第16章 整式的乘法 单元检测卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

新人教版2026-2027学年八年级数学上学期 第16章整式的乘法单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 评卷人 得分 一、单选题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列各式中能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：=（     ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 5．若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 7．若是关于的完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 8．若为正整数，则（     ） A． B． C． D． 9．现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 10．某中学手工社团开展实践活动，同学们准备了大小不同的长方形硬纸板，把纸板进行裁剪、重新拼接，借助图形面积的等量关系探究乘法公式的几何意义．将图1的阴影长方形裁剪后拼接得到图2所示的阴影图形．裁剪拼接只改变图形形状，阴影部分面积保持不变，因此可以验证的一个乘法公式是(     ) A． B． C． D． 11．若，，求的值． 以下是两位同学的解题过程： 嘉嘉：因为，所以， 因为，所以，所以． 琪琪：，所以， 因为，所以．所以． 则下列说法正确的是（     ） A．只有琪琪的答案正确 B．他们两个答案合在一起才正确 C．他们的答案都不正确 D．只有嘉嘉的答案正确 12．根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13．计算：___________． 14．计算：______． 15．若是一个完全平方式，则_________． 16．若，，则的值为_____． 17．若等式恒成立，则______． 18．图（1）是一块正八边形地砖，中空部分是一个菱形，用这种地砖铺设地面，图（2）中有5个完整菱形，图（3）中有13个完整菱形，图（4）中有25个完整菱形，第n幅图中有____________个完整菱形． 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19．先化简，再求值：，其中，． 20．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 21．下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……………………第四步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母、表示为 ．第二步用到的乘法公式用字母、表示为 ． ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)任务二：请完成该整式的正确计算过程 22．根据条件求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 23．形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 例：用配方法求代数式的最小值． 解：原式． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： (1)用配方法求代数式的最小值； (2)若实数，满足，则的最小值为 ． 24．乡村生态公园规划一块长为，宽为的长方形休闲活动平台，计划在阴影区域铺设透水砖，中间预留的正方形区域设置标识景观石． (1)求铺设透水砖的面积是多少平方米（用含，的代数式表示） (2)当时，铺设透水砖的费用为每平方米80元，求铺设透水砖所需要的费用． 25．阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴，， ∴且， ∴ ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 26．【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C D A C B A B 题号 11 12 答案 D D 1．B 【分析】平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 2．D 【分析】把原式转化为，再利用积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 3．D 【详解】解：A、，故此项错误，不符合题意； B、，故此项错误，不符合题意； C、，故此项错误，不符合题意； D、，故此项正确，符合题意． 4．C 【详解】解：A选项：，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故A选项不符合题意； B选项：，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故B选项不符合题意； C选项：，能用完全平方公式计算，故C选项符合题意； D选项：，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故D选项不符合题意． 5．D 【分析】将三个幂的底数统一为3，通过比较指数大小判断数值大小关系． 【详解】解：，， ∵，， ∴． 6．A 【详解】解：， ∵ ， ∴ ，， 解得，． 7．C 【详解】解：∵是关于的完全平方式． ∴． ∴． 解得或． 8．B 【分析】利用乘法的意义化简括号内的加法，再进行幂的乘方运算． 【详解】解：括号内为个相加，得，原式． 9．A 【详解】解：由题意得： ． 10．B 【分析】分别表示出图1，图2阴影部分的面积，即可解答． 【详解】解：图1的面积为， 图2的面积为， 因此可以验证的乘法公式是． 11．D 【分析】利用同底数幂的乘法法则求，利用乘法的意义结合同底数幂的乘法求，再判断两人解题的正误． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 嘉嘉的解题过程正确，琪琪的解题过程错误． 12．D 【分析】本题需要先观察题干给出的等式，归纳出通用规律：．令，套用规律求出的值，再减去多余的，即可算出所求式子． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， 令，得 ， ∴， 13． // 【分析】将次幂拆分为次幂与次幂的乘积，逆用积的乘方运算法则简化计算． 【详解】解：原式 ． 14． 【分析】将和改写为与相关的式子，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ． 15．或 【详解】解：是完全平方式， ，， 中间项满足 ， ， 解得或． 16． 13 【分析】利用完全平方公式变形，将所求转化为含有已知和的形式，再代入计算． 【详解】解：根据完全平方公式可得：，， 对变形得：， ∵，， ∴． 17． 【分析】等式恒成立，将等式右侧展开后对比对应项系数，得到和的值，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵等式恒成立，对应项系数相等， ∴， ∵， ∴． 18． 【分析】根据图形的变化规律进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 图（1）有完整菱形的个数为， 图（2）有完整菱形的个数为， 图（3）有完整菱形的个数为， 图（4）有完整菱形的个数为， ， ∴第n幅图中有完整菱形的个数为． 19．， 【分析】先展开化简括号内的整式，合并同类项后计算除法，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 20．(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形，把写成，整体代入求值； （2）先求，变形为，算出结果后再开平方得到． 【详解】（1）解：，， ； （2）解： ， ． 21．(1)①； ②三，括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号（或去括号时符号处理错误） (2)完整过程如下： 【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式的应用及整式的混合运算． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1) (2) 【分析】（1）利用幂的运算法则变形所求式子，代入已知条件计算； （2）统一式子底数，提取公因式后化简求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴． 23．(1)最小值为 (2) 【分析】（1）将代数式配方为完全平方式与常数的和，利用平方的非负性求最小值； （2）将已知等式变形为用含的式子表示，代入后配方，利用平方的非负性求最小值． 【详解】（1）解： ． ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ． ， ， 的最小值为． 24．(1)平方米 (2)5040元 【分析】（1）将长方形的面积减去中间正方形的面积，运用整式的混合运算法则计算即可； （2）将a，b的值代入求出铺设透水砖的面积，再乘以每平方米的费用即可求解． 【详解】（1）解： ， 答：铺设透水砖的面积是平方米． （2）解：当时，， （元）， 答：铺设透水砖所需要5040元． 25．(1)1，0； (2)4； (3)11． 【分析】（1）将式子分组配方，写成两个完全平方相加等于0的形式，利用平方数非负性，两个平方和为0，则每一个平方都等于0，求出a，b． （2）重新分组，对多项式配方，得到两个完全平方相加等于0，根据平方非负性求出x，y，再代入计算． （3）拆分常数项，直接分组凑完全平方，求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定第三边的正整数值，最后计算三角形周长． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ，， 解得：，． （2）解：， ， ， ，， ，， 解得，． ． （3）解：， ， ， ， ，， ，， 解得，． 为三边，根据三角形三边关系： ，即． 是正整数， ． 周长． 26．(1)①; ② (2)49 (3)61 (4)19 【分析】（1）利用大正方形面积减去分割图形面积推导图2等式，整体正方形面积等于各小矩形面积和推导图3等式； （2）由整体代入计算； （3）套用直接代值；（4）先推出的值，再将原式变形为后代入求值． 【详解】（1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： . ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： . （2）解：． （3）解： ． （4）解：， ， ∴ 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $