专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+12大题型+自我检测）讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义围绕有理数的乘法与除法，通过4个核心知识点（乘法法则、运算律、倒数、除法法则）构建知识体系，以结构化框架呈现法则内容、运算步骤及内在联系，配套即时训练巩固基础，清晰梳理重难点分布。 讲义亮点在于15类分层题型设计，基础题型涵盖实际应用（如流感传染问题）、简便运算（裂项相消法），提高题型结合数轴与绝对值综合问题，培养运算能力与应用意识。自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数乘除中的简便运算 9 题型十、有理数四则混合运算 10 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 11 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 12 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 题型三、裂项相消法解决规律计算问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）规定运算⊕：，则______． 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）这里运用了乘法的（　　）． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）计算：______． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2026·浙江温州·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）的倒数是________． 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河北邢台·期末）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）化简下列各分数：__________，__________，__________． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26九年级·浙江温州·期中）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【例2】（24-25七年级上·全国·期中）已知，为有理数，下列条件：① ；②；③；④．其中一定能够推理出 ， 异号的条件是________(填序号)． 1．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）a、b是不为0的整数，a乘以b，再乘以b的倒数，结果为（   ） A．a B．b C． D．0 2．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）首饰的含金量一般用“”“”“”等表示．“”表示含金量近似，“”表示含金量近似，“”表示含金量近似．如图这款戒指含金约__________克． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）规定一种新运算“※”如下：．例如，．根据此规定解答下列问题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）五个数相乘的积为负数，则这五个数中负因数有（　　） A．1个 B．1个或3个 C．5个 D．1个或3个或5个 【例2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）______×______=______． 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），则的值为_________． 3．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）有甲、乙两种得分卡片各5张，甲卡片上分别写有1，2，3，4，5共五个得分数字；乙卡片上分别写有，，，，共五个得分数字．两种卡片的背面完全相同，将两种卡片充分混合后把背面朝上． (1)从中抽取3张相乘，如果你想得到最高分，那么希望抽取哪几张，得分是多少？ (2)从中抽取3张相加，试举例两种得0分的可能情况． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（25-26九年级上·广西防城港·阶段检测）一人患流感，每轮传染2人，两轮后患流感总人数是（   ） A．3 B．7 C．5 D．9 【例2】（24-25七年级上·重庆大渡口·期中）如图，现需要对某市的四个区域种植7 种颜色的鲜花，有公共边的两个区域不种植同一种颜色的鲜花，则共有______种种植方法． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）（正方形与长方形）小芳用2平方分米的正方形纸片测量自己课桌的面积（如图），小芳课桌的面积是（     ）平方分米． A．14 B．28 C．56 D．72 2．（24-25九年级下·北京·阶段检测）初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴标签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要________分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要________分钟． 3．（25-26七年级上·广东惠州·期末）某水果店新进了10箱橘子，以每箱30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 (1)10箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱多重_______千克； (2)与标准重量比较，10箱橘子总计超过或不足多少千克？ (3)若橘子每千克售价8元，则出售这10箱橘子可卖多少元？ 【基础题型四 倒数】 【例1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．至迟成书于东汉早期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念．−的倒数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·重庆·专题练习）与______互为倒数；若，那么______． 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京·期中）一个数的倒数是，则这个数是________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)正负号相反的两个数叫做互为相反数； (2)相反数和我们以前学过的倒数是一样的； (3)一个数的相反数的相反数等于这个数本身． 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）用分配律计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： _______ _______ ．_______ 1．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）下面不可以表示的是（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的______可以简单运算；其计算结果是______． 3．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 【例2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则□内的数字是______． 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如果线段，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．5 2．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）当有理数不等于0时，把2个相同的有理数的除法运算记作；把3个相同的有理数的除法运算记作；把4个相同的有理数的除法运算记作；…特别地．规定．则的值为_________． 3．（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换_____瓶啤酒． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 2．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）把89转换为八进制数是_______． 3．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图显示的是张亮近五天跑步的情况，设定每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数．如周二，张亮少于目标步数600步． (1)求这5天中最多步数与最少步数相差多少： (2)求这5天步数的平均数： (3)若张亮每走1000步消耗热量约为40卡，求她这5天运动消耗的总热量． 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）下列算式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·山东·课后作业）计算：_________． 1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）一辆小排量轿车每百公里耗油升，另一辆大排量轿车每百公里耗油升，两辆轿车同样行驶千米的路程，小排量轿车比大排量轿车节省燃油______升． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【基础题型九 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4)       2．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【基础题型十 有理数四则混合运算】 【例1】（25-26七年级上·四川达州·期中）今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·云南保山·模拟预测）已知，那么____． 3．（25-26七年级下·贵州安顺·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【基础题型十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（  ）瓶汽水． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）【混合运算的应用】某县中小学生大约有12万人．如果每人每天浪费2张纸，那么全县中小学生每天浪费的纸张摞起来的高度大约有________米．(每100张纸的厚度约为1厘米) 1．（2026·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 2．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作小时，“节能模式”可连续工作小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务： （1）该机器人在“节能模式”下完成个单位的家务工作至少需要______小时（含中途充电时间）． （2）小时内，该机器人最多可以完成______个单位的家务工作． 3．（26-27七年级上·河南三门峡·期中）聪聪和明明进行“50米往返跑”训练，两人同时从起点出发，其中聪聪的速度为米/秒，明明的速度为米/秒，请你根据信息解决问题： (1)两人第一次相遇，________跑的路程多；（填聪聪或明明） (2)多少秒后，聪聪和明明第一次相遇？相遇时两人各跑了多少米？ 【基础题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·福建福州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简______． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西·阶段检测）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则_____，_____， _____． 3．（25-26七年级上·四川成都·期中）（1）已知关于x、y的多项式．（友情提示：关于x，y的多项式即式子中只含有字母，其他字母为常数）此代数式的值与字母x的取值无关．求的值 （2）a、b、c在数轴上如图所示，化简： 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若在正方形的四个顶点处依次标上“最”“棒”“五”“中”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“五”“中”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“最”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（    ） A．五 B．中 C．最 D．棒 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______． 1．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为________； (2)图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； (3)由（1）、（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明问爸爸的年龄，爸爸说：“我要是你现在这么大，你才满2岁，你要是我现在这么大，我就71了”，请问爸爸现在多少岁？ 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 3．（24-25七年级上·广东中山·阶段检测）数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图1在数轴上有数，在数轴上标出数，并借助数轴比较，，，的大小，用“>”连接； (2)如图2在数轴上有数a，b，c． ①若，，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； ②在①的条件下，化简：． 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如图是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了20层．我们自上而下，在圆圈中按图的方式填上一串连续的整数，，，则图中所有圆圈中各数的绝对值之和是_____． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 2．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 3．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数_____两点间的距离；表示数轴上数与数_____两点间的距离； (2)表示数轴上数与数_____的距离和数与数_____的距离的和； (3)满足的所有整数的值是_____． (4)借助数轴，直接写出当满足时，数的值是_____． 【提高题型三 裂项相消法解决规律计算问题】 【例1】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 2．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 3．（25-26八年级上·云南红河·阶段检测）观察下列等式：， 把以上三个等式两边分别相加得：． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)规律应用：计算：的值； (2)拓展提高：若为正整数，证明：． 1．（2026·安徽蚌埠·一模）的倒数是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川广元·期中）根据，，下面算式的得数在它们之间的算式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级下·上海·期末）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算： ________． 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 8．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 9．（25-26七年级上·福建泉州·期中）n个有理数，，，…，，其中，，，…，，则…______ ． 10．（25-26七年级下·北京顺义·期末）焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成以下小题 (1)把图①中第一个圈里的每一个数，分别乘以，将结果写在第二个圈里对应的位置； (2)把图②中第一个圈里的每一个数，分别除以，将结果写在第二个圈里对应的位置． 14．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 15．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数乘除中的简便运算 9 题型十、有理数四则混合运算 10 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 11 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 12 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 题型三、裂项相消法解决规律计算问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）规定运算⊕：，则______． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算．根据规定运算计算，再计算即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：4． 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）这里运用了乘法的（　　）． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键．根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解：根据乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，依此可判断运用了乘法分配律的逆向运算． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键；利用乘法分配律计算即可得到结果． 【详解】解： ； 故答案为：． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2026·浙江温州·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴的倒数是． 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）的倒数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数；先把带分数换成假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， ∴的倒数是． 故答案为：． 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河北邢台·期末）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法运算，先把除法变成乘法，再计算乘法即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）化简下列各分数：__________，__________，__________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数除法运算，解题的关键是掌握有理数除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：；；． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26九年级·浙江温州·期中）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 【例2】（24-25七年级上·全国·期中）已知，为有理数，下列条件：① ；②；③；④．其中一定能够推理出 ， 异号的条件是________(填序号)． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，相反数和绝对值，熟练掌握上述定义与法则是解题的关键．利用有理数的乘法法则和绝对值的意义对每个条件进行逐一判断即可． 【详解】解： ， 异号． ①符合要求； ， 异号． ②符合要求； ， 互为相反数，但不一定异号， ③不符合要求； ， ， 不一定能够推理出异号． 一定能够推理出异号的条件是：①②． 故答案为：①②． 1．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）a、b是不为0的整数，a乘以b，再乘以b的倒数，结果为（   ） A．a B．b C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的意义、有理数乘法运算，熟练掌握倒数的意义以及乘法的运算法则是解题的关键.根据倒数的定义，b的倒数为，b与它的倒数相乘结果为1，再与a相乘即可得到结果． 【详解】解：∵b的倒数为，互为倒数的两数乘积为1， ∴， ∴a乘以b，再乘以b的倒数为． 故选：A． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）首饰的含金量一般用“”“”“”等表示．“”表示含金量近似，“”表示含金量近似，“”表示含金量近似．如图这款戒指含金约__________克． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的基本应用，能够读懂题意是解题关键． 直接利用计算即可． 【详解】解：克， 故答案为： ． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）规定一种新运算“※”如下：．例如，．根据此规定解答下列问题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)26 (2) 解：不相等，理由如下： 由（1）得， 因为， 所以． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义计算出的值即可得到结论． 【详解】（1）解：； （2）略 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）五个数相乘的积为负数，则这五个数中负因数有（　　） A．1个 B．1个或3个 C．5个 D．1个或3个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 根据有理数的乘法法则解答即可． 【详解】解：五个有理数的积为负数， 这五个有理数中有奇数个负因数，即1个或3个或5个， 故选：D． 【例2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）______×______=______． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法的意义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：；4；3． 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【详解】解：由已知得， 故选C． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），则的值为_________． 【答案】10或15 【分析】本题考查新定义，读懂题意，理解亏数概念，按题意要求，先确定，分类讨论求解即可得到答案．理解亏数概念是解决问题的关键． 【详解】解：亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列）， ，即可取， 当时，； 当时，； 当时，，此时所有因数为，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为10或15， 故答案为：10或15． 3．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）有甲、乙两种得分卡片各5张，甲卡片上分别写有1，2，3，4，5共五个得分数字；乙卡片上分别写有，，，，共五个得分数字．两种卡片的背面完全相同，将两种卡片充分混合后把背面朝上． (1)从中抽取3张相乘，如果你想得到最高分，那么希望抽取哪几张，得分是多少？ (2)从中抽取3张相加，试举例两种得0分的可能情况． 【答案】(1)抽取写有，，5的3张，得分为100； (2)抽取1，2，三张或抽取，，3三张 【分析】本题考查有理数乘法法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负，并把绝对值相乘；有理数加法法则的运用：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数．根据题意所给的情景，灵活运用有理数的加法法则，进行解题． 【详解】（1）解：抽取写有，，5的3张，得分为； （2）解：例如：∵或， ∴抽取1，2，三张或抽取，，3三张． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（25-26九年级上·广西防城港·阶段检测）一人患流感，每轮传染2人，两轮后患流感总人数是（   ） A．3 B．7 C．5 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，可根据每轮传染的人数，先求出第一轮传染后患流感的总人数，再在此基础上求出第二轮传染后患流感的总人数，相加即可． 【详解】解：由题意得，第一轮传染后，新增加的患流感人数是(人)，加上原来患流感的1人， ∴第一轮传染后患流感的总人数为(人)， ∵每轮传染2人， ∴第二轮新增加的患流感人数是(人)， ∴两轮后患流感总人数是(人)， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·重庆大渡口·期中）如图，现需要对某市的四个区域种植7 种颜色的鲜花，有公共边的两个区域不种植同一种颜色的鲜花，则共有______种种植方法． 【答案】1050 【分析】本题考查有理数乘法的应用，依次考虑区域，区域，区域，区域，根据有公共边的两个区域不种植同一种颜色的鲜花，确定每个区域有多少种可能，所得结果连乘即可． 【详解】解：先考虑区域，有7种可能； 区域与区域Ⅰ相邻，颜色不能相同，只有6种可能， 区域与区域Ⅰ和相邻，颜色不能相同，只有5种可能， 区域与区域和相邻，颜色不能相同，只有5种可能， ， 即共有1050种种植方法， 故答案为：1050． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）（正方形与长方形）小芳用2平方分米的正方形纸片测量自己课桌的面积（如图），小芳课桌的面积是（     ）平方分米． A．14 B．28 C．56 D．72 【答案】C 【分析】本题考查长方形的面积，由图可知长方形的长为个小正方形的长，宽为个小正方形的长，然后利用面积公式计算即可． 【详解】解：课桌的面积为（平方分米）． 故选C． 2．（24-25九年级下·北京·阶段检测）初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴标签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要________分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要________分钟． 【答案】 26 43 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．根据题意列出算式，求出甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成4个班级运回书籍的工作，同时乙、丙完成另外三项工作，最后1个班级的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可． 【详解】解：甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间为： （分钟）， 合作完成4个班级的任务，最优策略是采用流水线作业；甲小组完成全部4个班级的运回书籍任务耗时 分钟；当甲完成第4个班级的运回书籍任务时，三个小组可同时对该班级进行后续三项工作（擦书架、查损坏、贴标签），耗时取决于最长的一项，即7分钟；故最少需要 分钟， 即甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要43分钟， 故答案为：26；43． 3．（25-26七年级上·广东惠州·期末）某水果店新进了10箱橘子，以每箱30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 (1)10箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱多重_______千克； (2)与标准重量比较，10箱橘子总计超过或不足多少千克？ (3)若橘子每千克售价8元，则出售这10箱橘子可卖多少元？ 【答案】(1)3 (2)不足5千克 (3)出售这10箱橘子可卖2360元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正负数的应用． （1）用最重的与标准质量的差值减去最轻的与标准质量的差值，即可求出两箱的质量差． （2）将每类与标准质量的差值乘以对应箱数后求和，结果为正表示总计超过标准重量，结果为负表示总计不足标准重量． （3）先计算10箱橘子的实际总质量，再乘以每千克的售价，即可得到总销售额． 【详解】（1）解：（千克） 答：最重的一箱比最轻的一箱多重3千克． （2）解：（千克） 答：与标准重量比较，10箱橘子总计不足5千克． （3）解：（千克） （元） 答：出售这10箱橘子可卖2360元． 【基础题型四 倒数】 【例1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．至迟成书于东汉早期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念．−的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 【例2】（2025七年级上·重庆·专题练习）与______互为倒数；若，那么______． 【答案】 5 13 【分析】此题考查了相反数和倒数定义． 根据倒数的定义，的倒数是5；根据相反数的定义，若，则． 【详解】解：乘积为1的两个数互为倒数，因此的倒数是5； 若，则， 故答案为：5，13 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据绝对值的非负性，求出的值，再计算，最后得到的倒数即可． 【详解】∵与均为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的倒数为． 2．（25-26七年级上·北京·期中）一个数的倒数是，则这个数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义，已知一个数的倒数，求这个数，只需用1除以这个倒数即可． 【详解】解：根据倒数的定义，若两个数互为倒数，则它们的乘积为1， 已知一个数的倒数是，那么这个数就是， 所以， 故答案为：． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)正负号相反的两个数叫做互为相反数； (2)相反数和我们以前学过的倒数是一样的； (3)一个数的相反数的相反数等于这个数本身． 【答案】(1)错误，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，规定0的相反数是0，仅正负号相反的两个数不一定互为相反数，故原说法错误； (2)错误，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，故相反数和我们以前学过的倒数是不一样的，故原说法错误； (3)正确，一个数的相反数的相反数等于这个数本身，故原说法正确． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）用分配律计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律，将括号内的每个项分别与括号外的数相乘，注意符号的变化，即可得到答案． 【详解】解： A、完整分配了括号内的所有项（），且符号正确，故A正确． B、缺少第三项，故B错误． C、错误地将变为，故C错误． D、第二项错误地使用而非，故D错误． 故选：A 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： _______ _______ ．_______ 【答案】 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【分析】本题考查了乘法交换律、结合律以及分配律，熟练掌握乘法的运算法则及运算规律是解决本题的关键．根据乘法的运算规律求解即可． 【详解】解： （乘法交换律） （乘法结合律） （乘法分配律）． 故答案为：乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律． 1．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）下面不可以表示的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查乘法分配律，根据题意，乘法分配律指一个数乘两数之和，等于这个数分别乘这两个数再相加，用字母表示为： 【详解】解：A.图中圆点表示5个6与4个6的总和，列式为：； B.可以表示为：； C.，根据长方形的面积公式：长×宽，两个小长方形拼成大的长方形，大的长方形的长等于，宽是4，两个小长方形的面积等于大长方形面积，所以可以表示为：； D.列式为：，不可以表示， 故选：D 2．（25-26七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的______可以简单运算；其计算结果是______． 【答案】 分配律 【分析】本题考查有理数的运算．掌握乘法分配律，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：在计算时，利用乘法的分配律可以简单运算； 原式； 故答案为：分配律，． 3．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．将变形为，然后逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 【答案】B 【分析】本题考查十进制数转化为二进制数，使用“除2取余，逆序排列”的方法求解即可 【详解】解：∵余1 余0 余1 余1 余1 将所得余数从下往上逆序排列，得到二进制数11101， 故选：B 【例2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则□内的数字是______． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的乘除法，利用有理数除法运算求解． 【详解】解：由等式，得． 故答案为：3． 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如果线段，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查线段长度比值的计算，直接将已知线段长度代入比值式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）当有理数不等于0时，把2个相同的有理数的除法运算记作；把3个相同的有理数的除法运算记作；把4个相同的有理数的除法运算记作；…特别地．规定．则的值为_________． 【答案】// 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的除法运算等知识，理解新定义是解题关键﹒根据新运算定义，先计算，，由此即可得﹒ 【详解】解：，， ∴﹒ 故答案为： 3．（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，准确计算是解题的关键． 根据所给方法计算即可； 【详解】 ， ， ． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、有理数的运算，利用数轴得出a，b，c的大小关系是解题的关键．根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ，，，，故①②错误，③④正确； ，，， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换_____瓶啤酒． 【答案】6 【分析】本题考查了除法的应用．先把一箱啤酒共12瓶喝完，共得到12个空瓶，可以换瓶啤酒，再喝完，可以得4个空瓶，可以换，即得到1瓶啤酒余1个空瓶，喝完1瓶啤酒再加原来的1个空瓶，这时候剩2个空瓶，可以再借一个瓶子，换完啤酒后，喝掉一瓶，再还回去，由此即可求解． 【详解】解： (瓶) (瓶)…1(个) (瓶) (瓶) (瓶) 他们还可以再兑换6瓶啤酒． 故答案为：6． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）把89转换为八进制数是_______． 【答案】 【分析】此题考查了进制的转换，有理数的除法运算，根据进制的转换法则求解即可． 【详解】 ∴从下往上读取余数，得到． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图显示的是张亮近五天跑步的情况，设定每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数．如周二，张亮少于目标步数600步． (1)求这5天中最多步数与最少步数相差多少： (2)求这5天步数的平均数： (3)若张亮每走1000步消耗热量约为40卡，求她这5天运动消耗的总热量． 【答案】(1)相差1800步 (2)这5天步数的平均数8190步 (3)消耗的总热量为1638卡 【分析】本题主要考查了有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键． （1）根据正负数的意义，结合图象，进行求解即可； （2）求出五个数据的平均数加上8000即可； （3）求出本周的总步数，除以1000，再乘以40卡即可． 【详解】（1）解：由图象可知，步数最多的是周三，最少的是周五， （步）， 答：这5天中最多步数与最少步数相差1800步． （2）解：（步）， （步）， 答：这5天步数的平均数是8190步； （3）解：（卡）； 答：张亮这5天运动消耗的总热量为1638卡． 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）下列算式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．根据有理数乘除运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，故选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26六年级上·山东·课后作业）计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除法法则．把除法转化为乘法，利用多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则和运算顺序，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、；原计算错误，不符合题意； B、；原计算错误，不符合题意； C、；原计算错误，不符合题意； D、；原计算正确，符合题意； 故选D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）一辆小排量轿车每百公里耗油升，另一辆大排量轿车每百公里耗油升，两辆轿车同样行驶千米的路程，小排量轿车比大排量轿车节省燃油______升． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除法的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． 【详解】解：根据题意，（升）， 故答案为： ． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【基础题型九 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【基础题型十 有理数四则混合运算】 【例1】（25-26七年级上·四川达州·期中）今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】先计算所有两两组合的总数，再去掉重复计算的部分即可得到结果． 【详解】解：∵每个项目都可以和其余个项目组合，直接计算会把每组组合重复计算2次， ∴总的不同选择数为， 因此共有15种不同的选择． 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四种运算结果，对比即可． 【详解】解：A．； B．； C．； D．； ∵， ∴“”里，填入运算符号“”时，算式的值最大． 2．（2026七年级下·云南保山·模拟预测）已知，那么____． 【答案】 【分析】结合式子特征，，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵，且 ∴． 3．（25-26七年级下·贵州安顺·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 【基础题型十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（  ）瓶汽水． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，理解并掌握题干“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，然后即可求解； 本题可逐步计算每次用空瓶换得的汽水数量，再将所有喝到的汽水数量相加，核心是利用“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，逐步兑换直到无法再换为止，然后即可求解； 【详解】解：∵ 初始购买瓶汽水，喝完后有个空瓶， 又∵ 每3个空瓶换1瓶汽水， ∴ 个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完7瓶后有7个空瓶， ∴ 7个空瓶可换汽水：（瓶）（个）空瓶，此时共喝了（瓶），喝完2瓶后有（个）空瓶， ∴ 3个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完1瓶后剩1个空瓶，无法再兑换， ∴ 一共喝了31瓶汽水； 故选：D； 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）【混合运算的应用】某县中小学生大约有12万人．如果每人每天浪费2张纸，那么全县中小学生每天浪费的纸张摞起来的高度大约有________米．(每100张纸的厚度约为1厘米) 【答案】24 【分析】本题考查混合运算的应用，学生人数乘以每人每天浪费纸的张数，再除以100可得纸张的厚度，再将厘米换算成米即可． 【详解】解：厘米米， 故答案为：24． 1．（2026·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 2．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作小时，“节能模式”可连续工作小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务： （1）该机器人在“节能模式”下完成个单位的家务工作至少需要______小时（含中途充电时间）． （2）小时内，该机器人最多可以完成______个单位的家务工作． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算的应用， （1）根据题意知：在“节能模式”下，机器人每小时完成个单位的工作，满电状态下可连续工作小时，可完成个单位的家务工作，则要完成个单位需要两次满电工作，可得答案； （2）要在小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时：可得出“快速模式”每小时完成个单位的家务工作，每周期耗时小时；“节能模式”每小时完成个单位的家务工作，每周期耗时小时，然后分两种情况：通过混合策略：1．前两次“快速模式”；2．再两次“节能模式”；调整后：“快速模式”次(小时，单位)，剩余小时；“节能模式”次：首次小时(单位)至第小时，充电小时至第小时，最后小时(至小时)节能模式，再完成单位，可得答案． 【详解】解：（1）在“节能模式”下，机器人每小时完成个单位的工作，满电状态下可连续工作小时， ∴可完成家务工作为：（单位）， 要完成个单位需要两次满电工作：第一次工作小时，完成单位；然后充电小时；第二次工作小时，完成剩余单位， ∴总时间为（小时）， 故答案为：； (2)要在小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时∶ “快速模式”每小时完成：（单位），每周期(工作小时充电小时)耗时小时； “节能模式”每小时完成：（单位），每周期(工作小时充电小时)耗时小时， 通过混合策略∶ 1．前两次“快速模式”：（小时），完成：（单位）； 2．再两次“节能模式”：（小时），完成：（单位）， 总时间为：（小时） 超出限制，不符合题意， 调整如下： “快速模式”次(小时，单位)，剩余小时； “节能模式”次：首次小时(单位)至第小时，充电小时至第小时，最后小时(至小时)节能模式，再完成单位， 总工作量为：（单位），总时间小时． 故答案为：． 3．（26-27七年级上·河南三门峡·期中）聪聪和明明进行“50米往返跑”训练，两人同时从起点出发，其中聪聪的速度为米/秒，明明的速度为米/秒，请你根据信息解决问题： (1)两人第一次相遇，________跑的路程多；（填聪聪或明明） (2)多少秒后，聪聪和明明第一次相遇？相遇时两人各跑了多少米？ 【答案】(1)聪聪 (2)秒后，聪聪和明明第一次相遇，相遇时聪聪跑了米、明明跑了米 【分析】（1）根据题意比较后进行解答即可； （2）先求出时间，再求出聪聪、明明跑的路程即可． 【详解】（1）解：，即两人第一次相遇，聪聪的路程多； （2）解：（秒） （米） （米） 答：秒后，聪聪和明明第一次相遇，相遇时聪聪跑了米、明明跑了米． 【基础题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 【例2】（25-26七年级上·福建福州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数和数轴，含有字母的绝对值的化简，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据数轴得，， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 2．（25-26七年级上·山西·阶段检测）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则_____，_____， _____． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简，由数轴得，结合，根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴得 ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：，，． 3．（25-26七年级上·四川成都·期中）（1）已知关于x、y的多项式．（友情提示：关于x，y的多项式即式子中只含有字母，其他字母为常数）此代数式的值与字母x的取值无关．求的值 （2）a、b、c在数轴上如图所示，化简： 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算、多项式的系数、代数式求值及化简绝对值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用合并同类项整理多项式，再根据多项式的值与字母x的取值无关，即字母x的系数为0，代入代数式即可求解： （2）由数轴得和，，从而可得，，，，再根据绝对值的性质进行化简即可求解． 【详解】解：（1）原式 ∵此代数式的值与字母x的取值无关， ∴，，解得， 则； （2）由图可知，，， 则，，， ∴ ． 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若在正方形的四个顶点处依次标上“最”“棒”“五”“中”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“五”“中”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“最”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（    ） A．五 B．中 C．最 D．棒 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的规律探究问题，找出“最”“棒”“五”“中”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“五”字是数字除以4余2的，“中”字是数字除以4余3的，“最”字是数字能被4整除的，“棒”字是数字除以4余1的， ∵； ∴数2025对应的字是“棒”， 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；由题意易得第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..；由此可知每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： 第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：；第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..； ∴每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度， ∵， ∴第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为； 故答案为． 1．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为________； (2)图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； (3)由（1）、（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明问爸爸的年龄，爸爸说：“我要是你现在这么大，你才满2岁，你要是我现在这么大，我就71了”，请问爸爸现在多少岁？ 【答案】(1)8 (2)14，22 (3)48岁 【分析】本题考查了数轴、有理数四则混合运算的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）这根木棒的长等于数轴上表示6的点与表示30的点之间的距离的，据此求解即可得； （2）结合（1）的结论，利用数轴的性质列式，计算有理数的加法与减法即可得； （3）如图（见解析），设小明现在的年龄与数轴上的点重合，爸爸现在的年龄与数轴上的点重合，先求出数轴上表示的点与点之间的距离、点与点之间的距离、点与表示71的点之间的距离，再利用数轴的性质求解即可得． 【详解】（1）解：这根木棒的长为， 故答案为：8． （2）解：由（1）已得：这根木棒的长为， 则数轴上表示6的点与点之间的距离、点与表示30的点之间的距离均为， ∴图中点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：14，22． （3）解：如图，设小明现在的年龄与数轴上的点重合，爸爸现在的年龄与数轴上的点重合， 则数轴上表示的点与点之间的距离、点与点之间的距离、点与表示71的点之间的距离均为， ∴点表示的数是， 答：爸爸现在48岁． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)、两点表示的数是、 (3)正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示7的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 3．（24-25七年级上·广东中山·阶段检测）数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图1在数轴上有数，在数轴上标出数，并借助数轴比较，，，的大小，用“>”连接； (2)如图2在数轴上有数a，b，c． ①若，，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； ②在①的条件下，化简：． 【答案】(1)， 如图， (2) ①如图， ② 【分析】本题主要考查了数轴和有理数大小比较， （1）根据在数轴上右边的数总比左边的数大判断即可； （2）根据题意得出，，，再去绝对值符号，化简即可； 熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴如图所示即为所求， 根据数轴，得； （2）（2）①∵若，， ∴为负数，为正数，且， ∵原点在刻度上， ∴如图所示即为所求； ②如图知，，，， ∴ ． 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如图是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了20层．我们自上而下，在圆圈中按图的方式填上一串连续的整数，，，则图中所有圆圈中各数的绝对值之和是_____． 【答案】17667 【分析】本题考查有理数的加法运算，先根据一共有20层，求出共有个圆圈，进而得到共有23个负整数，1个0，186个正整数，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：图中圆圈共有个， ∴共有23个从开始的连续的负整数，1个0，186个从1开始的连续的正整数， ∴绝对值之和为： ； 故答案为：17667． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】（1）0，，20；（2）； （3）不成立，举例如下： 当时， ， ， 所以不成立． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）按照混合运算顺序和新定义，先算括号里面的，再算括号外面的即可得； （3）举出例子，根据新定义分别算出和的值，进行判断即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：0，，20． （2） ． （3）略 2．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2) 两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）略 3．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数_____两点间的距离；表示数轴上数与数_____两点间的距离； (2)表示数轴上数与数_____的距离和数与数_____的距离的和； (3)满足的所有整数的值是_____． (4)借助数轴，直接写出当满足时，数的值是_____． 【答案】(1)5， (2)，2 (3) (4)7或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的四则混合运算，理解绝对值的意义，运用数形结合思想是解题的关键； （1）根据数轴上两点之间的距离的意义求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离的意义求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知，表示数轴上数与数的距离与数与数2的距离的和为5，当表示x的点在表示和2的点之间时和是5，据此求解即可； （4）根据数轴上两点之间的距离的意义并结合数轴，分类讨论求解即可， 【详解】（1）解：表示数轴上数8与数5两点间的距离；表示数轴上数与数两点间的距离， 故答案为：5，； （2）解：表示数轴上数与数的距离和数与数2的距离的和， 故答案为：，2； （3）解：表示数轴上数与数的距离与数与数2的距离的和为5， 当表示x的点在表示和2的点之间时，和是5， 满足的所有整数的值是， 故答案为：． （4）解：表示数轴上数与数的距离与数与数5的距离的和为13， 当x表示的点在表示的点左边时， 当x表示的点在5表示的点右边时，， 当x表示的点在和5表示的点之间时，，不符合题意， 综上所述，数的值是7或， 故答案为：7或． 【提高题型三 裂项相消法解决规律计算问题】 【例1】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3) 解：原式 ． 【分析】（1）根据拆项法和乘法分配律求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）仿照题干方法，可将原式改写为，再利用乘法分配律和有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）略 2．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·云南红河·阶段检测）观察下列等式：， 把以上三个等式两边分别相加得：． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)规律应用：计算：的值； (2)拓展提高：若为正整数，证明：． 【答案】(1) (2)证明： ， 为正整数， ， ， ． 【分析】本题考查的是数字类的规律，解题的关键是要能发现并运用规律； （1）根据规律解答即可； （2）先根据规律化简，再判断的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）略 1．（2026·安徽蚌埠·一模）的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将这个数化简，再求倒数即可． 【详解】解：，而的倒数是． 2．（24-25七年级上·四川广元·期中）根据，，下面算式的得数在它们之间的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数的乘法，分别计算四个选项中的算式，找出得数在 750 与 900 之间的一项即可． 【详解】解：A：； B：； C：； D：． 所以得数在 750 与 900 之间的算式是． 故选：D． 3．（25-26六年级下·上海·期末）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定的符号及绝对值大小关系，结合有理数运算法则判断； 【详解】解：由数轴可知， ， ，，，， 故选项A、B、C正确，D选项错误，该选项符合题意． 4．（25-26七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 5．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接使用表格给出的家庭月耗碳总量计算人均年碳排放量，统一单位后与中部地区人均年碳排放范围比较． 【详解】解：李明家人均年碳排放量为 ． ∵ ， ∴ 李明家人均年碳排放量属于中部地区正常范围． 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算： ________． 【答案】 【分析】将原式变形为，再发现乘积的规律即可求解． 【详解】解： ． 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 8．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 9．（25-26七年级上·福建泉州·期中）n个有理数，，，…，，其中，，，…，，则…______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意计算出，可得这一列数从第1个数开始，每3个数为一个循环，依次为，且每个循环内的3个数的乘积为，据此计算出2025除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ……， 以此类推可知，这一列数从第1个数开始，每3个数为一个循环，依次为，且， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·北京顺义·期末）焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 【答案】 【分析】（1）根据题目所给的顺序，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序维护，总时长最少为． （2）由（1）得，按照的顺序维护，总时长最少为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 要求三条路线维护完成的总时长不超过，满足条件的维护顺序为或或（写出一种即可）． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察算式可得算式中有个同分母的带分数，可将整数部分与整数部分相加，分数部分与分数部分相加，利用求和公式来简便计算； （2）观察算式发现、、相似，可通过乘数之间扩大和缩小将它们都变成，从而利用乘法分配律来简便计算； （3），，……，，用裂项相消的方法即可计算； （4）分子，分母，分子、分母即可先约分． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成以下小题 (1)把图①中第一个圈里的每一个数，分别乘以，将结果写在第二个圈里对应的位置； (2)把图②中第一个圈里的每一个数，分别除以，将结果写在第二个圈里对应的位置． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 14．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 15．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【答案】(1)；； (2) 前五天这个盲盒的售价总计不足元 (3) 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元 【分析】（1）根据以每个25元为标准价格，通过表格直接计算每天的商品售价，并比较确定单价最高的天数； （2）计算每天售价偏差带来的总金额变化：每天偏差当天销量，将5天的金额变化相加，结果为负表示不足标准总价； （3）计算总进价：进价总销量，计算总售价：标准价总销量偏差总和，总利润：总售价总进价． 【详解】（1）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， ，， 单价最高的是第天，最高单价为元/个，最高单价比最低单价多元/个； （2）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， （元）， 前五天这个盲盒的售价总计不足元． （3）解：总进价：（元）， 总售价：（元）， 总利润：（元）， 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元． 学科网（北京）股份有限公司 $