专题02 几何图形的初步认识26大题型78题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题02 几何图形的初步认识（26大题型78题） 基础·固本强基 题型1 常见几何体 题型2 几何体中的点、棱、面 题型3 线段、射线、直线 题型4 线段长短的比较 题型5 线段的和与差 题型6 线段中点的有关计算 题型7 角和角的度量 题型8 角大小的比较 题型9 角度的几何计算（重点） 题型10 余角补角（重点） 题型11 角平分线的计算（重点） 题型12 平面图形的旋转 提升·进阶突破 题型13 点、线、面、体四者之间的关系（重点） 题型14 线段、射线、直线的关系、数量与交点 题型15 两点间的距离 题型16 线段的和差计算 题型17 线段中点的有关计算（重点） 题型18 线段之间的数量关系（重点） 题型19 角的四则运算 题型20 三角板中角度计算（重点） 题型21 几何图形中角度计算（重点） 题型22 实际问题角度计算（重点） 题型23 角平分线角度计算（重点） 题型24 余角、补角有关的计算（重点） 拔高·压轴破难 题型25 线段的长度计算综合（难点） 题型26 动角计算综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 常见几何体（共3小题） 1．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下列几何体中是圆锥的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）下面的几何体中，属于柱体的有_______． 3．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）对于几种图形：①三角形；②长方体；③长方形；④圆锥；⑤圆；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（   ） A．③⑤⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．②④⑥ 题型2 几何体中的点、棱、面（共3小题） 4．（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（     ） A．点是由线与线相交而成 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 5．（25-26七年级上·河北保定·期中）若一个棱柱有十八条棱，则它有_____个面． 6．（24-25七年级下·北京昌平·期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为________； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是________． 题型3 线段、射线、直线（共3小题） 7．（2026·河北邢台·二模）如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）平面内有不重合的4个点，过每两个点可以画一条直线，则共能画出______条直线． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 题型4 线段长短的比较（共3小题） 10．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接、； (4)______（填“”、“”或“”），理由：______． 题型5 线段的和与差（共3小题） 13．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）线段是直线上的一点，，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点为圆心，长为半径画弧，弧与线段相交于点，则线段的长为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 线段中点的有关计算（共3小题） 16．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，点C、D、E在线段上，且满足，点E是的中点，若，则的长为______cm． 17．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图所示，点C在线段上，点D是线段的中点，点E是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·河北承德·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点是折线的“折中点”．若，则的长度为_____． 题型7 角和角的度量（共3小题） 19．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）计算． (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 题型8 角大小的比较（共3小题） 22．（25-26七年级上·河北唐山·期末）比较大小：_____(用“>”、“<”或“=”填空)． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求． 下列关于，、的取值要求，正确的是（   ） A．必须取特定长度，不能任意 B．可以取任意长度，无需与相等 C．需要与的长度相等 D．p需要与n的长度相等 24．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型9 角度的几何计算（共3小题） 25．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点O为直线上一点，，过点O作射线，使得，则的度数是______． 26．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图所示，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 27．（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知点在同一条直线上，是的角平分线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，，求的度数． 题型10 余角补角（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，，点在同一条直线上，若，则的度数是___________． 29．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 题型11 角平分线的计算（共3小题） 31．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）已知，平分，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 32．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，，平分，，度数是______． 33．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图所示，点、、在同一条直线上，平分，平分． (1)若，则______，______ (2)设，当比大，求的度数． 题型12 平面图形的旋转（共3小题） 34．（26-27六年级上·黑龙江绥化·开学考试）将图绕O点逆时针旋转得到的图形是（     ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且点刚好落在的对应边上．若，，则等于______________． 36．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（    ） A． B． C． D． 提升·进阶突破 题型13 点、线、面、体四者之间的关系（共3小题） 37．（26-27七年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周， (1)得到的几何体是___________；这个现象用数学知识解释为___________； (2)求形成的几何体的体积．（结果保留π） (3)求形成的几何体的表面积（结果保留π） 38．（26-27七年级上·贵州毕节·阶段检测）已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)得到的几何图形的名称为 ，这个现象用数学知识解释为 ． (2)求此几何体的表面积；（结果保留π） 39．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)旋转后形成的几何体是_____，这体现了____________（点线面之间的关系） (2)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大？ 题型14 线段、射线、直线的关系、数量与交点（共3小题） 40．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 41．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 42．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 题型15 两点间的距离（共3小题） 43．（2026八年级·香港·竞赛）村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 44．（25-26七年级上·四川达州·期末）下列说法正确的个数是（   ） ①线段就是点A与点B之间的距离；②倒数等于本身的数是；③八棱柱有24条棱，8个顶点；④两点之间直线最短．⑤若线段等于线段，则点M是线段的中点； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 题型16 线段和差计算（共3小题） 46．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 47．（26-27七年级上·全国·单元复习）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 48．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 题型17 线段中点的有关计算（共3小题） 49．（25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 50．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是线段的中点，是线段的中点，． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 51．（26-27七年级上·全国·单元测试）如图，已知不重合的，，三点在线段上（均不与点，重合），且点是线段的中点． (1)若点是线段的中点，，，则的长为________； (2)若点是线段的中点，求线段与线段之间的数量关系． 题型18 线段之间的数量关系（共3小题） 52．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 53．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任意一点，且满足，其他条件不变，请写出线段的长，并说明理由． 54．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．随C的位置的变化而变化 题型19 角的四则运算（共3小题） 55．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 56．（25-26七年级下·山东聊城·开学考试）度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 57．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）计算： (1)． (2)． 题型20 三角板中角度计算（共3小题） 58．（25-26六年级下·山东东营·期末）综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 59．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 60．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 题型21 几何图形中角度计算（共3小题） 61．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 62．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 63．（25-26七年级上·广西桂林·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，将一直角顶点放在点O处，即，反向延长射线，得到射线． (1)当的位置如图（1）时，使，若，求的度数； (2)当的位置如图（2）时，使一边在的内部，且恰好平分，问：射线的反向延长线是否平分?请说明理由． 题型22 实际问题角度计算（共3小题） 64．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 65．（2026·江西吉安·一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 66．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 题型23 角平分线角度计算（共3小题） 67．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 68．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 69．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 题型24 余角、补角有关的计算（共3小题） 70．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 71．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，点在直线上，，射线，在直线两侧，平分． (1)若，求的度数； (2)若与垂直吗？请说明理由． 72．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时． ①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．” 选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 拔高·压轴破难 题型25 线段的长度计算综合（共3小题） 73．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 74．（25-26七年级上·天津·期末）如图，在数轴上，数a、b所对应的点分别为A、B，点O表示原点，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点A表示的数是_____，点B表示的数是______； (2)点Q的速度为每秒______个单位，当______秒时P、Q两点停止运动； (3)点C是线段的一个三等分点，点M是的中点，设P、Q两点运动的时间为秒，用含t的式子表示线段的长，不用写出t的取值范围； (4)假设动点P，Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于Q的速度，其余条件不变．E为的中点，F为的中点，当点P在线段上运动时，直接写出线段与的数量关系． 75．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）在直线上顺次取三点，使得，点是线段的中点． (1)若，①求的长； ②在射线上有一点，使得，求的值； (2)在多彩多姿的几何世界中存在着一种名叫“膨胀系数”的数，若一条线段的长度乘以“膨胀系数”后，线段的长度就会变为原来长度的倍，膨胀后的线段保持一个端点位置不变的同时，它还会向另一个端点的延长线方向延伸，如果线段膨胀后得到新线段，且膨胀系数，若点为的中点时，求和之间的数量关系． 题型26 动角计算综合（共3小题） 76．（25-26七年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 77．（25-26七年级上·北京·期末）设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 78．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 几何图形的初步认识（26大题型78题） 基础·固本强基 题型1 常见几何体 题型2 几何体中的点、棱、面 题型3 线段、射线、直线 题型4 线段长短的比较 题型5 线段的和与差 题型6 线段中点的有关计算 题型7 角和角的度量 题型8 角大小的比较 题型9 角度的几何计算（重点） 题型10 余角补角（重点） 题型11 角平分线的计算（重点） 题型12 平面图形的旋转 提升·进阶突破 题型13 点、线、面、体四者之间的关系（重点） 题型14 线段、射线、直线的关系、数量与交点 题型15 两点间的距离 题型16 线段的和差计算 题型17 线段中点的有关计算（重点） 题型18 线段之间的数量关系（重点） 题型19 角的四则运算 题型20 三角板中角度计算（重点） 题型21 几何图形中角度计算（重点） 题型22 实际问题角度计算（重点） 题型23 角平分线角度计算（重点） 题型24 余角、补角有关的计算（重点） 拔高·压轴破难 题型25 线段的长度计算综合（难点） 题型26 动角计算综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 常见几何体（共3小题） 1．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下列几何体中是圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的认识，逐项分析每个几何体所代表的图形，即可得出结果，熟练掌握简单几何体的认识是解此题的关键． 【详解】解：A、该几何体是圆台，不符合题意； B、该几何体是三棱锥，不符合题意； C、该几何体是圆锥，符合题意； D、该几何体是长方体，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）下面的几何体中，属于柱体的有_______． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查的知识点是认识立体图形，解题的关键是熟练地掌握认识立体图形． 先要明确柱体的概念，然后根据图示进行解答． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：第①、②、③、⑥， 故答案为：①②③⑥． 3．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）对于几种图形：①三角形；②长方体；③长方形；④圆锥；⑤圆；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（   ） A．③⑤⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征逐一进行判断即可． 【详解】解：①③⑤属于平面图形， ②④⑥属于立体图形， 故选：D． 题型2 几何体中的点、棱、面（共3小题） 4．（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（     ） A．点是由线与线相交而成 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 【答案】D 【分析】将雨滴视为点，雨丝为线，结合点动成线的规律判断. 【详解】解：单个雨滴可看作点，雨滴下落的运动轨迹形成线，与题干中“牛毛”“花针”“细丝”的线的形态对应，符合点动成线的结论. 5．（25-26七年级上·河北保定·期中）若一个棱柱有十八条棱，则它有_____个面． 【答案】8 【分析】本题考查棱柱，熟知n棱柱的棱数和面数与n的关系是解答的关键． 根据棱柱的棱数与底面边数的关系，设棱柱的侧面棱数为n，则棱数为，由给定棱数求出n，再计算面数． 【详解】设棱柱的侧面棱数为n，则棱柱的棱数为．给定棱数为18， 因此， 解得． 棱柱的面数由两个底面和n个侧面组成， 故面数为． 故答案为8． 6．（24-25七年级下·北京昌平·期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为________； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是________． 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 题型3 线段、射线、直线（共3小题） 7．（2026·河北邢台·二模）如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 8．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）平面内有不重合的4个点，过每两个点可以画一条直线，则共能画出______条直线． 【答案】 1或4或6 【分析】根据平面内四个不重合点的不同位置关系分类讨论，分为四点共线、三点共线、任意三点不共线三种情况，分别计算得到直线的总条数． 【详解】解：分三种情况讨论： 当四个点共线时，平面内只存在条直线； 当四个点中有三个点共线，另一个点不在该直线上时，共可画出条直线； 当四个点中任意三点都不共线时，任意两点确定一条直线，总条数为条直线． 综上，共能画出或或条直线． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线的相关概念，需要根据这些概念对每个选项逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．点A在线段外，故A错误； B．射线与射线的端点不同，方向不同，不是同一条射线，故B错误； C．点C在线段的延长线上，故C错误； D．从点A、点B、点C出发，各自有两条不同方向的射线，共有（条），故D正确， 故选：D． 题型4 线段长短的比较（共3小题） 10．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握这个性质是关键． 根据线段的性质：两点之间线段最短，即可解答． 【详解】解：从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短； 故选：B． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接、； (4)______（填“”、“”或“”），理由：______． 【答案】(1) 解：如图所示，直线即为所求； (2) 解：如图所示，射线及线段即为所求； (3) 解：如图所示，线段即为所求； (4)；两点之间，线段最短 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）根据题意画出图形即可； （）根据题意画出图形即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； 本题考查了直线、射线及线段，掌握直线、射线及线段的定义是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：由图可知，，理由：两点之间，线段最短， 故答案为：；两点之间，线段最短． 题型5 线段的和与差（共3小题） 13．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中数据计算即可． 【详解】解：由图可知，的长度约为：（cm）． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）线段是直线上的一点，，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，解题的关键是对点的位置进行分类讨论，避免漏解． 分两种情况讨论，当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，，分别代入数值计算即可． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，， ②当点在线段的延长线上时，． 综上所述,的长度为或． 故选：． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点为圆心，长为半径画弧，弧与线段相交于点，则线段的长为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的和差，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 题型6 线段中点的有关计算（共3小题） 16．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，点C、D、E在线段上，且满足，点E是的中点，若，则的长为______cm． 【答案】12 【分析】本题考查线段的中点和三等分点的性质，根据题意得，，即可解答． 【详解】解：∵点E是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 故答案为12． 17．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图所示，点C在线段上，点D是线段的中点，点E是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段中点的性质得出，然后根据线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵点D是线段的中点，点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 18．（25-26七年级上·河北承德·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点是折线的“折中点”．若，则的长度为_____． 【答案】4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据新定义，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4． 题型7 角和角的度量（共3小题） 19．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的单位换算及大小比较，解题的关键是将不同单位表示的角度统一单位后再比较． 将的度数换算为度分形式，再统一与比较大小． 【详解】解：， ，即， 又，， ， 故选：A． 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型8 角大小的比较（共3小题） 22．（25-26七年级上·河北唐山·期末）比较大小：_____(用“>”、“<”或“=”填空)． 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算及大小比较，关键是掌握角度单位间的进率：，解题思路是将转化为以度为单位的数，再与比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求． 下列关于，、的取值要求，正确的是（   ） A．必须取特定长度，不能任意 B．可以取任意长度，无需与相等 C．需要与的长度相等 D．p需要与n的长度相等 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤，关键是辨别尺规作图步骤中的相等线段． 【详解】解：A选项：第一步里的是画弧的半径，只要能和、相交就行，不需要特定长度，所以A错误． B选项：第二步里的要和第一步的长度相等，这样才能保证和一样长，所以B错误． C选项：第三步里的需要和第一步中的长度相等，这样画出来的弧才能让，从而保证两个角的开口大小一致，所以C正确． D选项：是和相等，不是和相等，所以D错误． 故选：C． 24．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 题型9 角度的几何计算（共3小题） 25．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点O为直线上一点，，过点O作射线，使得，则的度数是______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当，可得，再结合已知条件根据得出答案； 当，可得，再求出，然后根据补角定义解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 所以的度数为或． 26．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图所示，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，解题的关键是掌握角的和差运算．根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 27．（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知点在同一条直线上，是的角平分线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系是解题的关键： （1）根据平角的定义，求出的度数，角平分线求出的度数即可； （2）先求出的度数，平角的定义求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵ 是的角平分线 ； （2）解：， ， ． 题型10 余角补角（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，，点在同一条直线上，若，则的度数是___________． 【答案】/105度20分 【分析】本题考查了余角和补角的计算，几何图形中的角度计算，解决本题的关键是求解出的角度． 先根据余角的计算可求解的度数，再由补角的计算即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 29．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了余角、补角，角平分线，解题的关键是读懂题意，确定射线位置，分情况讨论解决问题． 对于（1），根据题意可知的位置有两种情况，分情况讨论计算 的值； 对于（2）①，读懂题意，确定 的位置，根据角平分线定义，角的和差，计算的度数； ②读懂题意，根据的两种位置，分情况计算α的值． 【详解】（1）解： 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或； 故答案为：或； （2）解：① ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②存在，理由如下： ∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵与互余， ∴. ∵， ， ∴， ∴， ∴的值为或． 题型11 角平分线的计算（共3小题） 31．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）已知，平分，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，根据题意画出图形，分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论，①在的外部，②在的内部，然后根据角平分线的定义分别运算即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， 当在的外部时，如图所示： ∵， ∴； 当在的内部时，如图所示： ∴． 综上所述，的度数为或． 故选：C． 32．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，，平分，，度数是______． 【答案】70 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的运算，掌握角平分线的定义是解题关键 根据角平分线的定义，得到，再通过角度的和差计算求解即可 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 70． 33．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图所示，点、、在同一条直线上，平分，平分． (1)若，则______，______ (2)设，当比大，求的度数． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）用含的式子表示出，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 则； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型12 平面图形的旋转（共3小题） 34．（26-27六年级上·黑龙江绥化·开学考试）将图绕O点逆时针旋转得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，将原图绕O点逆时针旋转得到的图形如下： 35．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且点刚好落在的对应边上．若，，则等于______________． 【答案】58 【分析】利用旋转角等于对应边夹角，结合已知条件求解即可． 【详解】解：由旋转定义可知旋转角， ，， ， ． 36．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可知至少旋转了． 提升·进阶突破 题型13 点、线、面、体四者之间的关系（共3小题） 37．（26-27七年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周， (1)得到的几何体是___________；这个现象用数学知识解释为___________； (2)求形成的几何体的体积．（结果保留π） (3)求形成的几何体的表面积（结果保留π） 【答案】(1)圆柱；面动成体； (2)或． (3)或． 【分析】（1）由“点动成线，线动成面，面动成体”可得旋转后的几何体为圆柱； （2）分两种情况讨论，根据圆柱的体积公式求解即可； （3）分两种情况讨论，根据圆柱的表面积公式求解即可； 【详解】（1）解：得到的几何体是圆柱；这个现象用数学知识解释为面动成体； （2）解：①当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则体积为； ②当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则体积为； 综上可知，几何体的体积为或． （3）解：①当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则表面积为； ②当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则表面积为； 综上可知，几何体的表面积为或． 38．（26-27七年级上·贵州毕节·阶段检测）已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)得到的几何图形的名称为 ，这个现象用数学知识解释为 ． (2)求此几何体的表面积；（结果保留π） 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)或 【分析】（1）根据面动成体的原理即可解答； （2）分两种情况：①绕长方形的长为的边旋转，此时底面半径为，高，②绕长方形的宽为的边旋转，此时底面半径为，高，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：这个几何体的名称为圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体； （2）解：分两种情况： ①绕长方形的长为的边旋转，此时底面半径为，高， ； ②绕长方形的宽为的边旋转，此时底面半径为，高， ． 39．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)旋转后形成的几何体是_____，这体现了____________（点线面之间的关系） (2)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大？ 【答案】(1)圆柱；面动成体 (2)解：根据圆柱的体积公式可得： 方案一：， 方案二：， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大 【详解】（1）解：旋转后的几何体为圆柱，体现了面动成体. （2）略 题型14 线段、射线、直线的关系、数量与交点（共3小题） 40．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 41．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 【答案】 【分析】先确定总站点数，车票与出发地和目的地的顺序有关，往返两站的车票为不同车票，计算所有不同顺序的两站组合数即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，线路两端分别为泰兴和太湖，加上中间的3个站点，总站点数为 个． ∵任意两站间往返车票不同， ∴每个站点可到达其余个站点， ∴不同车票的总数为． 42．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 题型15 两点间的距离（共3小题） 43．（2026八年级·香港·竞赛）村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 【答案】C 【分析】根据题意分情况进行讨论即可． 【详解】在的左侧时，①顺序为，此时， ； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； 在的右侧时，①顺序为，此时； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； ⑤顺序为，此时， ⑥顺序为，此时； ⑦顺序为，此时（舍去）． 故不可能是从A到D的距离的千米数． 44．（25-26七年级上·四川达州·期末）下列说法正确的个数是（   ） ①线段就是点A与点B之间的距离；②倒数等于本身的数是；③八棱柱有24条棱，8个顶点；④两点之间直线最短．⑤若线段等于线段，则点M是线段的中点； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查线段相关概念、倒数、棱柱特征，需逐一分析各说法正误，统计正确个数后作答即可． 【详解】①∵线段是图形，点与点之间的距离是线段的长度，二者概念不同，∴①错误； ②∵设倒数等于本身的数为，则，解得，∴，②正确； ③∵八棱柱的顶点数为个，棱数为条，∴③中“8个顶点”的说法错误； ④∵两点之间线段最短，直线无长度，不能表述为直线最短，∴④错误； ⑤∵当点不在线段上时，即使，也不是线段的中点，∴⑤错误； 综上，只有②正确，正确的个数是1个， 故选：A． 45．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，用特殊值法设点A为，C为，根据题意求出，设D为x，则为，为，表示出，从而得出结论． 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 题型16 线段和差计算（共3小题） 46．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况计算线段的长度． 【详解】解：当点C在线段上时，， 当点C在线段的延长线上时，． 47．（26-27七年级上·全国·单元复习）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先说明，再结合求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 48．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 题型17 线段中点的有关计算（共3小题） 49．（25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由计算即可． （2）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． （3）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． 【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间， ∴， ∵，， ∴． （2）解：是中点，是中点， ， ， ， ． （3）解：是的中点，， ， 是中点，， ， ． 50．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是线段的中点，是线段的中点，． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为15或25 【分析】（1）根据线段中点的性质求解即可； （2）先根据求出的值，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 综上所述，线段的长为15或25． 51．（26-27七年级上·全国·单元测试）如图，已知不重合的，，三点在线段上（均不与点，重合），且点是线段的中点． (1)若点是线段的中点，，，则的长为________； (2)若点是线段的中点，求线段与线段之间的数量关系． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出的长，根据E是线段的中点，D是线段的中点，求出和的长，从而求出的长； （2）根据点D是线段的中点，点E是线段的中点，计算出，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D是线段的中点，点E是线段的中点， ∴，， ∴； （2）因为点是线段的中点．点是线段的中点． 所以，， 所以， 因为， ∴ 所以． 题型18 线段之间的数量关系（共3小题） 52．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键，中点得到，进而得到，根据，得到，推出，进而得到，得到即可． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 53．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任意一点，且满足，其他条件不变，请写出线段的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段之间的数量关系． （1）设，，由题意得，，，，根据题意求得，，据此求解即可； （2）同（1）理，求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，，，， ∵， ∴， 解得， ∵． 54．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．随C的位置的变化而变化 【答案】A 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义，结合线段的和与差，进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，点M为线段的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 题型19 角的四则运算（共3小题） 55．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 56．（25-26七年级下·山东聊城·开学考试）度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 57．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型20 三角板中角度计算（共3小题） 58．（25-26六年级下·山东东营·期末）综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；；②；； (2)当与没有重合部分时，结论依然成立；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 、． 【分析】（1）①利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解；②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①由图可得，，； ②， ， ， ； （2）略 59．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 60．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据求解即可； ②先写出的度数，再求即可； （2）先写出的度数，再求即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）①由题意得，， ∴； ②由题意得，， ∴； （2）总是保持不变，这个固定的差值是，理由如下： 如图，， ∴； ∴总是保持不变，这个固定的差值是； （3）当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 综上，的度数为或或． 【点睛】注意分类讨论思想的应用． 题型21 几何图形中角度计算（共3小题） 61．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． 62．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 63．（25-26七年级上·广西桂林·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，将一直角顶点放在点O处，即，反向延长射线，得到射线． (1)当的位置如图（1）时，使，若，求的度数； (2)当的位置如图（2）时，使一边在的内部，且恰好平分，问：射线的反向延长线是否平分?请说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】（1）由即可得到答案； （2）由平角定义及角平分线的定义求得，，证得，结论得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：平分， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 题型22 实际问题角度计算（共3小题） 64．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 65．（2026·江西吉安·一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键． 如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵, ∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 66．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 题型23 角平分线角度计算（共3小题） 67．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 【答案】 【分析】由可得，将、用表示，列方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 点在直线上， ， ， 是的平分线， ， ， 解得． 68．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再由角平分线的定义得，从而可求的度数； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，利用邻补角即可求得． 【详解】（1）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 69．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）先求的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，最后根据平角的定义，求出的度数； （2）先根据是的平分线，，推出，同理推出，再求出，最后根据 求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即． 题型24 余角、补角有关的计算（共3小题） 70．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 71．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，点在直线上，，射线，在直线两侧，平分． (1)若，求的度数； (2)若与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：． 理由：点在直线上，， ， 解得． 由（1），得． ． ． 【分析】（1）根据平角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）根据题意求出，再根据即可证明结论． 【详解】（1）解：点在直线上，， ． 平分， ． ； （2）略 72．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时． ①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．” 选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)①； ②选择嘉嘉，∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定平分． 选择淇淇，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴． (2)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键． （1）①根据垂直，得到，根据对顶角，则，根据，即可；②选择嘉嘉：根据角平分线，则，根据垂直的定义，则，，等量代换，得到角的等量关系，进行解答，选择淇淇：根据垂直，则，根据，等量代换，即可； （2）当点，在的同侧时，根据垂直，得到，根据，；当点，在的异侧时，，进行解答，即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②略 （2）解：当点，在的同侧时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴； 当点，在的异侧时， ． 拔高·压轴破难 题型25 线段的长度计算综合（共3小题） 73．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 74．（25-26七年级上·天津·期末）如图，在数轴上，数a、b所对应的点分别为A、B，点O表示原点，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点A表示的数是_____，点B表示的数是______； (2)点Q的速度为每秒______个单位，当______秒时P、Q两点停止运动； (3)点C是线段的一个三等分点，点M是的中点，设P、Q两点运动的时间为秒，用含t的式子表示线段的长，不用写出t的取值范围； (4)假设动点P，Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于Q的速度，其余条件不变．E为的中点，F为的中点，当点P在线段上运动时，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)，18； (2)3， (3)当点C表示6时，，当点C表示12时，； (4)或 【分析】本题主要考查线段的加减，整式的加减，列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得出结论即可； （2）根据题意求得点的速度，再计算点相遇时间即可； （3）分情况，即点是靠近点的三等分点或点是靠近点的三等分点，再表示出的长即可； （3）分情况，即两点相遇之前或两点相遇之后，设，，则，表示出即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 故点A表示的数是，点B表示的数是18； （2）解：由题意可得点Q的速度为每秒个单位， ， 则当秒时P、Q两点停止运动； （3）解：根据题意知，点表示的数为，表示的数为， 设表示的数为， 是的中点， ， ， ， 点是的三等分点，， 点表示6或12， 当点表示6时，， 当点表示12时，， 即当点表示6时，， 当点表示12时，； （4）解：当点相遇之前，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 当点相遇之后，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 综上，线段与的数量关系为或． 75．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）在直线上顺次取三点，使得，点是线段的中点． (1)若，①求的长； ②在射线上有一点，使得，求的值； (2)在多彩多姿的几何世界中存在着一种名叫“膨胀系数”的数，若一条线段的长度乘以“膨胀系数”后，线段的长度就会变为原来长度的倍，膨胀后的线段保持一个端点位置不变的同时，它还会向另一个端点的延长线方向延伸，如果线段膨胀后得到新线段，且膨胀系数，若点为的中点时，求和之间的数量关系． 【答案】(1)①1；②或； (2)或． 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段中的数量关系和和差关系，是解题的关键： （1）①求出的长，根据中点平分线段，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行求解即可； （2）根据新定义，求出的长，中点得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∵， ∴； ①； ②∵， 当点在线段上时，则：，， ∴； 当点在线段的延长线上时，则：， ∴； 综上：或； （2）解：①当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 题型26 动角计算综合（共3小题） 76．（25-26七年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 77．（25-26七年级上·北京·期末）设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 【答案】(1)120 (2)或 (3)的值为或或 【分析】（1）由角平分线得，代入“半余角”两种情况，均解得，故； （2）代入验证“半余角”，仅有解，再分在内、外，得或； （3）设，，由平分，平分，得，，分当点D在直线上面，时，，当点D在直线上面，时，，当点D在直线下面，时，，当点D在直线下面，时，，根据与互为“半余角”，有当时，当时，解答． 【详解】（1）解：已知平分， ∴，且 根据“半余角”定义，有两种情况： 当， 代入， 得， 解得， 则； 当， 代入， 得， 解得， 则 （2）解：已知，， 分两种“半余角”情况讨论： 当时： 则， 解得，舍去； 当时： 则， 解得． 再根据的位置分两种子情况： 若在内部， 则； 若在外部， 则． ∴综上的度数为或． （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，， 当点D在直线上面，时，， 由， 得， ∴， ∴， ∵与互为“半余角”， ∴当时， 则， 解得， 则； 当时， ∴， 解得， ∴； 当点D在直线上面，时，， , 当时， 则， 结合， 解得， 则，舍去． 当时， ∴， 解得， ∴，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则， 当时， ∴， 解得，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则，舍去， 当时， ∴， 解得，舍去； 综上：的值为：或或． 78．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $