精品解析：广东惠州市大亚湾区博雅培文实验学校2026-2027学年高二上学期第一次阶段性测试数学试题

博雅培文实验学校2026—2027学年度第一学期第一次阶段性测试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟　　试卷满分：150分　　命题人：宋梦婷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合要求的. 1. 在长方体 中，， ，M 为 的中点，则 （　　） A. B. C. D. 2. 已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若{}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间基底的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知直线 经过点 与 ，若的倾斜角为，则实数 m 的值为（　　） A. B. 2 C. 或 2 D. 不存在 5. 已知空间向量满足，且，则=（　　） A. B. C. 2 D. 6. 在棱长为2的正四面体中，、分别为棱、的中点，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知空间四点 ，，，，若 A、B、C、D 四点共面，则实数 m =（　　） A. −2 B. −1 C. 0 D. 2 8. 在空间直角坐标系 中，已知点 ,点 P 是坐标平面内的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9. 已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 是锐角三角形 D. 的面积为 10. 已知空间向量，，下列结论正确的是（　　） A. B. 夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则实数 D. 上的投影向量为 11. 在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为2，则下列说法正确的是（　　） A. 直线平面 B. 点在线段上运动，则的取值范围是 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线 的斜率为，直线 经过点、点 ，若，则实数 __________. 13. 在空间直角坐标系中，点 ，则点 A 关于 的对称点坐标为 __________. 14. 向量的概念可以按如下方式推广到 n 维中：对于 n 维向量 = (a₁， a₂， …， aₙ)、= (b₁， b₂， …， bₙ)，规定= (a₁ + b₁， a₂ + b₂， …， aₙ + bₙ)，λ= (λa₁， λa₂， …， λaₙ)，= a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ，|| =，且 n 维空间中 A(a₁， a₂， …， aₙ)、B(b₁， b₂， …， bₙ)，两点间的距离 |AB| = .按上述规定，已知四维空间中点 与点 ，其中 x > 0，y > 0，且，则 |AB| 的最小值为 __________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，平面 ，点 为棱 的中点. （1）证明：直线 平面 ； （2）求直线 与平面 夹角的正弦值. 16. （1）已知直线经过点、点，直线经过点、点. ①求直线的倾斜角； ②若，求的值. （2）已知点，直线经过点，且与以、为端点的线段有公共点，求直线的斜率的取值范围. 17. 如图，已知 是圆锥 的底面圆周上的三点，且 ， ，均为边长为 的等边三角形. （1）证明：平面 ⊥ 平面 ； （2）求平面 和平面 所成角的余弦值. 18. 在斜平行六面体中（ 不垂直于底面），底面 是菱形，且侧棱与 ，所成的角相等.设，，，已知 为 与 的交点，为对角线上一点，且 . （1）用，，表示与； （2）证明：、、 三点共线； （3）证明：平面. 19. 如图，在某种试验装置中，两个正方形框架与的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别沿对角线 和移动，且始终保持. （1）用含 a 的式子表示线段的长，并求的最小值； （2）是否存在实数 a，使得二面角为直二面角？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （3）记三棱锥的体积为. ① 求的最大值； ② 当 取得最大值时，求点 A 到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博雅培文实验学校2026—2027学年度第一学期第一次阶段性测试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟　　试卷满分：150分　　命题人：宋梦婷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合要求的. 1. 在长方体 中，， ，M 为 的中点，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据向量运算法则， 2. 已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【详解】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 3. 若{}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间基底的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过判断各组向量是否共面，选出不能构成空间基底的向量组 【详解】空间基底要求三个向量不共面，已知为空间基底，故线性无关、不共面， 对A选项：设存在实数使得， 整理得，由不共面得方程组：， 解得仅存在零解，故三向量不共面，可构成基底，A选项不符合题意； 对B选项：设存在实数使得， 整理得，由不共面得方程组：， 解得仅存在零解，故三向量不共面，可构成基底，B选项不符合题意； 对C选项：设存在实数使得， 整理得，由不共面得方程组：， 解得仅存在零解，故三向量不共面，可构成基底，C选项不符合题意；； 对D选项：存在不全为的实数，满足， 即可由和线性表示，三向量共面，不能构成空间基底，D选项符合题意. 4. 已知直线 经过点 与 ，若的倾斜角为，则实数 m 的值为（　　） A. B. 2 C. 或 2 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【详解】由直线的倾斜角为可知直线斜率； 根据两点间的斜率公式计算可得 ， 所以 ， 解得，经检验，符合题意. 5. 已知空间向量满足，且，则=（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知：， 代入已知条件，，得： ， 故. 6. 在棱长为2的正四面体中，、分别为棱、的中点，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，可证，则为异面直线 EF 与 AG 所成角，结合余弦定理即可求解. 【详解】如图所示：取中点，连接、， 因为、分别为棱 、的中点，所以， 因为、分别为棱 、的中点，所以且， 所以，为异面直线与所成角， 由正四面体可得：， . 7. 已知空间四点 ，，，，若 A、B、C、D 四点共面，则实数 m =（　　） A. −2 B. −1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】若 A、B、C、D 四点共面，则向量共面，即存在实数，满足. 由，，，，得， ，， 所以. 列方程组，解得. 因此实数. 8. 在空间直角坐标系 中，已知点 ,点 P 是坐标平面内的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对称求出，根据三点共线求出最小值即可. 【详解】 因为点在平面内，设， 关于平面的对称点为、而，易知线段的中点恰好是， 即、、三点共线， 故，又点在线段上，故， 当在线段上时等号成立； 要使总和最小需取最小值0，即与重合， 此时最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9. 已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 是锐角三角形 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用空间向量的坐标表示求出对应向量，再应用向量数量积、模长的坐标运算及三角形面积公式依次判断各项的正误. 【详解】根据已知得，，，，，， A：，错误； B：，正确； C：由，，，显然， 所以是以为直角的直角三角形，并非锐角三角形，错误； D：由，，则， 所以中，则，正确. 10. 已知空间向量，，下列结论正确的是（　　） A. B. 夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则实数 D. 上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用空间向量数量积、模长的坐标运算判断A、B，由直线与平面平行的坐标表示判断C，由投影向量的求法求向量在上的投影向量判断D. 【详解】A：由，则，错误； B：由，， 所以，正确； C：因为直线，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即，得，正确； D：向量在上的投影向量为，正确. 11. 在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为2，则下列说法正确的是（　　） A. 直线平面 B. 点在线段上运动，则的取值范围是 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的大小为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理证明即可；对于B，建立空间直角坐标系，根据数量积的坐标表示求出，结合一次函数的性质求解即可；对于C，求出平面的法向量，根据点到平面距离公式的向量求法求解即可；对于D，根据线面角的定义结合等腰直角三角形求解即可. 【详解】选项A：正三棱柱中，平面，平面， 所以平面，A正确. 选项B：以点为原点，以，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 设，，则，， 所以，故的取值范围是，B错误. 选项C：，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 故点到平面的距离，C正确. 选项D：在底面的投影为，故即为直线与平面所成的角. 在中，，则为等腰直角三角形，即. 故直线与平面所成角的大小为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线 的斜率为，直线 经过点、点 ，若，则实数 __________. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线  的斜率为，斜率存在， 故，，，. 13. 在空间直角坐标系中，点 ，则点 A 关于 的对称点坐标为 __________. 【答案】 【解析】 【详解】设点关于点的对称点为，由对称的性质可知，点为线段的中点. 根据空间中点坐标公式：若两点坐标为，，则两点连线的中点坐标为. 将，代入得方程组：，解得. 因此点关于点的对称点为. 14. 向量的概念可以按如下方式推广到 n 维中：对于 n 维向量 = (a₁， a₂， …， aₙ)、= (b₁， b₂， …， bₙ)，规定= (a₁ + b₁， a₂ + b₂， …， aₙ + bₙ)，λ= (λa₁， λa₂， …， λaₙ)，= a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ，|| =，且 n 维空间中 A(a₁， a₂， …， aₙ)、B(b₁， b₂， …， bₙ)，两点间的距离 |AB| = .按上述规定，已知四维空间中点 与点 ，其中 x > 0，y > 0，且，则 |AB| 的最小值为 __________. 【答案】 【解析】 【分析】由维向量的坐标运算表示出,再由条件作代换,结合基本不等式求最小值. 【详解】由题设的坐标运算得. 由得,即. 因为,且,所以.令,则. 于是,当且仅当时取等号,此时,满足条件. 的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，平面 ，点 为棱 的中点. （1）证明：直线 平面 ； （2）求直线 与平面 夹角的正弦值. 【答案】（1）如图，连接，取交点为，连接. 因底面是矩形，则是中点，又是中点，则. 又平面，平面，则平面 ； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，取中点为，连接，通过证明可完成证明； （2）如图以为原点建立空间直角坐标系，求出平面法向量，结合空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因底面是矩形，平面 ，则两两垂直. 如下图建立以为原点的空间直角坐标系， 则， . 设平面法向量为，则， 取，得，设直线  与平面 夹角为， 则. 16. （1）已知直线经过点、点，直线经过点、点. ①求直线的倾斜角； ②若，求的值. （2）已知点，直线经过点，且与以、为端点的线段有公共点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】（1）①由两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率的对应关系得倾斜角； ②根据两平行直线斜率相等列方程求解，验证排除重合情况得值； （2）计算直线、的斜率，结合几何图形确定直线斜率的取值范围. 【详解】（1）①设直线的斜率为，倾斜角为，. 由两点斜率公式得：，即. 又，所以. ②设直线的斜率为，由，得. 由两点斜率公式得：. 令，整理得，解得. 直线的方程为， 代入得，代入方程右侧得， 故与不重合，符合条件. （2）设直线的斜率为，，. 当直线绕点旋转时，若与线段有公共点，则斜率介于与之间， 故的取值范围为. 17. 如图，已知 是圆锥 的底面圆周上的三点，且 ， ，均为边长为 的等边三角形. （1）证明：平面 ⊥ 平面 ； （2）求平面 和平面 所成角的余弦值. 【答案】（1）易得为外心，垂心，重心，延长与相交于，连接. 则四点共面，，为中点.又为等边三角形，则. 因平面，，则平面， 又平面，则平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）延长与相交于，通过证明，可得平面，据此可完成证明； （2）如图以为原点，过点且与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，利用空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为原点，过点且与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因边长为，为重心，则.又由题可得平面，平面， 则. 则，. 设平面法向量为，则， 取，得，又易得平面法向量为， 设平面 和平面 所成角为，则 18. 在斜平行六面体中（ 不垂直于底面），底面 是菱形，且侧棱与 ，所成的角相等.设，，，已知 为 与 的交点，为对角线上一点，且 . （1）用，，表示与； （2）证明：、、 三点共线； （3）证明：平面. 【答案】（1）， （2）如图所示； 由（1）知， . ， , ，，、、 三点共线. （3）如图所示； 连接，，底面 是菱形，，， 又侧棱与 ，所成的角相等.，，即 ， ，， ，， 又平面，平面. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加减法计算. （2）证明. （3）先证明，再由向量法证明，最后证明平面. 【小问1详解】 如图所示； 点为 与 的交点，点为的中点， ， ， . 由，， . 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 19. 如图，在某种试验装置中，两个正方形框架与的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别沿对角线 和移动，且始终保持. （1）用含 a 的式子表示线段的长，并求的最小值； （2）是否存在实数 a，使得二面角为直二面角？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （3）记三棱锥的体积为. ① 求的最大值； ② 当 取得最大值时，求点 A 到平面的距离. 【答案】（1），. （2）不存在实数使二面角为直二面角； 理由如下：取，， 设平面的一个法向量为， 则，即：，令，解得：，， 所以平面法向量为， 取，，设平面的一个法向量为， 则，即：，令，解得：，， 所以平面法向量为， 若二面角为直二面角，则，即，， 整理化简得：，因为，所以该方程无解， 即：不存在实数使二面角为直二面角. （3）①；②. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用参数表示的坐标，利用两点间距离公式求解，再利用二次函数性质求最小值即可. （2）分别求出法向量，没有能使法向量数量积为0，即可求得无解. （3）利用等体积法和点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 因为两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直， 所以互相垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，且，所以，， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 则. 即， 当且仅当时取等号，且，符合题意.此时的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①，到平面的距离为； 的面积为，  . ，对称轴为：， 所以当时，取最大值. ②当取最大值即：时，，， 此时平面的一个法向量为， 由点到平面距离公式得：到平面的距离为： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $