GAE=30°， GF=1 GE=AE-4G=25a-5a=33 2 as 2 a 在 t△EG 中，根据勾股定理得， EF=GF2+GE i5-. 在Rt△AEH中，∠EAH=30°， H4x2=5o, 根据勾股定理得，AH=VAE2-EF=23a'-(（5a}=30 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EB=EF=√7a 由旋转 在RtABEH中，根据勾股定理得， BH-BE-EH-a)-(a)-2a, .AB=AH+BH =3a+2a=5a, BE-7a-万 AB5a5.…(10分) 25.(12分 【详解】四=-4+4与=-式+2x 为“伴随对称抛物线”，理由如下： y=x2-4x+4=(x-2}2 抛物线少=x-4x+ 的顶点坐标为(2,0) 2代入’=-+2，得"=2+2x2=0 将t 抛物线”=-+2经过点20)， y=-x+2x=-(x-2+1 ∴抛物线”=+2的顶点坐标为)， 把=1代入=-+4，得-4x+4, 抛物线=-4红+4经过点)， y=-4x+4与”=+2 互为“伴随对称抛物线”；…(3分) 2)@4+4=0 ,证明如下： G:y=a(x-h+片，CG:y=a,(x-广+女，顶点分别为4，， :4(,4)4(么，k) 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：C与9互为“件随对称抛物线”， :k=4(么-h了+店.飞=a(么-4+k 两式相加，得a+4)-乃)}=0 :名*6 ,h-h2≠0 :9+g0 …(6分) C y=x2 a+a=0 ②： a1=1a2=-a1=-1 .C3:y=-(-P+k :A(0,0).4(,k)k=公 如图，设44与B相交于点P, B2 A ABAB ,四边形 为正方形， :P为C的对称中心， AA2⊥BB2BP=AP 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 1⊥y B,BN⊥ 过点P作直线1y轴，垂足为M,过点9作 ,垂足为N,则 ,∠B,NP=∠AMP ∠B,PN=∠MAP=90°-∠MPA BP=AP ,△PB,N≌△APM(AAS) PN=AM BN=PM . 2 :名=公 8当男 +h 2 整理得 5-2h-h=2 a-2]-么+)=么-2医-刂=居-2据-6+2=2+2=4.…12分) 9/9 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．对于二次函数 ，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．函数的最大值是 3 D．当时，y 随 x 的增大而增大 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（     ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 7．若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 9．如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（     ） A．4， B．2， C．1， D．3， 10．二次函数的图象如下图，则下列正确的结论有（     ） ①；②；③；④；⑤若方程的两个根为，，则；⑥当时，y随x的增大而减小 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若是方程的根，则代数式的值为________． 12．某初中毕业班的每个同学都希望把自己的照片向全班其他同学赠送一张表示留念，按这样预计将互送870张照片，若这个班共有x名同学，则可列方程为_________． 13．若二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 14．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 15．如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． 16．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（6分）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 18．（6分）已知一元二次方程的两个根为，． (1)求、的值． (2)求的值． 19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 20．（6分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中时，浸入液体中的高度h（）是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图所示（）． (1)求h与之间的函数关系式； (2)当液体密度，求密度计浸入该液体中的高度h． 21．（8分）如图,某农户准备用长的篱笆靠墙(墙长)围一块矩形菜地,设垂直于墙的一边长为． (1)用含x的式子表示菜地的面积S； (2)当菜地的面积为时,求x的值,并结合实际说明所求的值是否都符合要求． 22．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 24．（10分）如图，是等边的中线，点在线段上运动（点不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)如图2，当点在的延长线上时，求的度数； (3)如图3，当点在边上时，若，求的值． 25．（12分）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意； B、不是中心对称图形，此项不符合题意； C、是中心对称图形，此项符合题意； D、不是中心对称图形，此项不符合题意． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：方程，只含有一个未知数，且的最高次数是，同时二次项系数， 符合一元二次方程的定义， 选项B：方程中含有两个未知数和，不满足一元二次方程只含有一个未知数的条件， 所以它不是一元二次方程， 选项C：方程是分式方程，因为方程中含有分式，不满足一元二次方程是整式方程的要求， 所以它不是一元二次方程， 选项D：将方程展开，可得，未知数的最高次数是， 不满足一元二次方程未知数最高次数是的条件， 所以它不是一元二次方程． 3．对于二次函数 ，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．函数的最大值是 3 D．当时，y 随 x 的增大而增大 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，，开口向下，选项A错误，对称轴是直线，选项B错误，顶点纵坐标为 3，故最大值为 3，选项C正确；当时， y 随 x 增大而减小，选项D错误． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为， 所以方程没有实数根． 5．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 6．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（     ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【详解】解：∵， ∴, ∴方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴，． 7．若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数，． ∴对称轴为直线，抛物线开口向上． ∵三点到对称轴的距离分别为，，，且． ∴． 8．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 9．如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（     ） A．4， B．2， C．1， D．3， 【答案】D 【详解】∵将沿射线的方向平移，得到， ， ∵将绕点逆时针旋转后，点恰好与点重合， ， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴平移的距离为． 10．二次函数的图象如下图，则下列正确的结论有（     ） ①；②；③；④；⑤若方程的两个根为，，则；⑥当时，y随x的增大而减小 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：由图象知对称轴为，， ， ，①错误． 因为抛物线与轴有两个交点，所以，②错误． 的值是当时的值，根据图象，当时，纵坐标， ，③正确． ， ， ，④正确． 方程的两个根为，， ， ， ，⑤正确． 当时， y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，⑥错误． 正确的结论有个． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若是方程的根，则代数式的值为________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的根， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 12．某初中毕业班的每个同学都希望把自己的照片向全班其他同学赠送一张表示留念，按这样预计将互送870张照片，若这个班共有x名同学，则可列方程为_________． 【答案】 【详解】解：这个班共有x名同学，则可列方程为． 13．若二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 【答案】 【详解】解：根据题意有：，对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系， ∴设， ∵点在此函数的图象上， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是． 15．如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线的交点为，， 从图象看，当时，直线在抛物线的上方，即． 16．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（6分）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 或 ……（3分） （2）解： 或 ……（6分） 18．（6分）已知一元二次方程的两个根为，． (1)求、的值． (2)求的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，． ∴，．……（3分） （2）解：．……（6分） 19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 【详解】(1)如图，即为所求，……（1分） ……（5分） (2)如上图，即为所求；……（6分） 20．（6分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中时，浸入液体中的高度h（）是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图所示（）． (1)求h与之间的函数关系式； (2)当液体密度，求密度计浸入该液体中的高度h． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 因为图象过，将，代入，得 ， 解得， 所以与的函数关系式为；……（4分） （2）解：当时，， 答：密度计浸入该液体中的高度h为．……（6分） 21．（8分）如图,某农户准备用长的篱笆靠墙(墙长)围一块矩形菜地,设垂直于墙的一边长为． (1)用含x的式子表示菜地的面积S； (2)当菜地的面积为时,求x的值,并结合实际说明所求的值是否都符合要求． 【详解】（1）解：∵垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 又∵平行于墙的一边不能超过墙长，即，解得， ∴．……（4分） （2）解：根据题意得，即， 解得：或． ∴不符合实际，应取．……（8分） 22．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 【详解】（1）解：令得， 解得或； 令得． 故，，．……（4分） （2）解：由图象知，函数值大于0的部分在两交点之间，故的解集为． 当时，， 当时，， ∵， ∴顶点坐标为， 故当时，．……（8分） 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ；……（3分） （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或；……（5分） （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或．……（10分） 24．（10分）如图，是等边的中线，点在线段上运动（点不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)如图2，当点在的延长线上时，求的度数； (3)如图3，当点在边上时，若，求的值． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是等边的中线， 平分 ． 线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点重合， ． ， ，即；……（3分） （2）解：如图，连接， 是等边三角形，是中线， ，即是的垂直平分线， ， ， ． 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ；……（6分） （3）解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设， ， 在中，， ，， ， 在中，根据勾股定理得，， 在中，， ， 根据勾股定理得，． 由旋转得， 在中，根据勾股定理得，， ， ．……（10分） 25．（12分）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【详解】(1)与互为“伴随对称抛物线”，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将代入，得， ∴抛物线经过点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线经过点， ∴与互为“伴随对称抛物线”；……（3分） (2)①，证明如下： ∵：，：，顶点分别为，， ∴，， 又∵与互为“伴随对称抛物线”， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴， ∴；……（6分） ②∵：，， ∴，， ∴：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， ∴为的对称中心，，， ∴， 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，则，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点在上， ∴， 整理得， ∴．……（12分） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $