5.1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 讲义（6大题型归纳）-2027届高三数学一轮复习（新高考专用）

5.1平面向量的概念、线性运算及坐标表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一．向量的有关概念 3 知识点二．向量的线性运算和向量共线定理 3 知识点三．平面向量基本定理和性质 4 知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算 5 知识点五．平面向量的直角坐标运算 5 方法总结 6 03 真题回顾 7 04 经典题型归纳总结 8 题型一：平面向量基本概念 8 题型二：平面向量线性运算 9 题型三：三点共线定理与鸡爪定理 10 题型四：平面向量基本定理 11 题型五：平面向量坐标运算 12 题型六：平面向量坐标表示 13 05 课后拓展精练 15 知识点一．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 知识点三．平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3.线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5.中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识点五．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 方法总结 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 1．（2026年高考全国1卷数学高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025年高考天津卷数学真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 3．（2026年高考天津卷数学高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 题型一：平面向量基本概念 【典例1-1】下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【典例1-2】若，且，则四边形的形状为（   ） A．不是菱形的平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．若，则与的方向相同或者相反 B．若，为非零向量，且，则与共线 C．若，则存在唯一的实数使得 D．若，是两个单位向量，且，则 【变式1-2】已知为平面向量，则“不共线”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关． 题型二：平面向量线性运算 【典例2-1】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）在平行四边形中，点、分别为、的中点，连接、交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高三·广东广州·开学考试）在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）若O是正八边形的中心，且（），则（     ） A． B． C． D．3 【变式2-2】（2026·高三·湖北·开学考试）在中，，，，O是的外心，若，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高三·河北沧州·开学考试）在等腰梯形中，，，，记，，则（     ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题． （2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． （3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 题型三：三点共线定理与鸡爪定理 【典例3-1】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ）.    A． B． C． D． 【变式3-3】在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【解题总结】 要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=． 题型四：平面向量基本定理 【典例4-1】设不共线，，若三点共线，则实数p的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【典例4-2】（2026·高三·陕西商洛·开学考试）已知平面向量，不共线，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2026·高三·安徽·开学考试）已知向量，不共线，且实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【变式4-2】如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．与夹角的正切值为 【变式4-3】在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题总结】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 题型五：平面向量坐标运算 【典例5-1】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知点，则与同向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，点满足，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． （2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 题型六：平面向量坐标表示 【典例6-1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【变式6-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式6-2】已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【变式6-3】已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 【解题总结】 （1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． （2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 1．（2026·高三·重庆·阶段检测）已知点，，则与方向相反的单位向量为（     ） A． B． C． D． 2．有下列说法： ①若向量与向量不平行，则与方向一定不相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若，则，的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行； ⑤若，，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（    ） A． B． C． D． 4．如图，分别是的边，、的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知向量，不共线，若与共线，则实数的值为（     ） A． B． C．1 D．2 7．已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．如图，，若，则（   ）    A． B． C． D． 9．为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在中，点是线段的中点，，以，为基底，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知平面向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则存在实数，使得 B．若存在实数，使得，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，点在上，且，点在上，且，与交于点，则________． 13．设向量和不共线．若，，，且三点共线，则实数的值为________． 14．已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 15．（2026·全国·模拟预测）已知在等腰中，．过点作外接圆的切线，交的延长线于点．若．则________． 16．平面内有共线但不重合的三点B，C，D，对平面内任意点A满足（其中），则的最小值为__________． 17．如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，若，则__________． 18．在中，，，N为的内心，且，则_____． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1平面向量的概念、线性运算及坐标表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一．向量的有关概念 3 知识点二．向量的线性运算和向量共线定理 3 知识点三．平面向量基本定理和性质 4 知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算 5 知识点五．平面向量的直角坐标运算 5 方法总结 6 03 真题回顾 7 04 经典题型归纳总结 10 题型一：平面向量基本概念 10 题型二：平面向量线性运算 12 题型三：三点共线定理与鸡爪定理 15 题型四：平面向量基本定理 18 题型五：平面向量坐标运算 21 题型六：平面向量坐标表示 22 05 课后拓展精练 25 知识点一．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 知识点三．平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3.线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5.中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识点五．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 方法总结 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 1．（2026年高考全国1卷数学高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 2．（2025年高考天津卷数学真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【解析】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 3．（2026年高考天津卷数学高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 题型一：平面向量基本概念 【典例1-1】下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【解析】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 【典例1-2】若，且，则四边形的形状为（   ） A．不是菱形的平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】因为，所以四边形为平行四边形． 又因为，所以四边形为菱形． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．若，则与的方向相同或者相反 B．若，为非零向量，且，则与共线 C．若，则存在唯一的实数使得 D．若，是两个单位向量，且，则 【答案】B 【解析】对于A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误； 对于B，分别表示，方向上的单位向量， 而，则，方向相同，即与共线，故B正确； 对于C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数 使得，故C错误； 对于D，由，得， 即，则， 所以，故D错误. 【变式1-2】已知为平面向量，则“不共线”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：若不共线，根据三角形的性质，可得，故充分性成立； 必要性：若同向且，则， 此时，则成立，但此时共线，故必要性不成立， 则“不共线”是“”的充分不必要条件. 【变式1-3】已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 【解题总结】 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关． 题型二：平面向量线性运算 【典例2-1】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）在平行四边形中，点、分别为、的中点，连接、交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示： 由题意可知，， 设， 所以， 因为、交于点，则， 设， 因为、不共线，由平面向量的基本定理可得，解得， 故， 所以， 又因为，所以，，故. 【典例2-2】（2026·高三·广东广州·开学考试）在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示：因为，所以， 则. 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）若O是正八边形的中心，且（），则（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】 如图，连接，，分别过，作垂直于线段的垂线，垂足分别为，, 设正八边形边长为，正八边形每个内角， 由几何性质可知，,， 所以，，所以， 即，又， 所以，，故. 【变式2-2】（2026·高三·湖北·开学考试）在中，，，，O是的外心，若，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理，得， 所以，，， 所以， ， 由题意知动点P的轨迹所覆盖的图形是以OB，OC为邻边的平行四边形， 其面积． 【变式2-3】（2026·高三·河北沧州·开学考试）在等腰梯形中，，，，记，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 连接，因为 . 【解题总结】 （1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题． （2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． （3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 题型三：三点共线定理与鸡爪定理 【典例3-1】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 所以． 因为是上的一点，即，，三点共线， 根据共线向量定理的推论则有，即，解得． 【典例3-2】已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 【变式3-1】在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，且 ， 所以， 因为是中点，故 ，则得， 因为三点共线，则，解得. 【变式3-2】如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，连接交于，设， 则，因为三点共线，所以，又， 所以，即，所以为中点，又是外接圆圆心，所以， 在中，，，所以. 【变式3-3】在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得． 因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以． 又因为，所以， 所以，消去，可得． 【解题总结】 要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=． 题型四：平面向量基本定理 【典例4-1】设不共线，，若三点共线，则实数p的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】， ． 又∵三点共线，共线． 设，， 不共线， ． 【典例4-2】（2026·高三·陕西商洛·开学考试）已知平面向量，不共线，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，不共线，所以，解得，． 【变式4-1】（2026·高三·安徽·开学考试）已知向量，不共线，且实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【解析】根据平面向量基本定理可知，向量，不共线可以作为一组基底， 由实数，满足可得 ， 解得， 故. 【变式4-2】如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．与夹角的正切值为 【答案】D 【解析】对于A，由条件得，根据正弦定理有，即，A正确； 对于B，不妨设，则，，又， 由余弦定理得，所以，B正确； 对于C，根据对称性，有，， 所以 ， 化简得，C正确； 对于D，不妨设，则， 故， ， 所以，则， ，D错误． 【变式4-3】在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 【解题总结】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 题型五：平面向量坐标运算 【典例5-1】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量，，得. 【典例5-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知点，则与同向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，， 所以与同向的单位向量为. 【变式5-1】已知，，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点的坐标为，因为点，所以. 又因为，所以，解得，即点坐标为. 【变式5-2】已知，点满足，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 由，得，得，故的坐标为. 【变式5-3】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 【解题总结】 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． （2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 题型六：平面向量坐标表示 【典例6-1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 因为，，所以，解得，所以. 【典例6-2】已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】如图以的起点为坐标原点，沿着网格水平向右与竖直向上分别为轴正方向建立平面直角坐标系. 设每个网格边长为1，则易得， 由可得， 解得，故. 【变式6-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为，，则， 且，所以． 【变式6-2】已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】设，因，则， 从而. 【变式6-3】已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 【答案】 【解析】解法一：由三点共线，可设， 则， 又因为， 由，共线，得，解得， 所以，所以点的坐标为． 解法二：设点，则，因为，且与共线， 所以，即． 又因为，，且，共线， 所以，解得，所以点的坐标为． 【解题总结】 （1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． （2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 1．（2026·高三·重庆·阶段检测）已知点，，则与方向相反的单位向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由、，可得： . 又. 所以与方向相反的单位向量为. 2．有下列说法： ①若向量与向量不平行，则与方向一定不相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若，则，的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行； ⑤若，，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误； 对于③，由，只能说明，的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误． 对于⑤，当时，，不一定平行，错误． 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 4．如图，分别是的边，、的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别是的中点， ， ，A对， ，B错， ，C错， ，D错. 5．在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 6．已知向量，不共线，若与共线，则实数的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为向量，不共线，且与共线，所以， 所以，所以，解得. 7．已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 8．如图，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得，所以． 9．为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在中，点是线段的中点，，以，为基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知： 10．（多选题）已知平面向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则存在实数，使得 B．若存在实数，使得，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】A选项： 且时，满足，此时不存在实数，使得，A选项错误； B选项： 存在实数，使得，若则，满足； 若，由向量数乘的定义可知，与共线，即，B选项正确； C选项： 若，两边同时平方化简得，若或，满足； 时，由，得，即与同向，满足，C选项正确； D选项： 时，若与方向相反，则不成立，D选项错误. 11．（多选题）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如图，设 因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以，且. 又是等腰三角形，所以， 从而可有， 则， 所以,同理有. 所以，所以选项A正确； ，所以选项B正确； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 12．如图，在中，，，点在上，且，点在上，且，与交于点，则________． 【答案】 【解析】方法一：利用共线关系设一个未知数． 由，，得，， 所以，． 因为三点共线，设，则， 从而． 又因为三点共线，且不共线，所以与在基底下的对应系数成比例，得， 解得，故． 方法二：直接设目标向量的系数． 设，则 ，． 由法一：，， 因为三点共线，且不共线，由与的对应系数成比例，得，即； 因为三点共线，由与的对应系数成比例，得，即． 联立得，解得，， 故． 13．设向量和不共线．若，，，且三点共线，则实数的值为________． 【答案】2 【解析】， ． 三点共线， ，从而存在实数，使得． ， 又，是不共线的非零向量， 因此． 14．已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【解析】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 15．（2026·全国·模拟预测）已知在等腰中，．过点作外接圆的切线，交的延长线于点．若．则________． 【答案】 【解析】如图所示： 因为是过点的的外接圆的切线， 所以根据弦切角定理可得：， 在等腰中，因为，所以， 且， 所以， 设，在直角中，，所以， 所以，即， 所以， 又，所以，所以. 16．平面内有共线但不重合的三点B，C，D，对平面内任意点A满足（其中），则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由三点共线且不重合，可知存在实数，使得， 将向量转化为以为起点的形式： ， 整理得，又， 则，，因此，其中， 所以 ， 又，当且仅当即时等号成立， 结合，得时等号成立， 所以 . 因此的最小值为. 17．如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，若，则__________． 【答案】 /0.75 【解析】 因为 为 的中点，可得 ,在 中，， 所以 又因为 ， 所以 所以 ，即 ，已知 ，根据平面向量基本定理，对应系数相等， 所以 ，． 则 . 18．在中，，，N为的内心，且，则_____． 【答案】/ 【解析】如图，，点是的中点，点在上， 根据角平分线定理可知，， 则，所以， 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $