4.2.2 第2课时 换底公式与对数的应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

4.2 对数 1 第2课时 换底公式与对数的应用 4.2.2 对数的运算性质 2 探究点一 利用换底公式化简求值 探究点二 有附加条件的求值、证明问题 探究点三 对数的实际应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能够根据对数的定义,推导出换底公式. 2.会利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 4 知识点 对数换底公式 1.对数的换底公式：,其中,,, , . 2.对数换底公式的重要推论: （1） ; （2） ; （3） . 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,则 .( ) √ [解析] . （2）若,,则 .( ) √ [解析] . （3） .( ) × [解析] . 课 前 预 习 6 探究点一 利用换底公式化简求值 例1（1） 的值为( ) A.2 B. C.1 D. [解析] .故选D. √ 课 中 探 究 7 （2）化简下列各式： ② __. [解析] 原式 . ① ___； 8 [解析] 原式 . 课 中 探 究 8 变式 计算下列各式的值： （1） ； 解： . （2） . 解： . 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 在解题方向尚不明确的情况下，一般先统一将对数换成常用对数 （当然也可以换成自然对数或其他有助于解题的正数为底的对数）， 然后再化简计算. 课 中 探 究 10 探究点二 有附加条件的求值、证明问题 例2（1）[2026·江苏徐州高一期中] 若，则 的值 为___. 2 [解析] 由，可得, ， 所以, ， 所以 . 课 中 探 究 11 （2）已知,，求证: . 证明：方法一：， ， . 方法二：， ， . 方法三：,，， ， . 课 中 探 究 12 变式（1）[2026·江苏高邮高一期中] 已知， ，则 ____（用， 表示）. [解析] 由可得 ， 所以 . 课 中 探 究 13 （2）设，，则 _ _____. [解析] 则 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 解决含有附加条件的代数式求值问题，需要把已知条件和所求式进行 化简转化，原则上化为同底的对数，以便利用对数的运算性质求解. 课 中 探 究 15 拓展 已知，，，且 , 证明： . 证明：，，， ， ，， ， . 课 中 探 究 16 探究点三 对数的实际应用 例3 [2026·江苏宿迁高一质量监测]一般地，海平面上的大气压强是 ，高空中因空气稀薄，大气压强就小于 ，高度 越高，大气压强就越低，大气压强（单位： ）和高度 （单位：）之间的关系为，其中 是自然对数的底 数，是常数.根据实验，已知高空处的大气压强是 . 如果高空中某处的大气压强是 ，那么该处的高度约是 （参考数值： ）( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 17 [解析] 由高空处的大气压强是 ， 可得. 由高空中某处的大气压强是 ，可得， 则 ，可得， 两边取自然对数得 ， 所以 ， 故该处的高度约是 .故选C. 课 中 探 究 18 变式 [2026·江苏丹阳高一期中]声强是表示声波强度的物理量，由于 声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此一般通过声强级 来表 示声强强度的大小，规定声强级（单位：分贝），其中 为标准声强.若声强是声强的200倍，则声强的声强级与声强 的声强级的差为（结果保留整数，本题参考数据： ） ( ) A.28分贝 B.27分贝 C.23分贝 D.14分贝 √ 课 中 探 究 19 [解析] 设声强的声强级为，声强的声强级为 ， 则, 由题知,所以 （分贝）.故选C. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 解对数应用题的步骤：（1）审题,理解题意，弄清关键词及字母的含 义；（2）建模，恰当地设未知数，建立数学模型，即已知 <m></m>，<m></m>为常数，<m></m>且<m></m>,<m></m>，求<m></m>；（3）解模，在 <m></m>两边同时取以<m></m>为底的对数得<m></m>，利用对数有关知识 求解；（4）还原，还原为实际问题，得出实际问题的结论. 课 中 探 究 21 课后习题 22 1.[2026·江苏宿迁中学高一期中]计算 的结果是( ) A. B. C. D. [解析] 原式 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 2.计算： ( ) A.2 B.1 C. D. [解析] .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 3.[2026·云南玉溪高一期末]若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ， 所以 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 4.[2026·广东茂名高一质检]已知，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 5.[2026·陕西咸阳高一期末]溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强 弱程度的一个指标，在化学中，常用来表示溶液的酸碱度 的 计算公式为，其中 表示溶液中氢离子的浓度， 单位是摩尔/升.已知溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则 溶液 的约为参考数据：， ( ) A.0.268 B.0.87 C.1.13 D.1.87 [解析] 由题意得溶液的 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 6.实数,满足 ，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 由题得, . ,故A正确； ，故B不正确； ，故C，D不正确.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 7.已知,，则 ___. 1 [解析] 由题意知， ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 8.[2026·河北开滦一中高一月考] 已知且，则 ___. 9 [解析] 由，得 ， 即，故，则或， 又，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 9.（13分）化简求值: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 9.（13分）化简求值: （3） . 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 10.已知，，则等于（用， 表示）( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，所以， 由 ，得， 则 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 11.已知且 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由，得,所以 , 所以,所以,则,即 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 12.已知 ， 是方程 的两个根，则 的值为_____. [解析] 因为 ， 是方程 ，即 的两个根，所以 和 是方程的两个根， 从而， ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 13.[2026·湖北武汉华中师大一附中高一期末] 当阳光射入海水后， 海水中的光照强度随着深度的增加而减弱，可用 表示其 总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度， （单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度 处和海面 的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的 ，则该海域消光 系数的值约为_____.精确到，， 0.18 [解析] 由题意知，当时， ， 代入得，即，所以 ， 即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 14.（15分）已知,,为正实数， . （1）若，求 ； 解：设，则，， ， ， 又， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 14.（15分）已知,,为正实数， . （2）若，求 的值. 解：，， ， ,，， ， ， 又，，解得 . 由（1）知，， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 15.[2026·山东青岛高一期末]设正实数,, 均不等于1，若 ，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ，即 ，可得 ，则，解得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 16.（15分）（1）设，，分别是直角三角形的三边的长，其中 为 斜边的长，,,且 .求证： . 证明：由勾股定理得 . 又,， ， ， 原等式成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 16.（15分）（2）已知 ， 且 , 其中,,求证： . 证明 ， , ， ，, ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 $