4.2.2对数的运算性质(2)课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第4章 指数与对数 4.2　对数 4.2.2　对数的运算性质(2) 思考1►►► 活动一　换底公式 内容索引 思考2►►► 怎样用常用对数表示log35? 内容索引 思考3►►► 怎样用自然对数表示log35? 思考4►►► 怎样用任意底数表示log35? 思考5►►► 怎样用任意底数表示一般对数 ? 内容索引 内容索引 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 内容索引 例2　求值： (1) log89×log332； (2) log23×log34×log45×log56×log67×log78. 活动二　利用换底公式化简求值 内容索引 计算： 内容索引 利用换底公式进行化简、求值的方法： _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (1) 先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成统一底．(2) 一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值． 内容索引 例3　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256. 活动三　用已知对数表示其他对数 内容索引 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645. 【解析】 方法一：因为log189＝a，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 内容索引 内容索引 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1) 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2) 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3) 注意一些派生公式的使用. 内容索引 例4　要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y＝0.999 879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代．(参考数据：lg0.879≈－0.056 0，lg0.999 879≈－5.255 3×10－5，结果保留整数) 活动四　对数的实际应用 内容索引 【解析】 由题设可知，原始量为1的14C经过x年后的残余量是y＝0.999 879x. 由y＝87.9%＝0.879可知0.879＝0.999 879x， 两边取常用对数，得xlg0.999 879＝lg0.879， 内容索引 利用换底公式可推导出下面的结论： 内容索引 内容索引 内容索引 检 测 反 馈 内容索引 2 4 5 1 3 A. －15 B. 15 C. －12 D. 12 C 内容索引 2 4 5 1 3 A. x＝2 B. x＝3 C. x＝4 D. x＝8 A 内容索引 2 4 5 3 3. (多选)已知a＝log62,36b＝9，则下列结论中正确的是( ) 1 AC 内容索引 2 4 5 3 4. 若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则大约经过_______年国民经济生产总值是现在的两倍．(参考数据：lg 1.073≈ 0.031，lg 2 ≈0.301 0) 1 10 内容索引 2 4 5 3 5. 计算： (1) lg 25＋lg 2lg 50＋(lg 2)2； 1 【解析】 (1) 原式＝2lg 5＋lg 2×(lg 100－lg 2)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2×(2－lg 2)＋(lg 2)2＝2×(lg 5＋lg 2) ＝2lg 10＝2. 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching 假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ 【解析】 将3x＝5化为对数式为log35＝x，又因为x＝，所以log35＝. 【解析】 设t＝log35，则3t＝5.两边取常用对数，得lg3t＝lg5，即t lg3＝lg5，所以t＝.故log35＝. 例1　证明：logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 【解析】 设t＝logaN，则at＝N. 两边取以c为底的对数，得logc(at)＝logcN，即tlogca＝logcN， 所以t＝.故logaN＝. 一般地，logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 这个公式称为对数的换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示． 【解析】 (1) 原式＝×＝×＝. (2) 原式＝×××××＝＝ ＝＝3. (1) log225×log3×log5； (2) (log43＋log83)×. 【解析】 (1) 原式＝log252×log32－4×log53－2＝××＝16. (2) 原式＝×＝×lg2＝. 【解析】 因为log23＝a，所以＝log32. 又因为log37＝b，所以log4256＝＝＝. 因为log2×1818＝＝＝＝＝， 所以原式＝. 方法二：因为18b＝5，所以log185＝b， 所以log3645＝＝＝＝＝＝. 所以x＝≈1 066. 故古莲子约是1 066年前的遗物． (1) logambn＝logab； (2) logab＝(或logab·logba＝1). 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质的剩余质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果精确到个位，参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1) 【解析】 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x. 由题意，得＝0.75x，即x＝＝＝≈ ≈4， 所以大约经过4年，该物质的剩余量是原来的. 1. (教材习题改编)log2×log3×log5的值是( ) 【解析】 log2×log3×log5＝(－log225)×(－log38)×(－log59)＝－××＝－××＝－××＝－12. 2. (教材习题改编)方程log(2x)＝4的解为( ) 【解析】 因为log (2x)＝＝＝，所以＝4，即2log2x＝1＋log2x，即log2x＝1，解得x＝2. A. b＝log63 B. ab＝1 C. log618＝2－a D. ＝log32 【解析】 对于A，因为36b＝9，所以b＝log369＝log6232＝log63，故A正确；对于B，因为0<log62<log63<1，所以ab＝log62×log63<1，故B错误；对于C,2－a＝2－log62＝log6＝log618，故C正确；对于D，＝＝log23，故D错误．故选AC. 【解析】 设经过x年国民经济生产总值是现在的两倍，设现在的国民经济生产总值为a，则由题意，得a(1＋7.3%)x＝2a，即1.073x＝2，解得x＝log1.0732＝≈≈10，所以大约经过10年国民经济生产总值是现在的两倍． (2) . (2) 原式＝ ＝3＋log55＋(0.5)－2＝3＋4＋(2－1)－2 ＝3＋4＋22＝11. $