7.4　直线、平面垂直的判定与性质（7大题型归纳）-2027年新高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

7.4　直线、平面垂直的判定与性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、直线与平面垂直的定义 3 知识点二、直线与平面垂直的判定定理 3 知识点三、直线与平面垂直的性质定理 3 知识点四、平面与平面垂直的定义 4 知识点五、平面与平面垂直的判定定理 4 知识点六、平面与平面垂直的性质定理 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 14 题型一：垂直关系判定 14 题型二：线线垂直证明 17 题型三：线面垂直证明 20 题型四：面面垂直证明 23 题型五：面面垂直性质应用 25 题型六：鳖臑垂直综合 30 题型七：垂直综合应用 36 05 课后拓展精练 43 知识点一、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 知识点二、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 知识点三、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 知识点四、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 知识点五、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 知识点六、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 2．（多选题）（2026·全国一卷·高考真题）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 【答案】BC 【解析】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 3．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 4．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 题型一：垂直关系判定 【典例1-1】已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】选项A：如图所示； 设，且，，，又，，A正确. 选项B：如图所示； 设，，且，，，， 又，，，，，且，，B正确. 选项C：设与分别为直线与直线上的单位向量，由，， 可设与分别为平面与平面的法向量， ，，，C正确. 选项D：当直线在平面上，且时，满足，但直线与平面不平行， D错误. 【典例1-2】（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A：已知，，， 因为，，所以或， 又，则垂直平面内的任意直线，即，故A正确； 对于B：，，， 可能平行于平面，也可能在平面内，不一定满足，故B错误； 对于C：，，， 直线的位置关系可为平行，相交或异面，不一定平行，故C错误； 对于D：，，， 直线有可能落在平面内部，此时不能推出，故D错误. 【变式1-1】在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【解析】折叠前，在正方形中，， ，折叠后重合为点， 垂直关系保留，如图，, 又，平面， ∴平面，选项D正确； 选项A，假设平面，则， 与已知矛盾，A错误； 选项B，∵平面，∴①， 假设平面，则，与条件① 矛盾，B错误； 选项C，同理，假设平面，则， 与条件①矛盾，C错误； 【变式1-2】已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【解析】若，则可能为平行、相交、异面直线，故A错误； 若，则不一定垂直，故B错误； 若，则由性质定理知，故C正确； 若 ，则或，故D错误. 【变式1-3】如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 【答案】A 【解析】平面平面，， 又，平面.，平面. 平面，∴平面平面. 由，，平面，得平面. 平面，平面平面. 设平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面与平面不垂直. 【解题总结】 此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 题型二：线线垂直证明 【典例2-1】（2026·广西百色·一模）如图，和所在平面垂直，且，，． 证明:． 【解析】证明：过点作垂直于的延长线于点F 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 平面， ． ，，平面， 平面， ． 【典例2-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． 证明：； 【解析】证明：因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以； 【变式2-1】（2026·广东广州·模拟预测）如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接，． 证明：； 【解析】取的中点，连接，则 ， 所以 因为平面， 所以平面. 又平面，所以. 【变式2-2】（2026·广西南宁·一模）已知点，在平面的两侧，且三棱锥是正三棱锥，为中点，如图所示． 若三棱锥也是正三棱锥，证明：； 【解析】证明：三棱锥是正三棱锥， 故底面为等边三角形，， 因为为中点，所以，， 因为平面，，所以⊥平面， 三棱锥也是正三棱锥，同理可得，故平面， 所以平面，故； 【变式2-3】（2026·高三·西藏拉萨·阶段检测）如图，已知直三棱柱中，E为中点，，，且. 求证：； 【解析】证明：连接， 因为，E为中点，所以， 又，，所以， 又，所以∽， 所以，故， 即⊥， 又因为，，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 又⊥，，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； 【解题总结】 题型三：线面垂直证明 【典例3-1】（山东部分校2026届高三标准学术能力诊断性测试2026年10月测试数学试题）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，． 证明：直线平面； 【解析】因为平面，平面，所以， 由，，，， 所以，所以，在中，，即， 因为，平面 所以直线平面. 【典例3-2】（贵州黔东南州、安顺市部分学校2025-2026学年高三10月学科素养训练数学试题）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，为的中点，平面． 证明：平面． 【解析】因为D为的中点，，所以． 平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面 【变式3-1】（2026·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． 证明：平面； 【解析】证明：因为，所以，． 因为四边形是菱形，所以． 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，，，，平面， 所以平面． 【变式3-2】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，平面平面，M是的中点．    求证：平面； 【解析】由四边形是边长为4的正方形，可得， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为在中，，， 所以，解得，即. 在中，已知，，， ， 所以. 因为平面，平面，， 所以平面. 【变式3-3】长方体中，，，分别为中点，且． 求证：平面； 【解析】 连接，因为为 中点，且， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又分别为的中点， 所以，所以， 因为，且平面， 所以平面； 【解题总结】 方法一：线面垂直的判定． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 题型四：面面垂直证明 【典例4-1】已知三棱柱中，，，，. 1)求证：平面平面； 【解析】证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形, 又，所以四边形为菱形，连接，则， 又因，平面，所以平面， 因为平面，所以， ，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【典例4-2】如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． 求证：平面平面； 【解析】为等腰梯形，， ， 又∵平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． 【变式4-1】（2026·高三·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面. 求证：平面平面； 【解析】证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面，∴平面平面. 【变式4-2】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． 证明：平面平面； 【解析】设中点，连接，，如图， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【变式4-3】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【解析】（1）如图所示，连接，作出符合题意的图形， 因为、分别为、中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为底面，底面，所以． 在正方形中，， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【解题总结】 主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决． 题型五：面面垂直性质应用 【典例5-1】如图1，在中，，，，为边上的高.如图2，将绕旋转至，使. (1)求证：平面平面； (2)在（1）的条件下，过点作平面，试确定点H的位置，并求的长. 【解析】（1）在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 在中，因为，，， 所以，则， 因为，所以，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，， 所以，即， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 即平面平面. （2）由（1）得平面平面，且平面平面， 在平面内，过点作平面，则，且点在棱上， 如下图所示 在中，. 【典例5-2】如图，在正方体中：    (1)若分别为棱，上的点，且，，证明：平面； (2)若为棱上的一点，且平面平面，求的值． 【解析】（1） 连接，在正方体中，易知， 因为，，故， 又因为，故， 又因为平面，平面，故平面. （2） 连接，与交于，易知点是中点，连接， 易知平面，故，又因为， 由勾股定理可知，，又因为是中点，故，同理易证. 因为平面平面，故二面角为直二面角， 因为平面，平面，平面平面，， 故是二面角的平面角，即. 不妨设，设，则，， 由勾股定理计算得，，， 又因为，故，即，得， 则，因此. 【变式5-1】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. 证明：； 【解析】证明： 已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， 【变式5-2】如图1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)如图2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积. 【解析】（1） 由，为线段的中点，则， 由，平面，则平面， 又平面，所以平面平面； （2）由平面平面，平面平面，且，平面， 所以点到平面的投影在直线在平面的投影直线上， 由二面角的定义及知，二面角为， 而，，则是边长为2的等边三角形， 所以，则点到平面的距离； （3）由平面且平面，平面，则， 由，则，故，， 而是边长为2的等边三角形，则， 在中，，故，则， 所以. 【变式5-3】已知正三棱柱的各棱长均相等，是上一点，且满足平面平面． 求证：是线段的中点； 【解析】证明: 如图，取的中点，连接，过点作，垂足为，连接． 因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，，又平面，所以， 又，，平面，，所以平面． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 又因为平面且平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形． 因为，，所以， 又为的中点，所以为的中点， 所以， 所以是线段的中点． 【解题总结】 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 题型六：鳖臑垂直综合 【典例6-1】在四面体中，，平面． (1)四个表面都是的四面体称为“鳖臑”，判断四面体是否为“鳖臑”？ (2)若于点，于点，求证：平面． 【解析】（1）因为平面，且平面， 则， 所以是直角三角形， 又，所以是直角三角形， 且，又，平面，所以平面， 又平面，所以，则是直角三角形， 即四个面都是直角三角形，是“鳖臑”. （2）由（1）知，平面，且平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 平面，所以， 又，，平面，所以平面． 【典例6-2】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【解析】（1） 取的中点，连接. 在中，，所以. 因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2）连接. 在中，，，所以. 由（1）知，所以. 因为平面，平面，所以. 根据勾股定理得. 而，， 所以，又，所以. 又平面， 所以平面. 【变式6-1】如图，已知四面体中，平面，． (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 【解析】（1）证明如下： 由平面，平面BCD，得， 又，，平面ABC，因此平面， 而平面ABC，所以. （2）由（1）知：，， 且平面，平面ABC，则，且其余各棱均不垂直，得； 由平面，且平面，平面， 得平面平面，平面平面， 同理由平面得：平面平面，且其余各面均不垂直，得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，得， 所以. （3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， 由（1）知， 在图1中，由平面，平面BCD，得， 又，则，因此在图2中，， 由余弦定理得， 所以彩带的最小长度为. 【变式6-2】如图， 在四棱锥中， 底面， 四边形为正方形， ， 分别是的中点．    (1)证明：平面． (2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由. 【解析】（1）证明如下： 取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）三棱锥（或三棱锥），理由如下： 连接，则三棱锥为鳖臑， 由四边形为正方形，可得为直角三角形， 因为底面，面， 所以， 所以都是直角三角形， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以为直角三角形， 所以三棱锥的四个面都是直角三角形， 所以三棱锥为鳖臑. 另三棱锥为鳖臑， 由四边形为正方形，可得为直角三角形， 因为底面，面， 所以， 所以都是直角三角形， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以为直角三角形， 所以三棱锥的四个面都是直角三角形， 所以三棱锥为鳖臑. 【变式6-3】（2026·上海嘉定·二模）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【解析】（1） 由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. （2）由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 【解题总结】 鳖臑的垂直证明核心是 “线线 — 线面 — 面面” 逐层转化。以侧棱垂直底面为基础，结合底面直角三角形，先推导核心线面垂直；再由线面垂直得到新的线线垂直，进而推出第二组线面垂直；最终由线面垂直判定多组面面垂直，是垂直转化的经典模型。 题型七：垂直综合应用 【典例7-1】如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，若侧面与侧面所成的角为． (1)求点到平面的距离； (2)侧棱上是否存在一点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图所示， 设平面平面 ，平面，平面， 平面． 又平面，平面平面 ． 平面，平面, ． 又，,平面 平面，又 平面，平面, ，， 为侧面与侧面所成二面角的平面角，， 又，，为等腰直角三角形，， ，平面,平面, 平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离． 作于H， 由于平面，平面， 所以，又，平面， 所以，平面， 故为点D到平面的距离，由于为等腰直角三角形， 所以， ∴点C到平面的距离为． （2）存在点E使平面． 连接， 平面，平面， ，又，,平面 平面,平面， ， 要使平面，只需, ，，，，， ∴当时，平面． 【典例7-2】如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 【解析】（1） 如图，取的中点，连结． 因为为的中点， 所以，且． 由且得， 由且得， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）如图，连结，过点作交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 所以． 因为，所以． 又由且为的中点得，又平面， 所以平面，故． 由且为平面内两条相交直线，故平面． 在矩形中，，，， 所以， 所以，故为的中点， 在中，，为的中点， 所以为的角平分线， 所以点到的距离均为1， 所以点到的距离均为． 【变式7-1】如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面. (1)是线段上的点，若当时，平面，求的值； (2)若点在平面内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 【解析】（1）如图作，因平面，平面， 则平面.又平面，， 则平面平面.结合平面平面， 平面平面，则，又由题可得， 则四边形为平行四边形，从而，又， 则； （2）①假设存在点，使得平面. 因平面，则.因为点在平面内的射影， 则平面，又平面，则. 因，平面，则平面. 因平面，则.因，则. 即M与D点重合时，满足题意，此时； ②设，因为点在平面内的射影，则平面， 又平面，则，则为直角三角形，PB为斜边，则. 则， 其中，， 则， 当且仅当，即时取等号.则此时，. 从而可得，，. 则为等腰直角三角形，. 设点到平面的距离为， 则， 则. 【变式7-2】如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 【解题总结】 （1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． （2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 1．如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【解析】如下图所示： 设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、 ，设点，其中 对于①，不是定值，①错误； 对于②，在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面， ，则点P到平面的距离为定值，而的面积也为定值， 所以，三棱锥的体积为定值，②正确； 对于③，，，所以， 因此，对任意点P，都有，③正确； 对于④，，，， ，这样的t不存在， 所以不存在点P，使得平面，④错误． 2．已知两条直线m、n和两个平面、，下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】 对于A：在长方体中，取平面为平面，取直线为直线，取直线为直线，满足，，但是，而不是，.故A错误. 对于B：在长方体中，取平面为平面，平面为平面， 取直线为直线，平面平面，即直线与直线为同一直线， 满足，，但是为异面直线，而不是.故B错误. 对于C：在长方体中，取平面为平面，平面为平面， 取直线为直线，取直线为直线，其中分别为的中点， 满足，，，，但是，而不是，.故C错误. 对于D：如图所示，过点作， 因为，可得， 设，可得，所以， 又因为，平面， 所以平面，设直线平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，因为，所以， 在矩形中，可得，所以，即，所以D正确. 3．在正方体中，E为棱BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，若，则所有满足条件的点P构成的图形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点，中点，连接、、、，得到平面， 正方形中，，为中点，故，为中点，故， 在与中，，，， 因此，所以， 因为，所以，即， 由正方体中底面，底面，得， 又，平面，平面，所以平面， 满足的所有点，必在过且与垂直的平面内（即平面）， 又点在正方体表面上，因此的轨迹为平面与正方体表面的交线，即矩形的四条边， 在中，；正方体棱长； 所以矩形的周长为. 4．（2026·湖南衡阳·一模）已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则（    ） A．有最大值12，最小值0 B．是定值6 C．是定值3 D．随变化，取值范围为 【答案】B 【解析】因为面，， 可将三棱锥放入长方体中，其中长、宽、高分别为1，1，2，且为长方体的体对角线， 故为三棱锥外接球的直径，则， 所以是定值6． 5．如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由为的中点，得，又平面平面， 平面平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，同理，而平面，则平面，B正确； 对于C，由平面，平面，得，C正确； 对于D，由平面，平面，得，而不一定相等，则不一定成立，D错误. 6．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则与的位置关系可能是平行､相交或，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理知，，故C正确； 对于D，若，，，则与可能平行，也可能异面，故D错误. 7．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】B 【解析】依题意可知，平面，平面，平面都垂直于平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，共7对． 8．如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面        ②与平面相交 ③平面        ④平面平面 正确的结论的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【解析】对于①，因为平面平面，而平面，所以平面，故①正确； 对于②，因为，则与确定一个平面，所以平面，故②错误； 对于③，与平面内的直线不垂直，故③错误； 对于④，在正方体中，得平面，而平面，所以平面平面，故④正确. 9．（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积不是定值 C．三棱锥的外接球的体积是 D．当直线与平面所成角最大时，线段长为2 【答案】AC 【解析】对于A，连接，由题意可得， ，， 所以，所以，由正方体， 可得平面，又平面，所以平面平面， 又因为，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设到平面的距离为，， 因为为的中点，所以为定值，又（定值），所以为定值，故B错误； 对于C，取中点为，连接，因为为的中点，所以四边形为矩形， 又为的中点，所以，又由正方体，可得平面， 所以平面，所以四棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积是 ，故C正确； 对于D，连接，因为平面，又平面，所以平面平面， 所以（或其补角）为直线与平面所成角，当与重合时，最大， 此时，又，所以为锐角， 所以当与重合时，直线与平面所成角最大，此时，故D错误. 10．（多选题）（2026·高三·广东·阶段检测）均为边长为2的等边三角形，且依次沿公共边固定拼接，已知平面平面，平面平面，且点位于平面的同侧.则（    ） A． B． C．直线直线 D．平面平面 【答案】ABC 【解析】设分别为的中点，记平面为. 由等边三角形的性质，； 由两平面垂直的性质，得，故， 又位于同侧，故四边形为平行四边形； 又为等边的中位线，故，故A､C正确； 由，得， 则，故，故B正确； 记平面分别为，由，得，故； 又，故，从而.由上述可得， 又，且，故； 若与垂直，在内过作，则由两平面垂直的性质得， 又，故与重合，从而， 与是的中点矛盾，故与不垂直，故D错误. 11．（多选题）已知是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则或，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确； 12．已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】①当点与重合时， ，，且，平面， 所以平面，因为对于任意给定的点，都有平面， 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确； ②当点与重合时，若，因为，， 平面，故平面， 而平面，故，但，矛盾， 所以②错误； ③当与重合时，若，因，故， 而，故，当在变化时，，矛盾；所以③错误； ④若在之间，则在平面，过作的垂线，交线段于， 在上截取，连接，则四边形为平行四边形， 故，故，故四边形为平行四边形， 设平面，在平面中，过作，交于， 因为平面平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故，故，故④正确. 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 故此时④也正确. 综上，④正确. 13．已知正方体，是线段上的一点.若正方体的各个顶点中，恰有两个顶点满足，，则此时的值为__________. 【答案】或 【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，，，，，， 设，， ；；；；；；； ；；；；；； ； ①令，方程无解，即与不垂直； ②令，解得：或， 当时，此时与重合，， 即，，，不合题意； 当时，，即，，满足题意； 此时，； ③令，解得：或； 由②知：不合题意； 当时，此时与重合，则，即有且仅有，不合题意； ④令，解得：或； 由③知：不合题意； 当时，，即，，满足题意； 此时，； 综上所述：或. 故答案为：或. 14．（2026·安徽合肥·三模）已知长方体的棱，，点，分别为棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号） ①存在点，使得； ②不存在点，使得； ③当点为中点时，满足条件的点有3个； ④当点为中点时，满足条件的点有3个； ⑤四面体四个面所在平面，有4对相互垂直. 【答案】①②④ 【解析】因为四面体的四个面都是直角三角形，所以为直角或为直角， （若为直角，则为直角必为锐角三角形） 若为直角时，因为平面，则推得平面 因此平面平面，平面平面，平面平面，即仅有三对平面相互垂直， 同理，为直角时亦然，故⑤错误， 对①，在四面体中，有平面 ， 所以根据三垂线定理及其逆定理得，故存在，①正确； 对②，若，又因为， 则有平面，就有， 此时分别和重合， 则不是直角三角形，不符题意，故不存在，②正确； 对③，为中点时，若为直角，则满足条件的F只有一个， 若为直角，因为，即满足条件的F不存在，即③错； 对④，根据题意，若为直角， 因为,即满足条件的有2个， 若当为直角时有一解，故有1个，故④正确； 故答案为：①②④ 15．已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点．      (1)在棱上是否存在点，使？若存在，求的长；若不存在，说明理由． (2)已知点同时满足下列条件： ①平面；②平面. 请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：________，________．（结论不要求证明） 【解析】（1）存在，当点为棱的中点时，可使. 理由如下：如图，过点作，交于点，连接，设， 因为为的中点，所以为的中点，所以， 因为，，所以，则， 因为，所以，即， 因为底面，所以底面， 因为面，所以. 又因为，面，所以面， 因为面，所以， 故当点为棱的中点时，可使，此时. （2）如图，作于，而平面， 因为面，所以， 因为面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为面，面，所以平面， 因为平面，面，所以， 由正方形性质得，，则， 因为面，，所以平面. 16．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，侧面是正三角形，是上一动点，N是的中点. (1)若∥平面，求证：M是的中点； (2)若平面平面，求线段的长； (3)是否存在点M、使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：若∥平面，且平面，平面平面， 可得， 在中，点N是中点，所以点M是中点. （2）如图，取中点F，连接，. 因为是正三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 由平面，可得， 在因为侧面是正三角形，则. 因为底面是菱形，且， 可知是等边三角形，则且. 所以. （3）取中点E，连接，. 因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形， 则，. 由（2）可得，， 且平面，，所以平面， 由平面，可得. 又因为，、在平面内，所以平面. 过E作交于点M. 因为，所以点平面. 所以平面， 因为平面，所以， 因为E为的中点，， 所以，即. 17．在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【解析】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 18．如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .    (1)如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值； (2)如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 因为∥平面，，平面， 所以平面∥平面， 因为平面平面，平面平面， 所以∥， 因为是的中点，所以； （2）①存在点，当点与点重合，即时，平面， 理由如下：当点与点重合时，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 即当点与点重合，时，平面； ②在矩形中作于，延长交于点，折起后得， 设，则， 因为， 所以， 因为，所以， 因为， 所以∽，得，即，得， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以点与点重合， 因为要使得点的射影落在线段上，所以， 则，解得， 在中，， 所以 ， 当且仅当，即时，， 当时，，，则是的中点， 所以点到平面的距离为. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4　直线、平面垂直的判定与性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、直线与平面垂直的定义 3 知识点二、直线与平面垂直的判定定理 3 知识点三、直线与平面垂直的性质定理 3 知识点四、平面与平面垂直的定义 4 知识点五、平面与平面垂直的判定定理 4 知识点六、平面与平面垂直的性质定理 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 7 题型一：垂直关系判定 7 题型二：线线垂直证明 8 题型三：线面垂直证明 10 题型四：面面垂直证明 12 题型五：面面垂直性质应用 14 题型六：鳖臑垂直综合 16 题型七：垂直综合应用 18 05 课后拓展精练 21 知识点一、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 知识点二、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 知识点三、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 知识点四、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 知识点五、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 知识点六、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（多选题）（2026·全国一卷·高考真题）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 3．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 4．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 题型一：垂直关系判定 【典例1-1】已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【典例1-2】（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式1-2】已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式1-3】如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 【解题总结】 此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 题型二：线线垂直证明 【典例2-1】（2026·广西百色·一模）如图，和所在平面垂直，且，，． 证明:． 【典例2-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． 证明：； 【变式2-1】（2026·广东广州·模拟预测）如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接，． 证明：； 【变式2-2】（2026·广西南宁·一模）已知点，在平面的两侧，且三棱锥是正三棱锥，为中点，如图所示． 若三棱锥也是正三棱锥，证明：； 【变式2-3】（2026·高三·西藏拉萨·阶段检测）如图，已知直三棱柱中，E为中点，，，且. 求证：； 【解题总结】 题型三：线面垂直证明 【典例3-1】（山东部分校2026届高三标准学术能力诊断性测试2026年10月测试数学试题）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，． 证明：直线平面； 【典例3-2】（贵州黔东南州、安顺市部分学校2025-2026学年高三10月学科素养训练数学试题）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，为的中点，平面． 证明：平面． 【变式3-1】（2026·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． 证明：平面； 【变式3-2】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，平面平面，M是的中点．    求证：平面； 【变式3-3】长方体中，，，分别为中点，且． 求证：平面； 【解题总结】 方法一：线面垂直的判定． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 题型四：面面垂直证明 【典例4-1】已知三棱柱中，，，，. 1)求证：平面平面； 【典例4-2】如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． 求证：平面平面； 【变式4-1】（2026·高三·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面. 求证：平面平面； 【变式4-2】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． 证明：平面平面； 【变式4-3】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【解题总结】 主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决． 题型五：面面垂直性质应用 【典例5-1】如图1，在中，，，，为边上的高.如图2，将绕旋转至，使. (1)求证：平面平面； (2)在（1）的条件下，过点作平面，试确定点H的位置，并求的长. 【典例5-2】如图，在正方体中：    (1)若分别为棱，上的点，且，，证明：平面； (2)若为棱上的一点，且平面平面，求的值． 【变式5-1】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. 证明：； 【变式5-2】如图1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)如图2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积. 【变式5-3】已知正三棱柱的各棱长均相等，是上一点，且满足平面平面． 求证：是线段的中点； 【解题总结】 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 题型六：鳖臑垂直综合 【典例6-1】在四面体中，，平面． (1)四个表面都是的四面体称为“鳖臑”，判断四面体是否为“鳖臑”？ (2)若于点，于点，求证：平面． 【典例6-2】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【变式6-1】如图，已知四面体中，平面，． (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 【变式6-2】如图， 在四棱锥中， 底面， 四边形为正方形， ， 分别是的中点．    (1)证明：平面． (2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由. 【变式6-3】（2026·上海嘉定·二模）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【解题总结】 鳖臑的垂直证明核心是 “线线 — 线面 — 面面” 逐层转化。以侧棱垂直底面为基础，结合底面直角三角形，先推导核心线面垂直；再由线面垂直得到新的线线垂直，进而推出第二组线面垂直；最终由线面垂直判定多组面面垂直，是垂直转化的经典模型。 题型七：垂直综合应用 【典例7-1】如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，若侧面与侧面所成的角为． (1)求点到平面的距离； (2)侧棱上是否存在一点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【典例7-2】如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 【变式7-1】如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面. (1)是线段上的点，若当时，平面，求的值； (2)若点在平面内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 【变式7-2】如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题总结】 （1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． （2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 1．如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 2．已知两条直线m、n和两个平面、，下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 3．在正方体中，E为棱BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，若，则所有满足条件的点P构成的图形的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南衡阳·一模）已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则（    ） A．有最大值12，最小值0 B．是定值6 C．是定值3 D．随变化，取值范围为 5．如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C． D． 6．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 8．如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面        ②与平面相交 ③平面        ④平面平面 正确的结论的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 9．（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积不是定值 C．三棱锥的外接球的体积是 D．当直线与平面所成角最大时，线段长为2 10．（多选题）（2026·高三·广东·阶段检测）均为边长为2的等边三角形，且依次沿公共边固定拼接，已知平面平面，平面平面，且点位于平面的同侧.则（    ） A． B． C．直线直线 D．平面平面 11．（多选题）已知是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 13．已知正方体，是线段上的一点.若正方体的各个顶点中，恰有两个顶点满足，，则此时的值为__________. 14．（2026·安徽合肥·三模）已知长方体的棱，，点，分别为棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号） ①存在点，使得； ②不存在点，使得； ③当点为中点时，满足条件的点有3个； ④当点为中点时，满足条件的点有3个； ⑤四面体四个面所在平面，有4对相互垂直. 15．已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点．      (1)在棱上是否存在点，使？若存在，求的长；若不存在，说明理由． (2)已知点同时满足下列条件： ①平面；②平面. 请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：________，________．（结论不要求证明） 16．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，侧面是正三角形，是上一动点，N是的中点. (1)若∥平面，求证：M是的中点； (2)若平面平面，求线段的长； (3)是否存在点M、使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 18．如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .    (1)如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值； (2)如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $