2026-2027学年沪教版七年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年沪教版七年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第10章因式分解 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 3．如果，，那么的值为（     ） A．9 B．4 C．8 D．2 4．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 5．若，且，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 8．将数填在“○”中，位置如图所示，图中数塔的计算规则如下：将相邻两个“○”中的数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”．当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 9．已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 12．若二次三项式（）可以变形为，则______． 13．下列是因式分解的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 14．图形与数之间有许多的奥秘，清清用边长为的小正方形像下图这样摆成了一些图形．第（10）幅图面积是________，第（n）幅图的周长是________． 15．用两个不同的式子表示同一个图形的面积，可以直观地得到一个等式，进而可以应用得到的等式解决问题．如图是一个边长为的正方形，若，，应用下图所反映的等式求的值为________． 16．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中，． 18．（8分）计算： (1) (2)； (3)． 19．（8分）化简 (1) (2) (3) (4) 20．（8分）分解因式和计算： (1)； (2)； (3)； (4) 21．（9分）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． (1)如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 22．（9分）定义：若，则称与是关于数的平均数．比如与是关于的平均数，与是关于的平均数． (1)填空：与 是关于的平均数， 与是关于的平均数． (2)若与是关于的平均数，与是关于的平均数，与是关于的平均数，求 (3)现有与（为常数），且与始终是关于数的平均数，与的取值无关，求的值． 23．（11分）理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是____________________ ；若，，则该大正方形的边长为________ ； (2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，．则_______ ． 仿照这个方法，请你尝试解决： 若，求的值； (3)【解决问题】如图2，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 24．（11分）如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形． (1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______； (2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积； (3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版七年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第10章因式分解 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由非负数和为0的性质求出的值，再逆用积的乘方运算简化待求式. 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，. ∴ . 2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边为和的形式，不属于因式分解； B、变形是从整式的积得到多项式，属于整式乘法，不属于因式分解； C、，符合因式分解的定义； D、等式右边为和的形式，不属于因式分解． 3．如果，，那么的值为（     ） A．9 B．4 C．8 D．2 【答案】A 【详解】解： ． 4．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 5．若，且，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质确定的符号，再分中负数的个数情况计算待求式的值． 【详解】解：∵，且， ∴. ∴中负数的个数为1个或3个. 当中有1个负数、2个正数时， ． 当中有3个负数时， ． 故原式的值为或． 6．现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： ． 7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 8．将数填在“○”中，位置如图所示，图中数塔的计算规则如下：将相邻两个“○”中的数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”．当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 【答案】A 【分析】设中间“○”中的数为x，则左边正方形中的数为，右边正方形中的数为，计算两个数相加的结果，再计算当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果，作差解答即可． 【详解】解：设中间“○”中的数为x，则左边“□”中的数为，右边“□”中的数为，两个数相加的结果是 ， 当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果是， 根据题意，得 ， 所以结果减少了14． 9．已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】①通过作差配方判断A与B的大小关系；②通过配方法求的最小值，结合k为正整数确定最小值；③将分式拆分，根据正整数条件枚举x的取值． 【详解】解：①当时，，， ∵ ， ∴， 即一定成立， 故①正确． ②， ∵， ∴的最小值为， 若的值恒为正数，则，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 故②正确． ③当时，，（）， ∵为正整数，为整数， ∴是的约数，且，的整数约数为， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 综上，符合条件的整数有个，故③错误． 10．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，因此需满足且，以此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴最高次项指数， 解得：或， ∵第二项系数， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若二次三项式（）可以变形为，则______． 【答案】 【分析】展开因式分解形式，对比二次三项式系数得到与的关系，代入计算即可得到结果． 【详解】解：展开，先计算括号内乘积： ， ∴， ∵，且， ∴对比对应项系数得，， ∴． 13．下列是因式分解的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据因式分解的定义：将多项式化为几个整式的乘积，逐个判断每个等式即可． 【详解】解：①左边是多项式，右边是两个整式的乘积，等式成立，符合因式分解的要求； ②该式是将两个整式的乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； ③右边出现分式，不是整式，不符合要求，不是因式分解； ④右边结果是，是和的形式，不是几个整式的乘积，不是因式分解； ⑤展开右边得，与左边不相等，等式不成立，不是因式分解； ⑥左边是多项式，右边是两个整式的乘积，等式成立，符合因式分解的要求； ⑦左边是单项式，不是多项式，且等式本身不成立，不是因式分解． 综上，符合要求的是①⑥． 14．图形与数之间有许多的奥秘，清清用边长为的小正方形像下图这样摆成了一些图形．第（10）幅图面积是________，第（n）幅图的周长是________． 【答案】 【分析】观察图形中小正方形的排列规律，面积即为小正方形个数之和，第幅图有个小正方形；利用平移法将阶梯状图形的周长转化为规则正方形的周长，第幅图周长等于边长为的正方形周长． 【详解】解：观察图形面积变化规律： 第(1)幅图面积：， 第(2)幅图面积：， 第(3)幅图面积：， ... 第(10)幅图面积：； 观察图形周长变化规律： 第(1)幅图周长：， 第(2)幅图周长：， 第(3)幅图周长：， ... 第()幅图周长：， 故第(10)幅图面积是，第()幅图的周长是． 15．用两个不同的式子表示同一个图形的面积，可以直观地得到一个等式，进而可以应用得到的等式解决问题．如图是一个边长为的正方形，若，，应用下图所反映的等式求的值为________． 【答案】138 【分析】根据大正方形的面积的两种不同的表示方法可得，即可求解． 【详解】解：观察图形得：大正方形的边长为，则面积为， 因为拼成大正方形的几个小正方形和小长方形面积的和为：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 【答案】5或 【分析】将展开，对应相等得出，，，，，，再结合，，，，，均为整数，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解： ， ∵多项式， ∴，，，，，， ∵，，，，，均为整数， ∴或， 当时，则，结合可得，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 当时，则，结合可得，，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 综上所述，或． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 将代入得：原式． 18．（8分）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 19．（8分）化简 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘方和括号里面的运算，最后计算括号外面的减法即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘法和除法，最后算加减即可； （3）先去括号再合并同类项即可； （4）先去括号再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（8分）分解因式和计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（9分）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． (1)如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 【答案】(1) (2) ，画图表示如下： 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； 画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可． 【详解】（1）解：图形（2）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（2）可以验证多项式的因式分解为． （2）解：图形（3）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（3）可以验证多项式的因式分解为． 详解见答案． 22．（9分）定义：若，则称与是关于数的平均数．比如与是关于的平均数，与是关于的平均数． (1)填空：与 是关于的平均数， 与是关于的平均数． (2)若与是关于的平均数，与是关于的平均数，与是关于的平均数，求 (3)现有与（为常数），且与始终是关于数的平均数，与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用题干的关系式逆向计算即可； （2）根据题意表示出、与的值，将所求代数式重新组合，再代入求值即可； （3）先计算出，由取值与无关可知，含的项的系数为，从而求出的值，再求出的值，最后由定义求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平均数， ∵， ∴与是关于2的平均数； （2）解：由题意得：，，， ∴ ； （3）解：， ∵与始终是关于数的平均数，与的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（11分）理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是____________________ ；若，，则该大正方形的边长为________ ； (2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，．则_______ ． 仿照这个方法，请你尝试解决： 若，求的值； (3)【解决问题】如图2，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）通过观察图形可用两种方法表示该大正方形的面积，即可得到数学等式；等式右边代入，，即可得，再两边同时开平方即可求解． （2）根据完全平方公式，代入，，解得； 设，，则，，再代入完全平方公式，解得，即可求解． （3）设，，根据两半圆的面积和列出方程，解得，又因为，代入完全平方公式，解得，再代入的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：观察图形用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是； ∵，， ∴， ∴， ∵表示边长，故舍去负值， ∴大正方形的边长为． （2）解：∵满足， 设，，则，， 又∵， ∴代入，，得， 解得； 若， 设，，则，， ∵完全平方公式， ∴代入，，得， 解得， ∴， 即的值为． （3）解：设，， ∵两半圆的面积和， ∴， 化简得， 解得， 又∵，即， 代入得， 解得， ∴， 即的面积为． 24．（11分）如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形． (1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______； (2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积； (3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）根据长方形的对边相等，列出等量关系，进行求解即可； （2）根据（1）中的关系结合类卡片的面积，以及长方形的面积公式进行求解即可； （3）根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：由题意，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴图2的面积为； （3）解：∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴7张类卡片的面积之和为大长方形面积的， 由图可知，大长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $