第13章·三角形中的边角关系、命题与证明·期中复习·培优讲义·2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第13章·三角形中的边角关系、命题与证明·期中复习·培优讲义 2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形的有关概念，能按边、按角对三角形进行分类，掌握三角形三边关系并判断三条线段能否构成三角形 · 掌握三角形的高、中线、角平分线的画法与性质，能利用中线等分面积解决面积与长度计算问题 · 掌握三角形内角和定理与外角性质，能综合平行线、角平分线求图中未知角的度数 · 理解命题的概念与结构，能判断命题真假，会写一个命题的逆命题并知道原命题与逆命题的真假关系 · 能完成三角形的平移、网格作图与简单尺规作图，规范书写角度计算与简单证明过程 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的有关概念与三边关系 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形）；按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边 已知两边长a、b（a≥b），第三边c的取值范围为 a-b＜c＜a+b；等腰三角形求周长时要分类讨论腰长并用三边关系检验 概念辨析例题：等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（　　）A．17　B．22　C．17或22　D．16 答案：B 解析：分两种情况：若腰长为4，则三边为4、4、9，而4+4=8＜9，不满足三边关系，不能构成三角形；若腰长为9，则三边为9、9、4，9+4＞9，可以构成三角形，周长为9+9+4=22。分类后必须用三边关系检验，这是等腰三角形题最易丢分处。 ☆ 2.三角形的高、中线与角平分线 高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段；锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高恰为两条直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部 中线：连接顶点与对边中点的线段；三条中线交于一点（重心），中线把三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；三条角平分线交于一点 三角形面积=×底×高；等底同高的三角形面积相等，这是中线、中点、网格面积题的核心依据 概念辨析例题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为24，则△ABD的面积为（　　） 答案：12 解析：AD是中线，所以BD=DC，即△ABD与△ACD等底同高，面积相等，各等于△ABC面积的一半，故S△ABD==12。见到「中点/中线」立刻联想面积等分。 ☆ 3.三角形内角和定理与外角性质 三角形三个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角；外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形三个外角的和等于360° 求角度时常用模型：三角板叠放、平行线+拐角、角平分线递推、折叠对应角，本质都是把已知角用内角和与外角性质串联 概念辨析例题：将一副直角三角板按如图所示方式叠放，则图中∠α的度数为（　　） 答案：75° 解析：一副三角板的内角度数分别为45°、45°、90°和30°、60°、90°。叠放后利用外角性质：∠α等于不相邻两内角之和，即45°+30°=75°。三角板题先记住六个特殊角，再用外角或内角和求和。 ☆ 4.命题与证明 判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设（已知事项）和结论（由已知推出的事项）两部分组成 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，这两个命题叫做互逆命题；原命题为真，它的逆命题不一定为真 经过证明的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据；证明几何命题要写出已知、求证、证明，步步有据 概念辨析例题：命题「两直线平行，内错角相等」的逆命题是________，它是________命题（填「真」或「假」） 答案：逆命题是「内错角相等，两直线平行」，它是真命题 解析：写逆命题要把原命题的题设「两直线平行」与结论「内错角相等」完整互换。互换后「内错角相等，两直线平行」正是平行线的判定方法，是真命题。注意：原命题为真，逆命题未必为真，需单独判断。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 只需验证较短两边之和是否大于最长边 三角形分类 按边：不等边、等腰（含等边）；按角：锐角、直角、钝角 等边三角形是特殊的等腰三角形 中线 顶点与对边中点的连线 等分三角形面积；三条中线交于重心 内角和定理 三个内角和为180° 直角三角形两锐角互余 外角性质 外角=与它不相邻的两内角之和 外角大于任一不相邻内角；外角和为360° 命题 由题设和结论组成，分真命题与假命题 假命题用反例否定；逆命题真假需单独判断 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的三边关系与等腰三角形（第1-7题） · 判断三条线段能否构成三角形，只看较短两边之和是否大于最长边，不必验证三组不等式 · 已知两边a、b求第三边范围，直接套 a-b＜c＜a+b，再结合题目限制（如整数、偶数）缩小范围 · 等腰三角形求周长或边长必须分类讨论腰与底，求出后用三边关系检验，舍去不能构成三角形的情形 · 含字母的边长化简绝对值时，先由三边关系判断 a+b-c、a-b-c 等的正负，再去绝对值符号 1．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若三角形的两边长分别是3和5，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，以及三角形的两边差小于第三边．根据三角形三边关系定理可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得， 即． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形； 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查分式的性质，因式分解，等腰三角形的定义，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），对分子进行因式分解，结合三角形边长为正数的性质，推导三角形三边的关系，进而判断三角形类型． 【详解】解：∵分式， ∴分子，且分母，即， ， ∵三角形三边长均为正数， ∴， 又∵， ∴，即， ∵且， ∴该三角形有两条边相等，是等腰三角形， 故选：B． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是_____________． 【答案】17或19/19或17 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．分以的边长为底边和以的边长为底边两种情况，分别求解即可． 【详解】解：当以的边长为底边时，三角形三边长分别为、、， 能够构成三角形，则它的周长， 当以的边长为底边时，三角形三边长分别为、、， 能够构成三角形，则它的周长， 所以，它的周长是或． 故答案为：17或19． 5．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）已知的三边长分别为7、2、a． (1)化简． (2)若a为奇数，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，绝对值，熟练掌握绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系可得，所以，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，再结合a为奇数，可以确定，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为7、2、a， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由（1）中过程可知， 又∵a为奇数， ∴， ∴的三边长分别为7、2、7，有两边相等， ∴是等腰三角形． 6．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知的边长分别是、、，化简． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．先根据三角形的三边关系可得，则，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵的边长分别是、、， ∴， ∴， ∴ ． 7．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么底边长是多少？ (2)若围成的等腰三角形有一边的长为，求它的另外两边长？ 【答案】(1)底边长为． (2)另外两边长均为． 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题目中的倍数关系可以设底边长为，腰长为，再利用等腰三角形的定义和周长列出方程求解即可； （2）题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分底为和腰为两种情况进行分析，利用三角形三边关系进行检验，即可得出结论． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，由题意得， ， 解之得， 即底边长为； （2）解：当底边为时，腰长为， 此时，，可以组成三角形； 当腰长为时，底边长为， 此时，，不可以组成三角形； 综上所述，另外两边均为． 【考点2】三角形的中线、高与角平分线（第8-23题） · 见到「中点/中线」立刻联想面积等分：中线分得的两个三角形等底同高、面积各半 · 多条中线相交（重心）或多次取中点时，逐层利用「面积减半」递推阴影部分面积 · 角平分线求角度常与内角和定理结合：两内角平分线夹角=90°+×第三个角，外角平分线夹角有对应结论 · 作高时注意钝角三角形两条高在外部，网格中作高与中线要找准对边中点和垂足位置 8．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，点、分别是边、上的点，且，，如果，那么（　　）．    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，二元一次方程组的解法，结合三角形的中线与面积，再建立方程组解题即可. 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴设，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 故选B 9．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，再结合角平分线定义得出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得解 【详解】解：是的外角， ， ， 平分， ， 在中，． 10．（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在中，和的角平分线交于点O．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形角平分线的定义、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，可求，从而，进而可求． 【详解】解： ， ， 和的角平分线交于点O， ，， ， ， 则的度数为． 11．（23-24七年级下·山东威海·期中）如下图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 【详解】解：， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④共3个， 故选：C 12．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，的面积为24，是边上的中线，E为的中点，则的面积为______．    【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的中线与三角形的面积的关系；本题利用中线的含义可得，再利用中点的含义，从而可得答案，理解三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为， ∴， 又∵E是中点， ∴， 故答案为：6． 13．（23-24八年级上·广西梧州·期中）在中，，，已知为的角平分线，则的度数为______°． 【答案】30 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义； 先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． 故答案为：30． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，点是角平分线的交点，，则_____． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和，角平分线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和，角平分线定义可得，，再根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，已知，的平分线相交于点，过点且． （1）若，，则______； （2）若，，则_______． 【答案】 /125度 /20度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识的综合运用． （1）由角平分线的定义可求解，，再利用三角形的内角和定理可求解； （2）由已知条件易求，的度数，根据平行线的性质即可得，的度数，利用角平分线的定义可求解． 【详解】解：（1）和的平分线与相交于点， 所以，， 又，， ，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ，， ， ，， 和的平分线与相交于点， ，． ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，是的平分线，过点A作，垂足为D，若，，则的度数是______． 【答案】/66度 【知识点】垂线的定义理解、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线的定义，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形内角和定理可得，再结合垂线的定义，推出，根据角平分线的定义，得到，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 17．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 【答案】9 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴①，②，③，④， 由得，， ∴． 18．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知中，点D 是边的中点，E是边上靠近点B的三等分点．若的面积等于36，则的面积等于___________． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，解决此题的关键是掌握“同高的两个三角形，其面积之比等于底边长之比”；根据“同高的两个三角形，其面积之比等于底边长之比”进行计算即可； 【详解】解：∵点D 是边的中点， ∴， ∵的面积等于36， ∴， ∵E是边上靠近点B的三等分点， ∴， ∴， 故答案为：6． 19．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为_______． 【答案】21 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的中线的定义，推出的周长比的周长大，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为. 20．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，四边形的面积是15．边、、、的中点分别为、、、．若与相交于点，则图中阴影部分的总面积为________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，通过等量代换证明阴影部分面积等于四边形面积的一半即可求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，，，分别为边、、、的中点， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 21．（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段检测）如图，已知中，于平分，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，利用三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，垂直，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ． ∵，平分， ． ， ∴． 22．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图，是边上的中线， ， ， ， 即 ． 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）的三条角平分线相交于点，延长交于点．作，交延长线于点．    (1)若，则 ； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)求证． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； (3) 证明：∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，，再由三角形内角和定理得出，最后再结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）由角平分线的性质结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，计算即可得出答案； （3）由三角形内角和定理结合（2）得出，由，推出，结合，得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，   ， ∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 【考点3】三角形内角和定理及角度计算（第24-35题） · 先在图中标出已知角，把未知角用x表示，利用内角和180°或外角性质列方程 · 三角板叠放题先记住六个特殊角（45°、45°、90°、30°、60°、90°），再用外角求和 · 平行线与三角形结合时，先用平行线性质转移角，再用内角和或外角建立关系 · 折叠问题抓住「折叠前后对应角相等」，把折痕当作角的对称轴 24．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；②三角形中最小的锐角不能大于；③三角形任意两个内角的和大于第三个内角；④三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边；⑤直角三角形只有一条高．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】画三角形的高、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线．根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线等知识逐项判定可求解． 【详解】解：①三角形的一个外角等于这个三角形与它不相邻的两个内角的和，故原说法错误； ②三角形中最小的锐角不能大于，故正确； ③三角形任意两个内角的和不一定大于第三个内角，故原说法错误； ④三角形一边上的高小于或等于这个三角形的其他两边，故原说法错误； ⑤直角三角形有三条高，故原说法错误． 故选：A 25．（24-25八年级上·陕西安康·阶段检测）在“三角形拼角”实验中，明明把一副三角尺按如图所示的方式放置，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 26．（2024·江苏·一模）如图，已知中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 27．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，，，______．    【答案】36 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：36 28．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于________． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角板的度数得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接，的平分线交于点，连接，过点分别作交于点，于点．若，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，先整理得，再结合，平分，得，则，故，，最后在中，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：，， ， ，平分， ， ， ∴ 则，， ， ， 在中，． 故答案为：． 30．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边上的点，，，若，则________． 【答案】110 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】利用平行线的性质可得，根据三角形内角和定理求出的度数，进而得出结果． 【详解】解： ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 31．（25-26七年级下·上海徐汇·期末）如图，则的值为__________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据解答即可 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得 32．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，点D在上． (1)尺规作图：过点D作射线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) 射线即为所求： (2) 【知识点】尺规作一个角等于已知角、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握这些性质是关键． （1）根据尺规作图作一个角等于已知角的步骤即可完成； （2）首先由平行线的性质得到，由三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 33．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知村在村的南偏西方向，村在村的南偏东方向，村在村的北偏东方向，求从村观测，两个村庄的视角的度数． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴， ∵， ∴， ， 在中， ． 34．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】三角形内角和定理的应用、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据三分线的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【详解】（1），是的“三分线”， ， ． （2） ． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ； （3）． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ． 35．（23-24七年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，垂直于，垂足为，为线段上一点，过点作两条直线与边分别交于点、，已知，． (1)求的大小； (2)是否平行，为什么？ (3)若，，求出、度数． 【答案】(1) (2) 平行，原因如下： 证明：， ， 由第（1）问知， ， 又 ， ， ； (3)， 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据垂直的定义得到，由，，即可得出结果； （2）由（1）知，根据，得到，即可得出结论； （3）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 又， ； （2）略 （3）解：由第（2）问知：， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质与三角形内角和定理是解题的关键． 【考点4】三角形外角的性质（第36-42题） · 求角优先看外角：外角等于不相邻两内角之和，往往比绕一圈用内角和更直接 · 多个外角连用或凹四边形中，反复用「外角=不相邻两内角和」把分散的角集中 · 外角与角平分线、平行线综合时，先确定哪个角是哪个三角形的外角，再列等式 · 注意外角大于任一不相邻内角，可用于比较角的大小或判断取值范围 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为______________ 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠性质可知，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在凹四边形中，，若，，若在凹四边形内部有一点，求的取值范围_____ 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】连接并延长至点E，连接并延长至点F，根据三角形外角的性质，可得，，进而即可求解 【详解】解：连接并延长至点E， ∵ ∴ ∴，即， 连接并延长至点F， 同理可得： ∴，即 38．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，，是边上一点，沿所在直线将折叠，若点的对应点恰好落在边上．则的度数是______． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 的度数，由折叠的性质可得 ，最后根据三角形外角的性质即可求出 的度数． 【详解】解： 在 中，，， ， 由折叠的性质可知，， 是 的外角， ， ． 39．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是外一点，，分别平分的外角，，若，则__．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义；依据三角形内角和定理以及平角的定义，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得到，，最后依据三角形内角和定理进行计算，即可得到的表达式． 【详解】解：， ， ， 又，分别平分的外角，， ，， 中，， 故答案为：． 40．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为__________．    【答案】/31度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ， 平分， ， ， 于F， ， ， 故答案为：． 41．（25-26八年级上·广东深圳·期末）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，． (1)求的度数； (2)若，，，，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，延长交直线于点T， ∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，熟知平行线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可； （2）延长交直线于点T，可求出；由平行线的性质可得、，由周角的定义可得，则，即可证明，进而证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 42．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为．则． 【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射出去．若被b反射出的光线n与光线m平行，且，求的度数； 【猜想验证】如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a，b的夹角的度数： 【拓展探究】如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a的夹角，镜面a，b组成的为120°，镜面b和c连接（连接点可以在b上任意一点，组成的也可以改变）．已知入射光线从镜面a开始反射，经过k（k为正整数，）次反射，第k次反射的反射光线n由镜面c反射，当时，请直接写出镜面b和c组成的（到之间）的度数． 【答案】（1）（2）（3）或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角： （1）根据平面镜反射光线的规律得，再利用平角的定义得，然后利用平行线的性质计算出即可； （2）根据规律得到，，，得到，推出，即可得出结果； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图2-1， 入射角与反射角相等，即， ∴， ∵， ； （2）如图2-2，由题意，得：， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或． 理由如下：①当时，如图： ， ， ， ， 过点作， ， ∴， ， ， ， ∴； 即：； ②当时，如果在边反射后与平行，则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图4所示： ， ， 由，（2）的结论可得， ， 则．即： 综上所述：的度数为或． 【考点5】命题与证明（第43-48题） · 判断命题真假优先找反例：只要举出一个符合题设但不符合结论的例子，即可判定为假命题 · 写逆命题必须把题设与结论完整互换，不能凭直觉改写，注意「若p则q」的形式 · 证明过程要步步有据，每一步注明依据（已知、定义、定理、平行线性质等） 43．（24-25八年级上·全国·期末）下列命题中为假命题的是（  ） A．同位角不相等，两直线不平行 B．一个角的余角一定大于这个角 C．一个钝角的补角必是锐角 D．过两点有且只有一条直线 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、判断命题真假、两点确定一条直线、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定、余角和补角的概念、直线的性质判断即可． 【详解】解：、同位角不相等，两直线不平行，是真命题，不符合题意； 、一个角的余角不一定大于这个角，例如角的余角是，，故本选项命题是假命题，符合题意； 、一个钝角的补角必是锐角，是真命题，不符合题意； 、过两点有且只有一条直线，是真命题，不符合题意； 故选：． 44．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、判断命题真假、对顶角相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查命题与定理、对顶角、补角、平行线的性质等知识，根据补角、平行线判定定理、内错角和对顶角的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：A、两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，为真命题，此项符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，所以原选项为假命题，此项不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，所以原选项为假命题，此项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，所以原选项为假命题，此项不符合题意； 故选：A． 45．（23-24七年级下·广东广州·期末）下列命题中，假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．内错角相等 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、判断命题真假、对顶角相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据对顶角的性质、余角的性质、平行线的性质、平行线的判定判断即可． 【详解】A. 对顶角相等，是真命题，故此选项不符合题意； B. 同角的余角相等，是真命题，故此选项不符合题意； C. 两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，此选项符合题意； D. 如果，那么，是真命题，故此选项不符合题意； 故选C． 46．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【知识点】判断命题真假、点到直线的距离、对顶角相等、平行公理的应用 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键． 根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意； B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意； C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意； D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意． 故选A． 47．（25-26七年级下·北京·课后作业）甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？” 甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．” 如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，闯祸的人是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了推理与证明等知识点，本题的“果”是“四人中只有一人说了实话”，故分别假设一人说真话，再推出其他人是否同时说真话，从而推出矛盾，排除情形，得到正确的结论即可，读懂题意，合理假设是解决此题的关键． 【详解】分三种情况进行讨论， ①若甲真，则乙假，丙真，丁真，这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符； ②若甲假，乙真，则丙假，丁真，这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符； ③若甲假，乙假，则丙真，丁假，这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件； 由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁， 答案：D． 48．（2026·北京丰台·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一个实数c的值为____． 【答案】（答案不唯一，小于0的实数均可） 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】根据不等式的基本性质，当时，不等式两边同乘，不等号方向改变，因此由可推出，据此解答即可． 【详解】解：∵当时，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴当，则， 故取的实数均满足题意，如当可说明原命题是假命题． 【考点6】平移、网格与尺规作图综合（第49-52题） · 平移作图抓住「对应点连线平行（或共线）且相等」，先定关键点对应点再连线 · 网格中求三角形面积用割补法（矩形面积减去周围直角三角形面积）或底乘高除以2 · 尺规作图保留作图痕迹，作答时写出结论与依据，不写作法但要说明道理 49．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、，将平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为，，，点是内一点，点P平移后的对应点．      (1)请画出； (2)求的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求作的三角形；    (2) 【知识点】平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了平移作图，三角形面积的计算，解题的关键是根据平移作出对应顶点的位置． （1）先作出点A，B，C平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据割补法作出三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 50．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段检测）请按要求完成下列作图． (1)将向右平移3个单位长度后，向下平移2个单位长度，画出平移后的； (2)线段与线段的关系为______． (3)的面积为______． 【答案】(1) 如图所示： (2)平行且相等 (3) 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了点的平移以及平移的性质求解以及利用网格求三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把点找出来，再连线，即可作答． （2）根据网格特征，运用数形结合思想，即可作答． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：略． （2）解：根据网格特征，连接， 由图易知：线段与线段的关系为平行且相等； （3）解： 51．（23-24七年级上·贵州黔西南·期末）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． (1)利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，请直接写出与的大小关系是_______，依据的数学原理是_______． 【答案】(1) 如图所示， (2)；三角形三边关系“两边之和大于第三边”． 【知识点】三角形三边关系的应用、作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段 【分析】此题考查了三角形三边关系，射线、线段的画法以及作相等的线段，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． （1）①根据射线的性质，作出图形即可；②根据线段的性质，作出图形即可；③根据题意，按照要求作出图形即可； （2）根据三角形三边关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知三点形成三角形，则， 依据的数学原理是：三角形三边关系“两边之和大于第三边” 52．（22-23七年级下·浙江温州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形如图所示．现将三角形向右平移个单位长度，得到三角形． (1)请画出平移后的三角形． (2)经过平移后，线段与的交点是点，则四边形的面积是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【知识点】平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据平移规则，将点、、分别向右平移2个单位得到对应点、、，顺次连接三点画出． （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形的面积为 ． 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系题先定最长边，验证两短边之和大于最长边；等腰题务必分类讨论腰与底，并用三边关系检验取舍 · 看到「中点/中线」条件立刻联想面积等分，逐层取中点时按「面积减半」递推阴影部分 · 角度计算先在图中标出已知角，用内角和180°、外角=不相邻两内角和、直角三角形两锐角互余建立方程 · 判断命题真假时找反例最快；写逆命题要把题设与结论完整互换，不能凭印象 · 折叠问题抓住「折叠前后对应角相等」，平移作图抓住「对应点连线平行且相等」，尺规作图保留痕迹并写明依据 【作业1】（26-27八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（     ） A．3，8，5 B．6，6，12 C．5，6，10 D．3，6，10 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，比较每个选项中的两个较小数的和与最大数的大小关系即可得出答案． 【详解】解：A、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意； B、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意； C、∵，∴是一个三角形的三边长，符合题意； D、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意． 【作业2】（23-24八年级上·福建泉州·期末）对于命题“若，则”，能说明该命题的逆命题是假命题的的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出命题的逆命题、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了举反例，先写出逆命题，再举出一组反例，进行作答即可求解，掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”， ∵当时，， ∴该命题为假命题， 即当时，能说明该命题是假命题， 故选：． 【作业3】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据题意，运用三角形的内角和和四边形的内角和进行求解．此题考查了三角形角度问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解和推导． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 即 ， ， 即， 解得， 故选：A． 【作业4】（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【作业5】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图所示，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解： 故选：B． 【作业6】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积，根据三角形的中线得出，，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，再根据三角形的面积公式求出即可，熟知上述知识是解此题的关键． 【详解】解：中，三条中线，，相交于点， ，， ， ， 故选：D． 【作业7】（23-24八年级上·北京房山·期末）等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是______． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系列出不等式是解决问题的关键． 【详解】解：底边的取值范围是， 故答案为：． 【作业8】（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【答案】 两个角的和为 这两个角互为补角 【知识点】写出命题的题设与结论 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 【作业9】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）将含有的直角三角板在两条平行线中按如图摆放，若，则的度数是______． 【答案】/140度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再由对顶角相等求出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ， ， ， 的直角三角板， ， ， 故答案为：． 【作业10】（24-25八年级上·浙江·期末）一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为__________． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质即得答案． 【详解】，， ． 故答案为：． 【作业11】（23-24七年级上·山东淄博·阶段检测）一个等腰三角形，若其中两边的长分别为和，则此三角形的周长为__________cm，若其中两边的长分别为和，则此三角形的周长为__________cm． 【答案】 或 12 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为时，当等腰三角形的腰长为，底边长为时；分两种情况：当等腰三角形的腰长为,底边长为时，当等腰三角形的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ∴此三角形的周长， 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ∴此三角形的周长， 综上所述：一个等腰三角形，若其中两边的长分别为和，则此三角形的周长为或； 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ∵， ∴不能组成三角形， 当等腰三角形的腰长为底边长为时， ∴此三角形的周长， 综上所述：一个等腰三角形，若其中两边的长分别为和则此三角形的周长为； 故答案为：或；． 【作业12】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；…与的平分线交于点，得；若，则______． 【答案】/40度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线定义，利用角平分线的定义以及三角形外角与内角的关系，逐步推导得出与的数量关系即可，熟练掌握三角形外角与内角的关系，以及通过递推得出数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业13】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图所示，___________． 【答案】/180度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形的内角与外角的关系，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形内角与外角的关系可得，，再根据三角形内角和定理可得，进而可得答案． 【详解】 解：，， ， ， 故答案为：． 【作业14】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为小于6的偶数，求的周长． 【答案】(1) (2)14 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． 【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； （2）解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 【作业15】（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点． (1)画出的边上的中线，边上的高，垂足为； (2)求出的面积为_____． 【答案】(1) 中线，高即为所求： (2)6 【知识点】画三角形的高、利用网格求三角形面积、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）取的中点，连接，则即为边上的中线；过点作于点，则高即为所求； （2）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为， 故答案为：6． 【作业16】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，为的角平分线，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据三角形内角和定理求得，再利用角平分线意义求得，接着利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， ． 【作业17】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么等于多少度？ 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解： 由翻折得到，， ，， ， ． 【作业18】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点是的边上一点，射线交于点，当时，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转后停止． (1)求的度数； (2)若秒后射线与平行，求此时的值； (3)若秒后射线与边或垂直，求此时的值． 【答案】(1) (2)的值为24秒 (3)的值为6秒或18秒 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）利用三角形内角和定理和平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质求得，即可求得旋转角，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，分别求得旋转角，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即绕点顺时针旋转， ∴（秒）； （3）解：①当时，如图， ∵， ∴，即绕点顺时针旋转， ∴（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 此时绕点顺时针旋转， ∴（秒）， 综上，的值为6秒或18秒． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章·三角形中的边角关系、命题与证明·期中复习·培优讲义 2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形的有关概念，能按边、按角对三角形进行分类，掌握三角形三边关系并判断三条线段能否构成三角形 · 掌握三角形的高、中线、角平分线的画法与性质，能利用中线等分面积解决面积与长度计算问题 · 掌握三角形内角和定理与外角性质，能综合平行线、角平分线求图中未知角的度数 · 理解命题的概念与结构，能判断命题真假，会写一个命题的逆命题并知道原命题与逆命题的真假关系 · 能完成三角形的平移、网格作图与简单尺规作图，规范书写角度计算与简单证明过程 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的有关概念与三边关系 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形）；按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边 已知两边长a、b（a≥b），第三边c的取值范围为 a-b＜c＜a+b；等腰三角形求周长时要分类讨论腰长并用三边关系检验 概念辨析例题：等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（　　）A．17　B．22　C．17或22　D．16 答案：B 解析：分两种情况：若腰长为4，则三边为4、4、9，而4+4=8＜9，不满足三边关系，不能构成三角形；若腰长为9，则三边为9、9、4，9+4＞9，可以构成三角形，周长为9+9+4=22。分类后必须用三边关系检验，这是等腰三角形题最易丢分处。 ☆ 2.三角形的高、中线与角平分线 高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段；锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高恰为两条直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部 中线：连接顶点与对边中点的线段；三条中线交于一点（重心），中线把三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；三条角平分线交于一点 三角形面积=×底×高；等底同高的三角形面积相等，这是中线、中点、网格面积题的核心依据 概念辨析例题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为24，则△ABD的面积为（　　） 答案：12 解析：AD是中线，所以BD=DC，即△ABD与△ACD等底同高，面积相等，各等于△ABC面积的一半，故S△ABD==12。见到「中点/中线」立刻联想面积等分。 ☆ 3.三角形内角和定理与外角性质 三角形三个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角；外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形三个外角的和等于360° 求角度时常用模型：三角板叠放、平行线+拐角、角平分线递推、折叠对应角，本质都是把已知角用内角和与外角性质串联 概念辨析例题：将一副直角三角板按如图所示方式叠放，则图中∠α的度数为（　　） 答案：75° 解析：一副三角板的内角度数分别为45°、45°、90°和30°、60°、90°。叠放后利用外角性质：∠α等于不相邻两内角之和，即45°+30°=75°。三角板题先记住六个特殊角，再用外角或内角和求和。 ☆ 4.命题与证明 判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设（已知事项）和结论（由已知推出的事项）两部分组成 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，这两个命题叫做互逆命题；原命题为真，它的逆命题不一定为真 经过证明的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据；证明几何命题要写出已知、求证、证明，步步有据 概念辨析例题：命题「两直线平行，内错角相等」的逆命题是________，它是________命题（填「真」或「假」） 答案：逆命题是「内错角相等，两直线平行」，它是真命题 解析：写逆命题要把原命题的题设「两直线平行」与结论「内错角相等」完整互换。互换后「内错角相等，两直线平行」正是平行线的判定方法，是真命题。注意：原命题为真，逆命题未必为真，需单独判断。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 只需验证较短两边之和是否大于最长边 三角形分类 按边：不等边、等腰（含等边）；按角：锐角、直角、钝角 等边三角形是特殊的等腰三角形 中线 顶点与对边中点的连线 等分三角形面积；三条中线交于重心 内角和定理 三个内角和为180° 直角三角形两锐角互余 外角性质 外角=与它不相邻的两内角之和 外角大于任一不相邻内角；外角和为360° 命题 由题设和结论组成，分真命题与假命题 假命题用反例否定；逆命题真假需单独判断 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的三边关系与等腰三角形（第1-7题） · 判断三条线段能否构成三角形，只看较短两边之和是否大于最长边，不必验证三组不等式 · 已知两边a、b求第三边范围，直接套 a-b＜c＜a+b，再结合题目限制（如整数、偶数）缩小范围 · 等腰三角形求周长或边长必须分类讨论腰与底，求出后用三边关系检验，舍去不能构成三角形的情形 · 含字母的边长化简绝对值时，先由三边关系判断 a+b-c、a-b-c 等的正负，再去绝对值符号 1．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若三角形的两边长分别是3和5，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是_____________． 5．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）已知的三边长分别为7、2、a． (1)化简． (2)若a为奇数，判断的形状，并说明理由． 6．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知的边长分别是、、，化简． 7．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么底边长是多少？ (2)若围成的等腰三角形有一边的长为，求它的另外两边长？ 【考点2】三角形的中线、高与角平分线（第8-23题） · 见到「中点/中线」立刻联想面积等分：中线分得的两个三角形等底同高、面积各半 · 多条中线相交（重心）或多次取中点时，逐层利用「面积减半」递推阴影部分面积 · 角平分线求角度常与内角和定理结合：两内角平分线夹角=90°+×第三个角，外角平分线夹角有对应结论 · 作高时注意钝角三角形两条高在外部，网格中作高与中线要找准对边中点和垂足位置 8．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，点、分别是边、上的点，且，，如果，那么（　　）．    A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在中，和的角平分线交于点O．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·山东威海·期中）如下图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 12．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，的面积为24，是边上的中线，E为的中点，则的面积为______．    13．（23-24八年级上·广西梧州·期中）在中，，，已知为的角平分线，则的度数为______°． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，点是角平分线的交点，，则_____． 15．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，已知，的平分线相交于点，过点且． （1）若，，则______； （2）若，，则_______． 16．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，是的平分线，过点A作，垂足为D，若，，则的度数是______． 17．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 18．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知中，点D 是边的中点，E是边上靠近点B的三等分点．若的面积等于36，则的面积等于___________． 19．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为_______． 20．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，四边形的面积是15．边、、、的中点分别为、、、．若与相交于点，则图中阴影部分的总面积为________． 21．（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段检测）如图，已知中，于平分，求的度数． 22．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）的三条角平分线相交于点，延长交于点．作，交延长线于点．    (1)若，则 ； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)求证． 【考点3】三角形内角和定理及角度计算（第24-35题） · 先在图中标出已知角，把未知角用x表示，利用内角和180°或外角性质列方程 · 三角板叠放题先记住六个特殊角（45°、45°、90°、30°、60°、90°），再用外角求和 · 平行线与三角形结合时，先用平行线性质转移角，再用内角和或外角建立关系 · 折叠问题抓住「折叠前后对应角相等」，把折痕当作角的对称轴 24．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；②三角形中最小的锐角不能大于；③三角形任意两个内角的和大于第三个内角；④三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边；⑤直角三角形只有一条高．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（24-25八年级上·陕西安康·阶段检测）在“三角形拼角”实验中，明明把一副三角尺按如图所示的方式放置，则（   ） A． B． C． D． 26．（2024·江苏·一模）如图，已知中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，，，______．    28．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于________． 29．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接，的平分线交于点，连接，过点分别作交于点，于点．若，，则的度数为______． 30．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边上的点，，，若，则________． 31．（25-26七年级下·上海徐汇·期末）如图，则的值为__________． 32．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，点D在上． (1)尺规作图：过点D作射线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 33．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知村在村的南偏西方向，村在村的南偏东方向，村在村的北偏东方向，求从村观测，两个村庄的视角的度数． 34．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 35．（23-24七年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，垂直于，垂足为，为线段上一点，过点作两条直线与边分别交于点、，已知，． (1)求的大小； (2)是否平行，为什么？ (3)若，，求出、度数． 【考点4】三角形外角的性质（第36-42题） · 求角优先看外角：外角等于不相邻两内角之和，往往比绕一圈用内角和更直接 · 多个外角连用或凹四边形中，反复用「外角=不相邻两内角和」把分散的角集中 · 外角与角平分线、平行线综合时，先确定哪个角是哪个三角形的外角，再列等式 · 注意外角大于任一不相邻内角，可用于比较角的大小或判断取值范围 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为______________ 37．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在凹四边形中，，若，，若在凹四边形内部有一点，求的取值范围_____ 38．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，，是边上一点，沿所在直线将折叠，若点的对应点恰好落在边上．则的度数是______． 39．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是外一点，，分别平分的外角，，若，则__．（用含的代数式表示） 40．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为__________．    41．（25-26八年级上·广东深圳·期末）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，． (1)求的度数； (2)若，，，，求证：． 42．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为．则． 【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射出去．若被b反射出的光线n与光线m平行，且，求的度数； 【猜想验证】如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a，b的夹角的度数： 【拓展探究】如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a的夹角，镜面a，b组成的为120°，镜面b和c连接（连接点可以在b上任意一点，组成的也可以改变）．已知入射光线从镜面a开始反射，经过k（k为正整数，）次反射，第k次反射的反射光线n由镜面c反射，当时，请直接写出镜面b和c组成的（到之间）的度数． 【考点5】命题与证明（第43-48题） · 判断命题真假优先找反例：只要举出一个符合题设但不符合结论的例子，即可判定为假命题 · 写逆命题必须把题设与结论完整互换，不能凭直觉改写，注意「若p则q」的形式 · 证明过程要步步有据，每一步注明依据（已知、定义、定理、平行线性质等） 43．（24-25八年级上·全国·期末）下列命题中为假命题的是（  ） A．同位角不相等，两直线不平行 B．一个角的余角一定大于这个角 C．一个钝角的补角必是锐角 D．过两点有且只有一条直线 44．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．相等的角是对顶角 45．（23-24七年级下·广东广州·期末）下列命题中，假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．内错角相等 D．如果，那么 46．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 47．（25-26七年级下·北京·课后作业）甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？” 甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．” 如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，闯祸的人是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 48．（2026·北京丰台·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一个实数c的值为____． 【考点6】平移、网格与尺规作图综合（第49-52题） · 平移作图抓住「对应点连线平行（或共线）且相等」，先定关键点对应点再连线 · 网格中求三角形面积用割补法（矩形面积减去周围直角三角形面积）或底乘高除以2 · 尺规作图保留作图痕迹，作答时写出结论与依据，不写作法但要说明道理 49．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、，将平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为，，，点是内一点，点P平移后的对应点．      (1)请画出； (2)求的面积． 50．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段检测）请按要求完成下列作图． (1)将向右平移3个单位长度后，向下平移2个单位长度，画出平移后的； (2)线段与线段的关系为______． (3)的面积为______． 51．（23-24七年级上·贵州黔西南·期末）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． (1)利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，请直接写出与的大小关系是_______，依据的数学原理是_______． 52．（22-23七年级下·浙江温州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形如图所示．现将三角形向右平移个单位长度，得到三角形． (1)请画出平移后的三角形． (2)经过平移后，线段与的交点是点，则四边形的面积是________． 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系题先定最长边，验证两短边之和大于最长边；等腰题务必分类讨论腰与底，并用三边关系检验取舍 · 看到「中点/中线」条件立刻联想面积等分，逐层取中点时按「面积减半」递推阴影部分 · 角度计算先在图中标出已知角，用内角和180°、外角=不相邻两内角和、直角三角形两锐角互余建立方程 · 判断命题真假时找反例最快；写逆命题要把题设与结论完整互换，不能凭印象 · 折叠问题抓住「折叠前后对应角相等」，平移作图抓住「对应点连线平行且相等」，尺规作图保留痕迹并写明依据 【作业1】（26-27八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（     ） A．3，8，5 B．6，6，12 C．5，6，10 D．3，6，10 【作业2】（23-24八年级上·福建泉州·期末）对于命题“若，则”，能说明该命题的逆命题是假命题的的值可以是（    ） A． B． C． D． 【作业3】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【作业4】（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【作业5】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图所示，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【作业6】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业7】（23-24八年级上·北京房山·期末）等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是______． 【作业8】（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【作业9】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）将含有的直角三角板在两条平行线中按如图摆放，若，则的度数是______． 【作业10】（24-25八年级上·浙江·期末）一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为__________． 【作业11】（23-24七年级上·山东淄博·阶段检测）一个等腰三角形，若其中两边的长分别为和，则此三角形的周长为__________cm，若其中两边的长分别为和，则此三角形的周长为__________cm． 【作业12】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；…与的平分线交于点，得；若，则______． 【作业13】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图所示，___________． 【作业14】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为小于6的偶数，求的周长． 【作业15】（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点． (1)画出的边上的中线，边上的高，垂足为； (2)求出的面积为_____． 【作业16】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，为的角平分线，且，，求的度数． 【作业17】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么等于多少度？ 【作业18】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点是的边上一点，射线交于点，当时，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转后停止． (1)求的度数； (2)若秒后射线与平行，求此时的值； (3)若秒后射线与边或垂直，求此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $