重难点05 有理数乘除运算、乘方的运算技巧（7大知识点14大题型、单元复习、期中复习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 单元复习、期中复习 重难点05 有理数乘除运算、乘方的运算技巧 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一：有理数的乘法运算 2 知识点二：有理数的除法运算 3 知识点三：有理数乘除混合运算及简便技巧 3 知识点四：有理数的乘方 4 知识点五：混合运算技巧 4 知识点六：科学记数法 4 知识点七：近似数 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 两个有理数的乘法运算】 5 【题型2 多个有理数的乘法运算（符号判断：奇负偶正）】 6 【题型3 倒数相关计算和辨析】 6 【题型4 有理数的除法，乘除互化运算】 7 【题型5 乘法运算率与简便运算】 7 【题型6 有理数乘除混合运算】 8 【题型7 有理数乘除法的实际应用】 9 【题型8 数轴信息判断代数式正负】 9 【题型9 数轴上的翻折综合】 10 【题型10 有理数的乘方运算及逆运算】 10 【题型11 乘方运算的符合规律、乘方的应用】 11 【题型12 含乘方的有理数混合运算】 11 【题型13 科学记数法】 12 【题型14 近似数与精确度】 12 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 13 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 17 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・有理数乘法、除法运算法则 ・多个因式相乘符号判定：奇负偶正 ・倒数概念，0 没有倒数，乘除互化 ・乘法运算律，分配律正向与逆用简便计算 ・乘方的定义、底数指数识别 ・乘方符号规律，区分与 ・有理数乘除乘方混合运算顺序 ・结合数轴判断代数式正负 ・以计算题为核心，是期中必考大题 ・乘方符号辨析是高频陷阱，极易混淆 ・乘法分配律逆用是简便计算重点考查内容 ・常和数轴信息、绝对值综合命题 ・部分设置新定义、规律探究小题拔高 考情解码： ・易错集中在乘方符号混淆，分不清底数是否含负号 ・负因数计数错误，乘除整体符号出错 ・误用分配律处理除法，分配时漏乘项 ・混合运算顺序混乱，先算加减再算乘方乘除 ・计算板块陷阱密集，重在细心和法则辨析 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一：有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 【例】 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 【例】 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【例】的结果为负数 的结果为0 知识点二：有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【例】 知识点三：有理数乘除混合运算及简便技巧 1． 核心思路 先将除法统一转化为乘法，再运用乘法运算律分组配对，优先约分简化计算。 【注】除法没有分配律，不能直接拆分被除数以外的除式。 2． 常用简便方法 （1） 优先约分法：能直接约分的分数先配对相乘，减少大数计算； （2） 凑整结合法：相乘可以凑成整数的数优先结合； （3） 乘法分配律正向使用：括号内加减，分别相乘再求和差； （4） 乘法分配律逆用：提取相同因数，合并剩余部分，构造凑整； （5） 带分数拆分法：带分数拆成整数加分数形式，再用分配律； （6）互为倒数配对：互为倒数的两个数相乘，乘积为 1。 【注】多个数乘除混合，先确定整体符号（奇负偶正），再计算绝对值部分；交换位置时，数字要带着前面的符号搬家。 知识点四：有理数的乘方 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【例】表示有n个a连续相乘： 表示， 表示， 表示． 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 知识点五：混合运算技巧 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【例】 ； ． 知识点六：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： · a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 · n：等于原数的整数位数减1。 【例】5670000=5.67×10^6 （整数部分7位，n = 7-1 = 6） 【例】304=3.04×10^2 3.易错提醒（避坑指南）： · a的范围必须是 1 ≤ a < 10，不能是10或大于10，也不能小于1（如 0.5×10^5是错的，应写成 5×10^4）。 · 带单位的数（如“万”“亿”）要先化成普通数字再转换，或记住：1万 = 10⁴，1亿 = 10⁸。 【例】2.52.5万 = 25000=2.5×10^4 知识点七：近似数 1.定义：接近准确数但又与准确数有一定差别的数，叫做近似数。（与实际完全相符的数是准确数） 2.精确度：表示一个近似数接近准确数的程度。 · 一般用四舍五入法得到近似数。 · 精确到哪一位，就看这一位后面一位的数字（四舍五入）。 【例】3.14159精确到百分位（即小数点后两位）→ 看千分位（第三位）是1，舍去 → 3.14 【例】3.14159精确到千分位（即小数点后三位）→ 看万分位（第四位）是5，入1 → 3.142 3.两种精确度描述（需区分）： · 精确到小数点后第几位（如精确到0.01，即百分位）。 · 保留几个有效数字（从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字）。 【注】科学记数法 a×10^n 中，有效数字只数 a 部分。 【例】0.05080有 4 个有效数字（5、0、8、0），注意中间和末尾的0都要算。 4.易错提醒（避坑指南）： · 近似数末尾的0不能随便去掉（如 3.50 精确到百分位，3.5 精确到十分位，精确度不同）。 · 大数取近似数时，要先用科学记数法表示再取，避免漏掉位数。 【例】12345精确到百位 → （不能写成 12300，要体现精确到百位）。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】若，满足，，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C．当，时， D．当，时， 【变式1-1】在数，2，，5中任取两个数相乘，其中最小的积是a，最大的积是b，则 的结果是（     ） A．20 B．12 C． D． 【变式1-2】若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列关于0的说法正确的有（     ） ①0的绝对值是它本身； ②和为0的两数互为相反数； ③任何数与0相乘仍得这个数； ④0的倒数是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 多个有理数的乘法运算（符号判断：奇负偶正）】 【例2】设a、b、c是两两不等的有理数，那么，，中有（     ）个是负数． A．2 B．0 C．2或0 D．1或2或0 【变式2-1】下列式子中，积的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】2026减去它的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（     ） A． B．0 C． D．1 【变式2-3】已知，且，则的积（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是非零数 D．不能确定 【题型3 倒数相关计算和辨析】 【例3】下列说法错误的有（     ）个． ①相反数是它本身的数是0；②零乘以任何数都为零；③绝对值是它本身的数是正数；④倒数等于本身的数有；⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】下列说法：①一定是负数；②自然数一定是整数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是；⑤绝对值相等的两个数一定互为相反数．其中正确的有（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】下列说法中，正确的个数有（     ） ①绝对值小于4的整数有7个； ②正整数和负整数统称为整数； ③一个数的绝对值等于本身的数是正数； ④倒数等于本身的数是1和0； ⑤异号两数相加的和一定小于每一个加数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-3】下列语句正确的有（     ）个． ①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③符号相反的两数互为相反数；④一个有理数不是正数就是负数；⑤在原点左边离原点越远的数就越小；⑥绝对值是本身的数一定是正数；⑦倒数是本身的数只有1． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 有理数的除法，乘除互化运算】 【例4】在算式“□4”的“□”中填入运算符号“”“”“”“”，要使运算的结果最大，则“□”中填入的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】规定是一种特殊运算符号，且，…，则的值为（     ） A．2027 B． C． D． 【变式4-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】有下列五个算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5 乘法运算率与简便运算】 【例5】计算，最简便的方法是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】式子中用的运算律是（     ） A．乘法交换律和乘法结合律 B．乘法交换律和乘法对加法的分配律 C．乘法结合律和乘法对加法的分配律 D．分配律和加法结合律 【变式5-2】甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式5-3】如下是小明对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ……第③步 下列判断正确的是（     ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【题型6 有理数乘除混合运算】 【例6】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列计算中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 有理数乘除法的实际应用】 【例7】每张纸大约有1厘米厚，那么一亿张纸重叠起来大约有（     ）层楼房高． A． B． C． D．3 【变式7-1】把高为的圆柱形木料锯成4段小圆柱形木料，表面积增加了，则原来木料的体积是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图是一个长、宽、高分别为，，的长方体容器，其内部有一个边长为的立方体铁块和一个长、宽、高分别为，，的长方体，将容器中盛满水时，则容器内水的体积为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】在一条公路上有五个相邻会场A、B、C、D、E，每相邻两个之间的距离都是500米．已知A会场的参会人员10人，B会场的参会人员20人，E会场的参会人员20人，C和D会场没有参会人员．现在要让所有参会人员集中到一个会场的餐厅用餐，集中到（     ）可以使所有人走的路程和最小？ A．A会场 B．B会场 C．C会场 D．D会场 【题型8 数轴信息判断代数式正负】 【例8】如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点可能是（     ） A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R 【变式8-1】已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，数轴上的，两个点所表示的数分别为，，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，数轴上的点、表示的数分别是、，那么下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型9 数轴上的翻折综合】 【例9】在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是，以点为折点，将数轴向左对折，点与点重合，若，则点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式9-1】已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与表示7的点重合．若数轴上A，B两点之间的距离为2026，且A，B两点经以上方法折叠后重合，则B点表示的数是（     ） A．或1013 B．或1010 C．或1016 D．或1016 【变式9-2】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、18，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（     ） A．0 B． C． D． 【变式9-3】如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 【题型10 有理数的乘方运算及逆运算】 【例10】下列说法正确的是（     ） A．一个有理数与它的相反数的积一定为负数 B．几个数相乘，若有5个负因数，则积为负 C．与意义不同，但结果相等 D．45万和450000的精确度是相同的 【变式10-1】下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【变式10-3】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【题型11 乘方运算的符合规律、乘方的应用】 【例11】下列各组数中，相等的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和（为正整数） 【变式11-1】如图，点A和点B表示的数分别为a和b．下列式子中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】若，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2026 【变式11-3】数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个1~2025的整数并记住；乙对甲默想的数提出一个猜想，甲比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明乙同学猜中；若乙没有猜中，则根据甲的回答，调整猜想，重复步骤，直到猜中．其中甲按要求选好一个数后，乙至多猜（     ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 【题型12 含乘方的有理数混合运算】 【例12】下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 【变式12-1】规定一种运算：，例如，则的值为（     ） A．1 B．3 C． D． 【变式12-2】下列各组数中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式12-3】已知，，，，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型13 科学记数法】 【例13】党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】据报道，在中国空间站上一天可以看见16次日出，中国空间站一天飞行的路程大约为万千米．数据万用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【变式13-3】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【题型14 近似数与精确度】 【例14】已知a，b为有理数，下列说法：①若，则a、b互为相反数；②用四舍五入法把数2020精确到百位是2000；③如果，则；④取最小值的x的值有无数个．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-1】下列说法正确的是（     ） A．近似数与近似数的精确度相同 B．我国陆地领土万平方千米中的万是准确数 C．近似数万与近似数的精确度相同 D．近似数万与近似数的精确度相同 【变式14-2】下列说法中：①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到的近似数；④精确到百位；⑤近似数所表示的准确数的范围是．正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式14-3】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 2．若算式的运算结果为，则算式中“□”和“△”内应填入的运算符号是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2027这个数所对应的点是（     ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 4．有下列四组数：①1和1；②和；③0和0；④和．其中互为倒数的有（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 5．下列说法正确的有（     ）个． （1）有理数不是正有理数就是负有理数；（2）倒数等于本身的数为1；（3）若，则是一个正数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．某地的气温从山脚开始变化，当海拔高度每升高100米时，气温会降低，现测得山脚的温度是，山上某处的气温为，此处距山脚的高度是（     ） A． B． C． D． 7．有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 8．定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 9．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁：． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 11．______． 12．计算的结果是______． 13．利用公式计算：________． 14．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出结果是______． 15．打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 15．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算 (1)； (2)； (3)． 18．我校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小鸣同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小鸣同学一周内的跑步记录，其中超过千米的记为正，不足千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多________千米； (2)小鸣同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？请通过计算说明理由； (3)若小鸣同学每跑步千米大约消耗大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小鸣共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 19．盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流玩具，精准切入年轻消费者市场．某盲盒专卖店，以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价和售出情况如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价相对于标准价格/元 0 售出数量/个 20 30 40 50 25 45 40 (1)第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期 ；最高单价是 元． (2)第一周该店出售这批盲盒的利润如何？（盈利或亏损的总价） 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中复习 重难点05 有理数乘除运算、乘方的运算技巧 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一：有理数的乘法运算 2 知识点二：有理数的除法运算 3 知识点三：有理数乘除混合运算及简便技巧 3 知识点四：有理数的乘方 4 知识点五：混合运算技巧 4 知识点六：科学记数法 4 知识点七：近似数 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 两个有理数的乘法运算】 5 【题型2 多个有理数的乘法运算（符号判断：奇负偶正）】 7 【题型3 倒数相关计算和辨析】 8 【题型4 有理数的除法，乘除互化运算】 10 【题型5 乘法运算率与简便运算】 11 【题型6 有理数乘除混合运算】 13 【题型7 有理数乘除法的实际应用】 15 【题型8 数轴信息判断代数式正负】 16 【题型9 数轴上的翻折综合】 18 【题型10 有理数的乘方运算及逆运算】 20 【题型11 乘方运算的符合规律、乘方的应用】 22 【题型12 含乘方的有理数混合运算】 23 【题型13 科学记数法】 25 【题型14 近似数与精确度】 26 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 28 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 39 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・有理数乘法、除法运算法则 ・多个因式相乘符号判定：奇负偶正 ・倒数概念，0 没有倒数，乘除互化 ・乘法运算律，分配律正向与逆用简便计算 ・乘方的定义、底数指数识别 ・乘方符号规律，区分与 ・有理数乘除乘方混合运算顺序 ・结合数轴判断代数式正负 ・以计算题为核心，是期中必考大题 ・乘方符号辨析是高频陷阱，极易混淆 ・乘法分配律逆用是简便计算重点考查内容 ・常和数轴信息、绝对值综合命题 ・部分设置新定义、规律探究小题拔高 考情解码： ・易错集中在乘方符号混淆，分不清底数是否含负号 ・负因数计数错误，乘除整体符号出错 ・误用分配律处理除法，分配时漏乘项 ・混合运算顺序混乱，先算加减再算乘方乘除 ・计算板块陷阱密集，重在细心和法则辨析 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一：有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 【例】 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 【例】 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【例】的结果为负数 的结果为0 知识点二：有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【例】 知识点三：有理数乘除混合运算及简便技巧 1． 核心思路 先将除法统一转化为乘法，再运用乘法运算律分组配对，优先约分简化计算。 【注】除法没有分配律，不能直接拆分被除数以外的除式。 2． 常用简便方法 （1） 优先约分法：能直接约分的分数先配对相乘，减少大数计算； （2） 凑整结合法：相乘可以凑成整数的数优先结合； （3） 乘法分配律正向使用：括号内加减，分别相乘再求和差； （4） 乘法分配律逆用：提取相同因数，合并剩余部分，构造凑整； （5） 带分数拆分法：带分数拆成整数加分数形式，再用分配律； （6）互为倒数配对：互为倒数的两个数相乘，乘积为 1。 【注】多个数乘除混合，先确定整体符号（奇负偶正），再计算绝对值部分；交换位置时，数字要带着前面的符号搬家。 知识点四：有理数的乘方 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【例】表示有n个a连续相乘： 表示， 表示， 表示． 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 知识点五：混合运算技巧 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【例】 ； ． 知识点六：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： · a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 · n：等于原数的整数位数减1。 【例】5670000=5.67×10^6 （整数部分7位，n = 7-1 = 6） 【例】304=3.04×10^2 3.易错提醒（避坑指南）： · a的范围必须是 1 ≤ a < 10，不能是10或大于10，也不能小于1（如 0.5×10^5是错的，应写成 5×10^4）。 · 带单位的数（如“万”“亿”）要先化成普通数字再转换，或记住：1万 = 10⁴，1亿 = 10⁸。 【例】2.52.5万 = 25000=2.5×10^4 知识点七：近似数 1.定义：接近准确数但又与准确数有一定差别的数，叫做近似数。（与实际完全相符的数是准确数） 2.精确度：表示一个近似数接近准确数的程度。 · 一般用四舍五入法得到近似数。 · 精确到哪一位，就看这一位后面一位的数字（四舍五入）。 【例】3.14159精确到百分位（即小数点后两位）→ 看千分位（第三位）是1，舍去 → 3.14 【例】3.14159精确到千分位（即小数点后三位）→ 看万分位（第四位）是5，入1 → 3.142 3.两种精确度描述（需区分）： · 精确到小数点后第几位（如精确到0.01，即百分位）。 · 保留几个有效数字（从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字）。 【注】科学记数法 a×10^n 中，有效数字只数 a 部分。 【例】0.05080有 4 个有效数字（5、0、8、0），注意中间和末尾的0都要算。 4.易错提醒（避坑指南）： · 近似数末尾的0不能随便去掉（如 3.50 精确到百分位，3.5 精确到十分位，精确度不同）。 · 大数取近似数时，要先用科学记数法表示再取，避免漏掉位数。 【例】12345精确到百位 → （不能写成 12300，要体现精确到百位）。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】若，满足，，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C．当，时， D．当，时， 【答案】C 【分析】由得异号，结合可知正数的绝对值更大，据此判断各选项． 【详解】解：∵， ∴，异号， ∵， ∴正数的绝对值大于负数的绝对值． 选项A，B：未明确，的正负，无法确定与的大小关系，均错误． 当，时，为正数，为负数，故，选项C正确． 当，时，为正数，为负数，故，即，选项D错误． 【变式1-1】在数，2，，5中任取两个数相乘，其中最小的积是a，最大的积是b，则 的结果是（     ） A．20 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先根据所给的数确定a和b，然后再计算即可． 【详解】解：最小积， 最大积， 故 【变式1-2】若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形为，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 【变式1-3】下列关于0的说法正确的有（     ） ①0的绝对值是它本身； ②和为0的两数互为相反数； ③任何数与0相乘仍得这个数； ④0的倒数是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义、相反数的定义、有理数的乘法法则、倒数的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①∵，∴0的绝对值是它本身，该说法正确； ②设两数为，，∵，∴，即两数互为相反数，∴该说法正确； ③∵任何数与0相乘得0，∴该说法错误； ④∵0没有倒数，∴该说法错误； 综上，正确的说法有2个． 【题型2 多个有理数的乘法运算（符号判断：奇负偶正）】 【例2】设a、b、c是两两不等的有理数，那么，，中有（     ）个是负数． A．2 B．0 C．2或0 D．1或2或0 【答案】A 【分析】通过三个式子的乘积为正确定负数个数为偶数，再结合三个差的和为0排除全正的情况． 【详解】解：∵三个式子的乘积为， ∴负数的个数为偶数，即0或2． ∵ ， ∴ ，，不可能全正或全负， ∴负数的个数为2． 【变式2-1】下列式子中，积的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过统计各选项负因数个数及是否含0，判断积的符号． 【详解】解：A选项有2个负因数，积的符号为正，不符合题意． B选项有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． C选项含因数0，积为0，不符合题意． D选项有3个负因数，积的符号为负，符合题意． 【变式2-2】2026减去它的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】将减余下的几分之几转化为乘余下的分率，列连乘式约分计算． 【详解】解：由题意得， ． 【变式2-3】已知，且，则的积（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是非零数 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法和乘法，根据，且，得到一定为正，一定为负，可能为正，可能为负也可能为0，进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴一定为正，一定为负，可能为正，可能为负也可能为0， 故的积也可能为正，可能为负，也可能为0． 故选：D 【题型3 倒数相关计算和辨析】 【例3】下列说法错误的有（     ）个． ①相反数是它本身的数是0；②零乘以任何数都为零；③绝对值是它本身的数是正数；④倒数等于本身的数有；⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合相反数、绝对值、倒数的定义及有理数乘法法则，关注0的特殊性质，逐一判断各说法正误． 【详解】解：①相反数是它本身的数是0，说法正确； ②零乘以任何数都为零，说法正确； ③绝对值是它本身的数是正数和0，原说法错误； ④倒数等于本身的数有，说法正确； ⑤几个有理数相乘时，若存在因数为0，则积为0，与负因数个数无关，原说法错误； 故错误的说法共2个． 【变式3-1】下列说法：①一定是负数；②自然数一定是整数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是；⑤绝对值相等的两个数一定互为相反数．其中正确的有（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐个判断每一个说法的正误，统计正确说法的个数． 【详解】解：①当是时，是，故原说法错误； ②自然数一定是整数，故原说法正确； ③倒数等于它本身的数是，故原说法正确； ④绝对值等于它本身的数是所有非负数（正数和），故原说法错误； ⑤，两个数相等，并不是相反数；只有两数绝对值相等且符号相反时才互为相反数，故原说法错误． 因此正确的个数为个． 【变式3-2】下列说法中，正确的个数有（     ） ①绝对值小于4的整数有7个； ②正整数和负整数统称为整数； ③一个数的绝对值等于本身的数是正数； ④倒数等于本身的数是1和0； ⑤异号两数相加的和一定小于每一个加数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①绝对值小于4的整数为，共7个，该说法正确． ②整数还包括0，该说法错误． ③0的绝对值等于本身，该说法错误． ④0没有倒数，的倒数也等于本身，该说法错误． ⑤例如，，和不一定小于每一个加数，该说法错误． 综上，正确的说法有1个． 【变式3-3】下列语句正确的有（     ）个． ①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③符号相反的两数互为相反数；④一个有理数不是正数就是负数；⑤在原点左边离原点越远的数就越小；⑥绝对值是本身的数一定是正数；⑦倒数是本身的数只有1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】逐一回忆绝对值、相反数、有理数分类、数轴性质、倒数的基本定义，作为判断每个语句正误的依据．对每个语句，结合定义分析：如果涉及特殊值0，优先验证0是否满足语句描述，判断语句是否成立．统计所有正确语句的数量，对应选项选择答案． 【详解】①∵0的绝对值是0，不是正数， ∴①错误． ②∵当时，， ∴②错误． ③∵与符号相反，但绝对值不相等，不是相反数， ∴③错误． ④∵有理数包括0，既不是正数也不是负数， ∴④错误． ⑤∵原点左边的数是负数，离原点越远绝对值越大，负数越小， ∴⑤正确． ⑥∵0的绝对值是本身，但0不是正数， ∴⑥错误． ⑦∵倒数是本身的数有和，并非只有， ∴⑦错误． 综上，正确的语句共1个． 【题型4 有理数的除法，乘除互化运算】 【例4】在算式“□4”的“□”中填入运算符号“”“”“”“”，要使运算的结果最大，则“□”中填入的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 填入时，； 填入时，； 填入时，； 填入时，． ∵， ∴填入加号时运算结果最大． 【变式4-1】规定是一种特殊运算符号，且，…，则的值为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新运算的定义，将分子分母转化为连乘形式，约分后计算结果． 【详解】解：由题意得，， ． ． 【变式4-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据有理数运算的符号规律排除错误选项，再计算验证剩余选项． 【详解】解：选项A：，错误． 选项B：，错误． 选项C：，错误． 选项D：，正确． 【变式4-3】有下列五个算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：①，故①错误． ②，故②错误． ③，故③错误． ④，故④正确． ⑤，故⑤正确． ∴正确的算式有④⑤，共2个． 【题型5 乘法运算率与简便运算】 【例5】计算，最简便的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察到乘数分母为16，将带分数凑为含16的形式，利用乘法分配律简化计算即可． 【详解】解：选项A、，错误，不符合题意； 选项D、与原式相等，但展开后无法直接与约分，计算繁琐，不符合题意； 选项B、，与原式相等，展开后需通分计算，不够简便，不符合题意； 选项C、，所以选项C变形正确，展开后两项均可直接约去分母16，计算最简便，符合题意． 【变式5-1】式子中用的运算律是（     ） A．乘法交换律和乘法结合律 B．乘法交换律和乘法对加法的分配律 C．乘法结合律和乘法对加法的分配律 D．分配律和加法结合律 【答案】C 【详解】解：第一步计算了，用的是乘法结合律； 第二步将分别与括号内的各项相乘，用的是乘法对加法的分配律． 【变式5-2】甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】甲去括号的符号变化错误，乙应用运算律时的符号处理错误． 【详解】解： ， 甲错误将变形为，计算错误； ， 乙在计算时，错误遗漏的负号，计算错误． 【变式5-3】如下是小明对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ……第③步 下列判断正确的是（     ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解： ； 故原计算中，第①步没有运用乘法交换律，第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误，导致第③步的结果也错误； 故只有选项B正确． 【题型6 有理数乘除混合运算】 【例6】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：含2个负因数，个数为偶数，积为正； B选项：含4个负因数，个数为偶数，积为正； C选项：含因数0，积为0； D选项：含3个负因数，个数为奇数，积为负． 【变式6-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原计算错误，选项不符合题意； B、，原计算错误，选项不符合题意； C、，原计算错误，选项不符合题意； D、，原计算正确，选项符合题意． 【变式6-2】已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘除混合运算的去括号规则与同级交换律，化简各选项后与对比． 【详解】解：. 选项A：，与不相等； 选项B：； 选项C：； 选项D：． 【变式6-3】下列计算中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数的混合运算法则．根据有理数乘方、乘法、除法运算法则计算即可． 【详解】解：，故①错误；，故②错误；，故③错误；，故④错误；，故⑤正确， 正确的个数是1个， 故选：A． 【题型7 有理数乘除法的实际应用】 【例7】每张纸大约有1厘米厚，那么一亿张纸重叠起来大约有（     ）层楼房高． A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】用先求出1张纸的厚度，再乘以一亿即可得一亿张纸重叠起来的厚度，再根据每层楼房高约米，最后用一亿张纸重叠起来的厚度除以每层楼房高即可得楼层数． 【详解】解：根据题意得： （厘米）， 厘米米， 按照日常居住楼层每层高约3米进行估算，一亿张纸重叠起来的厚度大约相当于的楼层为：（层）， ∴一亿张纸重叠起来大约有层楼房高． 【变式7-1】把高为的圆柱形木料锯成4段小圆柱形木料，表面积增加了，则原来木料的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，，木料的底面积为， 所以原来木料的体积为． 【变式7-2】如图是一个长、宽、高分别为，，的长方体容器，其内部有一个边长为的立方体铁块和一个长、宽、高分别为，，的长方体，将容器中盛满水时，则容器内水的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∴容器内水的体积为． 【变式7-3】在一条公路上有五个相邻会场A、B、C、D、E，每相邻两个之间的距离都是500米．已知A会场的参会人员10人，B会场的参会人员20人，E会场的参会人员20人，C和D会场没有参会人员．现在要让所有参会人员集中到一个会场的餐厅用餐，集中到（     ）可以使所有人走的路程和最小？ A．A会场 B．B会场 C．C会场 D．D会场 【答案】B 【分析】分别计算集中到各会场的总路程，即可求解． 【详解】解：每相邻两个会场的距离为米，分别计算集中到各会场的总路程： 集中到A会场：米． 集中到B会场：米． 集中到C会场：米． 集中到D会场：米． 集中到E会场：米． ， 集中到B会场总路程最小． 【题型8 数轴信息判断代数式正负】 【例8】如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点可能是（     ） A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的乘法与加法运算的含义，分四种情况讨论即可． 【详解】解：当原点在点时， ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， 当时，， ∴不符合题意，舍去； 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴, ∴， ∴符合题意， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上所述，此原点应是在或点． 【变式8-1】已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，，， A． ，结论正确，该选项不符合题意； B． ，结论正确，该选项不符合题意； C． ，结论错误，该选项符合题意； D． ，结论正确，该选项不符合题意． 【变式8-2】如图，数轴上的，两个点所表示的数分别为，，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，， 所以，所以，故选项A不符合题意； 由题图可知，所以，故选项B不符合题意； 由题图可知，所以，故选项C符合题意； 由题图可知，所以，故选项D不符合题意． 【变式8-3】如图，数轴上的点、表示的数分别是、，那么下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴确定、的正负性及绝对值大小，据此再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ，，，， 故A、B、C错误，D正确． 【题型9 数轴上的翻折综合】 【例9】在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是，以点为折点，将数轴向左对折，点与点重合，若，则点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】需分类讨论点的位置，结合折叠后折点为重合两点的中点求解． 【详解】解：∵ 点表示的数是，， ∴ 分两种情况讨论． ①当点在点左侧时， 点表示的数为． 由折叠性质可知，点是线段的中点， ∵ 点表示的数为， ∴ 点表示的数为． ②当点在点右侧时， 点表示的数为． 同理，点是线段的中点， ∴ 点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 【变式9-1】已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与表示7的点重合．若数轴上A，B两点之间的距离为2026，且A，B两点经以上方法折叠后重合，则B点表示的数是（     ） A．或1013 B．或1010 C．或1016 D．或1016 【答案】C 【分析】根据折叠重合的两点对称，先确定对称中心，再结合两点距离分情况计算B点表示的数． 【详解】解：折痕对应的数为． ∵A，B两点折叠后重合， ∴A，B关于表示3的点对称． ∵A，B两点之间的距离为2026， ∴两点到3的距离为． 当点B在表示3的点左侧时，B表示的数为． 当点B在表示3的点右侧时，B表示的数为． 【变式9-2】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、18，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴求出点表示的数，再根据折叠的性质求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵，且点在点B的右侧， ∴点表示的数为， ∵将数轴向右对折后点A与点重合， ∴点C表示的数为． 【变式9-3】如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，能正确找出折叠点是解题的关键．表示点和表示3的点重合，则折叠的点表示1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示3的点重合， ∴折叠点为和3的中点，它表示1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4， 当点在折叠点右侧时，对应的数为， 当点在折叠点左侧时，对应的数是， ∴点A表示的数是5或． 故选∶D． 【题型10 有理数的乘方运算及逆运算】 【例10】下列说法正确的是（     ） A．一个有理数与它的相反数的积一定为负数 B．几个数相乘，若有5个负因数，则积为负 C．与意义不同，但结果相等 D．45万和450000的精确度是相同的 【答案】C 【分析】利用0的特殊性排除A、B选项，结合乘方意义、精确度定义判断C、D选项． 【详解】解：∵0的相反数是0，，不是负数， ∴A错误． ∵几个数相乘时，若存在因数为0，则积为0，与负因数个数无关， ∴B错误． ∵表示3个相乘，结果为；表示的相反数，结果为，二者意义不同，结果相等， ∴C正确． ∵45万精确到万位，450000精确到个位， ∴D错误． 【变式10-1】下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算各选项中式子的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 又∵， ∴最小的数是． 【变式10-2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【变式10-3】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 【题型11 乘方运算的符合规律、乘方的应用】 【例11】下列各组数中，相等的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和（为正整数） 【答案】B 【详解】解：A选项：，，不相等； B选项：，，相等； C选项：，，不相等； D选项：为正整数时，与符号相反，不相等． 【变式11-1】如图，点A和点B表示的数分别为a和b．下列式子中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可得，结合选项逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，，故ABC正确； ∴，故D错误． 【变式11-2】若，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】利用绝对值与平方的非负性求出，的值，再代入计算乘方． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，． ∴， ∴． 【变式11-3】数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个1~2025的整数并记住；乙对甲默想的数提出一个猜想，甲比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明乙同学猜中；若乙没有猜中，则根据甲的回答，调整猜想，重复步骤，直到猜中．其中甲按要求选好一个数后，乙至多猜（     ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】每次猜测后范围减半，设猜次，需满足，通过计算的幂次确定最小次数． 【详解】解：设乙猜次可以一定猜出此数． ∵每次猜测后剩余范围可减半． ∴需满足． ∵，． ∴的最小值为 11． 【题型12 含乘方的有理数混合运算】 【例12】下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A中，，与3不互为相反数； B中，，，两数不互为相反数； C中，，与相等，不互为相反数； D中，，，两数互为相反数. 【变式12-1】规定一种运算：，例如，则的值为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式12-2】下列各组数中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】注意乘方运算的底数是否包含负号，遵循运算顺序计算各选项的两个式子，比较结果是否相等． 【详解】解：A选项：，，结果不相等． B选项：，，结果相等． C选项：，，结果不相等． D选项：，，结果不相等． 【变式12-3】已知，，，，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需明确乘方运算的底数与运算顺序，准确计算的值后判断各选项． 【详解】解：，，，， ∵， ∴，A错误，B正确， ∵， ∴，C错误， ∵，，， ∴，D错误． 【题型13 科学记数法】 【例13】党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法形式为，其中， 为整数，对于数字，需确定，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 【变式13-1】据报道，在中国空间站上一天可以看见16次日出，中国空间站一天飞行的路程大约为万千米．数据万用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键在于用科学记数法表示为，确定、的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，为整数，的值为整数位数少1，据此即可解答． 【详解】万即，用科学记数法表示为， 故选B． 【变式13-2】地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【变式13-3】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【题型14 近似数与精确度】 【例14】已知a，b为有理数，下列说法：①若，则a、b互为相反数；②用四舍五入法把数2020精确到百位是2000；③如果，则；④取最小值的x的值有无数个．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴且， ∴，即、互为相反数，正确； ②∵2020精确到百位需看十位数字2， ∴四舍五入后为， 2000精确到个位，故原说法错误； ③∵当同号时，， ∴当时，异号且或或， ∴，正确； ④当取得最小值时，则取得最小值，反之亦然， ∵当时，和能够同时取得最小值， ∴当时，取得最小值，此时取得最小值； ∴取最小值的x的值只有；故原说法错误； 综上，正确的有2个. 【变式14-1】下列说法正确的是（     ） A．近似数与近似数的精确度相同 B．我国陆地领土万平方千米中的万是准确数 C．近似数万与近似数的精确度相同 D．近似数万与近似数的精确度相同 【答案】D 【分析】逐个分析选项，判断每个数精确到哪一位，区分准确数与近似数． 【详解】解：A、近似数精确到十分位，近似数18精确到个位，精确度不同，此选项不符合题意； B、我国陆地领土960万平方千米中的960万是近似数，不是准确数，此选项不符合题意； C、近似数7万精确到万位，近似数70000精确到个位，精确度不同，此选项不符合题意； D、近似数2.1万精确到千位，近似数精确到千位，精确度相同，此选项符合题意． 【变式14-2】下列说法中：①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到的近似数；④精确到百位；⑤近似数所表示的准确数的范围是．正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度的知识对选项逐一判断即可． 【详解】解：①近似数精确到，精确到，它们表示的意义不同，①说法正确； ②近似数，是精确到十位，②说法正确； ③近似数是精确到的近似数，③说法正确； ④精确到个位，④说法错误； ⑤近似数所表示的准确数的范围是，⑤说法错误． ∴正确的个数有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【变式14-3】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴得到，的正负和绝对值的大小，再逐一判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，，，， ∴，故A选项正确，不符合题意， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意， ∵，， ∴，， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意． 2．若算式的运算结果为，则算式中“□”和“△”内应填入的运算符号是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性和乘除法的性质，先确定内的运算符号，再推导内的符号． 【详解】解：由绝对值的非负性，得， 又∵，的运算结果为， ∴不可能是和， 若为，则，不可能等于， ∴内为，此时， ∵， ∴内为． 3．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2027这个数所对应的点是（     ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】D 【分析】先求出正六边形边长，模拟翻转过程找到翻转周期，再计算数轴上数字2027对应的位置，利用周期规律判断对应顶点． 【详解】解：由题意，点A对应，点F对应，所以正六边形边长为1． 翻转1次，点E对应0； 翻转2次，点D对应1； 翻转3次，点C对应2； 翻转4次，点B对应3； 翻转5次，点A对应4； 翻转6次，点F对应5． 可以看出，每翻转6次为一个循环周期，依次落在数轴上的点：E，D，C，B，A，F． 起点F对应的数是，数字2027与的距离：． 计算，没有余数． 说明刚好完成338个完整周期，对应一个周期的最后一个点，也就是点F． 所以数轴上2027对应的点是F． 4．有下列四组数：①1和1；②和；③0和0；④和．其中互为倒数的有（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据定义：乘积为的两个数，互为倒数，进行逐项判断即可．其中1的倒数是1，0没有倒数． 【详解】解：①，∴①互为倒数； ②，，，∴②不互为倒数； ③∵没有倒数，∴③不互为倒数； ④∵，，∴④ 互为倒数． 5．下列说法正确的有（     ）个． （1）有理数不是正有理数就是负有理数；（2）倒数等于本身的数为1；（3）若，则是一个正数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据有理数分类，倒数定义，绝对值意义，相反数意义，进行解答即可． 【详解】解：（1）∵有理数包括正有理数、0、负有理数，∴该说法错误； （2）∵倒数等于本身的数为，∴该说法错误； （3）∵时，，∴该说法错误； （4）∵互为相反数的两个数的绝对值相等，∴该说法正确； 综上，正确的说法有1个． 6．某地的气温从山脚开始变化，当海拔高度每升高100米时，气温会降低，现测得山脚的温度是，山上某处的气温为，此处距山脚的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵山脚温度为，山上某处气温为，海拔每升高100米气温降低， ∴ 此处距山脚高度为． 7．有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴知：，，，进而利用绝对值的意义、有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，，， 故选项B正确，符合题意 ． 8．定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据定义运算代入计算即可． 【详解】解： 9．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁：． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：甲：，故甲不正确； 乙：，故乙不正确； 丙：，故丙不正确； 丁：，故丁正确； 所以，我认为做对的同学是丁． 10．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键； 通过计算发现，每次输出的结果循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， 第七次计算输出的结果是， 第八次计算输出的结果是， 第九次计算输出的结果是， 第十次计算输出的结果是，…， ∴从第二次开始，每次输出的结果循环出现， ， ∴第次计算输出的结果是， 故选：A． 11．______． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方法则得题目计算式等于，再根据偶数个负数相乘为正数，即可得，最后根据有理数乘方法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 12．计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据乘方的规律，的偶次幂结果为，奇次幂结果为，分别计算两项后相加即可得到结果． 【详解】解：． 13．利用公式计算：________． 【答案】 【详解】解：． 14．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出结果是______． 【答案】 【分析】先按着计算机的计算程序计算，再看计算结果与的关系，最后输出． 【详解】解：按照程序计算可得：， 继续按照程序计算，， ∴最后输出的结果为：． 15．打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 【答案】 【分析】先计算出甲、乙每小时的工作效率，再根据给定的交替工作规律，计算多轮交替后完成的工作量，再对剩余工作量按顺序计算所需时间，最后求和得到总工作时间； 【详解】解：甲每小时打印页数：（页）， 乙每小时打印页数：（页）， 交替工作以“甲工作1小时，乙工作2小时，甲工作2小时，乙工作1小时”为一个完整周期，一个周期总时长为（小时）， 一个周期完成的工作量：（页）， 两个周期总时长为（小时），完成工作量（页）， 剩余工作量：（页）， 按顺序接下来轮到甲工作1小时，甲完成（页），剩余工作量：（页），剩余工作由乙完成，所需时间：（小时）， 总时间为：（小时）， 答：打印这部书稿共要小时． 15．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据乘方的定义计算，可得：原式，再利用乘法结合律进行简便计算； （2）根据乘方的定义计算，可得：原式，再根据运算法则进行计算； （3）根据四则运算的顺序先算小括号里面的，可得：原式，根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．我校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小鸣同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小鸣同学一周内的跑步记录，其中超过千米的记为正，不足千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多________千米； (2)小鸣同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？请通过计算说明理由； (3)若小鸣同学每跑步千米大约消耗大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小鸣共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 解：小鸣同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划， 理由如下： 一周与计划的差值总和为：（千米）， 一周计划总路程为（千米）， 实际总路程为（千米）， ， 完成计划； (3) 大卡 【分析】（1）根据超过千米的记为正，不足千米的记为负，可知这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天记作，跑步路程最短的一天记作，用最大值减去最小值即可得到小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多的路程； （2）计算出这一周小鸣实际跑步的总路程，和计划的总路程比较，可知小鸣完成了计划； （3）根据小鸣这周实际跑步的路程和每跑步千米大约消耗大卡的热量，即可计算出这周小鸣消耗的热量． 【详解】（1）解：由表格可知，这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天记作，跑步路程最短的一天记作， 这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多千米； （2）略 （3）解：由（2）可知小鸣这周的实际总路程为（千米）， 每跑步千米大约消耗大卡的热量， 小鸣共计消耗大卡． 19．盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流玩具，精准切入年轻消费者市场．某盲盒专卖店，以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价和售出情况如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价相对于标准价格/元 0 售出数量/个 20 30 40 50 25 45 40 (1)第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期 ；最高单价是 元． (2)第一周该店出售这批盲盒的利润如何？（盈利或亏损的总价） 【答案】(1)五； (2)盈利元 【分析】（1）比较各天售价相对标准价的差值，最大差值对应单价最高的星期，标准价与最大差值的和为最高单价． （2）先计算一周总销量，再通过总销售额与总成本的差值确定盈亏情况． 【详解】（1）解：由表格可知，第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期五，最高单价是元； （2）解： （元）， （元）， 答：第一周该店出售这批盲盒盈利元． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $