专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（第11～13章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版八年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第11~13章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能正确画出平面直角坐标系，根据坐标描点、由点写坐标，并判断点所在象限 · 能理解函数的概念，从图象中获取信息，会求自变量的取值范围 · 能掌握正比例函数与一次函数的图象和性质，会用待定系数法求解析式 · 能利用一次函数与方程、不等式的关系解决图象交点与解集问题 · 能掌握三角形三边关系、内角和与外角性质，进行角度计算与简单命题证明 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系 平面直角坐标系由在同一平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成，水平的为x轴，竖直的为y轴 四个象限内点的坐标符号特征：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-) x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点的坐标为(0,0) 点的平移规律：左右平移改变横坐标（右加左减），上下平移改变纵坐标（上加下减） 概念辨析例题：已知点P(a-1, a+2)在第二象限，求a的取值范围。 答案：-2<a<1 解析：第二象限内的点横坐标小于0且纵坐标大于0，即a-1<0且a+2>0，解得a<1且a>-2，所以-2<a<1。 ☆ 2.函数与一次函数 在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过原点的一条直线；k>0时过一、三象限，y随x增大而增大 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小 直线平移规律：直线y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m，向左平移n个单位得y=k(x+n)+b 概念辨析例题：已知一次函数的图象过点(0,2)和(1,5)，求这个一次函数的解析式。 答案：y=3x+2 解析：设一次函数解析式为y=kx+b，把(0,2)代入得b=2，把(1,5)代入得k+2=5即k=3，所以解析式为y=3x+2。 ☆ 3.三角形中的边角关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分；三角形的高、中线、角平分线都是线段 等腰三角形中，任意两边相等，需分类讨论哪条边是腰，并检验三边关系 概念辨析例题：已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长为奇数，求第三边的长。 答案：5或7或9 解析：根据三边关系，7-3<第三边<7+3，即4<第三边<10，其中的奇数为5、7、9。 ☆ 4.命题与证明 判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，常写成「如果……那么……」的形式 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；判断假命题只需举出一个反例 对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 证明三角形内角和定理时，常通过作平行线把三个内角转化为一个平角 概念辨析例题：判断命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题。 答案：假命题 解析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。例如两条平行线被第三条直线所截，所得的同位角也相等，因此该命题是假命题。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平面直角坐标系 两条互相垂直、原点重合的数轴 象限内点的坐标符号不要记错 函数的概念 对于x每一个值，y有唯一值对应 垂直于x轴的直线不是函数图象 一次函数 y=kx+b（k≠0） k决定增减性，b决定与y轴交点 三角形三边关系 两边之和大于第三边 第三边范围：差<第三边<和 三角形内角和 等于180° 外角等于与它不相邻的两内角和 命题与证明 由题设和结论组成 举一个反例即可判断假命题 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系与点的坐标（第1-5题） · 建立坐标系时先确定原点和坐标轴正方向，再根据坐标描点 · 判断点所在象限，先看横、纵坐标的符号组合 · 点的平移：右移横坐标加、左移横坐标减；上移纵坐标加、下移纵坐标减 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，在长方形中，，，，则点A的坐标是________． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点不在第______象限内， 3．（25-26八年级上·全国·期中）试用两个数据表示你们学校的旗杆相对于学校大门的位置 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图所示的是某学校及周围建筑的位置．已知各建筑都在小正方形的格点（网格线的交点）上，少年宫的坐标是，商店的坐标为． (1)根据题意，在上图中建立平面直角坐标系． (2)分别写出体育馆、食堂、图书馆和公交站的坐标，指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上． 5．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)将向下平移5个单位得到，请画出； (2)将与关于y轴对称，请画出； 【考点2】函数的概念与图象（第6-9题） · 判断y是否为x的函数，看x每取一个值时y是否唯一对应 · 从函数图象读信息，先看横、纵坐标各代表什么实际量 · 求自变量取值范围：分式的分母不为0 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，小楠一家自驾从城出发前往城，途中在某高速公路服务区休息了一段时间．图中表示汽车行驶的时间，表示汽车离开城行驶的路程．根据图象信息，下列说法错误的是（     ） A．从城到服务区用时1.5小时 B．小楠一家在服务区休息了5分钟 C．服务区距离城270千米 D．从城到服务区汽车行驶的平均速度是100千米/时 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数中的自变量x的取值范围是_________． 8．（24-25九年级下·陕西西安·期中）九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环（如图），若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为1，一个圆环的直径为，整个九连环的宽度为，则与的关系可以表示为______． 9．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）心理学家艾宾浩斯研究了人类大脑对新事物遗忘的规律．他用无意义的音节作为记忆的材料，记录学习后的时间（单位：）和对应的记忆留存率，将实验数据绘制成一条曲线，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．下图是根据艾宾浩斯遗忘曲线绘制的内记忆留存率与学习后的时间的关系，结合图象回答以下问题．    (1)图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请说明点的实际意义； (3)根据图中信息，对新事物的学习提出一条合理的建议． 【考点3】正比例函数（第10-14题） · 正比例函数y=kx的图象是过原点的一条直线 · k>0时图象过一、三象限，y随x增大而增大 · 用待定系数法求k：把已知点坐标代入y=kx 10．（25-26八年级上·山西太原·期中）已知正比例函数，当时，对应的函数值为（   ） A．25 B．10 C．1 D． 11．（24-25九年级下·福建宁德·期中）已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·广东阳江·期末）某荔枝种植基地的采摘工人，每天的采摘收入（元）与采摘的荔枝重量（千克）成正比例．当采摘重量为300千克时，收入为400元，写出符合条件的函数表达式（不考虑取值范围）______________． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知x与y的关系如下表： (1)根据上表写出y与x之间的一个关系式，并判断y是否为x的正比例函数； (2)由该关系式，当时，求y的值． 14．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 【考点4】一次函数的图象与性质（第15-23题） · k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小 · b>0时直线与y轴交于正半轴，b<0时交于负半轴 · 直线平移：上加下减（改变b）、左加右减（改变x） · 待定系数法：设y=kx+b，代入两点坐标列方程组求解 15．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段检测）两个一次函数与（a，b为常数，且），它们在同一个坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数的图象与轴交点的纵坐标是，当时，，则它的解析式是（   ） A． B． C． D． 17．（2024·陕西咸阳·二模）如图是一次函数 与 的图象，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，一次函数 的值都为负数 D．方程的解是 18．（2026·天津红桥·一模）若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 19．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，某函数的图象经过点，且函数y随自变量x的增大而减小，请写出一个符合要求的函数表达式：__________． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）请你写一个图象过点的函数：________． 21．（23-24八年级下·吉林·期末）已知一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 22．（23-24八年级下·福建泉州·期中）将直线平移，使之经过点，则平移后的函数解析式为 ___________． 23．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【考点5】一次函数与方程、不等式（第24-32题） · 两条直线的交点坐标是对应二元一次方程组的解 · 不等式kx+b>mx+n的解集，看哪条直线在上方 · 直线与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解 24．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，函数（）的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 25．（2026·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·四川雅安·期中）若一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，那么当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为___________． 29．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 30．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知直线（k，b为常数，且）与x轴交于点，与直线（m，n为常数，且）交于点，则关于x的不等式组的解集为________． 31．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 32．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【考点6】一次函数的实际应用（第33-35题） · 先读懂图象横、纵坐标的实际意义 · 求出解析式后，再利用解析式计算实际问题 · 方案问题：先列不等式求范围，再结合一次函数增减性选最优方案 33．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（26-27八年级下·全国·课后作业）一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 35．（24-25九年级下·河南周口·期中）某电器商城销售智能型与节能型两种型号的空调，价格如下表： (1)若商城用不多于万元的金额购进这两种型号的空调共台，则智能型空调最多能购进多少台? (2)商城销售完这台空调能否实现利润超过万元的目标?若能，请给出购买方案；若不能，请说明理由． 【考点7】三角形的三边关系（第36-38题） · 判断三条线段能否组成三角形，看较短两边之和是否大于最长边 · 已知两边求第三边范围：两边差<第三边<两边和 · 等腰三角形需分类讨论哪条边是腰，并检验三边关系 36．（23-24八年级上·河北张家口·期中）将长分别为3，4．6，8的木棍用4颗螺丝按如图所示的方式安在一起，且相邻两木根之间的夹角均可调整，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．11 D．14 37．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）A、B、C为三个小区，A、B、C三个小区的学生人数比为3：7：4，现在要在所在的平面上建造一个学校P，使得所有学生走的路程和最短，则学校P应该选在（　　） A．点C处 B．三条中线的交点处 C．点B处 D．和的角平分线的交点处 38．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，，，则的长可能为____________．（只写一个） 【考点8】三角形的高、中线与角平分线（第39-45题） · 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分 · 三角形的高可能在三角形内部、外部或边上 · 角平分线把一个角分成两个相等的角 39．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为______． 41．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，是的中点，，，点在边上，沿剪开得到两部分周长差为，则_____． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的中线，是的中线，若，则_______________． 43．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则______． 44．（21-22七年级下·四川自贡·阶段检测）如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 45．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，若，，边上的中线把的周长分为和两部分，求各边的长． 【考点9】三角形的内角和与外角（第46-55题） · 三角形内角和等于180° · 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 · 折叠问题：折叠前后对应角相等 · 角平分线与内角和结合时，常用整体思想求角 46．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处，已知，，则（    ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级上·浙江温州·期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，，则图中的度数为_________． 48．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，将沿折叠，使点 A落在点处，且平分，平分，若，则________．    49．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则________．（用含的式子表示） 50．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 51．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 52．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，，求的度数． 53．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，平分，，，求的度数． 54．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？请利用三角形的外角与内角的关系，求的度数． 55．（23-24七年级下·福建南平·期末）已知线段与相交于点B，，将线段沿着平移得到． (1)如图1，点M在线段上（点M不与点B，C重合），连接．证明：； (2)如图2，点M在线段的延长线上，连接．（1）中的结论还成立吗？若不成立，探究与的数量关系．（直接写出结论，不必证明） (3)在图3中按要求补全图形：①连接，②在线段的延长线上取一点M，③画的平分线交直线于N；直接写出与的数量关系． 【考点10】命题与证明、平行线与对顶角（第56-60题） · 判断假命题只需举出一个反例 · 对顶角相等；平行线的判定与性质互逆 · 证明题要写清每一步推理的依据 56．（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 57．（2024八年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁、戊与小明同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲、乙、丙、丁、戊分别比赛了5、4、3、2、1场，则小明已赛（    ）． A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 58．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）下列四个命题， ①对顶角相等； ②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（2024七年级上·四川成都·专题练习）老师为了表扬好人好事，于是找了小聪、小明、小丽、小红四人核实一件事．小聪说：“是小明做的．”小明说：“是小红做的．”小丽说：“不是我做的．”小红说：“小明说错了．”这四人中只有一人说了真话，这件好事是______做的． 60．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，和相交于点O，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · 先复习平面直角坐标系各象限点的坐标符号，再练习由坐标描点、由点写坐标 · 正比例函数与一次函数的图象和性质要对比记忆，重点掌握k、b对图象的影响 · 待定系数法求一次函数解析式是必考方法，每天练2道 · 三角形三边关系、内角和、外角性质要结合图形理解，不要死记硬背 · 命题与证明要能区分题设与结论，会举反例判断假命题 【作业1】．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【作业2】．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．数轴上的点与有理数是一一对应的 B．相等的两个角是对顶角 C．同角的补角相等 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【作业3】．（25-26七年级上·山东威海·期末）下列图象中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列四个命题中，其中真命题的个数有（   ） ①对顶角相等；        ②负数没有立方根； ③内错角相等；        ④平行于同一直线的两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】．（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，边上的高是（    ）． A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12 【作业7】．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知点在第四象限，则的取值范围是________． 【作业8】．（23-24八年级上·广东深圳·期中）若函数是关于的正比例函数，则b的值为 _____． 【作业9】．（24-25八年级下·北京顺义·阶段检测）一次函数的图象不经过第___________象限． 【作业10】．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某商场销售某种商品，原价240元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 根据以上信息，当售价为240元时，该商品日销售量为__________件． 【作业11】．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点A的坐标为______． 【作业12】．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到，则该函数解析式是________． 【作业13】．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是___________ 【作业14】．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与坐标轴交于点B、A．过线段AB的中点作轴于点，则的面积为______，过线段的中点作轴于点，过线段的中点作轴于点…以此类推，则的面积为______． 【作业15】．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1）_______； （2）点是轴上一动点，连接，若的周长最小，则点的坐标为_______． 【作业16】．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知在中，，，且的长为奇数． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，求的周长． 【作业17】．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 【作业18】．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段检测）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【作业19】．（24-25八年级下·广东·期中）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了______和______两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？ 【作业20】．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号高端智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： 信息二： (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，费用不超过550万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第11~13章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能正确画出平面直角坐标系，根据坐标描点、由点写坐标，并判断点所在象限 · 能理解函数的概念，从图象中获取信息，会求自变量的取值范围 · 能掌握正比例函数与一次函数的图象和性质，会用待定系数法求解析式 · 能利用一次函数与方程、不等式的关系解决图象交点与解集问题 · 能掌握三角形三边关系、内角和与外角性质，进行角度计算与简单命题证明 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系 平面直角坐标系由在同一平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成，水平的为x轴，竖直的为y轴 四个象限内点的坐标符号特征：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-) x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点的坐标为(0,0) 点的平移规律：左右平移改变横坐标（右加左减），上下平移改变纵坐标（上加下减） 概念辨析例题：已知点P(a-1, a+2)在第二象限，求a的取值范围。 答案：-2<a<1 解析：第二象限内的点横坐标小于0且纵坐标大于0，即a-1<0且a+2>0，解得a<1且a>-2，所以-2<a<1。 ☆ 2.函数与一次函数 在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过原点的一条直线；k>0时过一、三象限，y随x增大而增大 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小 直线平移规律：直线y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m，向左平移n个单位得y=k(x+n)+b 概念辨析例题：已知一次函数的图象过点(0,2)和(1,5)，求这个一次函数的解析式。 答案：y=3x+2 解析：设一次函数解析式为y=kx+b，把(0,2)代入得b=2，把(1,5)代入得k+2=5即k=3，所以解析式为y=3x+2。 ☆ 3.三角形中的边角关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分；三角形的高、中线、角平分线都是线段 等腰三角形中，任意两边相等，需分类讨论哪条边是腰，并检验三边关系 概念辨析例题：已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长为奇数，求第三边的长。 答案：5或7或9 解析：根据三边关系，7-3<第三边<7+3，即4<第三边<10，其中的奇数为5、7、9。 ☆ 4.命题与证明 判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，常写成「如果……那么……」的形式 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；判断假命题只需举出一个反例 对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 证明三角形内角和定理时，常通过作平行线把三个内角转化为一个平角 概念辨析例题：判断命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题。 答案：假命题 解析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。例如两条平行线被第三条直线所截，所得的同位角也相等，因此该命题是假命题。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平面直角坐标系 两条互相垂直、原点重合的数轴 象限内点的坐标符号不要记错 函数的概念 对于x每一个值，y有唯一值对应 垂直于x轴的直线不是函数图象 一次函数 y=kx+b（k≠0） k决定增减性，b决定与y轴交点 三角形三边关系 两边之和大于第三边 第三边范围：差<第三边<和 三角形内角和 等于180° 外角等于与它不相邻的两内角和 命题与证明 由题设和结论组成 举一个反例即可判断假命题 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系与点的坐标（第1-5题） · 建立坐标系时先确定原点和坐标轴正方向，再根据坐标描点 · 判断点所在象限，先看横、纵坐标的符号组合 · 点的平移：右移横坐标加、左移横坐标减；上移纵坐标加、下移纵坐标减 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，在长方形中，，，，则点A的坐标是________． 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是掌握点平移规律． 根据点，结合，，求解即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点不在第______象限内， 【答案】四 【分析】根据每个象限内的点的坐标符号和，建立a的不等式组，求出a的取值范围，如果在取值范围内存在a的值，A就在此象限；如果在取值范围不存在a的值，A就不在此象限． 【详解】判断是否在第一象限 第一象限的点，横坐标和纵坐标都必须大于0． 即， 解得： 得． ∵存在满足条件的实数 （例如）， ∴点A可以在第一象限． 判断是否在第二象限 第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0． 即， 解得：， 得． ∵存在满足条件的实数（例如）， ∴点A可以在第二象限． 判断是否在第三象限 第三象限的点，横坐标和纵坐标都必须小于0． 即， 解得， 得． ∵存在满足条件的实数（例如）， ∴点A可以在第三象限． 判断是否在第四象限 第四象限的点，横坐标大于0，纵坐标小于0． 即， 解得：， 这两个条件是相互矛盾的， 不存在任何一个实数既能大于6又能小于-4． 因此，点A绝对不可能在第四象限． 综上所述，点A不在第四象限内． 3．（25-26八年级上·全国·期中）试用两个数据表示你们学校的旗杆相对于学校大门的位置 【答案】学校的旗杆位于学校大门北偏东方向，距离学校大门米的位置（答案不唯一）． 【分析】本题考查的是位置的相对性和用数据描述位置的方法，重点在于理解如何用方向和距离两个数据来表示一个物体相对于另一个物体的位置．要表示旗杆相对于学校大门的位置，需要两个关键数据：①方向：即从学校大门出发，向哪个方向走才能到达旗杆；②距离：即从学校大门到旗杆的直线距离，单位通常用米表示． 【详解】略 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图所示的是某学校及周围建筑的位置．已知各建筑都在小正方形的格点（网格线的交点）上，少年宫的坐标是，商店的坐标为． (1)根据题意，在上图中建立平面直角坐标系． (2)分别写出体育馆、食堂、图书馆和公交站的坐标，指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如下： (2)体育馆，在第一象限；食堂，在第二象限；图书馆，在x轴上；公交站，在第三象限 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系、点的坐标； （1）根据少年宫的坐标是，商店的坐标为，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系写出坐标即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)将向下平移5个单位得到，请画出； (2)将与关于y轴对称，请画出； 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 解：如图所示： 【分析】本题考查了画平移图形，画轴对称图形． （1）根据平移方式作图即可； （2）根据轴对称的特点作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【考点2】函数的概念与图象（第6-9题） · 判断y是否为x的函数，看x每取一个值时y是否唯一对应 · 从函数图象读信息，先看横、纵坐标各代表什么实际量 · 求自变量取值范围：分式的分母不为0 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，小楠一家自驾从城出发前往城，途中在某高速公路服务区休息了一段时间．图中表示汽车行驶的时间，表示汽车离开城行驶的路程．根据图象信息，下列说法错误的是（     ） A．从城到服务区用时1.5小时 B．小楠一家在服务区休息了5分钟 C．服务区距离城270千米 D．从城到服务区汽车行驶的平均速度是100千米/时 【答案】B 【分析】根据函数图象的横纵坐标含义，分别分析每一段图象所代表的实际意义，计算对应的时间、路程和速度，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、由图象可知，从A城到服务区对应的时间段为0至1.5，故用时1.5小时，说法正确，不符合题意； B、在服务区休息时路程不变，对应时间段为1.5至2， 故休息时间为（小时），0.5小时=30分钟，说法错误，符合题意； C、服务区距离B城（千米），说法正确，不符合题意； D、从A城到服务区行驶路程为150千米，用时1.5小时，平均速度为千米/时，说法正确，不符合题意． 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数中的自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了分式函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分式分母不能为零这一性质． 要使分式函数有意义，需保证分母不为零，据此求解自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 则自变量的取值范围是． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·陕西西安·期中）九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环（如图），若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为1，一个圆环的直径为，整个九连环的宽度为，则与的关系可以表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了函数解析式，熟练掌握重叠后长度，重叠部分长度，并排长度的关系是解题的关键．用九个圆环的长度减去重叠的部分即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）心理学家艾宾浩斯研究了人类大脑对新事物遗忘的规律．他用无意义的音节作为记忆的材料，记录学习后的时间（单位：）和对应的记忆留存率，将实验数据绘制成一条曲线，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．下图是根据艾宾浩斯遗忘曲线绘制的内记忆留存率与学习后的时间的关系，结合图象回答以下问题．    (1)图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请说明点的实际意义； (3)根据图中信息，对新事物的学习提出一条合理的建议． 【答案】(1)图象表示的是内记忆留存率与学习后的时间之间的关系；其中学习后的时间是自变量，内记忆留存率是因变量 (2)点的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为 (3) 建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新．（答案不唯一） 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． （1）根据坐标系中横、纵坐标的意义，即可解答； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）提出一条合理的建议即可． 【详解】（1）图象表示的是内记忆留存率与学习后的时间之间的关系，其中学习后的时间是自变量，内记忆留存率是因变量； （2）点的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为； （3）略 【考点3】正比例函数（第10-14题） · 正比例函数y=kx的图象是过原点的一条直线 · k>0时图象过一、三象限，y随x增大而增大 · 用待定系数法求k：把已知点坐标代入y=kx 10．（25-26八年级上·山西太原·期中）已知正比例函数，当时，对应的函数值为（   ） A．25 B．10 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正比例函数的函数值．直接把代入到中进行求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 故选：A． 11．（24-25九年级下·福建宁德·期中）已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； B、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故在函数的图象上，符合题意； 故选：D． 12．（25-26八年级下·广东阳江·期末）某荔枝种植基地的采摘工人，每天的采摘收入（元）与采摘的荔枝重量（千克）成正比例．当采摘重量为300千克时，收入为400元，写出符合条件的函数表达式（不考虑取值范围）______________． 【答案】 【详解】解：设函数表达式为，把代入，得， 解得， ∴． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知x与y的关系如下表： (1)根据上表写出y与x之间的一个关系式，并判断y是否为x的正比例函数； (2)由该关系式，当时，求y的值． 【答案】(1)，y是x的正比例函数 (2)27 【分析】（1）根据正比例函数的定义，计算验证中的k值，是否是相同的定值，不同，则不是； （2）根据解析式求函数值即可．熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解∶∵， ∴，y是x的正比例函数； （2）解∶ 当时，． 14．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，判定点与一次函数图象的关系，掌握待定系数法的计算，判定点与函数图象的位置是解题的关键． （1）根据题意，设，把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）把代入一次函数解析式，得到，再与点坐标进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设， 把代入，得， 解得， ∴， 即； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【考点4】一次函数的图象与性质（第15-23题） · k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小 · b>0时直线与y轴交于正半轴，b<0时交于负半轴 · 直线平移：上加下减（改变b）、左加右减（改变x） · 待定系数法：设y=kx+b，代入两点坐标列方程组求解 15．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段检测）两个一次函数与（a，b为常数，且），它们在同一个坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数的性质，能根据一次函数的解析式中的符号判断函数图象所经过的象限，当时函数图象过一、三象限，时函数图象过二、四象限；当时与y轴正半轴相交，时与y轴负半轴相交，据此逐项判断即可． 【详解】解：当时，两条直线都应经过一、二、三象限，即B、C错误； 当时，一条直线经过一、三、四象限，另一条经过一、二、四象限，即A正确； 当时，两条直线都应经过二、三、四象限，即D错误； 故选A． 16．（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数的图象与轴交点的纵坐标是，当时，，则它的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握y轴上点的横坐标为0及二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意可知：该函数过、，然后代入中得到关于k、b的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知：该函数过、， 把、代入中， 得，解得：， 所以一次函数的解析式是． 故选:D． 17．（2024·陕西咸阳·二模）如图是一次函数 与 的图象，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，一次函数 的值都为负数 D．方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵的图象呈下降趋势， ∴， 故项错误； ∵的图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， 故项错误； ∵一次函数解析式为： ， ∴当时，， ∴一次函数与轴的交点坐标为， ∴当时，一次函数 的值小于， 当时，一次函数 的值大于， 当时，一次函数 的值等于， 故项错误； ∵由一次函数 与 的图象的交点可知 当时一次函数 与一次函数 的值相等， 故项正确； 故选． 18．（2026·天津红桥·一模）若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数图像与系数的关系，判断的取值范围，选取一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限， ， k的值可以是1（答案不唯一，满足即可）． 19．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，某函数的图象经过点，且函数y随自变量x的增大而减小，请写出一个符合要求的函数表达式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质．首先根据函数的性质确定的取值范围，然后根据经过点，即可解决问题． 【详解】解：函数值随自变量的增大而减小， ， 则可取， 则函数解析式为， 又图象经过点， ， 解得， （答案不唯一）， 故答案为：． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）请你写一个图象过点的函数：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式， 设正比例函数为，代入点即可求解． 【详解】解：设函数为， 代入点得， 即， ∴函数为， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（23-24八年级下·吉林·期末）已知一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．一次函数，当时，随的增大而减小．据此列式解答即可． 【详解】解：一次函数，随的增大而减小， ， 解得． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·福建泉州·期中）将直线平移，使之经过点，则平移后的函数解析式为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求函数解析式，先设平移后的函数解析式为，再将代入函数解析式，求解即可． 【详解】设平移后的函数解析式为， 把代入函数解析式，得，解得， ∴平移后的函数解析式为， 故答案为：． 23．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 【考点5】一次函数与方程、不等式（第24-32题） · 两条直线的交点坐标是对应二元一次方程组的解 · 不等式kx+b>mx+n的解集，看哪条直线在上方 · 直线与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解 24．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，函数（）的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一次函数图象与性质求不等式解集，先将代入函数，求出，过点作轴的垂线，如图所示，求关于的不等式的解集就是求函数图象在函数的图象上方部分对应的的范围，数形结合即可得到答案，掌握由一次函数图象与性质求不等式解集的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：函数（）的图象与函数的图象交于点，且的纵坐标为， 当时，，解得，即， 过点作轴的垂线，如图所示： 函数与函数的图象交于点， 求关于的不等式的解集就是求函数图象在函数的图象上方部分对应的的范围， 当时，函数图象在函数的图象上方， 不等式的解集为， 故选：A． 25．（2026·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为． 26．（24-25八年级下·四川雅安·期中）若一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，那么当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象，得到y随x的增大而减小，且时，，根据性质解答即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与等式，熟练掌握性质和不等式是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到y随x的增大而减小，且时，， 故时，， 故选：A． 27．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，点的左侧，直线低于直线， ∴ 不等式的解集为． 28．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 利用数形结合的数学思想得：当时，直线在直线的上方，即可求解． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，直线在直线的上方， 即， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 29．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 30．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知直线（k，b为常数，且）与x轴交于点，与直线（m，n为常数，且）交于点，则关于x的不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键；由图象知，直线位于x轴上方且位于直线下方的自变量取值范围，即为所求不等式的解集． 【详解】解：观察图象知，不等式组的解集为； 故答案为：． 31．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 32．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是； 的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 【考点6】一次函数的实际应用（第33-35题） · 先读懂图象横、纵坐标的实际意义 · 求出解析式后，再利用解析式计算实际问题 · 方案问题：先列不等式求范围，再结合一次函数增减性选最优方案 33．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，包括从函数图像中获取信息、求函数解析式、解方程等知识点，熟练掌握一次函数的性质以及从图像中提取关键数据、建立函数模型是解题的关键．先根据图像信息求出甲、乙两车的速度及各自的函数解析式，再逐一验证四个结论：①由图像终点纵坐标判断、两城距离；②由图像起点和终点横坐标判断两车的出发与到达时间；③通过联立两车的函数解析式求出相遇时间，从而验证乙车追上甲车的时间；④分情况讨论两车相距千米时的时间，最后统计正确结论的个数． 【详解】解：∵甲、乙两车从城到城的最大距离为千米， ∴①、两城相距千米，正确． ∵甲车在时出发，时到达，乙车在时出发，时到达， ∴②乙车比甲车晚出发小时，早到小时，正确． ∵甲车速度千米/小时， ∴甲车函数解析式为． ∵乙车速度千米/小时， ∴乙车函数解析式为（）． 联立， 解得， ∴乙车出发后小时追上甲车，故③错误． 当时， 分两种情况： ， 解得； ， 解得． 当乙车到达城后，， 解得． 故④中或正确． 综上，①②④正确，共个． 故选：C． 34．（26-27八年级下·全国·课后作业）一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式求解即可； （2）把代入（1）中表达式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为， ∴． （2）解：∵，， ∴． 35．（24-25九年级下·河南周口·期中）某电器商城销售智能型与节能型两种型号的空调，价格如下表： (1)若商城用不多于万元的金额购进这两种型号的空调共台，则智能型空调最多能购进多少台? (2)商城销售完这台空调能否实现利润超过万元的目标?若能，请给出购买方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)购进智能型空调台； (2) 解：不能， ， ， ， 利润不会超过万元． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 设购进智能型空调台，根据费用不超过元，可得不等式：，解不等式可得：，所以最多购进智能型空调台； 根据利润单件利润销量，可得：，又因为，根据一次函数的性质可知利润不会超过万元． 【详解】（1）解：设购进智能型空调台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多购进智能型空调台； （2）略 【考点7】三角形的三边关系（第36-38题） · 判断三条线段能否组成三角形，看较短两边之和是否大于最长边 · 已知两边求第三边范围：两边差<第三边<两边和 · 等腰三角形需分类讨论哪条边是腰，并检验三边关系 36．（23-24八年级上·河北张家口·期中）将长分别为3，4．6，8的木棍用4颗螺丝按如图所示的方式安在一起，且相邻两木根之间的夹角均可调整，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系定理，即“三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边”，据此分情况讨论，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键． 【详解】已知条木棍的四边长为． 选三条边作为三角形，则三边长为， ，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为； 选作为三角形，则三边长为， ，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为； 选作为三角形，则三边长为， ，不能构成三角形，此种情况不成立； 选作为三角形，则三边长为， ，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为； 选作为三角形，则三边长为， ， 不能构成三角形，此种情况不成立； 选作为三角形，则三边长为， ， 不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任意两螺丝的距离之最大值为． 故选B． 37．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）A、B、C为三个小区，A、B、C三个小区的学生人数比为3：7：4，现在要在所在的平面上建造一个学校P，使得所有学生走的路程和最短，则学校P应该选在（　　） A．点C处 B．三条中线的交点处 C．点B处 D．和的角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，正确列出每种情况的代数式，然后根据三角形三边关系进行判断是本题解题的关键．分别列出P点在三角形内以及在B、C两点处时，所有学生走过路程的总和，根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图： 当点P在的内部时： 所有学生走过的路程为： ， 当点P在点C处： ， 当点P在点B处： ， ∴ 在和中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， ∴， ∵三条中线的交点处和和的角平分线的交点处均在三角形内， ∴B和D均不符合题意， 综上所述，P点应该在点B处． 故选：C． 38．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，，，则的长可能为____________．（只写一个） 【答案】8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确） 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间关系是解题的关键．根据三角形三边之间关系求出的范围，再在此范围内任意取一个值即可． 【详解】根据三角形三边之间关系可得， 即， ∴， 的长可能为8． 故答案为：8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确） 【考点8】三角形的高、中线与角平分线（第39-45题） · 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分 · 三角形的高可能在三角形内部、外部或边上 · 角平分线把一个角分成两个相等的角 39．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了三角形的高线和角平分线． 求出，进而得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 40．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形的中线等分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵是的一条中线，的面积是． ∴， 故答案为： 41．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，是的中点，，，点在边上，沿剪开得到两部分周长差为，则_____． 【答案】1或3 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可； 【详解】解：如图，设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ∴， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的中线，是的中线，若，则_______________． 【答案】9 【分析】本题考查了中线的应用，根据是的中线，是的中线，得出，再运用线段的和差关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：9． 43．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则______． 【答案】4 【分析】连接，根据，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 则， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 44．（21-22七年级下·四川自贡·阶段检测）如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点C到边的距离为4． 【分析】（1）过C点作交延长线于F点，然后根据点到直线的距离的定义求解； （2）过A点作于E点，如图，则，然后利用面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点C到边的距离为线段的长； ； （2）解：过A点作于E点，如图，则， ∵， ∴， 即点C到边的距离为4． 45．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，若，，边上的中线把的周长分为和两部分，求各边的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、二元一次方程的应用等知识点，解题的关键是分情况讨论，避免遗漏．先根据题意画出示意图，然后再利用三角形的中线定义及三角形周长求得三角形三边的长即可，注意题意中的． 【详解】解：如下图， 设，， ∵是的中线， ∴， 若，， 即，解得， 此时，； 若，， 即，解得， 此时，； ∵，此时不符合题意，舍去． 综上所述，，． 【考点9】三角形的内角和与外角（第46-55题） · 三角形内角和等于180° · 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 · 折叠问题：折叠前后对应角相等 · 角平分线与内角和结合时，常用整体思想求角 46．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 47．（23-24八年级上·浙江温州·期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，，则图中的度数为_________． 【答案】/105度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先利用平行线的性质求出，然偶利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，将沿折叠，使点 A落在点处，且平分，平分，若，则________．    【答案】80 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，折叠的性质等知识，连接，由角平分线的定义得出，．由三角形内角和定理得出，，由折叠的性质知，，再利用三角形外角的定义和性质即可得出，，进而可得出 【详解】解：如图，连接，    ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴ ∴． 由折叠的性质知，，，． 又， ∴ 故答案为：80 49．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则________．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索．先根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质证明，同理可证，，…据此求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ， … ∴， 故答案为：． 50．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 【答案】(1) (2)当轮船行驶到点C的正南方时距离灯塔最近，因为垂线段最短 (3)当轮船行驶到距离灯塔最近的位置时，的度数是多少？（答案不唯一） 【分析】（1）根据三角形外角的性质计算即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）再提出一个问题即可． 【详解】（1）解： ， ∴当轮船从点行驶到点时，的度数是． （2）略 （3）略 51．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角的平分线以及三角形外角的性质． 首先，由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义可知，再利用三角形外角的性质，即可求得结果． 【详解】解：∵，， ． 平分， ． ． 52．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据两直线平行内错角相等求出，问题随之得解． 【详解】，， ， 在中，，， ． 53．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．由，以及三角形外角的性质，可得，再利用角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ， 平分， ． 54．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？请利用三角形的外角与内角的关系，求的度数． 【答案】是的外角，是的外角， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，根据三角形外角的定义可得是的外角，是的外角，则由三角形外角的性质可推出，再由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，是的外角，是的外角， ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 55．（23-24七年级下·福建南平·期末）已知线段与相交于点B，，将线段沿着平移得到． (1)如图1，点M在线段上（点M不与点B，C重合），连接．证明：； (2)如图2，点M在线段的延长线上，连接．（1）中的结论还成立吗？若不成立，探究与的数量关系．（直接写出结论，不必证明） (3)在图3中按要求补全图形：①连接，②在线段的延长线上取一点M，③画的平分线交直线于N；直接写出与的数量关系． 【答案】(1) 证明：作， 将线段沿着平移得到， ， ， ， ， ； (2)不成立，数量关系是 (3) 补全图形如下： 与的数量关系： 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形内角和定理及角平分线的有关计算， （1）作，得出，根据平行线的性质证明结论； （2）作，得出，根据平行线的性质证明结论； （3）先补全图形，求出，，利用三角形内角和得出结论； 【详解】（1）略 （2）解：（1）中结论不成立，数量关系是，理由如下： 作， 将线段沿着平移得到， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得：， ，， 平分， ， ， 在中，， ． 【考点10】命题与证明、平行线与对顶角（第56-60题） · 判断假命题只需举出一个反例 · 对顶角相等；平行线的判定与性质互逆 · 证明题要写清每一步推理的依据 56．（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由反射定理可得， ，， ， ， ， ， 即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是， 故选：D． 57．（2024八年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁、戊与小明同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲、乙、丙、丁、戊分别比赛了5、4、3、2、1场，则小明已赛（    ）． A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【答案】C 【分析】根据题意画图分析，两人连线表示两人赛一场，根据图形即可得到答案，此题考查了线段的数量的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】解：画图分析，两人连线表示两人赛一场． ∴小明已赛3场， 故选：C 58．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）下列四个命题， ①对顶角相等； ②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题．根据对顶角的性质、邻补角的定义、平行线的性质、点到直线的距离等知识分别进行判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②有一条公共边，分别位于公共边两侧且互补的两个角互为邻补角，故原题是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，是真命题； 综上可知，真命题是①③④，共3个， 故选：C 59．（2024七年级上·四川成都·专题练习）老师为了表扬好人好事，于是找了小聪、小明、小丽、小红四人核实一件事．小聪说：“是小明做的．”小明说：“是小红做的．”小丽说：“不是我做的．”小红说：“小明说错了．”这四人中只有一人说了真话，这件好事是______做的． 【答案】小丽 【分析】本题主要考查了逻辑推理，采用假设法是解决此类问题常用的方法．运用假设法，假设其中一人为真话，然后进行推论，看是否矛盾即可． 【详解】假设小明说的真话，则好事是小明做的，那么小明说的假话，小丽说的真话，小红说的假话，矛盾． 假设小明说的真话，则好事是小红做的，那么小丽说的假话，小丽说的真话，小红说的假话，矛盾． 假设小丽说的真话，则好事不是小丽做的，若小红说的是假话，那么小明说的是真话，矛盾． 所以小丽说的是假话，则好事是小丽做的， 故答案为：小丽 60．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，和相交于点O，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先得到，继而，故； （2）可得，根据邻补角可求，故，由三角形内角和定理求得，故． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，邻补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 先复习平面直角坐标系各象限点的坐标符号，再练习由坐标描点、由点写坐标 · 正比例函数与一次函数的图象和性质要对比记忆，重点掌握k、b对图象的影响 · 待定系数法求一次函数解析式是必考方法，每天练2道 · 三角形三边关系、内角和、外角性质要结合图形理解，不要死记硬背 · 命题与证明要能区分题设与结论，会举反例判断假命题 【作业1】．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键；因此此题根据三角形三边关系进行排除选项即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不符合题意； B、，不能构成三角形，故不符合题意； C、，能构成三角形，故符合题意； D、，不能构成三角形，故不符合题意； 故选C． 【作业2】．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．数轴上的点与有理数是一一对应的 B．相等的两个角是对顶角 C．同角的补角相等 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】C 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题． 【详解】解：A、数轴上的点与实数是一一对应的，故原命题是假命题，本选项不符合题意； B、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题是假命题，本选项不符合题意； C、同角的补角相等，是真命题，本选项符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题，本选项不符合题意； 故选：C． 【作业3】．（25-26七年级上·山东威海·期末）下列图象中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数中每一个自变量都有唯一的函数值与之相对应是解题的关键． 根据函数的定义，逐项进行判断，即可求解． 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量x的任意值，y都有唯一的值与之对应，可知， A、当x取任意值，y都有唯一的值与之对应，故选项A能表示是的函数，不符合题目要求； B、当x取大于0的实数时，y有两个值与之对应，选项B中的图象不能表示是的函数，符合题目要求； C、当x取任意值，y都有唯一的值与之对应，故选项C能表示是的函数，不符合题目要求； D、当x取任意值，y都有唯一的值与之对应，故选项D能表示是的函数，不符合题目要求． 故选：B． 【作业4】．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列四个命题中，其中真命题的个数有（   ） ①对顶角相等；        ②负数没有立方根； ③内错角相等；        ④平行于同一直线的两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，根据对顶角性质、立方根定义、内错角条件和平行线公理判断各命题真假． 【详解】解：对顶角相等，①是真命题． 负数有立方根，如的立方根为，②是假命题． 内错角相等需两直线平行为前提，③是假命题． 平行于同一直线的两条直线互相平行， ④是真命题． ∴真命题有2个． 故选B． 【作业5】．（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，边上的高是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了三角形的高，根据从三角形的一顶点向对边所在直线引垂线，顶点和垂足之间的线段为三角形这条边上的高，求解即可． 【详解】解：根据高的定义，为中边上的高； 故选：C． 【作业6】．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三边关系进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不能摆成三角形， ，故选项B不能摆成三角形， ，故选项C能摆成三角形， ，故选项D不能摆成三角形， 故选：C． 【作业7】．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知点在第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征．由第四象限的点的特点，可得，解之可得的取值范围． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：， 故答案为：． 【作业8】．（23-24八年级上·广东深圳·期中）若函数是关于的正比例函数，则b的值为 _____． 【答案】 【分析】根据正比例函数直接求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的正比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 【作业9】．（24-25八年级下·北京顺义·阶段检测）一次函数的图象不经过第___________象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质判断其经过的象限，即可得出不经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【作业10】．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某商场销售某种商品，原价240元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 根据以上信息，当售价为240元时，该商品日销售量为__________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为240元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为240元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 【作业11】．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．根据题意，建立合适的平面直角坐标系即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点B坐标为，点C坐标为，且同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等， 则建立平面直角坐标系如图所示： ∴点A的坐标为 故答案为： 【作业12】．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到，则该函数解析式是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据一次函数的平移规律：左加右减上加下减，进行作答即可作答． 【详解】解：一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到， ． 故答案为：． 【作业13】．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，根据等腰三角形的定义，分腰长为与腰长为两种情况讨论，利用三角形三边关系判断是否成立，再计算周长． 【详解】解：当腰长为时，三边分别为、、， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立． 当腰长为时，三边分别为、、， ∵，，满足三角形三边关系， 周长为． 故答案为：． 【作业14】．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与坐标轴交于点B、A．过线段AB的中点作轴于点，则的面积为______，过线段的中点作轴于点，过线段的中点作轴于点…以此类推，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，线段的中点坐标公式，三角形的面积公式，规律的探索，利用枚举法计算三次后，确定变化规律计算即可． 【详解】∵直线与坐标轴交于点B、A． ∴， ∵线段AB的中点作轴于点， ∴即， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； ∵过线段的中点作轴于点，，， ∴即， ∴，，， ∴的面积为， ∵过线段的中点作轴于点，，， ∴即， ∴，，， ∴的面积为， ∴的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 【作业15】．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1）_______； （2）点是轴上一动点，连接，若的周长最小，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，以及轴对称图形的性质： （1）先求出点B的坐标，可得直线的解析式，从而求出m的值，再把把代入，即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的周长最小．求出直线的表达式，即可求解． 【详解】解：（1）直线与轴交于点，且经过点， ， ， 直线， 直线经过点， ， ， 把代入，得：， 解得：； 故答案为： （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的周长最小． 设直线的表达式为， ， ∴， 解得：， 直线的表达式为， 令，得到， ． 故答案为： 【作业16】．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知在中，，，且的长为奇数． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，求的周长． 【答案】(1)5或7或9 (2)17 【分析】（1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值． （2）分为底边和为底边两种情况，根据三角形的三边关系判断，再求周长． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：， 为奇数， 的长为5或7或9． （2）若为底边，则三边分别为3，3，7， 而，无法构成三角形，故不成立； 若为底边，则三边分别为3，7，7， 则周长为． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【作业17】．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，两条直线相交与坐标轴围成的三角形面积，正确求出点A的坐标是关键； （1）解两个函数表达式组成的方程组即可得点A的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点B的坐标，则可求得长度，从而求得结果． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴． （2）解：把代入得：， ∴， ∴且点A到的距离为4， ∴． 【作业18】．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段检测）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补 (2)；两直线平行，同位角相等；；；等量代换 【分析】本题考查了命题，平行线的性质等知识， （1）确定题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，按要求表述即可； （2）根据两直线平行，同位角相等可得，再结合平角的定义，即可证明． 【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”， 改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补； （2）如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证． 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【作业19】．（24-25八年级下·广东·期中）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了______和______两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？ 【答案】（1）时间，距离 （2）1500,4 （3）450 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，变量之间的关系， 对于（1），观察图象可知横轴是时间，纵轴是距离可解答； 对于（2），观察图象经过14分钟离家的距离是1500米解答，再根据从8分钟到12分钟离家距离没有变解答； 对于（3），分别求出骑车的三段的速度，再比较可得答案． 【详解】解：（1）观察图象可知横轴表示的时间，纵轴表示的是离家的距离， 所以图象表示了时间和距离两个变量的关系； 故答案为：时间，距离； （2）观察图象可知经过14分钟离家距离为1500米，可知小潘家到舅舅家的路程是1500米；由图象知从8分钟到12分钟离家距离没变，所以小潘在商店停留了（分钟）． 故答案为：1500,4； （3）由图象得小潘行驶了三段，第一段的速度为（米/分）； 第二段折回去商店的速度为（米/分）； 第三段买好礼物去舅舅家的速度为（米/分）． 由， 所以小潘骑车最快的速度是450米/分． 【作业20】．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号高端智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： 信息二： (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，费用不超过550万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为40万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组解方程即可求解； （2）根据题意列一元一次不等式，解不等式可得未知数的取值范围，利用一次函数因变量随自变量的变化趋势即可求解最大值． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为40万元． （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 又因为为非负整数， 所以且为整数， 设每天分拣快递万件， 则， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，最大，此时， 答：该企业需要购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 1 学科网（北京）股份有限公司 $