第二章直线和圆的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版选择性必修一直线和圆的方程 一、单选题 1．已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 2．直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 3．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（  ） A．1 B． C．4 D． 4．“直线，相互垂直”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，则下述正确的是（      ） A．直线的斜率不可能等于 B．直线的斜率有可能不存在 C．若直线的横纵截距相等，则 D．直线可能过点 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 11．已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 12．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 13．经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 14．设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 16．已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)判断平行四边形是否为正方形. 17．求符合下列条件的直线方程（最后结果以直线方程的一般式表示） (1)经过，两点． (2)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 18．已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 19．已知圆过与两点，且关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点 （i）若的面积为2，求的斜率 （ii）若为线段的中点，求的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一直线和圆的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B A A A C ABC ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】由得，所以， 故以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 2．A 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 3．B 【详解】若直线与直线互相垂直， 则，得. 4．B 【详解】已知直线，相互垂直， 则，解得或， 若，则直线互相垂直，满足必要性； 两直线垂直时，或，不一定是，不满足充分性， 故“直线，相互垂直”是“”的必要不充分条件． 5．A 【详解】圆的圆心为， ∵、是圆的切线，∴，，即， ∴、、、四点共圆，的外接圆即为四边形的外接圆，该外接圆的直径为线段， ∵，圆心为，∴的中点坐标为，即，半径， ∴外接圆方程为. 6．A 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 7．A 【分析】设点，由得到，从而两圆有公共点，利用圆心距和两圆半径的关系可得不等式，求出答案 【详解】设点，由得， 因为圆上存在点满足， 故圆与圆有公共点， 其中的圆心为，半径为2， 所以， 两边平方得，，故恒成立， 两边平方得，解得， 所以a的取值范围是. 8．C 【分析】根据直线的截距式得到结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与两坐标轴交于，，，，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时，面积取得最小值12，又、是两条不重合的直线， 所以. 9．ABC 【详解】选项 A：由直线得， 当，方程变为，斜率不存在， 当方程变为，斜率， 所以直线的斜率不可能为 0，A 正确； 选项 B：当时，方程变为，此时是垂直于轴的直线，斜率不存在，B 正确； 选项 C：令，得，令，得，由横纵截距相等得， 当，为，截距都是 0，横纵截距相等； 当，得，即，为，横截距，纵截距，相等，C 正确； 选项 D：把代入方程得，即，矛盾，不可能成立，D 错误. 10．ABD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项；通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项；点与圆的位置关系可判断C选项；利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项. 【详解】把转化为标准方程, 则，如图所示，作出符合题意的图形， 对于A：圆心的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B正确； 对于C：因为，所以点在圆外，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 11．BCD 【分析】对A，根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定；对B，连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定；对C，由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定；对D，设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定. 【详解】如图： 对于A，由圆，可得圆心，半径， 由直线，可得，所以直线过定点，且点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线时，弦取得最小值，但，直线的斜率为， 所以无法成立，弦长没有最小值，故A错误； 对于B，因为是弦中点，连接，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点），方程为，其中圆心为，半径， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为，要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 由直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，设，且，，可得，， 所以， 因为动点的轨迹方程为，设，可得， 因为直线与圆必有公共点， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确. 12．或 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 13． 【分析】根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率的取值范围. 【详解】如图所示，由点和， 可得， 要使得过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则满足或， 所以直线的斜率的取值范围为 14． 【分析】根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为，， 所以，， 则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即  ①，又  ②， ②-①得：， 即公共弦所在的直线方程是， 即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）由直线方程的两点式得 ，即. （2）设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. （3）设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 16．(1) (2)平行四边形是正方形 【分析】（1）利用平行四边形性质，可知，从而求得点坐标； （2）先利用邻边垂直证明平行四边形为矩形，再利用邻边相等证明平行四边形为正方形. 【详解】（1）设，则，， 因为四边形为平行四边形，所以，，即， 即. （2）平行四边形是正方形. ，， ，， 平行四边形为矩形. 又， ， ，平行四边形为正方形. 17．(1) (2)或. 【分析】（1）直接由直线方程的两点式可得所求直线方程； （2）分直线经过原点和不经过原点两种情况，再结合待定系数法解得直线方程. 【详解】（1）因为直线经过，两点， 由两点式可得直线方程为：，整理得：. （2）若直线过原点，则直线方程为：，即，满足题意； 若直线不过原点，设直线在轴上的截距为（），则直线在轴上的截距为， 则直线方程为， 因为直线过点，所以. 所以直线方程为：. 综上，所求直线方程为：或. 18．(1) (2)或 【分析】（1）先求中点，再利用点斜式求所求直线方程. （2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解. 【详解】（1）因，， 设中点为，则得，即 则直线的方程为，即. （2）①当截距为时，直线经过原点和点，则其方程为，即 ②当截距不为时，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或. 19．(1)； (2)（i）或1；（ii）或； 【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，圆心在直线上，联立两直线得到圆心和半径，得到圆的方程； （2）（i）分直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式和三角形面积得到方程，求出直线斜率； （ii）设，所以，均在圆上，代入圆的方程，得到方程组，求出或，进而得到或，求出直线方程. 【详解】（1）圆过与两点，故圆心在线段的垂直平分线上， 其中，故，线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即， 又圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 联立与得， 所以圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为； （2）（i）当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 中，令得，无解，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，即， 圆心到直线的距离为，， 因为的面积为2，所以，解得，负值舍去， 所以，解得或1， 所以直线的斜率为或1； （ii）设，因为为线段的中点，所以， 由题意可知，均在圆上，所以， 即，两式相减得， 代入得， 解得或， 故或， 故或， 所以直线的方程为或， 即或； 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $