第16章 整式的乘法单元检测卷（提升卷）2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十六章 整式的乘法 提升卷（解析版） 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．等式(x —1)0 = 1 成立的条件是 ( ) A ．x ≠ 0 B ．x = 0 C ．x ≠ 1 D ．不受限制 2 ．下列运算正确的是 ( ) A ．a4 a2 = a8 B ．(a2b)3 = a5b3 C ．a7 ÷ a3 = a4 D ．(a —1)2 = a 2 —1 3 ．若等式（ ）(3a + 5b) = 9a2 — 25b2 成立，则括号内所填的代数式是 ( ) A ．3a + 5b B ． —3a + 5b C ．3a — 5b D ． —3a — 5b 4 ．已知等式(x + m)(x — n) = x2 + kx — 6 （m ，n 为正整数），则 k 的值不可能是 ( ) A ． —1 B ． —5 C ．5 D ．6 5 ．若计算(x2 + ax + 5） (—2x)— 6x2 的结果中不含x2 项，则常数a 的值为 ( ) A ． —3 B ． C ．0 D ．3 6 ．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老 师课上讲的内容，她突然发现一道题：3x2 (2x +[ ]—1) = 6x3 + 3x2y — 3x2 ，那么空格中的一项是 ( ) A ． —y B ． —xy C ．y D ．xy 7 ．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数” ，如8 = 32 —12 ， 16 = 52 — 32 ，所以 8 ，16 都是“创新数” ，下列整数是“创新数”的是 ( ) A ．58 B ．60 C ．62 D ．64 8．如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a + 4b) 宽为(2a +b) 的大长方形，则需要 A 类、B 类和 C 类卡片的张数分别为 ( ) A ．2 ，4 ，9 B ．4 ，2 ，7 C ．2 ，3 ，7 D ．2 ，5 ，7 9 ．已知n 为整数，且x = 2n+3 , y = 3n+2 , z = 5n ，则x, y, z 的大小关系不可能是 ( ) A ．y > x > z B ．x > z > y C ．y > z > x D ．z > y > x 10．将 11 个长为a ，宽为b 的小长方形（如图 1）不重叠无空隙地摆放在大长方形ABFE 中（如图2）， 当AB 的长度变化时，若空余部分的面积S1 与S2 的差不改变，则a, b 之间的数量关系为 ( ) 第十六章 整式的乘法 提升卷（学生版） 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．5b = 2a B ．4b = a C ．3b = a D ．5b = 3a 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．计算：a2 (3a)2 = ． 12 ．若多项式x2 + mx + 49 是完全平方式，则m = ． 13 ．已知 n 是正整数，且x3n = 2 ，则 (3x3n)3 + (—2x2n)3 = ． 14 ．若M = (a +b)(a — 2b), N = —b (a + 3b) （其中a ≠ 0 ），则M , N 的大小关系为 ． 15 ．定义一种新的运算a ②b = ab—b2 ，如5 ② 4 = 5 × 4 — 42 = 4 ．则(2x + y) ② (x — 2y) = ． 16 ．如图，两个正方形放置于长方形EFGH 内（正方形的两边在长方形的边上），长方形ABCD 是 两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为 m，面积之差为 n，则AB + HG = （用含 m 、n 的代数式表示）． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．计算 ； (2)a a7 — (—3a4 )2 + a10 ÷ a2 ． 18 ．计算与化简： (1)(x + 3y — 2)(x — 3y — 2) ； (2)先化简再求值： (3a +b)2 — (b+ 3a)(3a —b)— 6b2 ]÷ (—2b) ，其中a = — ，b = —2 ． 第十六章 整式的乘法 提升卷（学生版） 第 2 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．在化简(1 - 3x)2 - (-3x - 1)(1 - 3x) 的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式= 1- 6x + 9x2 - 9x2 -1(第一步) = -6x ；(第二步) 解法二：原式= 1- 9x2 - (9x2 -1)(第一步) = 1- 9x2 - 9x2 +1 (第二步) = 2 -18x2 (第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪 一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 20．如图，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B、C、G 三点在同一直线上，连接BD、BF ． (1)用含a ，b 的式子表示图中阴影部分的面积； (2)若a +b = 22 ，ab = 105 ，求阴影部分的面积． 21 ．观察下列一组等式： (a +1)(a2 - a +1) = a3 +1 ； (a - 2)(a2 + 2a + 4) = a3 - 8 ； (a + 3)(a2 - 3a + 9) = a3+27 (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①(x - 3)(x2 + 3x + 9) = __________； ②(2x + 1) （__________ ）= 8x3 +1 ； ③（__________ ）(x2 + 4xy +16y2 ) = x3 - 64y3 ； 第十六章 整式的乘法 提升卷（学生版） 第 3 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)利用你的发现计算：(a +b)(a -b)(a2 + ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ． 22 ．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若3 × 27m ÷ 9m = 316 ，求m 的值； (2)已知ax = -2， ay = 3 ，求a3x-2 y 的值； (3)若n 为正整数，且x2n = 4 ，求(3x3n)2 — (2x 2n )2 的值． 23 ．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式y2 + 4y + 8 的最小值． 解：y2 + 4y + 8 = y2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)2 + 4 ． ∵(y + 2)2 ≥ 0 ，∴(y + 2)2 + 4 ≥ 4 ，∴ y2 + 4y + 8 的最小值是4 ． (1)求代数式2m2 + 8m +11 的最小值． (2)求代数式4 - x2 + 2x 的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙， 另三边用总长为20m 的栅栏围成，如图，设AB = x (m) ，请问：当x 取何值时，花园的面积最大？最 大面积是多少？ 24 ．探究： 第十六章 整式的乘法 提升卷（学生版） 第 4 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）如图① , 边长为 a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个 长方形(如图②所示) ，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ___________(用含 a ，b 的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知m2 一 4n2 = 16 ，m + 2n = 4 ，则m 一 2n 的值为___________． ②计算：20252 一 2024× 2026 ． 拓展：（3）计算：502 一 492 + 482 一 472 +…+ 42 一 32 + 22 一12 ． 25 ．题目：若(10 一 x )(x 一 5)= 2 ，求(10 一 x)2 + (x 一 5)2 的值． 解：观察发现，10 一 x 与x 一 5 中的一x 与x 互为相反数， 所以我们不妨设a = 10 一 x ，b = x 一 5 ． 因为(10 一 x )(x 一 5)= 2 ，所以ab = 2 ． 因为(10 一 x ) + (x 一 5) = 5 ，所以a + b = (10 一 x) +( x 一5) = 5， 所以(10 一 x )2 + (x 一 5)2 = a 2 + b 2 = (a + b )2 一 2ab = 5 2 一 2× 2 = 21 ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若(9 一 x )(x 一 2)= 3 ，则(9 一 x)2 + (x 一 2)2 = ___________． （2）若x 满足(2025 一 x)2 + (x 一 2024)2 = 13 ，求(2025 一 x)(x 一 2024) 的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形ABC 中，上ABC = 90O ，BC = 8 ，点D 是边BC 上的点，在边AB 上取一点E ，使 AE = CD ，设AE= x (x > 0) ．分别以AB 、BD 为边在三角形ABC 外部作正方形ABFG 和正方形BDMN ， 连接AD ．若BE = 2 ，△ABD 的面积为 12，直接写出正方形ABFG 和正方形BDMN 的面积和．正方形 ABFG 和正方形BDMN 的面积和为___________． 第十六章 整式的乘法 提升卷（学生版） 第 5 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．等式(x -1)0 = 1 成立的条件是 ( ) A ．x ≠ 0 B ．x = 0 C ．x ≠ 1 D ．不受限制 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂的运算法则：a0 = 1(a ≠ 0) 计算即可． 【详解】解：根据题意得x -1≠ 0 ，解得：x ≠ 1 ，故选：C． 2 ．下列运算正确的是 ( ) A ．a4 a2 = a8 B ．(a2b)3 = a5b3 C ．a7 ÷ a3 = a4 D ．(a -1)2 = a 2 -1 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）以及完全平方公式， 熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．根据幂的运算规则（同底数幂相乘、幂的乘方、同底 数幂相除）以及完全平方公式，对每个选项进行计算，判断其正确性． 【详解】解：a4 . a2 = a4+2 = a6 ≠ a8 ．故 A 项错误．(a2b)3 = (a2 )3 b3 = a6b3 ≠ a5b3 ．故 B 项错误． a7 ÷ a3 = a7-3 = a4 ．故 C 项正确．(a -1)2 = a2 - 2a +1≠ a2 -1．故 D 项错误．故选：C． 3 ．若等式（ ）(3a + 5b) = 9a2 - 25b2 成立，则括号内所填的代数式是 ( ) A ．3a + 5b B ．-3a + 5b C ．3a - 5b D ．-3a - 5b 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ∵(3a + 5b)(3a - 5b) = 9a2 - 25b2 ， ∴括号内所填的代数式是3a - 5b ；故选：C． 4 ．已知等式(x + m)(x - n) = x2 + kx - 6 （m ，n 为正整数），则 k 的值不可能是 ( ) A ．-1 B ．-5 C ．5 D ．6 【答案】D【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根 据多项式乘多项式的运算法则，把等式左边变形为：x2 + (m - n)x - mn ，再根据(x + m)(x - n) = x2 + kx - 6 ， 得出m - n = k ，mn = 6 ，根据 m ，n 均为正整数，列举所有的因数对，进而得出答案． 【详解】解： ∵(x + m)(x - n) = x2 + (m - n)x - mn = x2 + kx - 6 ， 第十六章 整式的乘法 提升卷（解析版） 第 6 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ m — n = k ，mn = 6 ， ∵m ，n 为正整数， ∴ m = 6 ，n = 1 时，k = 5 ； m = 1 ，n = 6 时，k = —5 ； m = 2 ，n = 3 时，k = —1 ； m = 3 ，n = 2 时，k = 1； ∴k 的值可能是 5 ， —5 ， —1 ，1 ．故选：D． 5 ．若计算(x2 + ax + 5). (—2x)— 6x2 的结果中不含x2 项，则常数a 的值为 ( ) A ． —3 B ． — C ．0 D ．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将(x2 + ax + 5). (—2x ) — 6x2 展开，合并同类项得 —2x3 + (—2a — 6)x2 —10x ，继而得到—2a — 6 = 0 ，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解：(x2 + ax + 5). (—2x ) — 6x2 = —2x3 — 2ax2 —10x — 6x2 = —2x3 + (—2a — 6)x2 —10x ， ∵计算(x2 + ax + 5). (—2x ) — 6x2 的结果中不含x2 项， ∴ —2a — 6 = 0 ，解得：a = —3 ，即常数a 的值为—3 ．故选：A． 6 ．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老 师课上讲的内容，她突然发现一道题：3x2 (2x +[ ]—1) = 6x3 + 3x2y — 3x2 ，那么空格中的一项是 ( ) A ． —y B ． —xy C ．y D ．xy 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式除以单项式，根据题意，用积除以3x2 ，进行求解即 可． 【详解】解：(6x3 + 3x2y — 3x2 ) ÷ 3x2 = 2x + y —1 ， ∴空格中的一项是y ；故选 C． 7 ．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数” ，如8 = 32 —12 ， 16 = 52 — 32 ，所以 8 ，16 都是“创新数” ，下列整数是“创新数”的是 ( ) A ．58 B ．60 C ．62 D ．64 【答案】D 第十六章 整式的乘法 提升卷（解析版） 第 7 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键． 根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数是2n —1和2n +1 （其中n 取正整数）， : (2n +1)2 — (2n —1)2 = (2n +1+ 2n —1)(2n +1— 2n +1) = 4n . 2 = 8n ， : 由这两个连续奇数构造的“创新数”是 8 的倍数． : 58 、60 、62 都不是 8 的倍数， : 它们不是“创新数”， : 64 是 8 的倍数，且64 = 172 —152 ，: 64 是“创新数” ．故选：D． 8．如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a + 4b) 宽为(2a +b) 的大长方形，则需要 A 类、B 类和 C 类卡片的张数分别为 ( ) A ．2 ，4 ，9 B ．4 ，2 ，7 C ．2 ，3 ，7 D ．2 ，5 ，7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 先将大长方形的面积算出为(a + 4b)(2a +b) = 2a2 + 9ab+ 4b2 ，由题意可知为 A 类卡片面积a2 ，为 B 类 卡片面积b2 ，为 C 类卡片面积ab ，则根据多项式即能求出A 、B 、C 相应的卡片数量． 【详解】解：由题意可知，大长方形的长为(a + 4b) ，宽为(2a +b)， 则其面积为(a + 4b)(2a +b) = 2a2 + 9ab+ 4b2 ； 由图可知，A 类卡片面积为a2 ，B 类卡片面积为b2 ，C 类卡片面积为ab ，由大长方形的面积多项 式可知，a2 的系数为 2 ，b2 的系数为 4 ，ab 的系数为 9 ，则需要 A 类卡片 2 张，B 类卡片 4 张， C 类卡片 9 张．故选：A. 9 ．已知n 为整数，且x = 2n+3 , y = 3n+2 , z = 5n ，则x, y, z 的大小关系不可能是 ( ) A ．y > x > z B ．x > z > y C ．y > z > x D ．z > y > x 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则 是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把 x、y 、z 进行变形，然后比较即可． 【详解】解： ∵x = 2n+3 =232n= 8 × 2n ， y = 3n+2 =323n = 9 × 3n ，z = 5n ， ∴ x < y ，但无法确定 z 与x、y 的关系； ∴x, y, z 的大小关系不可能是x > z > y ，故选：B． 10．将 11 个长为a ，宽为b 的小长方形（如图 1）不重叠无空隙地摆放在大长方形ABFE 中（如图2）， 当AB 的长度变化时，若空余部分的面积S1 与S2 的差不改变，则a, b 之间的数量关系为 ( ) A ．5b = 2a B ．4b = a C ．3b = a D ．5b = 3a 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含a 、b 、AB 的式子表示出S1 — S2 ，根据S1 — S2 的值总保持不变，即与AB 的值无关，整理后，让AB 的系数为 0 即可． 【详解】解： ∵S1 — S2 = 4b (AB — a)— a (AB — 7b) ，整理，得：S1 — S2 = (4b— a)AB + 3ab ， ∵若AE 长度不变，AB （即EF ）的长度变化，而S1 — S2 的值总保持不变， ∴ 4b— a = 0 ，解得：4b = a ．故选：B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．计算：a2 (3a)2 = ． 【答案】9a4 【分析】本题考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算是解决本题的关键． 先由积的乘方运算求解，再根据同底数幂的乘法运算进行求解即可． 【详解】解：a2 (3a )2 = a2 9a2 = 9a4 ．故答案为：9a4 ． 12 ．若多项式x2 + mx + 49 是完全平方式，则m = ． 【答案】 ±14 【分析】本题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘 积项即可确定m 的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∵ x2 + mx + 49 = x2 + mx + 72 ， ∴ mx = ±7× 2 × x ， ∴ m = ±14 ， 故答案为： ±14 ． 13 ．已知 n 是正整数，且x3n = 2 ，则 (3x3n)3 + (—2x2n)3 = ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解： ∵ x3n = 2 ， ∴ (3x3n)3 + (—2x2n)3 = 27x9n — 8x6n = 27(x3n)3 — 8(x3n)2 = 27× 23 — 8× 22 = 184 ．故答案为：184 14 ．若M = (a +b)(a — 2b), N = —b (a + 3b) （其中a ≠ 0 ），则M , N 的大小关系为 ． 【答案】M > N 【分析】本题考查了数的大小比较，整式的混合运算，平方的非负性，掌握相关运算法则是解题关 键．利用作差法比较大小，根据整式的混合运算法则，求出M — N = a2 + b2 ，再利用平方的非负性得 出a2 + b2 > 0 ，即可得解． 【详解】解：由题可知，M — N = (a +b)( a —2b) —( —b)( a +3b) = a2 — ab—2b2 + ab+3b2 = a2 + b2 : a ≠ 0,b 2 ≥ 0 ， : a2 > 0 ， :a2 + b2 > 0 ，:M — N > 0 ，即M > N ． 15 ．定义一种新的运算a ②b = ab—b2 ，如5 ② 4 = 5 × 4 — 42 = 4 ．则(2x + y) ② (x — 2y) = ． 【答案】x2 + xy — 6y2 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，先利用多项式乘以多项式，完全 平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ∵ a ②b = ab—b2 ， ∴(2x + y) ② (x — 2y )= (2x + y )(x — 2y )— (x — 2y )2 = 2x2 - 4xy + xy- 2y2 - x2 + 4xy- 4y2 = x2 + xy- 6y2 ．故答案为：x2 + xy— 6y2 ． 16 ．如图，两个正方形放置于长方形EFGH 内（正方形的两边在长方形的边上），长方形ABCD 是 两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为 m，面积之差为 n，则AB + HG = （用含 m 、n 的代数式表示）． 第十六章 整式的乘法 提升卷（解析版） 第 10 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为b ， 根据阴影部分周长和面积的关系列出等式4a 一 4b = m ，a2 一 b2 = n ，再利用平方差公式求出a +b 的值， 进而得到AB + HG 的值． 【详解】解：设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为b ， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为 m ，面积之差为 n， ∴ 4a 一 4b = m ，a2 一 b2 = n ， 即a 一 b = m ，(a +b)(a 一 b) = n ， 故答案为 ∶ 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．计算：2025 + 2 一 一3 a a7 一 2 + a10 ÷ a2 ． 【答案】(1)5 ；(2) 一7a8 ． 【分析】本题考查了零指数幂，同底数幂乘除，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的 关键． （1 ）先进行有理数乘方，零指数幂，化简绝对值运算，然后合并即可； （2 ）先进行同底数幂乘除，幂的乘方，积的乘方运算，然后合并同类项即可． 解： 2025 + 2 一 一3 = 一1+ 9 一1× 3 = 一1+ 9 一 3 = 5 ； （2）解：a a7 一 (一3a4 )2 + a10 ÷ a2 = a8 一 9a8 + a8 = 一7a8 ． 18 ．计算与化简： (1)(x + 3y 一 2)(x 一 3y 一 2) ； 第十六章 整式的乘法 提升卷（解析版） 第 11 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)先化简再求值 其中 【答案】(1) x2 — 4x + 4 — 9y2 ；(2)—2b + 3a ，3 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，整式的除法等运算， 解题的关键是熟练掌握各运算法则．先根据乘法公式去括号，然后合并同类项，再计算多项式除以 单项式化简，最后代值计算即可得到答案． （1 ）通过观察式子结构构造平方差公式的形式，利用平方差公式简化了计算过程； （2 ）先利用完全平方公式和平方差公式，结合整式的加减法法则，将中括号化简，再根据除法法 则得出化简结果，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】（1）解：(x + 3y — 2)(x — 3y — 2) = (x — 2) + 3y7」(x — 2) — 3y7」 = (x — 2)2 — (3y)2 = x2 — 4x + 4 — 9y2 ； 解 = (9a2 + b2 + 6ab ) — (9a2 —b2 )— 6b2 7」÷ 2b = (9a2 + b2 + 6ab — 9a2 + b2 — 6b2 ) ÷ 2b = (2b2 + 6ab — 6b2 ) ÷ 2b = 2b2 ÷ 2b + 6ab ÷ 2b— 6b2 ÷ 2b = 3a — 2b ， 当 时，原式 19 ．在化简(1 — 3x)2 — (—3x — 1)(1 — 3x) 的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式= 1— 6x + 9x2 — 9x2 —1(第一步) = —6x ；(第二步) 解法二：原式= 1— 9x2 — (9x2 —1)(第一步) = 1— 9x2 — 9x2 +1 (第二步) = 2 —18x2 ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪 一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误，过程见解析 第十六章 整式的乘法 提升卷（解析版） 第 12 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查整式的乘法，完全平方公式，平方差公式等知识，按照整式乘法的相关运算 法则和公式求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是+1 ，或者9x2 -1加括号； 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，(1- 3x)2 的计算结果是 1- 6x + 9x2 ． 正确的解答过程：原式= (1- 6x + 9x2 )- (9x2 -1) = 1- 6x + 9x2 - 9x2 +1 = 2 - 6x ． 20．如图，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B、C、G 三点在同一直线上，连接BD、BF ． (1)用含a ，b 的式子表示图中阴影部分的面积； (2)若a +b = 22 ，ab = 105 ，求阴影部分的面积． 【答案】(1)图中阴影部分的面积阴影部分的面积84.5 ． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘以多项式运算，掌握相关知识的应用是解 题的关键． （1 ）由题意可得S阴影 = S正方形ABCD + S正方形CEFG - S△ABD - S△BFG ，然后代入即可求解； （2 ）先变形为S阴影 然后把a +b = 22 ，ab = 105代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：S阴影 = S正方形ABCD + S正方形CEFG - S△ABD - S△BFG ∴图中阴影部分的面积 解： ∵ S阴影 ∵ a + b = 22 ，ab = 105， = 242 -157.5 = 84.5 ， ∴阴影部分的面积84.5 ． 21 ．观察下列一组等式： (a +1)(a2 — a +1) = a3 +1 ； (a — 2)(a2 + 2a + 4) = a3 — 8 ； (a + 3)(a2 — 3a + 9) = a3 + 27 ． (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①(x — 3)(x2 + 3x + 9) = __________； ②(2x + 1) （__________ ）= 8x3 +1 ； ③（__________ ）(x2 + 4xy +16y2 ) = x3 — 64y3 ； (2)利用你的发现计算：(a +b)(a —b)(a2 + ab + b2 )(a2 — ab + b2 ) ． 【答案】(1)① x3 — 27 ；②4x2 — 2x +1 ；③x — 4y ；(2) a6 —b6 【分析】本题考查了整式的混合运算，找出其中的规律是解本题的关键． （1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）把一四、二三因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果． 【详解】（1）解：①(x — 3)(x2 + 3x + 9) = x3 — 27 ； ②(2x +1)(4x2 — 2x +1) = 8x3 +1 ； ③(x — 4y)(x2 + 4xy +16y2 ) = x3 — 64y3 ．故答案为：① x3 — 27 ；②4x2 — 2x +1 ；③x — 4y ； （2）原式= (a + b )(a —b )(a2 — ab + b2 )(a2 + ab + b2 ) = (a + b )(a2 — ab + b2 )(a —b )(a2 + ab + b2 ) = (a3 + b3 )(a3 — b3 ) = a6 — b6 ． 22 ．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若3 × 27m ÷ 9m = 316 ，求m 的值； (2)已知ax = —2, ay = 3 ，求a3x—2 y 的值； (3)若n 为正整数，且x2n = 4 ，求(3x3n)2 — (2x 2n )2 n 的值． 【答案】(1) m = 15 ；(2) — ；(3)512 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式= 3 × (33 )m ÷ (32 )m = 3 × 33m ÷ 32m = 33m+1—2m = 3m+1 即3m+1 = 316 ，则m +1 = 16 ， 即m = 15 ． （2）a3x—2 y 3x 2y = a ÷ a = (ax)3 ÷ (ay )2 = —8 ÷ 9 （3）原式= 9 (x2n)3 — 4 (x2n)2 = 9 × 43 — 4 × 42 = 512 ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘 法以及积的乘方法则是解题的关键． 23 ．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式y2 + 4y + 8 的最小值． 解：y2 + 4y + 8 = y2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)2 + 4 ． : (y + 2)2 ≥ 0 ，: (y + 2)2 + 4 ≥ 4 ，: y2 + 4y + 8 的最小值是4 ． (1)求代数式2m2 + 8m +11 的最小值． (2)求代数式4 — x2 + 2x 的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙， 另三边用总长为20m 的栅栏围成，如图，设AB = x (m) ，请问：当x 取何值时，花园的面积最大？最 大面积是多少？ 【答案】(1)3；(2)5；(3)当x = 5 时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）多项式配方后，可得2 (m + 2)2 ，根据完全平方式恒大于等于0 ，即可求出最小值． （2）多项式配方后，可得— (x —1)2 ，根据完全平方式恒大于等于0 ，可得— (x —1)2 ≤ 0 ，即可求出最 大值． （3）根据题意列出关系式x (20 — 2x) ，配方后可得—2(x — 5)2 ，根据完全平方式恒大于等于0 ，可得 —2(x — 5)2 ≤ 0 ，即可求出最大值以及此时x 的值． 【详解】（1）解：2m2 + 8m +11 = 2 (m2 + 4m + 4)+ 3 = 2 (m + 2)2 + 3， : 2(m + 2)2 ≥ 0 ， : 2(m + 2)2 + 3 ≥ 3 ， : 代数式2m2 + 8m +11的最小值是3 ． （2）解：4 — x2 + 2x = — (x2 — 2x +1)+ 5 = — (x —1)2 + 5 ， : — (x —1)2 ≤ 0 ， : — (x —1)2 + 5 ≤ 5 ， : 代数式4 — x2 + 2x 的最大值是5 ． （3）解：由题意，得花园的面积是x (20 — 2x) = —2x2 + 20x = —2(x2 —10x + 25)+ 50 = —2(x — 5)2 + 50 ， : —2(x — 5)2 ≤ 0 ， : —2(x — 5)2 + 50 ≤ 50 ， : 代数式x (20 — 2x) 的最大值是50 ，此时x = 5 ， 则当x = 5 时，花园的面积最大，最大面积是50m2 ． 24 ．探究： （1）如图① , 边长为 a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个 长方形(如图②所示) ，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ___________(用含 a ，b 的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知m2 - 4n2 = 16 ，m + 2n = 4 ，则m - 2n 的值为___________． ②计算：20252 - 2024× 2026 ． 拓展：（3）计算：502 - 492 + 482 - 472 +…+ 42 - 32 + 22 -12 ． 【答案】（1）(a +b )(a -b )= a 2 -b 2 ；（2）①4；②1 ；（3）1275 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出(m + 2n )(m - 2n )= m 2 - 4n 2 ，代入求值即可； ②可将20252 - 2024× 2026 写成20252 - (2025 +1)× (2025 -1) ，再利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将502 - 492 写成(50 + 49)× (50 - 49) ，以此类推，然后化简求值即可． 【详解】解：（1）图 1 中阴影部分面积a2 -b2 ，图 2 中阴影部分面积(a +b)(a -b)， 所以，得到乘法公式(a +b )(a -b )= a 2 -b 2 ，故答案为：(a +b )(a -b )= a 2 -b 2 ； （2）①∵ m2 - 4n2 = 16 ，m + 2n = 4 ， ∴(m + 2n)(m - 2n) = m2 - 4n2 = 16 ， ∴ m - 2n = 4 ；故答案为：4； ②20252 - 2024× 2026 = 20252 - (2025 +1)× (2025 -1) = 20252 - (20252 -1) = 20252 - 20252 + 1 = 1； （3）502 - 492 + 482 - 472 +…+ 42 - 32 + 22 -12 = 50 + 49 + 48 + 47 +…+ 4 + 3 + 2 +1 = 50× (50 +1)÷ 2 = 1275 ． 25 ．题目：若(10 — x )(x —5)= 2 ，求(10 — x)2 + (x — 5)2 的值． 解：观察发现，10 — x 与x — 5 中的—x 与x 互为相反数， 所以我们不妨设a = 10 — x ，b = x — 5 ． 因为(10 — x )(x —5)= 2 ，所以ab = 2 ． 因为(10 — x ) + (x — 5) = 5 ，所以a + b = (10 — x) +( x —5) = 5， 所以(10 — x )2 + (x —5)2 = a 2 + b 2 = (a + b )2 — 2ab = 5 2 — 2× 2 = 21 ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若(9 — x )(x — 2)= 3 ，则(9 — x)2 + (x — 2)2 = ___________． （2）若x 满足(2025 — x)2 + (x — 2024)2 = 13 ，求(2025 — x)(x — 2024) 的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形ABC 中，上ABC = 90O ，BC = 8 ，点D 是边BC 上的点，在边AB 上取一点E ，使 AE = CD ，设AE= x (x > 0) ．分别以AB 、BD 为边在三角形ABC 外部作正方形ABFG 和正方形BDMN ， 连接AD ．若BE = 2 ，△ABD 的面积为 12，直接写出正方形ABFG 和正方形BDMN 的面积和．正方形 ABFG 和正方形BDMN 的面积和为___________． 【答案】（1）43；（2） —6 ；（3）52 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是 解题的关键： （1）设9 — x = a ，x — 2 = b ，得到ab = 3 ，a + b = 9 — x + x — 2 = 7 ，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设2025 — x = m ，x — 2024 = n ，利用完全平方公式变形计算即可； （3）易得BD = 8 — x ，AB = 2 + x ，(8 — x)(2 + x) = 24 ，设8 — x = p ，2 + x = q ，利用完全平方公式变形计 算即可． 【详解】（1）解：设9 — x = a ，x — 2 = b ，则ab = 3 ，a + b = 9 — x + x — 2 = 7 ， :(9 — x )2 + (x — 2 )2 = a 2 + b 2 = a 2 + 2ab+ b 2 — 2ab = (a+ b 2)— 2ab ，:(9 — x )2 + (x — 2 )2 = 7 2 — 2× 3 = 49 — 6 = 43 ； （2）设2025 — x = m ，x — 2024 = n ，则m + n = 2025 — x + x — 2024 = 1 : (2025 — x )2 + (x — 2024)2 = 13 ， : m2 + n2 = 13 ， : m2 + 2mn + n2 — 2mn = 13 ， : (m + n )2 — 2mn = 13 ， :1— 2mn = 13 ， 解得：mn = —6 ， :(2025 — x)(x — 2024) = —6 ； （3）: BC = 8 ，BE = 2 ，AE = CD = x ， :BD = 8 — x ，AB = 2 + x ， : S△ABD = 12 ， : (8 — x )(2 + x )= 24 ， 设8 — x = p ，2 + x = q ， 则pq = 24 ，p + q = 8 — x + 2 + x = 10， : S正方形 ABFG +S 正方形BDMN = AB 2 +BD 2 = (2+x )2+ (8— x )2 ， : S正方形 ABFG + S 正方形BDMN = p 2+ q 2 = (p + q )2— 2pq = 102— 2× 24= 52 ． 第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $