课时分层检测(29) 直线与直线垂直-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十九） 直线与直线垂直 :7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与 40 基础达标练0一 BC1所成角的大小是 1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直 D 线a与c A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 2.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面：8.如图，空间四边形ABCD 上总有这样的直线与直尺所在的直线 的对角线AC=8,BD=6, M,N分别为AB,CD的 A.异面B.相交 C.平行 D.垂直 中点，并且异面直线AC 3.空间四边形ABCD中，E,F分别为AC,BD: 与BD所成的角为90°，则 中点，若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD: MN= 所成的角为 ( ):9.如图，在长方体ABCD A.30° B.45 C.60 D.90 A1B1C1D1中，A1A=AB, 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M, E,F分别是BD1和AD的 N分别为BC,CC1,A1D1,CD1的中点，则 中点 直线EF,MN所成角的大小为 ( 求证：CD1⊥EF. A. B. c.号 D.Z 5.已知空间三条直线l,m,n,若1与m垂直， l与n垂直，则 ( A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n平行、相交、异面均有可能 6.(多选)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E是 BC的中点，则下列叙述正 确的是 A.直线CC与直线B1E相交 B.CC1与AE共面 C.AE与BC1是异面直线 D.AE与B1C1垂直 203 班级 姓名 得分 10.如图，点S在平面ABC 3.如图，在三棱锥D一ABC中，AC=BD,且 外，SB⊥AC,SB=AC= AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点，则 2,E,F分别是SC和AB C EF和AC所成角的大小为 的中点，求EF的长. A.30° B.45° C.60° D.90 4.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角 的取值范围是 5.如图，若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为 2,高为4，则异面直线BD 与AA1所成角的正弦值为 ,异面直线BD1与 AD所成角的正弦值是 …0 创新拓展练 0 如图，空间四边形ABCD的 …0 能力提升练0 对棱AD,BC成60°的角，且 1.已知直线a,b,c,下列三个命题： AD=BC=a,平行于AD与 ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；： BC的截面分别交AB,AC ②若a∥b,a和c相交，则b和c也相交； CD,BD于点E,F,G,H ③若a⊥b,a⊥c,则b∥c. 问：E在AB的何处时截面EFGH的面积最 其中，正确命题的个数是 ( 大？最大面积是多少？ A.0 B.1 C.2 D.3 2.（多选)如图，在正四棱 柱 ABCD-ABCID 中，E,F分别是AB1, BC的中点，则下列结 论成立的是 ( A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面 204MNAC∥平面DEF. 能力提升练 易知四边形MNAC为梯形，且MN=号AC=2区， :1.A 2.ABC 3.B 过，点M作MP⊥AC于点P, 「设正方体棱长为1，DP-x,则x∈[0,1]，连接AD1, 可得MC-√8T4=2B,PC-=ACMN-2. AP(图略)，由AD∥BC可知，∠ADP(或其补角)即为异面直线 2 D1P与BC1所成角.在△AD,P中，AD1=√2，AP=D,P= 所以MP=W√MC-PC=I0. 所以S#MNAC=立X(2VE+4V2)X√10=6V5. √1+x',故os∠ADP= +7又：r∈[0,1]，∴es∠ADP 2 5.解(1)证明：在平面图形中，连接MN,设MN与AB交于点G ·四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD=AF, √2 ∴.AD∥BE且AD=BE 2 .四边形ADBE是平行四边形 台号]∠ADPa∠De[片，哥] ∴.AE∥DB. 又AM=DN,∴.四边形ADNM是平行四边形. 5.3 V30 16 [,AA1∥DD,∴∠DDB即为异面直线BD1与AA ∴.MN∥AD. 所成的角.连接BD,在Rt△D,DB中，sin∠DD,B D 当点F,A,D不共线时，如图， A MG∥AF,NG∥AD. DB=2巨-5：AD∥BC,∴∠DBC(或共 又MG∩NG=G,AF∩AD=A, BD 263 '.平面GNM∥平面ADF 补角)即为异面直线BD1与AD所成的角.连接 又MNC平面GNM, D1C,在△D1BC中，正四棱柱ABCD-A1BC1D ..MN∥平面ADF, 的底面边长为2，高为4，∴.D1B=2√6，BC=2,D1C 故当点F,A,D不共线时，线段MN总平行于平面FAD (2)这个结论不正确. =25,D1B=BC+D1C.∴∠DCB=90..sin 要使上述结论成立，M,N应分别为AE和DB的中点.理由如下， 当点F,A,D共线时，如题图，易证得MN∥FD. DC25=√，故异面直线BD,与AD所成角的正 ∠D,BC-DB2后6 当点F,A,D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使 MN∥FD总成立， 根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可 孩位是 创新拓展练 若要使FD与MN共面，连接FM,只要FM与DN相交即可， 解：AD与BC成60°角，∴∠HGF=60或120° ,'FMC平面ABEF,DNC平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD -AB, 设AE:AB=,则震-福- ∴.若FM与DN相交，则交点只能为点B,此时只有M,N分别为 又BC=a,.EF=a.x. AE,DB的中点才满足 由FM∩DN=B,可知它们确定一个平面， 由EHBE AD AB =1-x,得EH=a(1-x) 即F,D,V,M四点共面 .平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA-FD,: ∴StcH=EFXEHXsin60°=arXa1-DX5=5d(-十 2 2 平面MNG∥平面FDA, ,'.MN∥FD. x)-3 11 课时分层检测（二十九） 基础达标练 当x= 8a, 1.B2.D3.A4.C5.D6.ACD 7.60°[连接AD(图略)，则AD,∥BC.∴∠CAD(或其补角)就是 即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为日， AC与BC1所成的角，连接CD(图略)，在正方体ABCD-A1B1C1D 中，AC-AD1=CD1,∴.∠CAD1=60°，即AC与BC1所成的角 课时分层检测（三十） 为60°.1 基础达标练 8.5[取AD的中点P,连接PM,PN, 1.D2.B3.A4.A :5.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)[只 要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB:故只要VCLVA,VC⊥VB 即可.] 6.4PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A, PAC平面PAB,ABC平面PAB,,.BC⊥平面PAB.'.BC⊥PB.同 理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形.门 则BD/PM,AC∥PN,∠MPN即为异面直线AC与BD所成的：7.影，国为A平而ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射 影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC= 角（或其补角），∠MPV=90°，PN=7AC=4,PM=2BD=3, 子AB=PA,所以an∠PCA-e-2.] PA .MN=5.1 9.证明取CD1的中点G,连接FG,DG.,E是BD,的中点， 8.642S ARCD=16,.AB=CB=4, :EG∥BC,EG=2BC F是AD的中点， 且AD∥BC,AD=BC, DL ∴DF∥BC,DF=ZBC ,.EG∥DF,EG=DF. ,∴，四边形EFDG是平行四边形 ,AB⊥平面BB,C1C,故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的 ∴.EF∥DG. 角，即∠ACB=30°.从而BC=4V5,CC1=√BC-BC-4V2.故 又A1A=AB,∴.四边形ABB1A1、四边形CDD1C 长方体的体积V=16×4√2=64√2.] 都是正方形，且G为CD1的中点， 9.解(1)证明：.四边形ABCD是正方形，ACLBD. .DG⊥CD1.∴.CD1⊥EF .DE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.AC⊥DE, 10,解取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或 ,'BDC平面BED,DEC平面BED,BD∩DE=D, 其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即 .AC⊥平面BDE. ∠EDF=90 (2)设AC∩BD=O,连接EO,如图所示. SB=1 在△EDF中，ED=2 AC平面BDE, ∴E)是直线AE在平面BDE上的射影， DF=AC-1,所以EF=VED+DF-E. ∴，∠AEO即为AE与平面BDE所成的角， 在Rt△EAD中， 即EF的长为√2. EA=√AD+DE=2√2，AO=√2， 294