专题02 期中复习压轴36类题型归纳（考试范围：第10章 数的开方～第12章 全等三角形）（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

专题02 期中复习压轴36类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第10章 数的开方~第12章 全等三角形） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【选填压轴】 3 【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 3 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 4 【题型3 幂的逆用化简求值】 6 【题型4 利用幂运算比较大小】 8 【题型5 与字母取值无关求参】 10 【题型6 乘法公式整体代入】 12 【题型7 多项式运算恒等求参】 14 【题型8 整式除法余式求参】 16 【题型9 添项拆项因式分解】 19 【题型10 分解因式结合几何判断】 21 【题型11 因式分解与图形面积】 23 【题型12 全等三角形动点多情况分类讨论】 27 【题型13 角平分线性质求线段长、求面积】 32 【题型14 垂直平分线求三角形周长】 36 【题型15 等腰三角形边角多解分类问题】 40 【题型16 含30°直角三角形线段计算】 42 【题型17 与等腰三角形有关的多结论问题】 46 【解答压轴】 53 【题型18 算术平方根非负性综合应用】 53 【题型19 实数运算新定义综合】 55 【题型20 幂的末位数字规律】 58 【题型21 幂的综合化简证明】 62 【题型22 乘法公式求最值应用】 65 【题型23 多项式乘法恒等求参】 70 【题型24 乘法公式整体代换求值】 74 【题型25 整式运算规律探究】 77 【题型26 乘法公式与几何图形面积】 82 【题型27 因式分解判断三角形形状】 89 【题型28 因式分解的应用】 94 【题型29 全等三角形证明与线段等量推导】 101 【题型30 角平分线性质与全等综合证明】 114 【题型31 截长补短证明线段和差关系】 127 【题型32 等边三角形手拉手模型证明】 135 【题型33 垂直平分线与等腰三角形综合】 144 【题型34 与等腰三角形有关的动点问题】 156 【题型35 格点图中画等腰三角形】 162 【题型36 多步连环全等推理证明】 167 【选填压轴】 【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和绝对值的化简，利用二次根式被开方数的非负性确定的取值范围，化简绝对值后整理等式，再变形得到所求代数式的值，运用整体代入的思想求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，即， ， ， 将其代入原等式得：， 整理得， 两边平方得：， 移项得：， 故答案为． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的非负数的性质及代数式求值，利用非负数的性质，确定a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴且， ∴，， ∴ 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 【题型3 幂的逆用化简求值】 【例3】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为_____． 【答案】2 【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解． 【详解】∵，3不是10000的公约数， ∴ 则b=0 ∴ ∵整数满足 ∴符合题意 ∴a=-2，b=0，c=3，d=4 ∴=-8+0+6+4=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知实数a，b，c满足，，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则求出与的值，再将所求代数式变形，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ； ，，， ，， ，， 原式. 【变式3-3】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型4 利用幂运算比较大小】 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）比较大小：______．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，有理数大小比较，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 利用幂的乘方的法则把指数转为相等，再比较底数即可． 【详解】解：∵，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小，可得（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是转化为同底数幂． 根据幂的乘方，转化为同底数幂即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式4-3】比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、有理数的大小比较，将和化成同指数幂的形式，再比较底数的大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故选：B． 【题型5 与字母取值无关求参】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）若的积不含项，则___________． 【答案】 【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a． 【详解】解： = = ∵的积不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 【题型6 乘法公式整体代入】 【例6】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 通过设，将原式转化为关于和的等式，利用已知平方和求值． 【详解】∵，， 设，则，， 将两式相加得：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 【变式6-1】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 【答案】A 【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17）， ∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11 ∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0， ∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0 ∴a-3=0，b+1=0，c-1=0， ∴a+b-c=3-1-1=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出的值，准确进行计算． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若实数满足，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】利用换元法设，则由已知可得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26七年级下·重庆渝中·阶段检测）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为____． 【答案】 【分析】首先根据题意得出且，从而进一步得出，由此进一步求出的值，最后再通过将所求式子分解为进一步计算即可. 【详解】∵，， ∴，， ∵，而， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键. 【题型7 多项式运算恒等求参】 【例7】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式运算与整式恒成立的性质，先将等式左边按多项式乘多项式法则展开，对比等式两边对应项系数得到m、n关于s、t的表达式，代入整理，根据无论t为何值结果为定值，得到t的系数为0，求出s的值，即可计算得到定值 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵无论为何值，的值始终为定值， ∴ ∴ ∴ 【变式7-1】若对任意的x恒成立，则________． 【答案】8 【分析】把等式两边都展开按x降幂排列即可求解； 【详解】右边= ∴对任意的x恒成立 ∴ 解得 ∴8 故答案为8 【点睛】本题考查整式乘法运算中的恒成立问题，把等式两边化成形式一致是解题的关键. 【变式7-2】（25-26七年级上·上海青浦·期末）如果（其中a为常数）成立，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察等式不难发现，然后对该等式两边同时平方，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 解得：； 故答案为． 【变式7-3】已知等式对一切x都成立，a、b、c为整数．且．则的最小值是____________． 【答案】14 【分析】根据题意得到关于a、b、c的方程组，消去c后，假设，且均为整数利用因式分解得到二元一次方程组，求解即可找到最小值． 【详解】解：∵可变为，且对一切x都成立， ∴，消去c得， 即， 又∵， ∴a，b不能同时为负， 不妨设， 则或或， 解得（舍去）或或， 那么，． 【点睛】本题主要考查恒成立问题、因式分解、解二元一次方程组和化简绝对值，解题的关键是因式分解的使用和得到二元一次方程组． 【题型8 整式除法余式求参】 【例8】（2025·吉林·一模）若被除后余3，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据被除后余3，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得的值． 【详解】解：∵被除后余3， ∴可被整除， ∴为的一个因式， ∴当，即时，， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期中）我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（     ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【变式8-2】已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式， 先确定的表达式，再结合余式的表达式，根据多项式除法的余式性质求解. 【详解】解：设， 则. 设，由题意可知为一次多项式，设余式为，则， 则有，， 即， 解得， 所以余式是. 故选：D. 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为__________，余式为__________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 【题型9 添项拆项因式分解】 【例9】（2025·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【答案】 【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想． 【变式9-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读并解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”分解因式：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前面知识铺垫，得到，解答即可，本题考查了配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选B． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．例如，由于，所以是的一个因式．于是．则______． 【答案】 【分析】将添减单项式后分解因式即可得到答案． 【详解】解： = = = 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的分解因式，正确添减单项式利用分组分解法分解因式是解题的关键． 【变式9-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 【题型10 分解因式结合几何判断】 【例10】（25-26八年级下·山西·阶段检测）如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形是长方形列面积式子，又得到该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，由此列出面积等式. 【详解】∵四边形是一个长方形， ∴该长方形的面积=， ∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成， ∴该图形的面积=， ∴=， 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键. 【变式10-1】（25-26八年级下·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 _____． 【答案】 【分析】根据长方形的面积=长×宽，长方形的面积=1个正方形的面积+2个矩形的面积，通过两种计算方法，得到代数恒等式m2+2mn=m（m+2n），得到等式． 【详解】解：∵长方形ABCD的面积=m2+2mn， 长方形ABCD的面积=m（m+2n）， ∴m2+2mn=m（m+2n）． 故答案为：m2+2mn=m（m+2n）． 【点睛】本题考查因式分解的应用，用两种计算方法计算长方形的面积从而得到等式． 【变式10-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 【答案】 【分析】根据所给的图形直接求出大长方形的面积，再利用1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和等于大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和为：； ∴． 【变式10-3】（25-26六年级下·山东济南·期末）利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形，分析对应的边长，即可求解． 【详解】①：由图③可知，，故①是正确的，符合题意； ②：因为，由图③可知，，所以，故②是正确的，符合题意； ③：由题意可知图③是由个长为，宽为的小矩形和个边长为的小正方形构成的个边长为的大正方形，所以，即， 故③是正确的，符合题意； ④：∵由③得，即， 若成立， 那么，即， ∴， ∵与矛盾， ∴④是错误的，不符合题意； ∴符合题意的共有个． 【题型11 因式分解与图形面积】 【例11】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 【变式11-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和．若知道下列条件，可以求值的是（   ） A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长 C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了整式运算和因式分解的应用，正确理解图形提供的信息是解题的关键； 设阴影部分的长分别为x、y，如图，则，即，然后分别表示出阴影部分的面积和，再进行比较即可得到答案. 【详解】解：设阴影部分的长分别为x、y，如图， 则，即， ∴图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为， ∴， ∵， ∴ ； ∴即为图1与图2阴影部分的面积差； 故选：D. 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 【答案】 或． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为： （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）将12张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为 ___． 【答案】4 【分析】用a，b分别表示出大长方形的长和宽，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：AD=BC=8b+a，AB=CD=2b+a， ∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴非阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴， 整理得：，即， ∴， 则小长方形纸片的长a与宽b的比值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，以及因式分解的应用，解题的关键是弄清题意，列出长方形面积的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则． 【题型12 全等三角形动点多情况分类讨论】 【例12】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 【变式12-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】设运动的时间为，则，，则，分两种情况：当时，，，当时，，，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，，则， ①当时，，， ，， 解得，， ②当时，，， ，， 解得：，， 答案：或． 【变式12-2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中, 为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【答案】8或10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，分点E在上和在延长线上两种情况讨论． 由得到对应边，然后分两种情况：①当点E在延长线上与②点E在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴．又， ∴． ∵， ∴． ∴当时，， 分两种情况： 情况一： 当点E在延长线上时，     ，  ． 情况二： 点E在延长线上时， ， ∴  ． 故答案为：或． 【变式12-3】（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【答案】 或或 【分析】(1)因为动点从点出发沿路径向终点运动，所以当点在上时，点运动轨迹应表示为，即即可； (2) 要使与全等，则需分三种情况进行讨论：①当点在上，点在上时；②当点与点重合时；③当点与点重合时，都利用建立方程，求解即可． 【详解】（1）如图， 当点在上时，点运动轨迹应表示为， 又因为点的速度，运动时间为， 所以； （2）①如图1，当点在上，点在上时，． ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． ②如图2，当点与点重合时，， 则， ∴． 解得． ③如图3，当点与点重合时，， ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为3或5或12． 【题型13 角平分线性质求线段长、求面积】 【例13】（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．若，，，则的长为________． 【答案】2 【分析】过点E作于点G，于点H，由角平分线的性质得到，可证明平分，则可推出；根据，推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G，于点H， ∵平分，且，， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式13-1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当、、三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式13-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式13-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 【题型14 垂直平分线求三角形周长】 【例14】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 【变式14-1】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键；连接，当三点共线时，的周长最小，此时，最小值为. 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小，当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴的周长最小值为：. 故答案为：. 【变式14-2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【变式14-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 【答案】B 【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长． 【详解】解：连接BD、DC， ∵AD平分∠ BAC，， ∴DE=DF， ∵AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF=9， ∵DG垂直平分BC， ∴BD=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE=CF， 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形． 【题型15 等腰三角形边角多解分类问题】 【例15】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴分2种情况： ①当时，则， ∴， ∴底边长为； ②当时，则， ∴， ∴底边长为； 综上：等腰三角形的底边长为或. 【变式15-1】（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则其他两边长分别为__________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，再验证是否能组成三角形即可． 【详解】解：当底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为，，故能构成三角形； 若腰长为，则底边长为：，另一个腰长为，，故不能构成三角形 综上：其他两边长分别为． 【变式15-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）等腰三角形的一个角为，则此等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质，已知一个角为，它可能是顶角或底角，因此需要分2种情况讨论顶角的可能值． 【详解】解：等腰三角形的一个角为， 当这个角是顶角时，则此等腰三角形的顶角为； 当这个角是底角时，则此等腰三角形的顶角为； 故答案为：或． 【变式15-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论点的位置和的等腰情况，利用三角形内角和定理计算角度． 【详解】在等腰中，，，则，点在直线上（不与、重合），为等腰三角形，分情况讨论： （1）当时， ①点在线段上，， 由得， 故； ②点在线段延长线上， ，由得， 故； （2）当时，点在线段上， ，由得， 故； 综上，为或或 ． 故答案是：或或． 【题型16 含30°直角三角形线段计算】 【例16】（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】通过作辅助线（高线），利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线这一性质，构造出直角三角形，求出的长，进而得到的长；最后在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半来求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，，， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，点E是的中点， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式16-1】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】根据直角三角形性质求出长及度数，用含的代数式表示和，分和两种情况，利用含角的直角三角形性质列方程求解． 【详解】解：，，， ，， 由题意得：，， ， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， 即， 解得； ②当时， ， ， ，即， 解得； 综上所述，当或时，是直角三角形． 【变式16-2】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式16-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长和交于点构造等边三角形，设，利用题目所给条件推出，从而由可得，从而得出，设，在中利用所对的边是斜边的一半用表示出，由等量关系解出的值即可． 【详解】解：如图，延长和交于点， ， ， 是等边三角形， ， 设，则， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ，解得， ． 【题型17 与等腰三角形有关的多结论问题】 【例17】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义及可得出，，由此可得，，据此可判断①；根据角平分线的定义得出，再由三角形内角和定理可判断③；根据角平分线的性质即可判断④；连接，根据可判断⑤；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ，， ， ，， ，， ，， ，故①正确； 和的平分线相交于点G， ∴， ∵， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离等于点G到的距离，点G到的距离等于点G到的距离 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，且， ∴点G到各边的距离都为的长， ∵，， ，故⑤正确； 根据现有条件无法得到，故②错误； 综上所述，正确的有①④⑤，共3个． 【变式17-1】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先证明，则可得为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边大于直角边，即可判断①；延长交于，根据三角形内角和定理证明，即可判断②；通过三角形的外角性质即可判断③；最后根据等腰三角形的判定证明④． 【详解】解：如图，延长交于， ∵分别为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵在中，， ∴，故①错误； ， ， ， ， ∴， ∴，故②正确； 由三角形外角性质可得，，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有2个． 【变式17-2】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，可知，连接，，，    ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由折叠的性质可得垂直平分，，，，，，结合等边三角形的性质即可判断①正确；求出，从而得出，即可判断②正确；在上取点，使得，连接，求出，即可判断③正确；由，即可判断④错误；表示出，，即可判断⑤错误． 【详解】解：由题意可得，， 由折叠的性质可得垂直平分，，，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，在上取点，使得，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ，故④错误； ∵为等边三角形，，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 【解答压轴】 【题型18 算术平方根非负性综合应用】 【例18】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【变式18-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量． 【变式18-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数、几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0是解题的关键． 先确定二次根式中被开方数的取值范围，再整理原式，利用非负数的和为0时，每个非负数都为 0的性质求出的值，最后代入计算式子的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵由题意得且， ∴且， ∵， ∴且， 故且 解得，， ∴． 【变式18-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 【题型19 实数运算新定义综合】 【例19】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或 【分析】（1）根据“齐整数组”的定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“齐整数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“齐整数组”； ∵，则不是整数， ∴不是“齐整数组”； （2）解：∵为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴或， ∴或， 解得：或， 即的值为或． 【变式19-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 【变式19-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 【变式19-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或12． 【分析】（1）根据“和谐数组”定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“和谐数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，则是“和谐数组”； ，不是整数，则不是“和谐数组”； （2）解：因为为“和谐数组”， 则， 若，即，解得，，符合题意； 若，即，解得，，符合题意； 所以或12． 【题型20 幂的末位数字规律】 【例20】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现： …… (1)启航小组提出的问题是：试求的值，请你合理推算； (2)展翅小组提出的问题是：判断的值的末位数是几，请你写出推断过程； (3)创新小组提出的问题是：计算，请直接写出结果______； (4)若，求的值． 【答案】(1)63 (2)末位数字是3，推断过程： 由题意知： ， 从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……， 可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环， ∵， ∴的末位数字是4， ∴的末位数字是3； (3) (4)1 【分析】本题考查了多项式乘法规律的探究．解题的关键与难点在于理解运算过程并推导出一般性规律． （1）由题意可知，然后计算求解即可； （2）由题意知，原式，从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6……，可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环，，可知的末位数字是4，进而可知的末位数字； （3）可写成的形式，然后进行计算即可； （4）由已知得到，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）略 （3）解： ； 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式20-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）确定的末位数是几，简单说明理由 【答案】7 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用与积的乘方的逆用，掌握法则是关键；把三个幂化为指数为99的幂，再逆用积的乘方，即可求解． 【详解】解： ； 由于的个位数字为1，其任何次方后个位数字仍为1，与847的积的个位数字为7； 故的末位数是7． 【变式20-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)可以发现一个速算法则，请填写： ①末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的________，再在末尾接着写上________； ②设一个两位数的十位数字是，个位数字是5，用含的代数式表示上述速算法则：________________________； (2)请你继续深入研究，回答下列问题： ①发现末位数字是5的三位数的平方也有类似的速算法则，请直接写出：________； ②设一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是5，用含，的代数式表示上述速算法则：________________________．请用所学的数学知识说明这个速算法则成立的理由． 【答案】(1)①乘积，25，②，， (2)①87025， ②，， 证明： ． 故答案为：，． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，弄清题意，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）①根据题意列式求解即可；②根据题意列式求解即可； （2）①仿照（1）结论，用计算；②根据（2）①形式列式计算并证明结论成立． 【详解】（1）解：①末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾接着写上25； 故答案为：乘积，25． ②设一个两位数的十位数字是，个位数字是5，用含的代数式表示上述速算法则： 故答案为：，． （2）解：①； 故答案为：87025． ②略． 【变式20-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，， （1）猜想，当n为正整数时，； （2）判断的个位数字． 【答案】（1）；（2）5． 【分析】（1）观察当 时，均满足，代入 也满足，即猜想成立； （2）根据猜想得出的规律化简整式，个位数相减的绝对值即是原式的个位数字． 【详解】（1）当 ， 当 ， 故提出猜想，当n为正整数时，． 将 代入原式中 ∴猜想成立，当n为正整数时，． （2） ∵ ， ， ， ，35=241，……，个位数按照3,9,7,1依次循环 ∴的个位数字是1 ∵ ， ， ， ，25=32，……，个位数按照2,4,8,6依次循环 ∴的个位数字是6 ∴个位数字 ∴原式的个位数字是5． 【点睛】本题考查了猜想归纳能力以及整式的运算，利用猜想的规律化简整式是解题的关键． 【题型21 幂的综合化简证明】 【例21】（25-26八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，已知，化简后，求代数式的值． 【答案】， 【分析】先按照单项式除以单项式法则，转化为同底数幂的除法，后逆用同底数幂的除法，幂的乘方法则计算即可． 【详解】 = =； 因为 = =， ， 所以 = = =． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，逆用同底数幂的除法，幂的乘方运算，熟练掌握运算公式和运算法则是解题的关键． 【变式21-1】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）先化简，再求值： (1)已知，其中，． (2)已知，，，都是正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将式子化简为，再将，代入该式子即可求解 （2）利用同底数幂的乘方运算法则将式子化为，再将，代入该式子即可求解 【详解】（1）解： ∵，， ∴原式 （2）解： ∵，， ∴原式 【点睛】本题考查了整式加减运算的化简求值和幂的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解决问题的关键 【变式21-2】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）求证：N＝能被13整除． 【答案】 证明： ， ∵是整数， ∴N＝能被13整除． 【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则将原式变形为，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项等知识，难度适中，熟练掌握运算性质与法则是解题的关键． 【变式21-3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【答案】(1)① 3，5；② (2) 解：设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． (3) 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． （1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，5， ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）略 （3）略 【题型22 乘法公式求最值应用】 【例22】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即x=-2时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则 ； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1)当时，的最小值为． (2)． (3)的最小值为． 【分析】（1）先对二次三项式配方，利用完全平方式的非负性求最小值即可； （2）将等式左边分组配方为两个完全平方式的和，结合非负数的性质求解x、y的值，最后再求即可； （3）先用含x的代数式表示y，代入后配方，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴当时，取得最小值0， ∴ ，即的最小值为． （2）解：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值0， ∴ ，即的最小值为． 【变式22-1】（26-27七年级上·上海·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式22-2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解-分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： （3）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18． 【变式22-3】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值为； (3)12 【分析】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解． （1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得，，， ∴． 【题型23 多项式乘法恒等求参】 【例23】（25-26七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【变式23-1】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知无论取何值，等式（）都恒成立， (1)求a+b的值; (2)①当时，求代数式值； ②你能用含n的代数式来表示 吗？若表示的数是正整数，求整数n的值； (3)求的最大值，写出求解过程． 【答案】(1)a+b=2 (2)①-6；②，n=1 (3)0 【分析】（1）根据多项式乘多项式的计算方法得到（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2+2x+n（n≤1），进而求出答案； （2）①根据分式加减法的计算方法进行计算即可； ②由（1）得a+b=2，ab=n，根据分式加减法的计算方法进行计算即可； （3）由（1）得a+b=2，ab=n，原式利用完全平方公式整理成ab[(a+b) 2-2ab] -2=n(4−2n)−2=−2(n−1)2，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2+2x+n（n≤1）都恒成立， ∴a+b=2， 答：a+b的值为2； （2）解：①当n=-1时，即ab=-1，而a+b=2， ∴， 答：代数式值为-6； ②由（1）得a+b=2，ab=n， ∴， ∵是正整数，n是整数， ∴n=1； （3）解：由（1）得a+b=2，ab=n， ∴a3b+ab3-2=ab（a2+b2）-2 =ab[(a+b) 2-2ab] -2 ≤0， 所以a3b+ab3-2的最大值为0． 【点睛】本题考查了分式的求值，多项式乘多项式，完全平方公式，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提． 【变式23-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2) 如图： (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 【变式23-3】（2026·河北邢台·二模）已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 【答案】(1) (2) 恒成立 【分析】（1）将已知的和代入代数式，化简整理即可得到结果； （2）将代入，配方后利用平方数的非负性得到的取值范围，即可判断结论． 【详解】（1）解：已知，，， 代入得：； （2）解：将代入得：， 配方得： ， ∵任意实数的平方都大于等于0，即， ∴， 又∵， ∴恒成立． 【题型24 乘法公式整体代换求值】 【例24】（25-26八年级上·云南文山·期末）阅读材料： 在对进行平方运算时，我们发现， ， 并且 这为我们计算形如（n为正整数）的代数式的值提供了方便． (1)若，求代数式的值； (2)结合多项式乘多项式相关知识及以上内容，在（1）的条件下，试求出的值． 【答案】(1)的值是3 (2)的值是18 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式法则，理解材料中的计算方法是解题关键． （1）仿照材料，利用完全平方公式求解即可； （2）由（1）可知，，，结合多项式乘多项式法则，得出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的值是3； （2）解：由（1）可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是18． 【变式24-1】（2026·吉林长春·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式24-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的运算，掌握多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式是解题的关键； （1）先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再将，代入进行计算即可； （2）先根据完全平方公式将变形为，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ∴ ． （2）解：， ∴ ， ∴． 【变式24-3】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （）先化简代数式，再整体代入计算即可求解； （）把代数式转化为，再整体代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【题型25 整式运算规律探究】 【例25】（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一， 它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”． 帕斯卡是在1654年发现这一规律的， 比我国迟了近600年． 如图， 是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和）， 它把二项式乘方展开式系数图形化， 它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数， 请你仔细观察下列等式中的规律， 并利用杨辉三角解决下列问题． (1)【初步感知】按以上规则，展开式共有 ___________项，第三项（字母部分为）的系数是 ___________； (2)【拓展推广】利用杨辉三角，写出的各项的系数 ___________； (3)【迁移应用】我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】(1)5，6； (2)1，5，10，10，5，1 (3) 【分析】（1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】（1）解：观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6； （2）解：根据杨辉三角的规律，的各项的系数为1，5，10，10，5，1； （3）解：由题意知， ． 【变式25-1】（25-26七年级下·北京·期末）我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式，立方差公式． (1)因式分解：__________； (2)【发现规律】化简：__________； (3)【发现规律】猜想：__________； (4)【新知运用】证明：是6的倍数； (5)【新知运用】证明：对任意正整数n，都是21的倍数． 【答案】(1) (2) (3) (4)证明：由（3）的结论得∵ ，且第二个因式为正整数， ∴ 是6的倍数， ∴ 也是6的倍数； (5)证明： 由（3）的结论得； ∵ ，且第二个因式为正整数， ∴ 是21的倍数， ∴ 原式是21的倍数，即对任意正整数，都是21的倍数； 【分析】（1）逆用立方差公式，解答即可； （2）利用整式的乘法法则计算求解即可； （3）根据前面的计算，解答即可； （4）根据猜想的规律，逆用公式，分解求解即可； （5）逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，结合已证结论，证明即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ； （3）解：， ； ； （4）略 （5）略 【变式25-2】（2026·河南平顶山·三模）观察下列各式： ； ； ； ； ； …… 请根据上述规律，回答下列问题． (1)请直接写出第六个等式______． (2)若两个两位数，十位数字都为m，一个数的个位数字为n，另一个数的个位数字为，则可得到等式______，并证明等式成立． 【答案】(1) (2)，证明如下： 左 右边． 【分析】（1）根据题干作答即可； （2）结合已知各式得到等式，计算等式左边即可． 【详解】（1）解：观察题干各式可知； （2）略． 【变式25-3】（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【答案】（1）0；（2），70，；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式、立方和公式的几何背景及因式分解的应用，熟练掌握代数恒等式的几何意义和公式变形是解题的关键． （1）先将展开，再根据三种纸片的面积确定、、的值，最后计算． （2）先根据图2的面积关系得出代数恒等式，再利用恒等式结合已知条件计算．知识迁移：根据图3正方体的分割，用不同部分的体积和表示正方体体积，得出代数恒等式． （3）先根据已知条件求出的值，再将因式分解，结合前面的结果计算． 【详解】（1） ∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为， ∴，，． ∴， 故答案为：． （2）图2大正方形面积为，也可表示为， ∴等式为． ∵，， ∴ ， ， ， 故答案依次为：；． 知识迁移：， 故答案为：． （3）解：，， ， ， 原式． 【题型26 乘法公式与几何图形面积】 【例26】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； （2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：令， 则， ． （3）解：设， ， ． 则图中阴影部分的面积为 ． 【变式26-1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【答案】(1) (2)平方米 (3)①；② 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）①根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答；②根据（3）①所求代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． （3）解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； ②由（3）①得，， ∴当时，． 【变式26-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）我们在《整式的乘除》中学习了乘法公式①，②． 学习推导公式时，利用数形结合的办法通过图形变换求图形的面积来推导乘法公式：在应用方面，利用乘法公式可以简化整式乘除运算，同时如果你将乘法公式进行合理的变式，可以解决很多数学问题． (1)观察图甲．用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式．则这个代数恒等式是________：观察图乙，分别表示图中阴影部分的面积可以验证恒等式是________．（在横线上选填序号①②）（图甲中用四个全等的长方形围成正方形） (2)利用乘法公式进行简便运算： (3)我们知道乘法公式进行逆运算得到的过程称配方，且当时，例如：因为，所以代数有最小值是1，利用上述公式变化求解问题： ①当m取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ ②已知等腰三角形的两边长分别为a，b（且a，b都是正整数），满足求等腰三角形的周长． 【答案】(1)；① (2) (3)①，最小值是；② 【分析】（1）根据图形阴影部分面积的两种求法可得，根据图形乙分别求出阴影部分面积即可得到； （2）根据公式进行简便运算即可； （3）①根据配方法得到最值即可；②先利用配方得到，再结合等腰三角形的定义求出周长即可． 【详解】（1）解：方法一：图中阴影部分是边长为的正方形， 故阴影部分的面积为； 方法二：图中阴影部分面积为； 则这个代数恒等式是； 观察图乙，阴影部分面积为，移动后面积为， 故可以验证恒等式是①； （2）解： ； （3）解：①， 因为， 所以， 则当，即时，代数式有最小值，最小值是； ② ， 因为， 所以，即， 解得， 设等腰三角形的另外一条边为， 当时，此时等腰三角形的周长， 当时，，不能构成三角形，故不符合题意， 综上，等腰三角形的周长为． 【变式26-3】（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：① ， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 【题型27 因式分解判断三角形形状】 【例27】（25-26八年级上·江苏南通·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知三角形三边长为、、，且满足，，，试判断三角形的形状，并说明理由； (3)若．求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∵，满足三角形三边关系， ∴三边能构成三角形， ∴的形状为等腰三角形； (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式法因式分解是解题的关键： （1）仿照题干方法，进行求解即可； （2）将三个等式相加后，转化为非负数的和为0的形式，求出的值，进行判断即可； （3）把作为一个先利用换元法并展开完全平方式进行计算，再利用因式分解法得到，进而得到或，推出或，即可． 【详解】（1）解：； 故的最小值为； （2）略 （3）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 故． 【变式27-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． 【变式27-2】（25-26八年级上·全国·期末）例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子因式分解即可； （2）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． （3）移项后利用完全平方公式变形，然后根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b和c的值即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式27-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： 1．知识运用： 试用“分组分解法”分解因式：； 2．解决问题： （1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状． （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立． ①当k=1时，求a+c的值 ②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可） 【答案】知识运用：；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）①；②，， 【分析】知识运用：用公式法因式分解，提取公因式，再提取两者的公因式； 解决问题：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形； （2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算； ②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d． 【详解】解：知识运用 原式 ； 解决问题 （1） ， ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形； （2）①当时， ，即， ，即， 若 则， 把它代入，得，解得， 当时，，则， 当时，，则， 综上：的值为6或； ②当， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理由，得， 由，， 若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意， 若，则，，， 综上：，，． 【点睛】本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法． 【题型28 因式分解的应用】 【例28】（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 【变式28-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 【答案】(1)是 (2) 证明：设任意两个连续偶数和（为整数），则 ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3) 【分析】（1）直接根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （2）设这两个连续偶数分别为和，再根据平方差公式，以及“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （3）根据题意得，再根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“鹿鸣美好式”； （2）略； （3）解：由题意得 ． 【变式28-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11． (2) ， 故一定是某一个数的平方． (3)当时，， 因为，所以，则，整理得， 解得：（舍去）， 由图可知，当时，不存在． 【分析】（1）按顺序计算出结果再开方即可； （2）将变形为含的完全平方公式即可解答； （3）根据题意列方程，结合日历的数据特点即可解答． 【详解】（1）解：; （2）略 （3）略 【变式28-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【答案】(1) (2) (3) (3)① ②解：割补后的图形如图： 结论：． 【分析】（1）大长方形的面积既可以用长乘宽计算，也可以等于所有卡片面积之和，所以分别计算两种形式的面积，即可得到因式分解等式； （2）将多项式拆分为对应卡片的面积和，多项式对应2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，先对多项式因式分解得到长和宽，再按长和宽拼接卡片，验证面积相等得到等式； （3）①利用割补前后剩余面积相等，图3剩余面积为，图4长方形面积等于长乘宽，根据割补后的边长写出长和宽，即可得到因式分解结果； ②类似①中方法，裁去上方2个宽为1、长为的长方形，再裁去左侧边长为1的3个正方形，剩余面积为，将剩余不规则图形割补，可得到长为、宽为的长方形，据此得到结论． 【详解】（1）解：图2大长方形的长和宽均为，其面积为，所有卡片的面积和为， 因此，得到因式分解等式：； （2）解：拼接方法：拼出长为、宽为的长方形，共使用2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，即可得到因式分解等式：； （3）解：①图4中，割补后长方形的长为、宽为， 因此，； 【题型29 全等三角形证明与线段等量推导】 【例29】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【答案】(1) (2)证明：设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分． 作于点，作交的延长线于点， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵、、三点共线，、、三点共线， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）由知、、都是等腰三角形，用“等边对等角”把三个内角都用同一个字母表示，再作差求出； （2）先用“等边对等角”求出，结合已知条件得，从而平分；再作、，由角平分线的性质得，依次证明、，把结论转化为角的关系； （3）在上取点使，先证得，再证得，从而把转化为． 【详解】（1）解：设． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，且， ∴． ∴． （2）略 （3）解：在上取一点，使． ∵，，， ∴， ∴，． ∵在上，且， ∴， ∴． ∵在上，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在上，在的延长线上， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵点、、在同一条直线上，且点在、之间， ∴． 【点睛】本题综合考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质：解题关键是反复使用“等边对等角”把已知的角条件转化为相等的角——先得平分，由角平分线的性质得到，再配合证出两组全等三角形，把逐步转化；求时，通过把转化为，再证，最终把所求线段转化为已知线段之和（）． 【变式29-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图2所示，过点A作于点G，交的延长线于点H， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)12 【分析】（1）证明，再证明，即可证明； （2）过点A作于点G，交的延长线于点H，证明，得到；证明，得到；证明，得到，则可证明，进而可证明； （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，，则；证明，得到，，，可证明；设，则，；根据建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，延长到点Q，使得，连接， ∵点N为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵ ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【变式29-2】（26-27八年级上·北京·阶段检测）直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． (1)当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． (2)若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①如图， ②③证明：证明：在上截取，连接，如图， 由②得， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，． 【分析】（1）①按照“作点B关于l的对称点，连接与l交于P”的步骤补全图形； ②利用对称性质和等边三角形性质，结合角的运算推导与的数量关系； ③采用截长补短法，在上截取一段等于，构造等边三角形，再利用全等三角形证明线段关系； （2）类似（1）的思路，结合对称和等边三角形性质，分析转动时角和线段的关系即可． 【详解】（1）解：①略 ②，理由如下： 连接，连接并延长交于点H，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴　， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴； ③略 （2）解：当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，．理由如下： 当直线l与线段平行时，由（1）可得点A，P重合，及不存在，不符合题意； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图， 由（1）得； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图，连接，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【变式29-3】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 线段，，之间的数量关系依然成立，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图，过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴M是的中点． 【分析】（1）证明，得到，然后等量代换即可求解；当图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置时，同上证明即可； （2）证明，得到，然后等量代换即可求解； （3）过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N，证明，得到，然后证明，得到，即可证明M是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型30 角平分线性质与全等综合证明】 【例30】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为C，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （___________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论； (4)【拓展延伸】如图4，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等 (2) (3)， 证明：如图，延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (4)， 证明：如图，作交于点，延长、交于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，为等腰直角三角形， ∴，， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，并结合题中的推理过程解答即可； （2）延长交于点，同（1）可得，由全等三角形的性质可得，，求出，从而可得，再结合的面积为30，求出，最后利用得出； （3）延长交的延长线于点，先证明，得出，再证明，得出，即可得证； （4）作交于点，延长、交于点，先证明平分，再证明，得出，最后证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：由推理过程可得，判定的依据是， 推出的依据是全等三角形的对应边相等； （2）解：如图，延长交于点， 同（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， 证明略； （4）解：， 证明略． 【变式30-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过O作，分别交、于D、E，根据角平分线的性质定理得到，将的面积分成三个小三角形的面积计算即可； （2）先求出，过点分别作、、的垂线，可知是的角平分线，根据三角形外角的性质列等式解方程即可； （3）作，分别交于H，交的延长线于G，连接，证明，得到，，根据角平分线的定义及求出，进而证明，得到，根据角平分线的性质得到，可知，根据角平分线的判定定理得到平分，进而根据三角形内角和以及等边对等角得到，可知，证明，得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，过O作，分别交、于D、E， ∵的三条内角平分线交于点， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分，， ∴， 因此． 过点分别作、、的垂线，分别交、的延长线于Q、P交于O， 根据角平分线性质，三条垂线段长度相等，说明到两边的距离相等，因此是的角平分线， ∵是的外角， ∴； 又平分， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， 代入得： 解得：； （3）解：如图，作，分别交于H，交的延长线于G，连接， 可知， ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式30-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； (2)解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴； (3) 【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，则，先证明，再证明，再进行角度推导求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∴， ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 【变式30-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)① 证明：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． ② 理由：， ， 又，， ， ， ， ， 即． (2)， 【分析】(1) ① 在和中，利用、、，由SAS证全等，得对应角相等，从而证平行． ② 由平行得同位角相等，结合已知角等和边等，由AAS证，得，再由得出数量关系． (2) 分别过点M作于点E，于点F，于点Q，由角平分线性质定理可知，，由，可证，则平分，进而证明，同理，证明，可证明，， 设，则可依此证明，，则由可求． 【详解】（1）略 （2）分别过点M作于点E，于点F，于点Q， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∵于点E，于点F，于点Q， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型31 截长补短证明线段和差关系】 【例31】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 （2），理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式31-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：在上截取，连接．    ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∴． (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式31-2】（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； (2) （1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键． 【变式31-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) ， 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【题型32 等边三角形手拉手模型证明】 【例32】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． 【变式32-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 【变式32-2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【变式32-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． （1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； ①证明，再由全等三角形的性质和三角形外角的性质即可证明结论，②和的边，再过D作于Y，过B作于X，构造，得相等边对应高相等，从而证明两个三角形面积相等， （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，    ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型33 垂直平分线与等腰三角形综合】 【例33】（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 证明：如图2， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质得出，，，再根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解； （2）先证，根据含30度角的直角三角形的性质可得，推出，再证，进而根据证明 ，即可证明； （3）连接，作于点M，于点N，易得，可得，然后证明 ，再证明 ，即可得解． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ； （2）略 （3）解：连接，作于点M，于点N， 是等边三角形， ，， ，， 在和， ， ，， ， ， 平分， 又 ，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 在和， ， ， ， 又 ， ， 是等边三角形， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和， ， ， ， ， ， 又 ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质，第三问难度很大，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式33-1】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知等腰中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 【答案】(1) ①如图1，即为所求作； ②，理由如下： 如图1，连接， B、D关于对称，， 垂直平分， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，平分， ， ， ； (2)或 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②连接，根据轴对称的性质可知垂直平分，，，，再由等边对等角的性质，得到，，然后证明为等边三角形，从而得出，最后利用三线合一的性质以及含30度角的直角三角形的特征，即可得出答案； （2）证明是等腰三角形，进而得出，然后根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图2， 由题意可知，，，， 是等腰三角形， ， ， 当时，此时， ，即； 当时，此时，即； 当时，，即（舍）， 综上可知，α的值为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【变式33-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2) 证明：如图2，设，则， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 和都是等腰三角形， 是的一条“准黄金线”； (3)或或或 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可解答； （2）设，则，分别证明和都是等腰三角形，即可解答； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形， 这个三角形存在“准黄金线”； 故答案为：存在； （2）略 （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ， 是一个“准黄金三角形”， 和都是等腰三角形， ， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ， ， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，，， ， ， ， ， ， ； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，， ， ， ， ， ， ， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 【变式33-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①； ② ， ， ， ， ， 故是的中点，即点D的位置如图所示： (2)①或；② 【分析】（1）①根据题意得，，可得，得出； ②当时，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，结合已知可得为的中点，画出的垂直平分线，则垂足即可点D； （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况，从而根据等腰三角形的性质讨论即可； ②当存在点E落在边上，，即，可得，点E可与点C重合，不与点D重合，即可求解． 【详解】（1）解：①， ， 当点E落在上时，， 可得， ， ，即； ②略 （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况， 当时， ， ， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：（不符合题意）， 当时， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上：或． 故或． ②当存在点E落在边上，， 即， ， ，点E可与点C重合，不与点D重合， ， ， 解得：， 综上所述：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，折叠，三角形内角和定理，平行线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 【题型34 与等腰三角形有关的动点问题】 【例34】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用三角形内角和为求解； （2）①利用三角形内角和为求出的度数，再利用角的加减求解； ②利用三角形内角和为以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ． ②解：由（1）可知和均为等边三角形 ，， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 当时，； 当时，， ； 当时，， ∴， ∵， 在中，，与三角形的内角和为相悖，故不成立 综上，当为等腰三角形时，或． 【变式34-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，，小 (2)的形状可以是等腰三角形，的度数为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，，根据角的和差关系得出，利用三角形外角的性质可求出，根据三角形内角和定理，结合点D从B向C运动时，逐渐变大，即可得出逐渐变小； （2）分、及三种情况，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点D从B向C运动时，逐渐变大， ∴逐渐变小． （2）解：当时， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴点、分别与、重合，不符合题意，此种情况不存在， 当时，则， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：的形状是等腰三角形，的度数为或． 【变式34-2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】(1)①，；②秒 (2)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 【变式34-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）在等边三角形中，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），以为边作等边三角形，使点E和点A在直线的同侧，连接． (1)如图1，求证：； (2)当点D在边上运动时，的度数是否发生变化？若不变，求出它的度数；若变化，说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； (2)的度数不变， (3) 解：当点D为边上的点且不与点A，B重合时，，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）利用“”即可证明； （2）根据可得，即可解答； （3）根据题意可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：的度数不变． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 即的度数始终为； （3）略 【题型35 格点图中画等腰三角形】 【例35】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点作图即可； （2）取格点，连接，取上任意一点（非格点），连接，根据网格的特点可得，与平行，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式35-1】（2022·浙江温州·中考模拟）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 【答案】(1)如图，即为所作， (2)如图，即为所作， 【分析】（1）根据网格特点，并结合全等三角形的判定定理画出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，并结合三角形面积画出图形即可． 【详解】（1）解：由网格特点可得，，， ∵， ∴； （2）解：由网格特点可得，，点到的距离是点到的距离的两倍， ∴为等腰三角形，且． 【变式35-2】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 【变式35-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 【答案】(1)如图①，点P即为所求（答案不唯一）； (2)如图②，即为所求（答案不唯一）； (3)如图③，等腰即为所求（答案不唯一）． 【分析】（1）取格点P，连接，点P的位置即为所求； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点D的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点F的位置． 【详解】（1）解：如图①，取格点D，E，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与的底边都是，高均为4格， ∴； （3）解：点B与点F关于点C所在的水平格线对称，此时， ∴为等腰三角形，即为所求． 【题型36 多步连环全等推理证明】 【例36】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等腰和等腰中，，，，连接､． (1)如图，若，点是的中点，则和的数量关系是 ; (2)如图，若点在的外部，继续猜想并证明和的数量关系； (3)如图在（2）的条件下，当时，连接，点在上，连接，过点作于，若，，，，求的长． 【答案】(1)相等 (2) ． 证明：， ， ， ， 在和中， ， ． (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，结合角的和差得到相等角，再通过证明三角形全等，从而得出角的数量关系； （2）通过角的和差转化得到相等的夹角，结合已知边相等的条件，用证明三角形全等，进而推导角的关系； （3）先利用全等得到角的等量关系，再结合已知角度条件推导特殊角（如），通过翻折构造全等三角形，结合线段的和差与特殊三角形的性质计算线段长度． 【详解】（1）解:． 证明：， ， ， ， 在和中， , ， ． （2）略 （3）解:由（2）知， 又， ， ， ， 即， ， 即， ， 即，， 如图，将沿翻折为，延长交延长线与点，则，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， 在中，， 又， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及角度的等量代换，通过构造全等或利用角度关系推导是解题关键． 【变式36-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) ① ②证明：把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： ， ∴，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②略 （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式36-2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 【变式36-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 【答案】(1)①等腰直角； ②证明：如图，过点E作于W． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． (2) 证明：如图，连接， 由（1）知，为等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠知，，， ，， 又， 在和中， ，， ， ， ． (3) 如图，在线段上取点I，使得，连接， 在与中， ，，， ， ． ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ． 【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得，进而得出结果； ②可证得，，， 进而得出结论； （2）连接，可证得，可得，根据等角对等边即可得出结论； （3）在线段上取点I，使得，连接，可证，得，在证，得，，得出，进一步得出结论． 【详解】（1）①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， 等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 ②略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中复习压轴36类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第10章 数的开方~第12章 全等三角形） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 2 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 2 【题型3 幂的逆用化简求值】 3 【题型4 利用幂运算比较大小】 3 【题型5 与字母取值无关求参】 3 【题型6 乘法公式整体代入】 4 【题型7 多项式运算恒等求参】 4 【题型8 整式除法余式求参】 4 【题型9 添项拆项因式分解】 5 【题型10 分解因式结合几何判断】 6 【题型11 因式分解与图形面积】 7 【题型12 全等三角形动点多情况分类讨论】 8 【题型13 角平分线性质求线段长、求面积】 10 【题型14 垂直平分线求三角形周长】 11 【题型15 等腰三角形边角多解分类问题】 11 【题型16 含30°直角三角形线段计算】 12 【题型17 与等腰三角形有关的多结论问题】 13 【解答压轴】 14 【题型18 算术平方根非负性综合应用】 14 【题型19 实数运算新定义综合】 14 【题型20 幂的末位数字规律】 15 【题型21 幂的综合化简证明】 16 【题型22 乘法公式求最值应用】 17 【题型23 多项式乘法恒等求参】 18 【题型24 乘法公式整体代换求值】 19 【题型25 整式运算规律探究】 20 【题型26 乘法公式与几何图形面积】 22 【题型27 因式分解判断三角形形状】 25 【题型28 因式分解的应用】 26 【题型29 全等三角形证明与线段等量推导】 29 【题型30 角平分线性质与全等综合证明】 31 【题型31 截长补短证明线段和差关系】 34 【题型32 等边三角形手拉手模型证明】 36 【题型33 垂直平分线与等腰三角形综合】 37 【题型34 与等腰三角形有关的动点问题】 39 【题型35 格点图中画等腰三角形】 41 【题型36 多步连环全等推理证明】 42 【选填压轴】 【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【变式2-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【题型3 幂的逆用化简求值】 【例3】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为_____． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知实数a，b，c满足，，，则的值为______． 【变式3-3】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用幂运算比较大小】 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）比较大小：______．（填“”或“”） 【变式4-2】（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小，可得（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-3】比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 【题型5 与字母取值无关求参】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）若的积不含项，则___________． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【题型6 乘法公式整体代入】 【例6】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【变式6-1】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若实数满足，则代数式的值为__________． 【变式6-3】（25-26七年级下·重庆渝中·阶段检测）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为____． 【题型7 多项式运算恒等求参】 【例7】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 【变式7-1】若对任意的x恒成立，则________． 【变式7-2】（25-26七年级上·上海青浦·期末）如果（其中a为常数）成立，那么______． 【变式7-3】已知等式对一切x都成立，a、b、c为整数．且．则的最小值是____________． 【题型8 整式除法余式求参】 【例8】（2025·吉林·一模）若被除后余3，则的值为_____． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期中）我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（     ） A．12 B．8 C． D． 【变式8-2】已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为__________，余式为__________． 【题型9 添项拆项因式分解】 【例9】（2025·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【变式9-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读并解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”分解因式：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．例如，由于，所以是的一个因式．于是．则______． 【变式9-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【题型10 分解因式结合几何判断】 【例10】（25-26八年级下·山西·阶段检测）如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级下·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 _____． 【变式10-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 【变式10-3】（25-26六年级下·山东济南·期末）利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型11 因式分解与图形面积】 【例11】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式11-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和．若知道下列条件，可以求值的是（   ） A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长 C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）将12张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为 ___． 【题型12 全等三角形动点多情况分类讨论】 【例12】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【变式12-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【变式12-2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中, 为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【变式12-3】（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【题型13 角平分线性质求线段长、求面积】 【例13】（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．若，，，则的长为________． 【变式13-1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【变式13-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【变式13-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【题型14 垂直平分线求三角形周长】 【例14】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【变式14-1】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 【变式14-2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式14-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 【题型15 等腰三角形边角多解分类问题】 【例15】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【变式15-1】（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则其他两边长分别为__________． 【变式15-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）等腰三角形的一个角为，则此等腰三角形的顶角的度数为______． 【变式15-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【题型16 含30°直角三角形线段计算】 【例16】（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式16-1】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【变式16-2】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【变式16-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 【题型17 与等腰三角形有关的多结论问题】 【例17】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式17-1】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式17-2】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【解答压轴】 【题型18 算术平方根非负性综合应用】 【例18】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【变式18-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【变式18-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【变式18-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【题型19 实数运算新定义综合】 【例19】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【变式19-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【变式19-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【变式19-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【题型20 幂的末位数字规律】 【例20】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现： …… (1)启航小组提出的问题是：试求的值，请你合理推算； (2)展翅小组提出的问题是：判断的值的末位数是几，请你写出推断过程； (3)创新小组提出的问题是：计算，请直接写出结果______； (4)若，求的值． 【变式20-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）确定的末位数是几，简单说明理由 【变式20-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)可以发现一个速算法则，请填写： ①末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的________，再在末尾接着写上________； ②设一个两位数的十位数字是，个位数字是5，用含的代数式表示上述速算法则：________________________； (2)请你继续深入研究，回答下列问题： ①发现末位数字是5的三位数的平方也有类似的速算法则，请直接写出：________； ②设一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是5，用含，的代数式表示上述速算法则：________________________．请用所学的数学知识说明这个速算法则成立的理由． 【变式20-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，， （1）猜想，当n为正整数时，； （2）判断的个位数字． 【题型21 幂的综合化简证明】 【例21】（25-26八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，已知，化简后，求代数式的值． 【变式21-1】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）先化简，再求值： (1)已知，其中，． (2)已知，，，都是正整数，求的值． 【变式21-2】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）求证：N＝能被13整除． 【变式21-3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【题型22 乘法公式求最值应用】 【例22】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即x=-2时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则 ； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【变式22-1】（26-27七年级上·上海·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【变式22-2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【变式22-3】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【题型23 多项式乘法恒等求参】 【例23】（25-26七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【变式23-1】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知无论取何值，等式（）都恒成立， (1)求a+b的值; (2)①当时，求代数式值； ②你能用含n的代数式来表示 吗？若表示的数是正整数，求整数n的值； (3)求的最大值，写出求解过程． 【变式23-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【变式23-3】（2026·河北邢台·二模）已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 【题型24 乘法公式整体代换求值】 【例24】（25-26八年级上·云南文山·期末）阅读材料： 在对进行平方运算时，我们发现， ， 并且 这为我们计算形如（n为正整数）的代数式的值提供了方便． (1)若，求代数式的值； (2)结合多项式乘多项式相关知识及以上内容，在（1）的条件下，试求出的值． 【变式24-1】（2026·吉林长春·二模）已知，求代数式的值． 【变式24-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式24-3】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【题型25 整式运算规律探究】 【例25】（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一， 它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”． 帕斯卡是在1654年发现这一规律的， 比我国迟了近600年． 如图， 是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和）， 它把二项式乘方展开式系数图形化， 它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数， 请你仔细观察下列等式中的规律， 并利用杨辉三角解决下列问题． (1)【初步感知】按以上规则，展开式共有 ___________项，第三项（字母部分为）的系数是 ___________； (2)【拓展推广】利用杨辉三角，写出的各项的系数 ___________； (3)【迁移应用】我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【变式25-1】（25-26七年级下·北京·期末）我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式，立方差公式． (1)因式分解：__________； (2)【发现规律】化简：__________； (3)【发现规律】猜想：__________； (4)【新知运用】证明：是6的倍数； (5)【新知运用】证明：对任意正整数n，都是21的倍数． 【变式25-2】（2026·河南平顶山·三模）观察下列各式： ； ； ； ； ； …… 请根据上述规律，回答下列问题． (1)请直接写出第六个等式______． (2)若两个两位数，十位数字都为m，一个数的个位数字为n，另一个数的个位数字为，则可得到等式______，并证明等式成立． 【变式25-3】（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【题型26 乘法公式与几何图形面积】 【例26】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【变式26-1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【变式26-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）我们在《整式的乘除》中学习了乘法公式①，②． 学习推导公式时，利用数形结合的办法通过图形变换求图形的面积来推导乘法公式：在应用方面，利用乘法公式可以简化整式乘除运算，同时如果你将乘法公式进行合理的变式，可以解决很多数学问题． (1)观察图甲．用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式．则这个代数恒等式是________：观察图乙，分别表示图中阴影部分的面积可以验证恒等式是________．（在横线上选填序号①②）（图甲中用四个全等的长方形围成正方形） (2)利用乘法公式进行简便运算： (3)我们知道乘法公式进行逆运算得到的过程称配方，且当时，例如：因为，所以代数有最小值是1，利用上述公式变化求解问题： ①当m取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ ②已知等腰三角形的两边长分别为a，b（且a，b都是正整数），满足求等腰三角形的周长． 【变式26-3】（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【题型27 因式分解判断三角形形状】 【例27】（25-26八年级上·江苏南通·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知三角形三边长为、、，且满足，，，试判断三角形的形状，并说明理由； (3)若．求b的取值范围． 【变式27-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【变式27-2】（25-26八年级上·全国·期末）例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 【变式27-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： 1．知识运用： 试用“分组分解法”分解因式：； 2．解决问题： （1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状． （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立． ①当k=1时，求a+c的值 ②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可） 【题型28 因式分解的应用】 【例28】（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【变式28-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 【变式28-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【变式28-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【题型29 全等三角形证明与线段等量推导】 【例29】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【变式29-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【变式29-2】（26-27八年级上·北京·阶段检测）直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． (1)当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． (2)若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 【变式29-3】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【题型30 角平分线性质与全等综合证明】 【例30】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为C，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （___________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论； (4)【拓展延伸】如图4，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式30-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【变式30-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【变式30-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 【题型31 截长补短证明线段和差关系】 【例31】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式31-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式31-2】（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式31-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【题型32 等边三角形手拉手模型证明】 【例32】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【变式32-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式32-2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【变式32-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【题型33 垂直平分线与等腰三角形综合】 【例33】（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，求的面积（用含的代数式表示）． 【变式33-1】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知等腰中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 【变式33-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【变式33-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 【题型34 与等腰三角形有关的动点问题】 【例34】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【变式34-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【变式34-2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【变式34-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）在等边三角形中，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），以为边作等边三角形，使点E和点A在直线的同侧，连接． (1)如图1，求证：； (2)当点D在边上运动时，的度数是否发生变化？若不变，求出它的度数；若变化，说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，？请说明理由． 【题型35 格点图中画等腰三角形】 【例35】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【变式35-1】（2022·浙江温州·中考模拟）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 【变式35-2】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【变式35-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 【题型36 多步连环全等推理证明】 【例36】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等腰和等腰中，，，，连接､． (1)如图，若，点是的中点，则和的数量关系是 ; (2)如图，若点在的外部，继续猜想并证明和的数量关系； (3)如图在（2）的条件下，当时，连接，点在上，连接，过点作于，若，，，，求的长． 【变式36-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【变式36-2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【变式36-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $