第11章·平面直角坐标系·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第11章·平面直角坐标系·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握点坐标规律探索题的周期分析方法，能由前若干个点的坐标归纳循环规律并求目标点 · 掌握新定义阅读题的转化与代换技巧，能把自定义规则逐字翻译为坐标运算并代入检验 · 会利用绝对值、算术平方根的非负性结合方程组，由点的坐标特征求字母参数 · 能解决坐标系中动点与平移、角度、面积结合的综合压轴题，会建立方程或分类讨论 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系基础回顾 平面直角坐标系由互相垂直、有公共原点的x轴与y轴组成，坐标平面内的点与有序实数对一一对应 四个象限符号：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限 点P(a,b)到x轴距离=|b|，到y轴距离=|a|；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0 点(x,y)向右（左）平移a个单位横坐标加（减）a，向上（下）平移b个单位纵坐标加（减）b 概念辨析例题：若点P(a,b)在第四象限，且|a|=3，|b|=2，求P的坐标 答案：(3,-2) 解析：第四象限点横坐标为正、纵坐标为负，故a=3，b=-2，即P(3,-2)。 ☆ 2.点坐标规律探索 规律探索题要先按规则写出前4到6个点的坐标，再观察下标与坐标的循环周期 用目标下标除以周期，根据余数确定目标点落在循环中的位置，不要凭感觉猜测 动点沿矩形/正方形边界环绕运动时，一圈的路程固定，总路程除以周长可判断落点在哪条边上 光线反射、质点弹跳类问题，利用入射角等于反射角把折线路径展直分析 概念辨析例题：已知A1(1,0)，A2(1,1)，A3(-1,1)，A4(-1,-1)，A5(1,-1)，…每4个点一循环，求A2025的坐标 答案：A2025(1,0) 解析：循环周期为4，2025÷4=506余1，落在循环中第1个位置，即A2025(1,0)。 ☆ 3.新定义与阅读理解 新定义题要逐字把定义翻译成熟悉的坐标运算，圈出关键条件和限制 遇到形如P1(y-1,-x)的变换，按规则逐个坐标代入，再解方程求参数 定义中含k>0、整数点等限制时，要把它们转化为不等式（组）再求解 多选题形式的新定义，逐个选项代入验证，举反例即可排除 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，对点P(x,y)规定友好点P1(y-1,-x)，若P(a,b)的友好点为(3,1)，求a,b 答案：a=-1，b=4 解析：由定义P1(b-1,-a)=(3,1)，故b-1=3，-a=1，解得b=4，a=-1。 ☆ 4.坐标系中的动点与平移综合 动点问题先画运动路径图，把速度与时间转化为路程，再表示动点坐标 含|a|+=0或平方+绝对值=0的条件，利用非负性得每个部分都为0 平移作图与面积综合题，用割补法求格点三角形面积，再按面积条件列方程 动点与角度结合时，利用平行线的性质把角转化，注意分类讨论动点位置 概念辨析例题：已知点A(a,0)，B(0,b)满足|a-2|+=0，将线段AB向右平移3个单位得到CD，求C,D坐标 答案：C(5,0)，D(3,3) 解析：由非负性a=2，b=3，故A(2,0)，B(0,3)；右移3个单位横坐标各加3，得C(5,0)，D(3,3)。 📋 知识总结表 核心方法 操作步骤 注意事项 规律探索 写前4个点坐标→找周期→余数定位 周期要数准，余数为0对应循环末位 新定义 逐字翻译定义→代入坐标→解方程 注意k>0、整数等限制条件 非负性求参 |a|+=0 → a=0且b=0 每个非负部分都为0 动点问题 画路径→路程化坐标→列方程 分类讨论动点所在边 格点面积 外接矩形减周围直角三角形 割补时不要漏减或多减 平移坐标 右加左减横、上加下减纵 整体平移，对应点方式相同 ⚠️ 核心考点 【考点1】点坐标规律探索（第1-20题） · 先按规则写出前4到6个点的坐标，观察下标与坐标的循环周期 · 用目标下标除以周期，根据余数确定落点 · 环绕运动类先算一圈路程，再由总路程判断在哪条边 1．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，为． 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……，依次规律跳动下去，点A第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，找出规律是解题的关键． 根据点的周期性规律分别进行计算横坐标和纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据点运动的规律可知，每运动两次点的纵坐标增加一个单位长度，的纵坐标为； 根据点运动的规律可知，每运动4次点的横坐标向左平移一个单位长度，的横坐标运动周期为， ∴的横坐标为， 则的横坐标为； ∴点的坐标为， 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， ∵当时，， 当时，， ∴2024在第64排， ∵， ∴表示2024的有序数对是． 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标系中点的坐标变化规律，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：C． 5．（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解． 【详解】解： ，，，，，，，… （n为正整数）， 解得， ． 故选：C． 6．（2026·江西吉安·一模）光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】先根据点的下标的情况判断偶数点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∵如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达， ∴下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 7．（23-24八年级下·山东济南·阶段检测）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，由此得到点的横坐标为，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标的规律，求和，熟练掌握规律发现求和方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 由此得到点的横坐标为， 设， 故 下式减去上式，得 故横坐标为． 故选：B． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点按这样的运动规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了坐标的规律变化，根据意愿坐标归纳出规律是解题的关键． 根据题意可知：点P的横坐标为n（n是正整数），纵坐标的变化规律是，每次一循环，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， …… ∴横坐标的变化规律是：点P的横坐标为n（n是正整数），纵坐标的变化规律是，每次一循环， ∴点的横坐标是2025， ∵， ∴纵坐标为：1， ∴． 故选：B． 9．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，已知，，，，，…则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】通过观察可知点的变化为4个一循环，用2026除以4，通过余数判断出点的位置，即可解答． 【详解】解：根据题意，，，，，，… 结合图形可知，点的变化为4个一循环， ∵， ∴点在第一象限，且纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 10．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照的顺序，每个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加．利用规律求解即可． 【详解】解：根据题意及题图可知，第1次运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， 第5次运动到点， 第6次运动到点， 第7次运动到点， 第8次运动到点， 易知点的运动每4次位置循环1次，每循环1次向右移动4个单位， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点． ， 点的坐标是． 故选：A. 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，解题的关键是正确找出规律． 11．（25-26八年级下·湖南永州·期末）如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意可得当下标是（n为正整数）时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，结合可得答案． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：当下标是（n为正整数）时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数， ∵， ∴的横坐标为1，纵坐标为， ∴的坐标为 ． 12．（20-21八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点， ∴点． 故选：D． 13．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，， ，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律，由图可知横坐标为的点有个，横坐标为的点有个，横坐标为的点有个，纵坐标分别是，， ，横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数，横坐标为偶数，则从开始数，据此解答即可求解，由图形得到坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有个数，第二列有个数， 第列有    个数，则列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第个数一定在第列，由下到上是第个数， ∴第个点的坐标是， 故选： ． 14．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第次碰到长方形边上的点的坐标_____． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】通过分析观察，总结出图形变化规律为每碰撞6次回到起始点，所以，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标与第4次碰到长方形边上的点的坐标一样，即可求解． 【详解】解：如图， 观察图可知， 第1次碰到长方形边上的点的坐标为， 第2次碰到长方形边上的点的坐标为， 第3次碰到长方形边上的点的坐标为， 第4次碰到长方形边上的点的坐标为， 第5次碰到长方形边上的点的坐标为， 第6次碰到长方形边上的点的坐标为， 第7次碰到长方形边上的点的坐标为， 所以每碰撞6次回到起始点， 因为， 所以第2026次碰到长方形边上的点的坐标为． 15．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是__________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图和题意可知： 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， ， ∴点移动到时，用的时间为秒， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， 当点移动到时，向上移动秒，得到， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， ， ∴当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动秒，得到， ∴当点移动到时，用时秒，再向下移动秒，得到， 即第秒时质点所在位置的坐标是． 16．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点照此规律，点第8次跳动至点的坐标是_____，点第2026次跳动至点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、点坐标规律探索 【详解】解：， 点第1次向上跳动1个单位至点， 第2次向左跳动2个单位至点， 第3次向上跳动1个单位至点， 第4次向右跳动3个单位至点， 第5次又向上跳动1个单位至点， 第6次向左跳动4个单位至点， ∴第7次向上跳动1个单位至点， 第8次向右跳动5个单位至点， 第9次向上跳动1个单位至点， ， ∴第n次跳动至点，，，，， ∵， ∴把代入坐标， ，， ∴． 故答案为：①；② ． 17．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律运动，则第2026次运动到的点的坐标是________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据已知点的坐标可以推出每4次运动为一个循环，点的纵坐标依次为2，0，4，0，且每运动一次，点的横坐标加2，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次运动到点， 第6运动到点， 第7运动到点， ， 发现规律：每4次运动为一个循环，点的纵坐标依次为2，0，4，0，且每运动一次，点的横坐标加2， ， 第2026次运动到的点的横坐标是，纵坐标是0， 第2026次运动到点； 故答案为：． 18．（25-26七年级下·湖北襄阳·期中）如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第2026秒时运动到点_______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】观察图形可知，每6秒运动为一个循环组，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2026除以6，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：观察图形可知，点的运动规律是每6秒运动为一个循环组，并且每运动四次向右平移四个单位， ∵， ∴， ∴动点第2022秒时运动到向右平移1348个单位，则， 此时点的坐标为， 接下来点在轴的上方运动， ∴再过两秒后点坐标为， 接下来点在轴的下方运动， ∴再过两秒后点坐标为， 故动点第2026秒时运动到点． 19．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点完成第1次运动；再分别从点，出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点完成第8次运动时，从左往右数的第二个点的坐标是__________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据所给运动方式，依次求出每次运动后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次运动后，最左侧第一个点的坐标为， …， 按此规律，第次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 由题意可得：每完成一次运动，左右两个点的横坐标相差2，纵坐标相同， 即第次运动后，从左往右数的第二个点的坐标是，即， ∵当时，，， ∴第8次运动后，从左往右数的第二个点的坐标是． 20．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，沿着 的路线运动，按此规律，则点运动到时坐标为______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】观察动点运动后对应点的坐标变化，分别总结出点运动过程中横、纵坐标的变化规律即可． 【详解】解：点、、、横坐标分别是、、、， 点、、、横坐标分别是、、、， 点、、、横坐标分别是、、、， ， 点、、、横坐标分别是、、、， ，且， 的横坐标是， 点、、、纵坐标分别是、、、， 点、、、纵坐标分别是、、、， 点、、、纵坐标分别是、、、， ， 点、、、纵坐标分别是、、、， ，且， 的纵坐标是， 点的坐标为． 【考点2】新定义与阅读理解（第21-24题） · 把定义逐字翻译为坐标运算，圈出关键条件 · 按规则逐个代入坐标，再解方程或不等式 · 多选题逐个选项验证，能举反例即排除 21．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）定义：，其中n为正整数，，记：，例：，则．下列说法正确的有（    ）个： ①； ②； ③记，若，则； ④将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到，…，以此类推，则坐标为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了代数式的运算以及平移的坐标变化规律，正确地化简题干给出的两个定义是本题解题的关键． 对进行化简，再根据等差数列求和求解； ①直接代入移项即可得到； ②将和代入计算即可； ③先化简，再代入求的代数式，最后根据等式求解的取值范围即可； ④先求的代数式，进而求解的横纵坐标的代数式，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ①， ∴， 故①正确； ②， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴， 故③正确； ④， ∴的横坐标为：，的纵坐标为： ∴的坐标为：， 故④错误； 综上所述，正确的个数有3个． 故选：C． 22．（25-26七年级下·广东惠州·期末）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有________（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点向右平移个单位，向下平移个单位后得到点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求此时点的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于、的方程组与有相同的解，求：①用含的式子表示和；②若对于任意的值，等式始终成立，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①，② 【知识点】方程组相同解问题、求点到坐标轴的距离、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据“倍差点”定义，逐项验证即可； （2）根据“倍差点”定义，将变形为，得到，由点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求解即可； （3）①联立解得，将公共解代入另外两个方程，并结合“倍差点”定义，可得关于的方程组求解；②将①的结论代入得，即，求出p，q，即可解答． 【详解】（1）解：当时，①是“倍差点”， 当时，②不是“倍差点”， 当时，③是“倍差点”； （2）解：∵点是“倍差点”， ∴，即， ∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B， ∴， ∵点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍， ∴，，， ， 解得：， ∴； ∴点A的坐标为. （3）解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解， ∴联立解得 ∴， ∵，是“倍差点”， ∴，， 将，代入得，整理得， ∴解得， ②由①得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 23．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级跟随点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2级跟随点”为点，即点Q的坐标为． (1)若点P的坐标为，则它的“3级跟随点”的坐标为_______； (2)若点P的“级跟随点”的坐标为，求P点的坐标； (3)若点P在y轴正半轴上，点P的“a级跟随点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求a的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【知识点】加减消元法、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义，列出方程组进行求解即可； （3）设点的坐标为，根据新定义求出的坐标，再根据线段的长度为线段长度的2倍，列出方程进行求解． 【详解】（1）解：由题意，点P的“3级跟随点”的坐标为，即； （2）设点P的坐标为，则由题意，得 ，解得， ∴； （3）解：设点的坐标为，则， 由题意，，即 ∴， 由题意，， ∴． 24．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下： ①．如：； ②．如：； ③．如：； 例如：， 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若，且，则，反之若，则，且． ②；． 例如：． 请回答下列问题： (1)化简：___________；（填写坐标） (2)对于正整数；若，且，求满足条件的的值； (3)若且为绝对值不超过5的整数，点在第三象限，求满足条件的的所有可能取值． 【答案】(1) (2)2021，2024，2026，2029 (3)， 【知识点】绝对值非负性、新定义下的实数运算、不等式组和方程组结合的问题、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力，读懂题意，找出变换规律是解答此题的关键． （1）根据新定义进行化简即可． （2）通过化简等式两边的坐标变换与运算，结合正整数条件分析的取值，进而求出的可能值． （3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）解：①， ②， 得， ③， ④， 得， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴，即， ∴，即， 又为正整数， 或， 当时，，或， 当时，，或， 故答案为：2021，2024，2026，2029； （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， ， 为绝对值不超过5的整数， ∴的所有可能取值为、． 【考点3】点的坐标特征与距离求参数（第25-29题） · 利用象限符号把坐标特征转化为不等式（组） · 结合绝对值、算术平方根的非负性列方程 · 点到轴距离=坐标绝对值，注意分类讨论 25．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】当时，方程为，再把两个方程相加可判断①，由两个方程相减，再建立方程可判断②；解方程组求解可判断③；解方程组可得，再建立不等式组可判断④． 【详解】解：当时， 方程组为， 解得： 代入，与已知矛盾，故①不符合题意； ∵， （4）（3）得：； ∵， ∴，解得，故②符合题意； ∵ ∴（3）+（4）得：； 而可得； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， 解方程组可得：， 若点落在第三象限，需满足且， 即， 解可得：； 解可得：， ∴不等式组无解， ∴将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；故④符合题意； 综上所述，正确的有3个． 26．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知在第四象限内的点 到x轴、y轴的距离相等，且的平方根是它本身，则的算术平方根为____． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、代入消元法、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】先根据立方根的定义求出点的纵坐标，再结合第四象限点的坐标特征和点到坐标轴的距离关系得到第一个方程，根据平方根的定义得到第二个方程，联立方程组求出的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】首先计算点的纵坐标：，即 因为点在第四象限， 所以点的横坐标 因为点到轴、轴的距离相等，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值， 因此可得： 因为，化简得， 即 因为的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 因此可得：， 即 联立得方程组 解得 计算得， 的算术平方根为． 27．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．    (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达a点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①或110，②存在，， 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、平行线的性质在生活中的应用 【分析】（1）根据平方数与算术平方根的非负性，即可求出，，由桥长20米，为坐标原点，即可求解， （2）设检修工人走了t秒，由，，当时，代入，即可求解， （3）①设O灯转动了t秒．当时，，， 当时，，代入，即可求解，当时，其中当时，与必相交，当时，由有，代入，即可求解，当时，， ，当时，，代入即可求解，②由，，得到，结合，，得到，若为定值，则与t无关，即可求解， 本题考查了，平方数、算数平方根的非负性，平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∵桥长20米，为坐标原点， ∴， 故答案为：；；． （2）解：设检修工人走了t秒，如图，   ， ， 当时，，解得， 故答案为：， （3）解：①设O灯转动了t秒．（ⅰ）当时，如图（ⅰ）， ，， 当时，，则， 即，则，解得，    （ⅱ）当时，其中当时，与必相交， 当时，如图（ⅱ），    由，有， 则，即，即，解得：（舍）， （ⅲ）当时，其中当时，如图（ⅲ），   ，，， 当时，，则， 即，即，解得， 当时，与必相交． 综上，或110； ②存在；如图2，   ，， ， 又， ， 又， ， ， 若为定值，则与t无关， ，此时，， 故存在， ． 28．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点，点，且、满足． (1)直接写出________，________，三角形的面积是________； (2)线段上有一点，连接，若平分三角形的面积，求点的坐标； (3)现将线段平移至，使点、均落在坐标轴上，且点、与点、依次对应，线段与直线相交于点，直接写出的值． 【答案】(1)2；2；10 (2) (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，非负性的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据非负性的性质求出a、b的值，得到点A和点B的坐标，过点作轴于，过点A作轴于，根据列式求解即可； （2）过点作轴于，连接，设，根据，可得，则；过点作轴，交轴于点，过点作轴交轴于点，与交于点，可得到，根据，得到，解方程即可得到答案； （3）当点在轴上，点在轴上时，则平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，当点在轴上，点在轴上时，则平移方式为向左平移6个单位长度，向下平移4个单位长度，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图所示，过点作轴于，过点A作轴于， ∴ ； （2）解：如图所示，过点作轴于，连接，设， ， ， ； 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，与交于点， ∵平分三角形的面积， ∴， ∵， ∴ ， ， ， ； （3）解：如图所示，当点在轴上，点在轴上时，则平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度， ，， 如图所示，连接，则轴， ，，， 设， ，， ，， ，， ，， ； 如图所示，当点在轴上，点在轴上时，则平移方式为向左平移6个单位长度，向下平移4个单位长度， ，， 同理可得（可取一点，仿照上面得到点Q坐标）， ，，    综上所述，或． 29．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． (1)直接写出__________；__________； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于10？ (3)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，直线交轴于点．在运动过程中，和的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值不会变化， 理由：如图1，当点N在线段上时， ∵， ∴； 如图2，当点N在x轴的负半轴时， ∵， ∴， 综上所述：是定值8． 【知识点】绝对值非负性、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性，完全平方的非负性，利用非负性可求a，b的值，即可得到答案； （2）本题考查平移的性质，由平移的性质可得点，点，，，，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，当点N在x轴的负半轴上两种情况讨论，由面积和差关系可求解； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴点，点； （2）解：∵将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，，点， ∴点，点，，， ∴，， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积等于， ∴点M在点C下方， ∴四边形的面积四边形的面积， ∴； （3）略 【考点4】坐标系中的动点与平移综合（第30-39题） · 画运动路径，把速度时间转化为动点坐标 · 平移后对应点变化相同，先由一组对应点定平移方式 · 角度问题用平行线性质转化，注意分类讨论 30．（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)、点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出 ，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 31．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，平移点一次，可以得到点或点．将点进行若干次这样的平移后得到的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移（已知点平移前后的坐标，判断平移方式；由平移方式确定点的坐标），解二元一次方程组（求二元一次方程组的非负整数解）等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——平移及二元一次方程组的解法是解题的关键． 由题意可知，平移点一次，可以得到点或点，即横坐标，纵坐标或横坐标，纵坐标，则将点进行次横坐标，纵坐标和次横坐标，纵坐标的平移后得到的点的坐标为，即，其中，、均为非负整数，然后，分别利用各选项坐标建立二元一次方程组，求其非负整数解即可． 【详解】解：由题意可知，平移点一次，可以得到点或点， 即：横坐标，纵坐标或横坐标，纵坐标， 则将点进行次横坐标，纵坐标和次横坐标，纵坐标的平移后得到的点的坐标为，即， 其中，、均为非负整数， 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 则， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 则， 故方程组的非负整数解为，选项符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 故选：． 32．（25-26七年级下·青海西宁·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移得到线段，点的对应点为，点的对应点为．点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为__________． 【答案】或 【知识点】绝对值方程、由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】先根据点和对应点的坐标得到平移规律，求出点的坐标，再设轴上点的坐标为，利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：∵点平移后得到点， ∴平移规律为：横坐标加，纵坐标加， ∵点坐标为，点的对应点为， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 设点坐标为， ∵，， ∴，点到轴的距离为， ∵三角形的面积为， ∴，整理得， ， 解得或， ∴点的坐标为或． 33．（25-26七年级下·四川凉山·期末）在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，点坐标为或或或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）利用绝对值以及二次根式的非负性可得的值，从而确定、的坐标，根据平移后对应点的坐标特点可得平移规则从而确定、的坐标； （2）根据平移的性质可得，作利用平行线的性质可得的和为，再作将拆分为的和，结合角平分线即可解答； （3）先通过分割法求得三角形的面积，从而确定三角形的面积，再对点的位置分类讨论，当点在轴上时，以为公共底边用分割法表示三角形的面积列方程求解，当点在轴上时，以为底，以点的纵坐标为高列方程求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，所以点坐标为，点坐标为， 线段平移得线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 平移方式为向左平移5个单位，再向下平移5个单位， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：过点作， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ． （3）解：由已知，交轴于点，且点的坐标为， ， 过点作轴， ， 由点的坐标为可知， ， ， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 综上所述，点坐标为或或或． 34．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 35．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）已知：在平面直角坐标系中，直线分别与轴负半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足，点是直线上且不与、两点重合的动点 (1)求点、的坐标； (2)如图，点、点分别是线段、轴正半轴上的动点，过作，连接．若，请探究与之间的数量关系？（用含的式子表达并说明理由） (3)若，求出的取值范围． 【答案】(1)、 (2)，理由见详解 (3)且 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题、根据平行线的性质探究角的关系、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）利用算术平方根、绝对值均为非负数，两个非负数相加为则各自为，求出，进而得到两点坐标； （2）过点作垂直于轴的辅助平行线，结合得到同位角相等，再根据平行线同旁内角互补、直角互余拆分角度，推导与的数量关系； （3）对点在直线上的位置分三类讨论：在下方、在线段上、在上方，通过坐标作垂线表示三角形的底与高，结合面积关系列出不等式，联立直线的坐标关系式求解的取值范围，最后整合所有符合条件的区间． 【详解】（1）解：，，且， ， ，，即、； （2）解：，理由如下： 过点作轴，则， ，， ， ， ， ； （3）解：①如图，当点在点下方，即时， 此时，与已知条件不符，故舍去； ②如图，当点在线段上时（且不与、重合），即时， 连接，过点分别作轴于点、轴于点， ， ， 点， ，， ，即有， 又， ， 解得：， ； ③如图，当点在点上方时，即时， ， ， ，即有， 又， ， 解得：， ， 综上所述：且． 36．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 37．（25-26八年级上·重庆·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、根据平行线判定与性质求角度、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图象性质． （1）根据非负数的性质易得，，从而得出点A，C的坐标，然后根据轴交x轴于点B得出点B的坐标； （2）过点E作，根据平行线性质得，且，，所以，然后把代入计算即可； （3）分类讨论：设P，Q点运动的时间为t，①当点P在y轴正半轴上，设，；②当点P在y轴负半轴上时，设点P的坐标为，，利用可得到关于t的方程，再解方程求出t，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， 解得，， 又∵，， ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵轴交x轴于点B， ∴点B的坐标为， 即点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． （2）解：如图，过点E作， ∵轴， ∴轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． （3）解：由题意知，设P，Q点运动的时间为t， 当点P在y轴正半轴上，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴上时，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】 38．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点，点，且满足：． (1)点的坐标为 ，线段的长为 ，的面积为 (2)过点作轴，点是直线上一个动点（不与重合）： ①如图，过点作于点，点在线段上，连接，，与的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图，点在轴下方，连接交轴于点，连接交轴于点，记与面积分别为，且，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)① ②． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、单项式乘多项式的应用、根据平行线判定与性质求角度、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（）利用算术平方根与平方数的非负性求出点坐标，计算线段的长及的面积； （）①再通过平行线性质、角平分线定义推导与的数量关系；②先利用点的坐标表示相关线段长度，通过和建立含的方程，联立求解得点，再设，利用结合三角形面积公式建立方程，解得，进而得到点坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴，即：， ∴，，， ∴， ∵的底为，高为， ∴面积； （2）①或， 由题意：轴，，得轴，即， 过作，过作， ∵，， ∴， ∵， ∵平分，平分， ∴， 同理：， ∵， ∴， 即：， ∴； ②∵轴，横坐标为， ∴直线为；在轴下方，设，，（在轴上）， ∵轴，是直角三角形，直角边，， ∴ ∵，高为， ∴， ∵ ∴， 即 连接， ∵长为，到轴距离为， ∴， ∵，即， 整理得，代入， 得：， 解得：，即， 设，在上， ∵， ∴， ∵长为，到直线的水平距离为， ∴， ∵长为，到轴距离为（）， ∴， 代入等式解方程： ， 解得：， ∴的坐标为． 39．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． (1)请直接写出D点的坐标_____． (2)如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． (3)如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）因为长方形对边平行且相等，点A与D纵坐标相同，点C与D横坐标相同，所以直接根据已知点坐标推导D点坐标； （2）①因为平分，平分，所以先得到两个角平分线分出来的角与m、n的关系；如果过F作x轴平行线，那么可以利用平行线的内错角相等，将转化为两个角的和，进而用m、n表示； ②先根据角的和差关系表示出，再找出与的关系； （3）首先根据运动规则写出运动t秒后B、C、D三点的坐标，因为和同高，面积比等于底与的比，再分别用割补法表示和的面积，根据面积相等列方程求解t． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 且，，， ∴， ∴． （2）解：过点F作轴， ∵轴， ∴轴， ∴，， 又∵的平分线和的平分线交于点F， 且的度数为n，的度数为m ∴，， ∴， ∴， ∴； ②由图可得，， 且，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：连接， ∵的面积是面积的2倍， 且，， ∴， ∴，， ∵长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得， 当时，上式，解得， 当时，上式，解得（舍去）， 当时，上式，解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了长方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标确定、角平分线的定义、三角形外角性质、图形平移的坐标变化规律以及三角形面积计算等知识点，其中结合图形性质理清点坐标、角度与面积之间的数量关系，对应利用相关性质和公式推导计算是解题的关键． 【考点5】坐标与图形综合（第40-45题） · 格点图形面积用割补法：外接矩形减周围三角形 · 中点坐标等于两端点坐标的平均数 · 面积存在性问题先设点坐标，再按面积公式列方程 40．（24-25九年级下·江西抚州·期中）已知点，的半径为，切于点，点为上的动点，当是等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关键．根据题意画出图形分三种情况讨论：当点在轴上，，，当点是切点时， ，进而可以解决问题． 【详解】解： 如图，连接， ，的半径为， ，， ， 切于点， ， ∴ ， ， ， ， ； 当时，连接交轴于点，连接 切于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ 切于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 综上所述：当P的坐标为或 故答案为：或 ． 41．（25-26七年级下·福建厦门·期末）正方形的顶点坐标分别是，，，，将正方形上每个点都变为，得到正方形，其中．若正方形与正方形有公共点，n，t为常数，且，则t的取值范围是_____．（用含n的式子表示） 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、点坐标规律探索、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】先根据坐标变换规则确定变换写出正方形的坐标和正方形的坐标，再根据两个正方形存在公共点的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知：正方形的坐标分别为：，，，， 正方形的坐标分别为：，，，， 若正方形与正方形有公共点，n，t为常数，且， ∴当时，则，即， 则， 解得：， 当时，，即， 则， 解得：， 综上：． 42．（25-26七年级下·山东德州·期末）通过课本数学活动：二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于，的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为___________． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】把方程组化为，根据题意可得关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解满足，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵关于，的二元一次方程的图象和关于，的二元一次方程的图象的交点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解满足，解得， ∴关于，的方程组的解为． 43．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）综合与实践：在平面直角坐标系中探究长方形的重心位置． (1)如图1所示，长方形中，，，，，长方形的重心分别为点．试写出点对应的横坐标之间的关系式；（中点坐标公式为） (2)若图1中，长方形、分别设矩形的面积为、，重心、横坐标分别为．长方形的重心的横坐标为，探究整体图形重心位置的横坐标与两部分的重心位置的横坐标之间有什么数量关系： ①设，请用含、、的式子分别表示出、、； ②求与、之间的关系（写成（    ）（    ）的形式）； (3)如图2，长方形、的面积分别为、，重心分别是点、，纵坐标分别为．长方形的重心点的纵坐标为，请直接写出与之间有什么数量关系． 【答案】(1) (2)①，，；② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、点坐标规律探索、中点坐标 【分析】本题考查平面直角坐标系，中点坐标公式等，掌握长方形重点位于对角线交点位置是解题的关键． （1）长方形重点位于对角线交点位置，利用中点坐标公式即可求解； （2）①先根据长方形面积公式求出，，表示出点B，点E的坐标，再根据中点坐标公式求解；②利用完全平方公式变形可得，等号两边同时除以，即可得出答案； （3）参照（2）中作法即可求解． 【详解】（1）解：长方形重点位于对角线交点位置， ，，，重心对应的横坐标为， ，，， ， ； （2）解：① ， ，， ，， ，，； ②设， ， ， ； （3）解：设， ，， ，， ，，； ， ， ． 44．（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；或 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形综合 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）过点作于点，根据等面积法求出的长，再根据可    得答案； （3）根据（2）可求出的面积，则可求出的长，根据点C的坐标得到点B的坐标和的长，则可求出的面积，进而求出和的面积，根据（2）所求可得t的值，再根据三角形的面积公式求出点M的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，，， ，； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ∵，，， ， 解得， 由题意得， ∴， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵轴于点B，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴或， ∵点M的横、纵坐标相等， ∴点M的坐标为或． 45．（25-26八年级上·北京西城·期中）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材 图形 重心 说明 长方形 几何重心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，，，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中，． 任务1：阴影部分图形的重心坐标是________； 任务2：阴影部分图形的重心坐标是________；       【答案】任务1：；任务2： 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解各个图形的重心坐标计算公式是解题的关键． （1）根据正方形重心为其对角线的交点，结合中点坐标公式求解即可； （2）分别求出正方形，正方形，的面积和重心坐标，再求出空心圆的面积和坐标，进而求出正方形（含挖空）的重心坐标，再根据题干所给公式计算求解即可． 【详解】解：任务1：由题意得，阴影部分图形的重心的坐标是，即； 任务2：如图所示，正方形的重心坐标为，即，面积为， 正方形的重心坐标为，即，面积为，正方形内的空心圆的重心坐标为，面积为， 的重心坐标为，即，面积为， ∴正方形（含挖空）的重心的横坐标为，纵坐标为， ∴整个阴影部分的重心的横坐标为， 纵坐标为， ∴整个阴影部分的重心的坐标为． 💯 课后巩固 复习建议 · 每天默写象限符号、平移规律和点到轴距离公式，做到脱口而出 · 45道考点题遮住答案重做一遍，错题标注错因（周期数错、定义翻译错、漏分类） · 规律探索题坚持「先写前4个点找周期」的固定步骤，不凭感觉猜 · 新定义题把定义抄在题目旁逐字翻译，再代入选项检验 · 课后15道作业题限时35分钟完成，对照答案订正，重点检查非负性与分类讨论 【作业1】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“坐标距离”．已知点、．则下面说法正确的有（   ） ①两点的坐标距离为； ②两点坐标距离的最小值为； ③当两点的坐标距离为4时，两点的坐标距离为． A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据题目给出的“坐标距离”定义，先得到两点坐标距离的表达式，再逐一判断即可求解． 【详解】解：①根据定义可得，， 的坐标距离为： ， 当时， ； 当时， ； 当时， ，故①说法错误； ② 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴的最小值为，故②说法正确； ③令，则 ， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时，方程无解； ∵与 的坐标距离为 ，当时坐标距离为；当时坐标距离为，所以坐标距离为或，故③说法 错误； 综上，只有②正确． 【作业2】（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，当点的横、纵坐标都是整数时，这样的点称为格点（也叫整点）．四个顶点都是格点的四边形称为格点四边形．过点（）分别向轴，轴作垂线，垂足为，．有如下三个结论： ①当时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ②当格点四边形内部（不含边界）只有两个格点时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ③格点四边形的面积，在内部（不含边界）的格点数与在边上的格点个数满足． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】根据题意画出格点四边形，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①如图，当时，，， 格点四边形的边上的格点个数 格点四边形的面积 满足，故①正确； ②如图，格点四边形内部（不含边界）只有两个格点时， 格点四边形的边上的格点个数 格点四边形的面积 ∴格点四边形的面积与在边上的格点个数不满足；故②不正确， 如图， 1 2 3 4 5 6 观察图形，发现规律：满足，故③正确 【作业3】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则Q点的坐标为_____． 【答案】 或 【知识点】点坐标规律探索 【分析】先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第2025次时，共计向下平移了1013次，向右平移了1012次，即可解答． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到， 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到， 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位， 因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 故横、纵坐标之和除以3所得余数是0的点不能通过平移得到，即“和点”反向运动2026次的前2025次只能是向右或向下平移1个单位，最后一次是左右或者向下方向， 若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则按照“和点”反向运动2026次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意， 那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第2025次时，共计向下平移了1013次，向右平移了1012次，此时坐标为，即， 则最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故Q点的坐标为或． 【作业4】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则n的值为______． 【答案】2 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，理解互为“最距等点”的定义是解题的关键． 根据互为“最距等点”的定义可得：或或或，然后分别进行计算即可解答． 【详解】与点互为“最距等点”， 或或或， 当时， 或， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为，，不符合题意，舍去； ， ∴此方程无解； 当时， ， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为(，不符合题意，舍去； ∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，不符合题意，舍去； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，不符合题意，舍去； ∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点与点互为“最距等点”； 当时， ， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为，不符合题意，舍去； ， ∴此方程无解； 综上所述：， 答案为：2． 【作业5】（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且），例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值___________ ． 【答案】或 【知识点】整式的加减运算、求点到坐标轴的距离 【详解】本题考查了点的坐标，理解“a阶智慧点”的定义是解题的关键．先求出点C的“阶智慧点”，再根据点到坐标轴的距离的意义求解即可． 【解答】解：∵，， ∴点的“阶智慧点”的坐标是， ∵点的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 【作业6】（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 【作业7】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在一个平面上有一系列点，点的初始位置为．从开始当n为奇数时，到的变化是先向右移动个单位，再向上移动个单位；当n为偶数时，到的变化是先向左移动个单位，再向下移动个单位．求的坐标______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标平移规律．熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键． 根据点的移动规律，通过逐步分析奇数项和偶数项的移动情况，计算出从初始点到的坐标． 【详解】解：点的初始位置为， 当时为奇数，到先向右移动2个单位，再向上移动2个单位， 则的横坐标为，纵坐标为，即； 当时为偶数，到的变化是先向左移动个单位，再向下移动个单位，则的横坐标为，纵坐标为，即； 当时为奇数，到先向右移动4单位，再向上移动4单位， 则的横坐标为，纵坐标为，即； 当时为偶数，到的变化是先向左移动5个单位，再向下移动5个单位，则的横坐标为，纵坐标为，即； 通过前面的计算可以发现，当n为奇数时，设，从到，横坐标增加，纵坐标增加；当n为偶数时，设，从到，横坐标减少，纵坐标减少． 是奇数，设，则， 计算横坐标：从开始，经过次奇数项移动和次偶数项移动． 奇数项移动时横坐标的变化总和为，则； 偶数项移动式横坐标的变化总和为，则； 初始横坐标为，则的横坐标为． 同理计算纵坐标： 奇数项移动时纵坐标的变化总和为，和为； 偶数项移动时纵坐标的变化总和为，和为； 初始纵坐标为，则的纵坐标为． 故的坐标为：． 故答案为． 【作业8】（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第秒运动到点，第秒运动到点，第秒运动到点，第秒运动到点…则第秒点所在位置的坐标是________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、点坐标规律探索 【分析】分析点在坐标系中的运动路线，寻找点运动至轴时的点坐标的规律，进而求解． 【详解】解：∵，，，， 又∵，即， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 当时，， ∴， 又∵点前进两个单位， ∴第秒点所在位置的坐标是． 【作业9】（25-26七年级下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系中，，，平移线段至，其中，的对应点分别为，，交轴正半轴于点．若点的坐标为，三角形的面积为，则点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】连接，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N，设，根据平移的性质可以用m表示出，根据求出，即可求出，再结合用割补法表示出，即可求出m的值，问题得解． 【详解】解：如图，连接，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N， 设， ∵，，平移线段至，其中，的对应点分别为，，， ∴，解得：， ∴， 即：，， 由可得：，， ∵三角形的面积为，且， ∴， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【作业10】（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，，，，，，，以此规律进行下去，点的坐标为________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意可得，求出2026除以4的商和余数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，，...... 以此类推，可知， ∵， ∴，即点的坐标为． 【作业11】（2026·河北邯郸·二模）计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】首先根据已经条件确定直线轴，由此得到P的横坐标，然后设P的纵坐标，最后利用两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴直线轴， ∴P的横坐标为， 设其纵坐标为m， ∵光点P与光点C之间的距离为， ∴或6， ∴光点P的坐标为或． 【作业12】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)平行； (2)①；②； (3)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、利用算术平方根的非负性解题、求点到坐标轴的距离、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，，， ． 故答案为：； （2）解：①过点作于， 设时间经过秒，，则，，，，， ，， ②， 解得，， ， ， 点的坐标为； （3）解：或． 理由如下： ①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ， ，， ， ， ，即； ②当点在点的下方时；过点作如图3所示， ， ，， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 【作业13】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)的值是定值，定值为3． 【知识点】求点到坐标轴的距离、由平移方式确定点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）利用平移的性质即可解决问题． （2）利用面积法求解，可得；设，则，进一步再求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：当点N在线段上时，连接．当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴，； （2）解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得 ∴； 设，则， ∵三角形面积为3， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 【作业14】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴．已知，且满足． (1)直接写出的值； (2)如图2，点P为x轴上一点．连接和．若三角形的面积等于长方形的面积，求出点P的坐标； (3)如图3，将向下平移m个单位得到．射线交线段于点交y轴于点K，若，求出m的取值范围．（用表示三角形的面积） 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求点到坐标轴的距离、利用平移的性质求解、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题属于三角形的面积，非负数的性质，平移的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用非负数的性质即可解答； （2）根据题意先求出，设，分，，三种情况讨论即可； （3）根据题意，设，过M作交延长线于F ，则，根据，求出，由，求出，，根据，求出，结合M在线段 上 ，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵轴，四边形是长方形， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于长方形的面积， ∴， 设， 当时， 若在点A下方时，如图，延长分别交轴于点， 则， ∴，， ∴， ∴， 解得：，不符合题意； 若在点A上方时，如图， ∴， ∴， 解得：，符合题意， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， 解得：，符合题意， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， 解得： ，不符合题意； 综上，点P的坐标为或； （3）解：∵点在上，， ∴直线是一，三象限的角平分线， 设过M作交延长线于F ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵M在线段 上 ， ∴， ∴， ∴． 【作业15】（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章·平面直角坐标系·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握点坐标规律探索题的周期分析方法，能由前若干个点的坐标归纳循环规律并求目标点 · 掌握新定义阅读题的转化与代换技巧，能把自定义规则逐字翻译为坐标运算并代入检验 · 会利用绝对值、算术平方根的非负性结合方程组，由点的坐标特征求字母参数 · 能解决坐标系中动点与平移、角度、面积结合的综合压轴题，会建立方程或分类讨论 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系基础回顾 平面直角坐标系由互相垂直、有公共原点的x轴与y轴组成，坐标平面内的点与有序实数对一一对应 四个象限符号：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限 点P(a,b)到x轴距离=|b|，到y轴距离=|a|；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0 点(x,y)向右（左）平移a个单位横坐标加（减）a，向上（下）平移b个单位纵坐标加（减）b 概念辨析例题：若点P(a,b)在第四象限，且|a|=3，|b|=2，求P的坐标 答案：(3,-2) 解析：第四象限点横坐标为正、纵坐标为负，故a=3，b=-2，即P(3,-2)。 ☆ 2.点坐标规律探索 规律探索题要先按规则写出前4到6个点的坐标，再观察下标与坐标的循环周期 用目标下标除以周期，根据余数确定目标点落在循环中的位置，不要凭感觉猜测 动点沿矩形/正方形边界环绕运动时，一圈的路程固定，总路程除以周长可判断落点在哪条边上 光线反射、质点弹跳类问题，利用入射角等于反射角把折线路径展直分析 概念辨析例题：已知A1(1,0)，A2(1,1)，A3(-1,1)，A4(-1,-1)，A5(1,-1)，…每4个点一循环，求A2025的坐标 答案：A2025(1,0) 解析：循环周期为4，2025÷4=506余1，落在循环中第1个位置，即A2025(1,0)。 ☆ 3.新定义与阅读理解 新定义题要逐字把定义翻译成熟悉的坐标运算，圈出关键条件和限制 遇到形如P1(y-1,-x)的变换，按规则逐个坐标代入，再解方程求参数 定义中含k>0、整数点等限制时，要把它们转化为不等式（组）再求解 多选题形式的新定义，逐个选项代入验证，举反例即可排除 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，对点P(x,y)规定友好点P1(y-1,-x)，若P(a,b)的友好点为(3,1)，求a,b 答案：a=-1，b=4 解析：由定义P1(b-1,-a)=(3,1)，故b-1=3，-a=1，解得b=4，a=-1。 ☆ 4.坐标系中的动点与平移综合 动点问题先画运动路径图，把速度与时间转化为路程，再表示动点坐标 含|a|+=0或平方+绝对值=0的条件，利用非负性得每个部分都为0 平移作图与面积综合题，用割补法求格点三角形面积，再按面积条件列方程 动点与角度结合时，利用平行线的性质把角转化，注意分类讨论动点位置 概念辨析例题：已知点A(a,0)，B(0,b)满足|a-2|+=0，将线段AB向右平移3个单位得到CD，求C,D坐标 答案：C(5,0)，D(3,3) 解析：由非负性a=2，b=3，故A(2,0)，B(0,3)；右移3个单位横坐标各加3，得C(5,0)，D(3,3)。 📋 知识总结表 核心方法 操作步骤 注意事项 规律探索 写前4个点坐标→找周期→余数定位 周期要数准，余数为0对应循环末位 新定义 逐字翻译定义→代入坐标→解方程 注意k>0、整数等限制条件 非负性求参 |a|+=0 → a=0且b=0 每个非负部分都为0 动点问题 画路径→路程化坐标→列方程 分类讨论动点所在边 格点面积 外接矩形减周围直角三角形 割补时不要漏减或多减 平移坐标 右加左减横、上加下减纵 整体平移，对应点方式相同 ⚠️ 核心考点 【考点1】点坐标规律探索（第1-20题） · 先按规则写出前4到6个点的坐标，观察下标与坐标的循环周期 · 用目标下标除以周期，根据余数确定落点 · 环绕运动类先算一圈路程，再由总路程判断在哪条边 1．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……，依次规律跳动下去，点A第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江西吉安·一模）光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东济南·阶段检测）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点按这样的运动规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，已知，，，，，…则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·湖南永州·期末）如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（     ） A． B． C． D． 12．（20-21八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，， ，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第次碰到长方形边上的点的坐标_____． 15．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是__________． 16．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点照此规律，点第8次跳动至点的坐标是_____，点第2026次跳动至点的坐标是_____． 17．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律运动，则第2026次运动到的点的坐标是________． 18．（25-26七年级下·湖北襄阳·期中）如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第2026秒时运动到点_______． 19．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点完成第1次运动；再分别从点，出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点完成第8次运动时，从左往右数的第二个点的坐标是__________． 20．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，沿着 的路线运动，按此规律，则点运动到时坐标为______． 【考点2】新定义与阅读理解（第21-24题） · 把定义逐字翻译为坐标运算，圈出关键条件 · 按规则逐个代入坐标，再解方程或不等式 · 多选题逐个选项验证，能举反例即排除 21．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）定义：，其中n为正整数，，记：，例：，则．下列说法正确的有（    ）个： ①； ②； ③记，若，则； ④将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到，…，以此类推，则坐标为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26七年级下·广东惠州·期末）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有________（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点向右平移个单位，向下平移个单位后得到点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求此时点的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于、的方程组与有相同的解，求：①用含的式子表示和；②若对于任意的值，等式始终成立，求的值． 23．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级跟随点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2级跟随点”为点，即点Q的坐标为． (1)若点P的坐标为，则它的“3级跟随点”的坐标为_______； (2)若点P的“级跟随点”的坐标为，求P点的坐标； (3)若点P在y轴正半轴上，点P的“a级跟随点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求a的值． 24．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下： ①．如：； ②．如：； ③．如：； 例如：， 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若，且，则，反之若，则，且． ②；． 例如：． 请回答下列问题： (1)化简：___________；（填写坐标） (2)对于正整数；若，且，求满足条件的的值； (3)若且为绝对值不超过5的整数，点在第三象限，求满足条件的的所有可能取值． 【考点3】点的坐标特征与距离求参数（第25-29题） · 利用象限符号把坐标特征转化为不等式（组） · 结合绝对值、算术平方根的非负性列方程 · 点到轴距离=坐标绝对值，注意分类讨论 25．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知在第四象限内的点 到x轴、y轴的距离相等，且的平方根是它本身，则的算术平方根为____． 27．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．    (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达a点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 28．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点，点，且、满足． (1)直接写出________，________，三角形的面积是________； (2)线段上有一点，连接，若平分三角形的面积，求点的坐标； (3)现将线段平移至，使点、均落在坐标轴上，且点、与点、依次对应，线段与直线相交于点，直接写出的值． 29．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． (1)直接写出__________；__________； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于10？ (3)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，直线交轴于点．在运动过程中，和的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【考点4】坐标系中的动点与平移综合（第30-39题） · 画运动路径，把速度时间转化为动点坐标 · 平移后对应点变化相同，先由一组对应点定平移方式 · 角度问题用平行线性质转化，注意分类讨论 30．（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 31．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，平移点一次，可以得到点或点．将点进行若干次这样的平移后得到的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 32．（25-26七年级下·青海西宁·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移得到线段，点的对应点为，点的对应点为．点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为__________． 33．（25-26七年级下·四川凉山·期末）在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 34．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 35．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）已知：在平面直角坐标系中，直线分别与轴负半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足，点是直线上且不与、两点重合的动点 (1)求点、的坐标； (2)如图，点、点分别是线段、轴正半轴上的动点，过作，连接．若，请探究与之间的数量关系？（用含的式子表达并说明理由） (3)若，求出的取值范围． 36．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 设， ， ， 37．（25-26八年级上·重庆·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点，点，且满足：． (1)点的坐标为 ，线段的长为 ，的面积为 (2)过点作轴，点是直线上一个动点（不与重合）： ①如图，过点作于点，点在线段上，连接，，与的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图，点在轴下方，连接交轴于点，连接交轴于点，记与面积分别为，且，求点的坐标． ∵，， ∴， ∵， ∵平分，平分， ∴， 同理：， ∵， ∴， 即：， ∵长为，到轴距离为， ∴， 39．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． (1)请直接写出D点的坐标_____． (2)如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． (3)如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 【考点5】坐标与图形综合（第40-45题） · 格点图形面积用割补法：外接矩形减周围三角形 · 中点坐标等于两端点坐标的平均数 · 面积存在性问题先设点坐标，再按面积公式列方程 40．（24-25九年级下·江西抚州·期中）已知点，的半径为，切于点，点为上的动点，当是等腰三角形时，点的坐标为_____． 41．（25-26七年级下·福建厦门·期末）正方形的顶点坐标分别是，，，，将正方形上每个点都变为，得到正方形，其中．若正方形与正方形有公共点，n，t为常数，且，则t的取值范围是_____．（用含n的式子表示） 42．（25-26七年级下·山东德州·期末）通过课本数学活动：二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于，的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为___________． 43．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）综合与实践：在平面直角坐标系中探究长方形的重心位置． (1)如图1所示，长方形中，，，，，长方形的重心分别为点．试写出点对应的横坐标之间的关系式；（中点坐标公式为） (2)若图1中，长方形、分别设矩形的面积为、，重心、横坐标分别为．长方形的重心的横坐标为，探究整体图形重心位置的横坐标与两部分的重心位置的横坐标之间有什么数量关系： ①设，请用含、、的式子分别表示出、、； ②求与、之间的关系（写成（    ）（    ）的形式）； (3)如图2，长方形、的面积分别为、，重心分别是点、，纵坐标分别为．长方形的重心点的纵坐标为，请直接写出与之间有什么数量关系． 44．（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 45．（25-26八年级上·北京西城·期中）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材 图形 重心 说明 长方形 几何重心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，，，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中，． 任务1：阴影部分图形的重心坐标是________； 任务2：阴影部分图形的重心坐标是________；       💯 课后巩固 复习建议 · 每天默写象限符号、平移规律和点到轴距离公式，做到脱口而出 · 45道考点题遮住答案重做一遍，错题标注错因（周期数错、定义翻译错、漏分类） · 规律探索题坚持「先写前4个点找周期」的固定步骤，不凭感觉猜 · 新定义题把定义抄在题目旁逐字翻译，再代入选项检验 · 课后15道作业题限时35分钟完成，对照答案订正，重点检查非负性与分类讨论 【作业1】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“坐标距离”．已知点、．则下面说法正确的有（   ） ①两点的坐标距离为； ②两点坐标距离的最小值为； ③当两点的坐标距离为4时，两点的坐标距离为． A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【作业2】（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，当点的横、纵坐标都是整数时，这样的点称为格点（也叫整点）．四个顶点都是格点的四边形称为格点四边形．过点（）分别向轴，轴作垂线，垂足为，．有如下三个结论： ①当时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ②当格点四边形内部（不含边界）只有两个格点时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ③格点四边形的面积，在内部（不含边界）的格点数与在边上的格点个数满足． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【作业3】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则Q点的坐标为_____． 【作业4】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则n的值为______． 【作业5】（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且），例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值___________ ． 【作业6】（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【作业7】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在一个平面上有一系列点，点的初始位置为．从开始当n为奇数时，到的变化是先向右移动个单位，再向上移动个单位；当n为偶数时，到的变化是先向左移动个单位，再向下移动个单位．求的坐标______． 【作业8】（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第秒运动到点，第秒运动到点，第秒运动到点，第秒运动到点…则第秒点所在位置的坐标是________． 【作业9】（25-26七年级下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系中，，，平移线段至，其中，的对应点分别为，，交轴正半轴于点．若点的坐标为，三角形的面积为，则点的坐标为__________． 【作业10】（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，，，，，，，以此规律进行下去，点的坐标为________． 【作业11】（2026·河北邯郸·二模）计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 【作业12】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【作业13】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【作业14】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴．已知，且满足． (1)直接写出的值； (2)如图2，点P为x轴上一点．连接和．若三角形的面积等于长方形的面积，求出点P的坐标； (3)如图3，将向下平移m个单位得到．射线交线段于点交y轴于点K，若，求出m的取值范围．（用表示三角形的面积） 【作业15】（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $