专题03 三角形中的边角关系（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材沪科版

专题03 三角形的边角关系（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识三角形 能明确三角形的定义、顶点、边、内角等基本概念，掌握三角形的表示方法 基础必考点，多在小题中考查对概念的识别，是三角形后续知识的基础 三角形的分类 能按边（如不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）和按角（如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）准确对三角形进行分类 基础考点，常结合三角形性质在小题中考查分类判断，需注意分类标准的区分 三角形的三边关系 能熟练运用 “任意两边之差 < 第三边 < 任意两边之和” 判断三条线段能否构成三角形，或求解第三边的取值范围 高频基础考点，多在小题（选择、填空）中考查，常与线段长度计算结合 三角形的高、中线、角平分线 能掌握高、中线、角平分线的定义、作法及性质（如高的垂直性、中线的中点性质与面积平分、角平分线的角平分性质），准确识别和运用 核心基础考点，贯穿三角形几何证明与计算，在小题、解答题基础步骤中均有涉及，需注意不同线段的性质差异 三角形的内角和定理 能理解并运用 “三角形三个内角和等于 180°” 进行角度计算与证明 核心考点，是三角形角度相关问题的核心依据，在各类几何题型（计算、证明）中均有考查 直角三角形的性质与判定 能掌握直角三角形 “两个锐角互余” 的性质，及 “有两个角互余的三角形是直角三角形” 的判定方法，熟练运用直角三角形的符号表示 重要考点，常与三角形内角和、勾股定理（后续知识）结合，在几何计算与证明中考查 知识点01 认识三角形 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.顶点：三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 3.边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 4.内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. 5.三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 知识点02 三角形的分类 1.三角形按边分类： 2.三角形按角分类： 知识点03 三角形的三边关系 任意两边之差<第三边<任意两边之和.（理论依据：两点之间线段最短） 知识点04 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 知识点05 三角形的内角和定理 1.定理：三角形三个内角和等于180°． 2.表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 知识点06 直角三角形的性质与判定 1.性质: 直角三角形的两个锐角互余. 2.写法: 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 3.判定: ①文字表述: 有两个角互余的三角形是直角三角形. ②几何表述: 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形. 知识点07 三角形的外角 1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.三角形的外角的性质： （1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 3.三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 题型一 三角形的识别与有关概念 解｜题｜技｜巧 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.顶点：三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 3.边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 4.内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. 5.三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【典例1】如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【答案】 8 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 【变式1】如图所示． (1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； (2)在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【答案】(1)5；，，，，；，，；， (2)；；；（） 【详解】（1）解：图中通过逐一识别可得共有5个三角形，用符号表示为，； 其中以为边的三角形是包含边的； 以为一个内角的三角形是内角有的． 故答案为：5． （2）在中的对边是不与相邻的边； 的对角是不与相邻的角； 通过观察图形可知与的公共边是，公共角是（或． 故答案为：． 【变式2】如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 题型二 三角形的分类 解｜题｜技｜巧 1.三角形按边分类： 2.三角形按角分类： 【典例1】下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【答案】C 【详解】对于A，锐角三角形中，任意两个内角之和都大于，选项说法正确，不符合题意； 对于B，三角形中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； 对于C，由定义三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故C说法错误，符合题意； 对于D，三角形中至少有一个角小于等于，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【答案】D 【详解】解：如图，当时，此时三角形为锐角三角形； 如图，当或时，此时三角形为直角三角形； 或 如图，当或时，此时三角形为钝角三角形； 或 如图，当或或时，此时三角形为等腰三角形； 或或 综上，三角形可能是①②③④． 故选：D． 【变式2】现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 个锐角三角形． 【答案】4 【详解】解：∵每个三角形有3个内角， ∴共有个三角形， ∵三角形中最多只有一个直角或钝角， ∴12个三角形有5个直角三角形，3个钝角三角形， ∴共有个锐角三角形， 故答案为：4． 题型三 确定第三边的取值范围 解｜题｜技｜巧 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间线段最短。 【典例1】中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据三角形的三边关系可得，第三边的长度大于，小于， ∴符合题意， 故选：C． 【变式1】如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A、B间的距离不可能是（    ） A．7米 B．8.8米 C．15.5米 D．26米 【答案】D 【详解】解：∵米，米 ∴由三角形三边关系定理得： ∴ ∴选项D的距离是不可能的. 故选D. 【变式2】已知三角形两边长分别为，，设第三边为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵三角形两边长分别为，， ∴， 即． 故答案为： ． 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 解｜题｜技｜巧 1. 明确角平分线定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 2. 结合内角和定理：利用“三角形内角和为1800，将含角平分线的角与其他内角结合，列等式求解。3. 巧用外角性质：若角平分线与三角形外角相关，利用“三角形外角等于不相邻两内角和”，建立角平分线分得的角与其他角的关系。 4. 添加辅助线（必要时）：遇复杂图形，可过角平分线上一点作两边垂线（角平分线性质），或截取线段构造全等三角形，将分散的角集中，利用内角和求解。 【典例1】如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则 度． 【答案】110 【详解】解：在中，∵， ∴， 又∵O为三条角平分线的交点， ∴， 在三角形中，． 故答案为：110． 【变式1】如图，在中，是的角平分线，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，在中，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【详解】解：是的平分线，且， ∴， 又， ∴ 题型五 三角形折叠中的角度问题 解｜题｜技｜巧 1.抓住折叠前后的不变量：折叠后重合的部分对应角相等、对应边相等，利用这些相等关系建立方程。 2.注意折痕的性质：折痕是对应点连线的垂直平分线，可用于找垂直关系或中点。 3.利用三角形内角和与外角性质：结合已知角度和折叠产生的等角，通过内角和180°或外角等于不相邻两内角和进行推导。 4.转化为等腰三角形问题:折叠常形成等腰三角形（折痕两侧对应边相等），利用等腰三角形底角相等等性质求解。 5.用代数法表示未知角:设关键角为x，根据折叠关系和角度定理列方程，逐步求解。 6.添加辅助线:如连接对应点、作平行线或垂线，帮助建立角度关系，简化计算。 【典例1】如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 题型六 三角形内角和定理 解｜题｜技｜巧 1.定理：三角形三个内角和等于180°． 2.表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 【典例1】一个三角形内角的度数比是，其中最大的内角是（    ）度． A．30 B．60 C．90 D．150 【答案】C 【详解】解：由题意得，这个三角形三个内角分别为， ∴其中最大的内角是90度， 故选：C． 【变式1】若一个三角形三个内角度数的比为，则其最大内角的度数是 ． 【答案】100度/ 【详解】解：由题知，因为三角形三个内角度数的比为，且三角形的内角和为， 所以最大内角的度数为：． 故答案为：． 【变式2】如图，三条直线两两相交，则 度． 【答案】 【详解】解：∵三条直线两两相交，构成了三角形， ∴， 故答案为：． 题型七 与三角形的高有关的计算 解｜题｜技｜巧 1.明确高的定义与位置：高是从顶点向对边（或对边延长线）作的垂线段，锐角三角形高全在内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形两条高在外部，先判断高的位置避免出错。 2.结合面积公式求高：利用“三角形面积 = 1/2×底×高”，已知面积和底可求对应高，或通过等面积法（同一三角形不同底和高的面积相等）转换计算，如直角三角形中两直角边可分别作底和高。 3.用勾股定理关联高与边长：高将三角形分成两个直角三角形，可在直角三角形中，通过勾股定理（直角边² + 直角边² = 斜边²）建立高、边长分段的数量关系，求解高或边长。 【典例1】一个三角形底边减少原来的，要使它的面积不变，高应该增加原来的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， ∴， ∴高应该增加原来的， 故选：B． 【变式1】如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 【变式2】如图，在中，，若，，，则 ． 【答案】4.8 【详解】解：在中，，，，， ，即， 解得，． 故答案为：4.8． 题型八 三角形角平分线的定义 解｜题｜技｜巧 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 【典例1】下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式1】如图，在中，∠A=60°，∠ABD和∠ACE是的外角，∠ACE=110°，BF平分∠ABD，则∠FBE=（    ） A．105° B．110° C．115° D．120° 【答案】C 【详解】解：∵∠A=60°，∠ACE=110°，∠ACE是的外角， ∴∠ABC=110°－60°=50°， 又∠ABD是的外角， ∴∠ABD=180°－50°=130°， ∵BF平分∠ABD， ∴∠ABF=∠DBF=65°， ∴∠FBE=65°+50°=115°． 故选：C． 【变式2】如图，在△ABC中，∠B=70°，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠DAE=16°，则∠C的度数是 ． 【答案】38° 【详解】∵AD⊥BC， ∴∠B＋∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝90°−∠B＝90°−70°＝20°， ∴∠BAE＝∠BAD＋∠EAD＝20°＋16°＝36°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝2×36°＝72°， ∴∠C＝180°−∠B−∠BAC＝180°−70°−72°＝38°． 题型九 根据三角形中线求长度 解｜题｜技｜巧 1.利用中线分线段的性质：中线将对边平分为两段，即中线与对边的交点是对边中点，可直接得到两段线段长度相等，为后续计算提供等量关系。 2.运用中线长公式直接计算：已知三角形三边长度，可通过中线长公式求中线长度。 3.结合面积法推导：中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形（同底等高），若已知原三角形面积和其中一个小三角形的高，可间接关联中线相关的边长或高，辅助计算中线。 【典例1】如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 【变式1】如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 【答案】 【详解】解：∵分别是边上的中线，，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 题型十 根据三角形中线求面积 解｜题｜技｜巧 1.利用中线分面积的核心性质：三角形的一条中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形，若已知其中一个小三角形面积，可直接乘2得原三角形面积。 2.结合“底×高”公式求面积：若已知中线对应的底边长，且能求出原三角形这条底边上的高（可通过其他条件，如另一条边和对应的高、角度与边长结合三角函数等），则用“原三角形面积 = 1/2×底×高”计算，中线在此过程中可辅助确定底的分段或验证高的准确性。 3.通过中线与边长关联求高：若已知三角形三边和某条中线，可先利用中线长公式反推底边上的高，再代入面积公式计算原三角形或小三角形的面积。 4.多中线结合拆分面积：若三角形有两条或三条中线，可将原三角形拆分为多个面积相等的小三角形，通过已知小三角形面积或线段比例，推导原三角形总面积。 【典例1】如图， D，E，F分别是边，，上的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵阴影部分的面积为3， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图， 在中， 已知点D， E分别为的中点，， 且的面积为16，则的面积为 ． 【答案】 【详解】∵点D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ． 【答案】1 【详解】解∶∵点D，E，F分别为边，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线，， ∴， 又是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 又是的中线， ∴． 故答案为：1． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 5．如图B在A处南偏西方向，C在A处南偏东方向，C在B处的北偏东方向，则的度数为 【答案】/85度 【详解】解：如图，根据方向角的定义，可得 ∴， ∵，是正南正北方向， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， ∵和分别为和的高， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)设等腰三角形的腰长为，求的取值范围； (2)若等腰三角形的一边长为，求另两边长． 【答案】(1) (2)、 【详解】（1）解：∵腰长为，周长为， ∴底边长为， ∴，， ∴； （2）解：①当为底时，腰长为，三边为、、，能组成三角形，所以另两边长为、； ②当为腰时，底边为，三边为、、，不能组成三角形． 故另两边长为、． 8．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，直线，，分别平分，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 5．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是 ．    【答案】72º 【详解】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=36°，    根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D， 则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+72°， 则∠1-∠2=72°． 故答案为：72°． 8．在中，．第一步：在上方确定一点，使，如图1，则的度数为 ；第二步：在上方确定一点，使，如图2．照此下去，至多能进行 步．    【答案】 7 【详解】解：①由已知可得 ； ②设进行n次，由①可得 ， 所以， 所以，n的最大值是7 故答案为：, 7 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形的边角关系（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识三角形 能明确三角形的定义、顶点、边、内角等基本概念，掌握三角形的表示方法 基础必考点，多在小题中考查对概念的识别，是三角形后续知识的基础 三角形的分类 能按边（如不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）和按角（如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）准确对三角形进行分类 基础考点，常结合三角形性质在小题中考查分类判断，需注意分类标准的区分 三角形的三边关系 能熟练运用 “任意两边之差 < 第三边 < 任意两边之和” 判断三条线段能否构成三角形，或求解第三边的取值范围 高频基础考点，多在小题（选择、填空）中考查，常与线段长度计算结合 三角形的高、中线、角平分线 能掌握高、中线、角平分线的定义、作法及性质（如高的垂直性、中线的中点性质与面积平分、角平分线的角平分性质），准确识别和运用 核心基础考点，贯穿三角形几何证明与计算，在小题、解答题基础步骤中均有涉及，需注意不同线段的性质差异 三角形的内角和定理 能理解并运用 “三角形三个内角和等于 180°” 进行角度计算与证明 核心考点，是三角形角度相关问题的核心依据，在各类几何题型（计算、证明）中均有考查 直角三角形的性质与判定 能掌握直角三角形 “两个锐角互余” 的性质，及 “有两个角互余的三角形是直角三角形” 的判定方法，熟练运用直角三角形的符号表示 重要考点，常与三角形内角和、勾股定理（后续知识）结合，在几何计算与证明中考查 知识点01 认识三角形 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.顶点：三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 3.边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 4.内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. 5.三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 知识点02 三角形的分类 1.三角形按边分类： 2.三角形按角分类： 知识点03 三角形的三边关系 任意两边之差<第三边<任意两边之和.（理论依据：两点之间线段最短） 知识点04 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 知识点05 三角形的内角和定理 1.定理：三角形三个内角和等于180°． 2.表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 知识点06 直角三角形的性质与判定 1.性质: 直角三角形的两个锐角互余. 2.写法: 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 3.判定: ①文字表述: 有两个角互余的三角形是直角三角形. ②几何表述: 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形. 知识点07 三角形的外角 1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.三角形的外角的性质： （1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 3.三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 题型一 三角形的识别与有关概念 解｜题｜技｜巧 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.顶点：三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 3.边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 4.内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. 5.三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【典例1】如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【变式1】如图所示． (1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； (2)在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【变式2】如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 题型二 三角形的分类 解｜题｜技｜巧 1.三角形按边分类： 2.三角形按角分类： 【典例1】下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【变式1】如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【变式2】现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 个锐角三角形． 题型三 确定第三边的取值范围 解｜题｜技｜巧 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间线段最短。 【典例1】中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A、B间的距离不可能是（    ） A．7米 B．8.8米 C．15.5米 D．26米 【变式2】已知三角形两边长分别为，，设第三边为，则x的取值范围是 ． 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 解｜题｜技｜巧 1. 明确角平分线定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 2. 结合内角和定理：利用“三角形内角和为1800，将含角平分线的角与其他内角结合，列等式求解。3. 巧用外角性质：若角平分线与三角形外角相关，利用“三角形外角等于不相邻两内角和”，建立角平分线分得的角与其他角的关系。 4. 添加辅助线（必要时）：遇复杂图形，可过角平分线上一点作两边垂线（角平分线性质），或截取线段构造全等三角形，将分散的角集中，利用内角和求解。 【典例1】如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则 度． 【变式1】如图，在中，是的角平分线，则的度数是 ． 【变式2】如图，在中，是的平分线，，求的度数． 题型五 三角形折叠中的角度问题 解｜题｜技｜巧 1.抓住折叠前后的不变量：折叠后重合的部分对应角相等、对应边相等，利用这些相等关系建立方程。 2.注意折痕的性质：折痕是对应点连线的垂直平分线，可用于找垂直关系或中点。 3.利用三角形内角和与外角性质：结合已知角度和折叠产生的等角，通过内角和180°或外角等于不相邻两内角和进行推导。 4.转化为等腰三角形问题:折叠常形成等腰三角形（折痕两侧对应边相等），利用等腰三角形底角相等等性质求解。 5.用代数法表示未知角:设关键角为x，根据折叠关系和角度定理列方程，逐步求解。 6.添加辅助线:如连接对应点、作平行线或垂线，帮助建立角度关系，简化计算。 【典例1】如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 题型六 三角形内角和定理 解｜题｜技｜巧 1.定理：三角形三个内角和等于180°． 2.表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 【典例1】一个三角形内角的度数比是，其中最大的内角是（    ）度． A．30 B．60 C．90 D．150 【变式1】若一个三角形三个内角度数的比为，则其最大内角的度数是 ． 【变式2】如图，三条直线两两相交，则 度． 题型七 与三角形的高有关的计算 解｜题｜技｜巧 1.明确高的定义与位置：高是从顶点向对边（或对边延长线）作的垂线段，锐角三角形高全在内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形两条高在外部，先判断高的位置避免出错。 2.结合面积公式求高：利用“三角形面积 = 1/2×底×高”，已知面积和底可求对应高，或通过等面积法（同一三角形不同底和高的面积相等）转换计算，如直角三角形中两直角边可分别作底和高。 3.用勾股定理关联高与边长：高将三角形分成两个直角三角形，可在直角三角形中，通过勾股定理（直角边² + 直角边² = 斜边²）建立高、边长分段的数量关系，求解高或边长。 【典例1】一个三角形底边减少原来的，要使它的面积不变，高应该增加原来的（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，若，，，则 ． 题型八 三角形角平分线的定义 解｜题｜技｜巧 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 【典例1】下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【变式1】如图，在中，∠A=60°，∠ABD和∠ACE是的外角，∠ACE=110°，BF平分∠ABD，则∠FBE=（    ） A．105° B．110° C．115° D．120° 【变式2】如图，在△ABC中，∠B=70°，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠DAE=16°，则∠C的度数是 ． 题型九 根据三角形中线求长度 解｜题｜技｜巧 1.利用中线分线段的性质：中线将对边平分为两段，即中线与对边的交点是对边中点，可直接得到两段线段长度相等，为后续计算提供等量关系。 2.运用中线长公式直接计算：已知三角形三边长度，可通过中线长公式求中线长度。 3.结合面积法推导：中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形（同底等高），若已知原三角形面积和其中一个小三角形的高，可间接关联中线相关的边长或高，辅助计算中线。 【典例1】如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【变式1】如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式2】如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 题型十 根据三角形中线求面积 解｜题｜技｜巧 1.利用中线分面积的核心性质：三角形的一条中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形，若已知其中一个小三角形面积，可直接乘2得原三角形面积。 2.结合“底×高”公式求面积：若已知中线对应的底边长，且能求出原三角形这条底边上的高（可通过其他条件，如另一条边和对应的高、角度与边长结合三角函数等），则用“原三角形面积 = 1/2×底×高”计算，中线在此过程中可辅助确定底的分段或验证高的准确性。 3.通过中线与边长关联求高：若已知三角形三边和某条中线，可先利用中线长公式反推底边上的高，再代入面积公式计算原三角形或小三角形的面积。 4.多中线结合拆分面积：若三角形有两条或三条中线，可将原三角形拆分为多个面积相等的小三角形，通过已知小三角形面积或线段比例，推导原三角形总面积。 【典例1】如图， D，E，F分别是边，，上的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】如图， 在中， 已知点D， E分别为的中点，， 且的面积为16，则的面积为 ． 【变式2】如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 5．如图B在A处南偏西方向，C在A处南偏东方向，C在B处的北偏东方向，则的度数为 6．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，则 ． 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)设等腰三角形的腰长为，求的取值范围； (2)若等腰三角形的一边长为，求另两边长． 8．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，直线，，分别平分，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 6．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    7．如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是 ．    8．在中，．第一步：在上方确定一点，使，如图1，则的度数为 ；第二步：在上方确定一点，使，如图2．照此下去，至多能进行 步．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $