第二章直线和圆的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记直线的倾斜角为，由题意， ，得或， 故的取值范围是. 2．已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得直线方程为，设， 则， 当时，，即， 化简得，当时方程有解， 即，解得. 3．已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程表示圆得，， 整理得，，解得. 由题意得，圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 4．已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，解得， 即， 由，则， 当且仅当三点共线时取等号，故最小值为.    5．若在直线：上存在一点，使得过点作圆：的两条切线可以相互垂直，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线垂直推出点到圆心的距离为定值，将问题转化为"直线与半径为2的圆有公共点"，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为，可得圆心，半径, 设过点的两条切线的切点分别为、，连接、、, 根据圆的切线性质,切线垂直于过切点的半径，因此，，即, 若两条切线互相垂直，即，则四边形有三个内角为直角，且邻边，因此四边形是正方形, 所以， 即所有满足条件的点，都在以为圆心、半径为的圆上， 因为直线上存在点，使过的两条切线垂直，所以直线与以为圆心、半径为的圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，得，即， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 7．已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：， 代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选: C. 8．过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】先求得直线经过定点，结合条件求出动点的轨迹方程为，设的中点为，化简目标式为，判断动点的轨迹为直线，利用圆心到直线的距离为圆心到直线上点距离的最小值即可求得的最小值即可. 【详解】即， 由解得，则直线经过定点， 又因，则，故点的轨迹为以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则点的轨迹方程为. 因点，分别是直线：和直线：上的动点， 设的中点为，则，则， 易知动点的轨迹为与直线平行且距离相等的直线，其方程为， 因圆心到直线的距离，则， 故的最小值为. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BD 【详解】对于A，直线的倾斜角的取值范围是， 当时，不存在，此时直线没有斜率， 故并非所有有倾斜角的直线的斜率都为，A错误； 对于B，设直线的倾斜角为，已知直线斜率，则， 结合直线的倾斜角的取值范围是，可得，B正确； 对于C，点，的纵坐标相等，说明直线与轴平行， 因此直线的倾斜角为，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则． 已知直线过点，由点斜式可得直线方程为，即． 将代入方程，可得，因此这条直线必过点，D正确． 10．已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A错误；求出直线的方程可得其恒过点，利用弦长公式可求得的最小值是，可得BC正确；进而求得四边形面积的最小值为，即D正确. 【详解】易知圆心，半径，如下图所示： 对于A，圆心到直线的距离为， 可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为， 所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误； 对于B，设，可得； 易知，由， 整理可得， 同理可得，即可知两点在直线上， 所以直线的方程为，即， 令，解得， 所以直线恒过定点，即B正确； 对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，的值最小， 点与圆心之间的距离为，所以，故C正确； 对于D，四边形的面积为， 根据切线长公式可知，当最小值，最小， ，所以，故四边形的面积为，即D正确； 故选：BCD 11．已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（    ） A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C．阴影部分的面积为； D．白色“水滴”图形的面积是． 【答案】ABD 【详解】由方程， 可得集合是圆心为，半径为的圆上所有点的集合，其中， 其圆心的轨迹为单位圆的上半部分，即， 对于A，令，整理得，即， 解得或，即， 所以“水滴”图形与轴的交点，分别为， 所以白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，所以A正确； 对于B，由，可得， 所以点， 所以点到坐标轴的距离为或， 因为， 所以， 所以在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于，所以B正确； 令，整理得，即， 解得或，即， 因为表示圆心为，半径为的圆， 则，且，则在轴上以及轴上方， 所以白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为的半圆， 阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为的半圆， 根据对称性知：白色“水滴”在第一象限的边界是以为圆心，半径为的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理可得：所在圆的半径为，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界是以为圆心，半径为的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理可得：所在圆的半径为，所对的圆心角为， 所以白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成， 所以它的面积为， 其中轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为， 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，所以 C错误，D正确. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线之间的距离为_____． 【答案】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】直线，直线， 因为，，，所以， 所以两直线间距离为：. 13．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】分别求得圆心和圆心，根据题意，求得两圆心和关于直线对称，由，得到，及的中点坐标，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称， 又由，可得，且的中点为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 14．已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线的距离最大值为______． 【答案】 【分析】根据两圆方程相减可得弦的直线方程为，即可根据判定弦AB的直线恒过定点，由两点距离公式即可求解. 【详解】设，则过P点作圆的两条切线，则在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 又在圆O：，两圆相减可得弦的直线方程为， 又因为：P在直线l上，故：， 故：切点弦的直线恒过定点，点到直线的最 大距离为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 由轴，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为， 四边形是梯形，其上底为，下底为，高为， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和， 当时，其斜率， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得， 所以，直线过定点； 当时，、，此时直线为，过点； 综上可得：直线必过定点. 【分析】（1）借助中点公式计算可得点、坐标，即可得直线l的方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到，再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【详解】（1）由点P为线段AB的中点，则有，即，， 故直线l的方程为，即； （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去； 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴； （3）略 16．已知圆过与两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求的方程． 【答案】(1) 圆的标准方程为 (2) 切线的方程为或 【分析】 （1）设圆心坐标，利用圆心在给定直线上、圆上两点到圆心距离相等的性质求解圆心和半径，得到圆的方程； （2）分切线斜率存在、不存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为. 因为圆心在直线上，故，即. 又圆过点和，两点到圆心的距离均等于半径， 因此 ，展开化简得，即. 将代入，解得，，即圆心坐标为. 而半径，因此圆的方程为 ， （2）圆心到该点的距离为，故该点在圆外，存在两条切线. 若切线斜率不存在，此时切线方程为， 圆心到直线的距离为， 符合切线要求，故是切线方程. 若切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 整理为标准形式. 由圆心到切线的距离等于半径，得 ，即， 两边平方化简得，解得. 将代入切线方程，整理得. 综上，切线的方程为或. 17．已知直线：． (1)求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点坐标； (2)点到直线的最大距离时，求此时直线的方程； (3)若直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，求三角形面积的最小值（为坐标原点），并求此时直线的方程． 【答案】(1)由题意得， 则，解得， 故直线恒过定点. (2). (3)三角形面积的最小值为，此时直线的方程. 【分析】（1）先整理方程，再列等式求解即可； （2）先求出的斜率，根据题意求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出； （3）设直线方程为，再利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，则，解得， 故直线恒过定点. （2）点到动直线的最大距离，当且仅当时，距离取最大值， ，直线的斜率满足，即， 又直线恒过定点，，即. （3）设直线方程为，又直线恒过定点，， 利用基本不等式得，可得, 当且仅当，即时等号成立， 此时直线的方程为，即， ，所以三角形面积的最小值为. 18．已知直线经过定点是坐标原点，点M在直线上，且． (1)当直线绕着点N转动时，求点M的轨迹E的方程； (2)已知点，过点T的直线交轨迹E于点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论思想，根据直线垂直的条件列式可得轨迹方程； （2）根据直线与圆相交，设出直线方程，联立直线与圆的方程，结合韦达定理和数量积的坐标运算求出直线方程，再求直线与圆相交的弦长. 【详解】（1）依题意可知，直线即为直线,显然当直线与直线的斜率不存在时不合题意，故直线与直线的斜率都存在， ,设，,即， 所以，即， 所以点M的轨迹E的方程为. （2）依题意，过点T的直线l的斜率存在，设直线l方程为， 联立，整理得，① ，即，所以， 由直线不经过点，所以且 设，则为①式两根，        所以， 又 ， 即，所以或（舍去），故所求直线l为， 此时直线l一定与轨迹E交于不同两点P,Q又圆心到直线l的距离, 所以. 【点睛】求曲线方程的常用方法：求曲线方程是解析几何核心问题之一，求曲线方程的方法比较多，但总的说来有三种： （1）直接法：先找出动点满足的几何条件，由条件直接转化得到轨迹方程； （2）待定系数法：此种类型需知道曲线类型，先设出曲线方程，把条件代入求出其中的系数即可； （3）参数法：借助中间变量，间接得到轨迹方程的方法；参数法关键是参数的选择，找出参数与x,y之间的关系，消去参数即可. 19．已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）点在定直线上 【分析】（1）设圆心关于直线对称的圆心，即，解出即可求解； （2）（i）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：，利用几何法求，再由面积公式和基本不等式即可求解；（ii）当直线的斜率不存在时，求出直线和交点，当斜率存在时，设的方程为：，设，与圆方程联立消元，利用韦达定理得，求直线和的方程，进而求交点即可求解. 【详解】（1）设圆心关于直线对称的圆心， 由题意有，解得， 所以圆； （2）（i）当直线的斜率不存在时，，则， 所以，解出， 所以,, 所以，解得或， 所以，， 所以四边形的面积：； 当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：， 所以圆心到直线的距离为：， 所以， 同理得， 所以四边形的面积：， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立， 由，可得，即时，四边形面积的最大值为； （ii）点在定直线上， 由题意有，理由如下： 当直线的斜率不存在时，由（i）有， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 所以，解得，所以； 当斜率存在时，设的方程为：，设， 所以，消元得， 所以， 所以， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消去,可得： ， 所以，即点在直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 5．若在直线：上存在一点，使得过点作圆：的两条切线可以相互垂直，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 8．过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10．已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为 11．已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（    ） A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C．阴影部分的面积为； D．白色“水滴”图形的面积是． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线之间的距离为_____． 13．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为______. 14．已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线的距离最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 16．已知圆过与两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求的方程． 17．已知直线：． (1)求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点坐标； (2)点到直线的最大距离时，求此时直线的方程； (3)若直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，求三角形面积的最小值（为坐标原点），并求此时直线的方程． 18．已知直线经过定点是坐标原点，点M在直线上，且． (1)当直线绕着点N转动时，求点M的轨迹E的方程； (2)已知点，过点T的直线交轨迹E于点，且，求． 19．已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $