第二章直线和圆的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版选择性必修一直线和圆的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A B B B D BC ABC 题号 11 答案 BD 1．C 【详解】根据圆的标准方程定义，圆心坐标为（2，1）．故选C． 2．A 【分析】由，求出斜率即可得出倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可得直线的斜率，又，所以直线的倾斜角为. 3．A 【详解】设直线的倾斜角为，， 图中直线对应的倾斜角分别为， 由图可知为钝角，即， ，即， 所以. 4．A 【详解】因为倾斜角为 ，所以斜率 ， 由直线 得斜率 ，所以 ，即 ． 5．B 【分析】根据圆的一般方程的特征，求解圆心坐标. 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆方程，对应，， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 6．B 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得： ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 7．B 【分析】将圆上距离已知直线距离为的点有且仅有个，转换为圆与平行于已知直线且距离为的两条直线的交点数总和为. 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 8．D 【详解】设直线的法向量，直线的方向向量为， 因为法向量与方向向量相互垂直，所以， 即， 令，得，可取方向向量， 直线斜率：. 9．BC 【分析】根据直线平行与垂直的判断即可求解BC，根据点到直线的距离公式即可求解D，将直线化成斜截式即可判断A. 【详解】直线变形为， 故直线的斜率为，倾斜角为，A错误， 由于且，故直线与平行，B正确， 由于，故直线与垂直，C正确， 到的距离为,D错误. 10．ABC 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D. 【详解】对于选项A，直线的斜率为，倾斜角为，故A错误； 对于选项B，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，故B错误； 对于选项C，点到直线的距离为，故C错误； 对于选项D，设与直线平行的直线方程为， 因为它过，所以，则. 所以过与直线平行的直线方程是，故D正确， 11．BD 【分析】根据两点对应斜率得倾斜角判断A选项，B选项用几何法得最大值，C选项结合半圆弧的图形特征计算，D选项推导切点弦方程证过指定定点. 【详解】选项A中，因为直线过、，则直线的斜率， 可知直线的倾斜角为，不是，A错误， 选项B中，令，即，则的几何意义是斜率为的直线的纵截距， 因为圆的圆心为，半径， 则，解得，所以的最大值为，B正确， 选项C中，曲线整理得， 是圆心为、半径的上半圆；直线恒过定点， 当直线与半圆相切时，则，解得， 当直线过点（半圆左端点）时，则， 若直线与半圆有两个不同交点，则的取值范围是，C错误， 选项D中，设动点的坐标为， 已知圆，切点为、， 圆在点的切线满足：， 因为在上，则， 同理可得， 因此、两点均满足直线方程， 即为直线的方程，整理得 ， 所以直线恒满足，解得定点坐标为， 即直线经过该定点， 因此D正确. 12． 【分析】由弦长为，求得圆的圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可求得的值，从而求得所有满足条件的实数b的和. 【详解】由， 得. 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆被直线截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 由，得， 所以， 解得或. 所以所有满足条件的实数b的和为. 13． 【详解】设直线的倾斜角为， 四边形是正方形，为正方形对角线， 直线倾斜角为，直线倾斜角为， 于是： ， ， ， 已知，代入： ， 通分整理： ， ， ， ， ， 因式分解：，得或， ①当时， ，， ， ②当时， ，此时，与题图中对角线斜率为正矛盾，舍去， 综上，. 14． 【分析】将点代入直线方程，可得点，都在直线上，由两点确定一条直线即可得出直线方程. 【详解】由题知直线和都过点，则和， 所以点，都在直线上，又两点确定一条直线，所以直线方程为. 15．(1) (2)； 【分析】（1）利用两点坐标求直线斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角； （2）先求出的斜率，结合图像观察直线绕定点旋转时斜率的变化规律，得到斜率取值范围，再结合倾斜角与斜率的对应关系，分段求出倾斜角范围，注意竖直直线倾斜角存在、斜率不存在的特殊情况． 【详解】（1）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中， 由斜率和倾斜角的关系，得，因此倾斜角． （2）直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与过两点的线段有公共点， 结合图像分析：直线绕点从位置逆时针转到位置的过程中， 斜率从趋向负无穷，经过竖直直线（斜率不存在）后从正无穷连续减小到， 所以直线斜率的取值范围为． 设直线倾斜角为，． 当，即，此时倾斜角； 当，即，此时倾斜角； 竖直直线倾斜角为，也满足题意． 综上合并，倾斜角取值范围：． 16．(1)，最大值为 (2)最小值为，直线的方程为 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【详解】（1）已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值，此时． ∵， ∴直线的斜率为，得，解得； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点， 则设直线为，，则，， ． 当且仅当，即时，取“”， 故面积的最小值为，此时直线l的方程为. 17．(1)的面积的最小值为4， (2) 【分析】（1）方法一：设直线的方程为，分别表示出的坐标，从而得到的面积，再利用基本不等式求得其最小值，及取最小值时直线的方程； 方法二：或设直线的方程为，得到的面积，再利用基本不等式求得其最小值，及取最小值时直线的方程； （2）由题意设直线的斜率为，方程为，根据弦长求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得直线的方程. 【详解】（1）方法一：依题意，设直线的方程为. 令，解得；令，解得. 不妨令， 则. 因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的面积的最小值为4，此时直线的方程为. 方法二：由题直线过点，且斜率小于0，得直线与两坐标轴的正半轴交于M，N两点. 设直线的方程为， 又直线过点，所以. 所以，解得，当且仅当，即时，等号成立. 所以，即的面积的最小值为4. 此时直线的方程为，即. （2）由题知圆的圆心为，半径为2. 依题意，圆心到直线的距离. 由题意设直线的斜率为，由，得. 所以，解得. 所以直线的方程为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【详解】（1）设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. （3）， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. 19．(1) (2) (3)8 【分析】（1）使用待定系数法求解； （2）设直线上任意一点的对称点坐标，通过坐标关系求解； （3）计算点关于直线和的对称点分别为，该光线所经过的路程长度即两个对称点间的距离. 【详解】（1）设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. （2）设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一直线和圆的方程 一、单选题 1．若圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 4．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （    ） A． B． C． D． 5．已知方程表示圆，则其圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 6．直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若直线的一个法向量是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，则（     ） A．直线的倾斜角为 B．直线与平行 C．直线与垂直 D．点到的距离为2 10．已知直线，则下列结论错误的是（   ） A．直线l的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线l的距离是1 D．过点与直线l平行的直线方程是 11．下列结论正确的是（    ） A．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为 B．已知点在圆：上，则的最大值是 C．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 D．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，切点为，，则直线经过定点 三、填空题 12．圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 13．如图，已知四边形为正方形，记所在直线的斜率分别为.若，则__________. 14．已知两条直线和都过点，则过两点，的直线的方程为________． 四、解答题 15．已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 16．已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 17．在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与两坐标轴交于不同的两点，. (1)若直线的斜率小于0，求的面积的最小值以及此时对应的直线的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 18．设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 19．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 学科网（北京）股份有限公司 $