广东东莞市粤华学校2026-2027学年第一学期10月月考高二数学试题

东莞市粤华学校 2026-2027 学年第一学期 10 月月考高二数学 一、单选题 1．下列关于空间向量的说法错误的是（    ） A．只有零向量的模等于 0 B．方向相反的向量就是相反向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 2．在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 3．已知，，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 6．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是 A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角 8．如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 C．基底中的基向量与基底中的基向量对应相等 D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 10．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则n=1 C．若，则 D．若，则 11．如图，在四棱锥中，平面，，，则（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B． C． D．点到直线的距离为 三、填空题 12．在直三棱柱中，，，平面的一个法向量为，则棱的长为________． 13．已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则___________. 14．棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点D到平面的距离为________. 四、解答题 15．已知空间三点，，，设，， (1)求和的夹角； (2)若向量与互相垂直，求k的值． 16．如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，． (1)若F为线段PE中点，求证：平面PCD． (2)若平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点， 作交于点. (1)求证： 平面； (2)求平面与平面 的夹角的余弦值. 18．如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱，，分别为，的中点． (1)求证：平面BDE； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与平面之间的距离． 19．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． (1)证明：平面； (2)求M到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A D D B C BD BD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量模长为0，其他向量的模长均不为0，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：B 2．C 【分析】根据空间向量加减运算法则进行计算. 【详解】. 故选：C 3．B 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】,所以, 所以, 故选：B 4．A 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：A. 5．D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由空间向量，，共面，得，即， 则，解得. 故选：D. 6．D 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 7．B 【解析】求得，计算求得，由此证得平面. 【详解】依题意，而，所以，而，所以平面. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用空间向量法判断直线和平面的位置关系，属于基础题. 8．C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 9．BD 【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误； B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确； C：是空间的一个基底，只需不共面，是空间的一个基底，也只需不共面，所以不一定对应相等，错误； D：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确. 故选：BD 10．BD 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得． 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B正确； 对于C，由，得，，，则与不垂直，故C错误； 对于D，由，得，，，则，故D正确. 故选：BD 11．AB 【分析】过作，垂足为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出坐标，代入空间向量夹角公式计算可判断A；求出可判断B；求出可判断C；利用空间向量求点到直线的距离公式计算可判断D. 【详解】过作，垂足为，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以与不垂直，故C不正确； 设点到直线的距离为，则， 即点到直线的距离为，故D不正确. 故选：AB. 12．2 【分析】建立空间直角坐标系，设出，从而由结合得到答案. 【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由题意可知，，， 所以，，因为， 所以根据法向量的定义可得，，解得， 且，所以. 故答案为：. 13．4 【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 故, 故答案为：4    14． 【分析】建立直角坐标系，根据点到平面的距离公式即可求解 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， ∴，，设平面的法向量为，则有 ，所以平面的法向量可以为.又 ∴点D到平面的距离 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据和的数量积夹角公式计算求解； （2）向量与互相垂直应用数量积公式求k值； 【详解】（1）空间三点，，． 设 ， ， （2）， 解得. 16．(1)证明：取PD的中点为S，连接，则， 而，则，即四边形SFBC为平行四边形， 因此，而平面PCD，平面PCD， 所以平面 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定及线面平行的判定定理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面PAB与平面PCD的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）略； （2）由，得，则，四边形AECB为平行四边形， 则，由平面PAD，得平面PAD，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面PAB的法向量为，则，取，得， 设平面PCD的法向量为，则，取，得， 设平面PAB与平面PCD的夹角为，则， 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为. 17．(1)证明：在四棱锥中， 底面， 底面， 所以, 由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 设平面的法向量为 则 ， 令 ，则， 则为平面的一个法向量， 则 ，而不在平面内， 所以 平面. (2) 【分析】（1）建系，通过线面位置的向量表示即可求证； （2）由面面角的向量法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1） 知，， 且 设平面的法向量为 ， 则 ， 取，， 所以为平面的一个法向量， 而 ，   则 ， 即 ， 则的一个法向量为 ， 因此 ， 18．（1）详见解析；(1)；(2). 【分析】（1）取的中点G，连接 ，易证四边形是平行四边形，从而得到，然后利用线面平行的判定定理证明 （2）应用等体积法有，求出到面的距离，根据已知求出，根据线面角的定义求其正弦值. （3）由题设易知为菱形，再由线面平行的判定可得面，即知直线与平面之间的距离即为到面的距离，可得结果. 【详解】（1）取的中点G，连接 ， 因为， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以 ，又平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE （2）由题设知：，，且到面的距离为， 所以，又，而， 所以，若到面的距离为，则， 所以，又，故直线与平面所成角的正弦值为， （3）连接，由为正四棱柱，且，分别为，的中点，知：为菱形， 所以，又面，面，则面， 所以直线与平面之间的距离，即为到面的距离. 19．(1) 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $