重难点06 代数式综合（5大知识点8大题型、单元复习、期中复习) 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点06 代数式综合 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、代数式 2 知识点二、列代数式 2 知识点三、代数式的值 2 知识点四、数字类规律探索 3 知识点五、图形类规律探索 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 3 【题型1 用字母表示数与代数式规范书写】 3 【题型2 根据文字描述列代数式】 5 【题型3 代数式的意义、正（反）比例关系】 7 【题型4 直接代入求代数式的值】 9 【题型5 整体代入求值（重点）】 10 【题型6 程序框图与代数式求值】 12 【题型7 图形类规律探索】 14 【题型8 数字类规律探索】 16 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 18 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 27 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・用字母表示数的规范书写 ・列代数式表达文字中的数量关系 ・代数式、单项式、多项式相关概念辨析 ・求代数式的值，直接代入求值 ・整体代入思想求值 ・代数式求值结合数轴、绝对值、非负性综合 ・选择填空基础题为主，文字阅读理解是关键 ・常结合生活情境列代数式，考查建模意识 ・整体代入是本单元高频难点，不需要单独求字母 ・常和绝对值、乘方非负性融合考查 考情解码： ・易错集中在书写格式不规范，漏括号、系数位置写错 ・文字语句理解偏差，倍数、差、和的顺序颠倒 ・负数、分数代入求值忘记添加括号 ・不会识别整体代换，执着单独求字母的值 ・属于代数入门板块，是后续整式、方程学习的基础 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、代数式 代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【例】x，2m，，，，是代数式； ，，不是代数式. 【注】代数式中不含“=”“>”“<”“≠”“≥”“≤”等关系符号。 知识点二、列代数式 1. 定义：把问题中涉及的数量关系，用含有**字母、数及运算符号**的式子表示出来，叫做列代数式。 2. 列代数式的关键步骤（三步法）： · 审：弄清题目中的已知量和未知量，找出关键词（如“和、差、积、商、倍、分、比……多/少”）。 · 找：确定运算顺序，先算什么、后算什么。 · 写：用字母代替未知量，按运算顺序写出代数式。 3. 易错提醒（避坑指南）： · 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如 应写成 。 · 乘号省略规则：数字与字母相乘省略乘号时，数字写在字母前面（如 3a 不写 a3；字母与字母相乘按字母顺序写（如 ab 不写 ba）。 · 除法写成分数形式（如 写为 ）。 · “和、差、积、商”的表达要完整读题，区分“a与b的和的平方”与“a与b的平方和”。 知识点三、代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点四、数字类规律探索 核心思路：观察一组数字，对比序号n（第n个数）与对应数值，找出通用代数式。 1. 等差型（相邻差固定） 例：3,5,7,9……，相邻差为2，通项：2n+1 方法：固定差值作为n的系数，代入n=1求常数项。 2. 等比型（相邻商固定） 例：2,4,8,16……，后项 ÷ 前项=2，通项： 3. 平方 / 平方变式 例：2,5,10,17，通项： 4. 符号交替规律 正负交替：用（n=1时负）或（n=1时正）控制符号。 > 步骤：标序号→算相邻差 / 商→猜想代数式→代入验证。 知识点五、图形类规律探索 核心思路:把图形个数转化为数字序列，按数字规律求解。 1. 方法 1：数图形，转化为数字 依次数第 1 个、第 2 个、第 3 个图形对应的数量，得到数列，求通项。 例：摆小棒，第 1 个图 4 根，第 2 个 7 根，第 3 个 10 根，数列4,7,10……，通项3n+1。 2. 方法 2：拆分图形 把图形拆成不变部分 + 随序号变化的变化部分，直接写出式子。 3. 验证 求出代数式后，代入前 3 个序号检验是否符合。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 用字母表示数与代数式规范书写】 【例1】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：C． 【变式1-1】已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了字母表示数，将各选项转化为乘法运算后比较系数大小即可确定结果最大的选项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、； 、； 、； 、； ∵是非零自然数， ∴， ∴结果最大的是， 故选：． 【变式1-2】在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 【变式1-3】下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 【题型2 根据文字描述列代数式】 【例2】如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察窗框可知，共有3根横档，每根横档长为，因此所有横档总长度为， 剩余木料是2根竖直边框，总长度为， 因此单根竖直边框长度为， ∴窗框的面积是． 【变式2-1】甲、乙两地之间的公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，则汽车加快速度后可以早到（   ）小时 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意，确定数量关系． 早到的时间为原来所用的时间减去加速后所用的时间，据此列代数式即可． 【详解】解：∵原来所用时间， 加速后所用时间， ∴早到时间为． 故选：B． 【变式2-2】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式表示图形面积，解题的关键是通过不同的分割或组合方式计算阴影部分面积．分别用不同的方法计算阴影部分的面积，然后与各个选项的整式进行对比，找出不能表示阴影部分面积的选项即可． 【详解】解：A、阴影部分可用一个长为，宽为的长方形和一个长为，宽为的长方形的面积和表示，此时阴影部分面积为，不符合题意，选项错误； B、阴影部分可用大长方形面积减去空白部分面积表示，时阴影部分面积为，不符合题意，选项错误； C、阴影部分可用一个边长为的正方形和一个长为，宽为的长方形的面积和表示，此时阴影部分面积为，不符合题意，选项错误； D、阴影部分可用一个边长为的正方形，一个长为，宽为的长方形和一个长为，宽为的长方形的面积和表示，此时阴影部分面积为，而不是，符合题意，选项正确； 故选：D． 【变式2-3】4月23日是“世界读书日”，学校开展了“读书分享”活动，小明看一本书，看了天，平均每天看6页，还剩50页没看，这本书的总页数用含有字母的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式， 根据题意可以用含a的代数式表示出这本书的总页数． 总页数等于已读页数与未读页数之和，已读页数为平均每天页数乘以天数，即，未读页数为50，解答即可． 【详解】解：因为：已读页数，未读页数 = 50， 所以：总页数 = 已读页数 + 未读页数 = ， 故选：B． 【题型3 代数式的意义、正（反）比例关系】 【例3】下列关于代数式“”所表示的意义的说法中正确的是（    ） A．与1的和 B．与1的和的相反数 C．与1的差 D．与-1的差的相反数 【答案】A 【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果． 【详解】解：A、x的相反数与1的和的代数式为“-x+1”，故本选项正确； B、x与1的和的相反数的代数式为“-（x+1）”，故本选项错误； C、-x与1的差表示为与题干不符，故本选项错误； D、x与-1的差表示为与题干不符，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点． 【变式3-1】某商场开展促销活动，促销方法是将原价为元的商品以元的价格出售．下列说法中，能正确表达这次促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打九折后，再降价10元 B．在原价的基础上降价10元后，再打九折 C．在原价的基础上打一折后，再降价10元 D．在原价的基础上降价10元后，再打一折 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的含义，理解代数式的含义成为解题的关键． 根据式子得到原价先减去10元，再打折即可解答． 【详解】解：由题意可得，元表示：在原价的基础上减去10元后再打9折． 故选：B． 【变式3-2】下列选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．书的总页数为页，未读的页数与已读的页数 B．三角形的面积为，它的一边的长与这条边上的高 C．长方体的底面积为，它的体积与高 D．签字笔每支元，购买签字笔的总费用与购买的数量 【答案】B 【分析】根据反比例的定义：两个相关联的量，若它们的乘积为定值，则这两个量成反比例关系，据此逐一判断选项. 【详解】解：选项，未读页数与已读页数的和为，是和一定，乘积不一定，不成反比例关系； 选项，设三角形一边长为，该边上的高为，由面积公式得，即（定值），故这两个量成反比例关系； 选项中长方体体积与高的比值、选项中购买总费用与数量的比值均为定值，二者成正比例关系. 【变式3-3】下面说法错误的是（   ） A．路程一定，时间与速度成反比例 B．如果，那么和成反比例 C．单价一定，总价和数量成正比例 D．工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例 【答案】D 【分析】本题考查正比例和反比例的定义，关键是熟练应用定义进行判断； 正比例指两个量的比值一定，反比例指两个量的乘积一定，根据各选项中的关系判断是否正确． 【详解】解：∵ 路程一定时，速度与时间乘积为定值，∴ A正确； ∵ ，与乘积为定值，∴ B正确； ∵ 单价一定时，总价与数量比值为定值，∴ C正确； ∵ 工作效率一定时，工作总量与工作时间比值为定值，应为正比例，而非反比例，∴ D错误； 故答案选：D． 【题型4 直接代入求代数式的值】 【例4】如果互为相反数，c，d互为倒数，，，且，那么的值为（     ） A．7 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】因为，互为相反数，，互为倒数， 所以，． 因为，，且， 所以，或，， 所以， 所以． 【变式4-1】若，，且，则的值为（     ） A．或 B． C．1或5 D．或5 【答案】A 【分析】先求出,的所有可能取值，再结合的条件筛选后，计算的值. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴不符合条件，舍去，即. 当时，. 当时，. ∴的值为或. 【变式4-2】若到原点的距离为，的倒数等于它本身，则是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由绝对值的意义可得或，根据倒数的定义可得或，再分情况代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵到原点的距离为， ∴或， ∵的倒数等于它本身， ∴或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，. 综上，的值为或． 【变式4-3】已知a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，则的值为（     ） A．1或3 B．或3 C．1或 D．或 【答案】A 【分析】根据相反数、倒数的定义确定，的取值，再分情况代入代数式计算． 【详解】解：∵是相反数等于本身的数，是倒数等于本身的数， ∴，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为1或3． 【题型5 整体代入求值（重点）】 【例5】已知a，b均是整数，且，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性与和为1的条件，分类讨论出和的具体数值再代入原式计算即可． 【详解】解：由a，b均是整数，且可知， 两个非负整数之和为1，则这两个数中必有一个为0，另一个为1， 此时分情况讨论： ①当且时， 由，可得， 由，可得或， 若，则原式； 若，则原式， ∴在此情况下，代数式的值为0； ②当且时， 由，可得或， 由，可得， 若，则原式； 若，则原式， ∴在此情况下，代数式的值为0， 综上所述，原式的值始终为0． 【变式5-1】代数式的值为，则代数式的值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查代数式的整体代入求值，解题中运用整体思想，通过对已知代数式变形，将其部分作为整体代入目标代数式求解，关键是识别已知式与目标式的关联，通过变形实现整体替换，本题由已知方程变形得出 ，再通过整体代入求解目标代数式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ （移项）， ∴ ， 故选：A． 【变式5-2】多项式，当时，该多项式的值为65，则当时，它的值是（   ） A．72 B． C．79 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是掌握代入数值的特点，发现前后式子的联系，整体代入解决问题． 利用多项式在时的值，求出，然后代入得到，进而整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，当时，， ∴， ∴当时， ． 故选：D． 【变式5-3】当时，代数式的值为2025，则当时，代数式的值为（   ） A． B． C．2023 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值， 先求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 当时，． 故选：A． 【题型6 程序框图与代数式求值】 【例6】按下图所示的运算程序运行，能使运算输出的结果为1的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断的大小，确定输出的具体代数式，将的值代入即可求出． 【详解】解：A．输入，．，，不符合题意； B．输入，． ，，不符合题意； C．输入，．，，不符合题意； D．输入，．，，符合题意． 【变式6-1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，再把输入，第二次输出的结果为，第三次输出的结果为，……这样下去，第2025次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出前面几次的输出结果，可得规律输出的结果每4次为一个循环，依次为，求出2025除以4的余数即可得到答案． 【详解】解：第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， ……， 以此类推，可知输出的结果每4次为一个循环，依次为， ∵， ∴第2025次输出的结果为． 【变式6-2】如图是一个运算程序框图，输入的值为，则输出的值是（     ） A． B． C． D．无法输出 【答案】C 【分析】根据流程图列式运算即可． 【详解】解：输入可得：， ∴输入可得：， ∴输入可得：， ∴输出的结果为． 【变式6-3】有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去……，第2026次输出的结果是（    ） A．4 B．6 C．3 D．8 【答案】D 【分析】根据程序流程图计算前几次输出结果，发现从第2次开始呈现循环规律，利用周期性求解. 【详解】解：由题知，输入的值是7， 第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是， …， 故输出的结果从第2次开始按6，3，8，4，2，1循环出现，循环周期为6， ， 第2026次输出的结果是循环节中的第3个数，即8. 【题型7 图形类规律探索】 【例7】瓦匠师傅常按图1所示的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙（如图2），第①个图用砖3块，第②个图用砖5块，第③个图用砖7块，……，则第⑧个图用砖的块数为（     ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】本题通过观察已知前3个图的用砖数，后一个图比前一个图多2块砖，归纳出第个图用砖数，代入计算得到结果． 【详解】解：由题图可知，第①个图用砖3块，； 第②个图用砖5块，； 第③个图用砖7块，； ……， 所以第个图用砖块， 所以第⑧个图用砖的块数为． 【变式7-1】用黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图规律铺设，那么第个图案中白色瓷砖的块数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，分别数出前三个图案中白色瓷砖的块数，归纳出第个图案中白色瓷砖块数的公式，代入计算即可． 【详解】解：第1个图案中白色瓷砖有块，； 第2个图案中白色瓷砖有块，； 第3个图案中白色瓷砖有块，； 第个图案中白色瓷砖有块； 当时，． 【变式7-2】如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为（     ） A．37 B．45 C．55 D．66 【答案】C 【分析】先观察发现第1～4个图形需要杯子的数量分别为个、个、个、个，则归纳类推得第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数，再将代入计算即可得． 【详解】解：观察发现：第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数， 所以第10个图形需要杯子的数量为（个）， 【变式7-3】下图是小张用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第7个图案中正三角形有（     ） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 【答案】A 【分析】第1个图形中正三角形的个数为：6，第2个图形中正三角形的个数为：，第3个图形中正三角形的个数为：，…，据此可求得第n个图形中正三角形的个数，从而可求解． 【详解】解：∵第1个图形中正三角形的个数为：6， 第2个图形中正三角形的个数为：， 第3个图形中正三角形的个数为：， ……， ∴第n个图形中正三角形的个数为：， ∴第7个图案中正三角形的个数是：． 【题型8 数字类规律探索】 【例8】某校园餐厅把WIFI密码做成了数学题，小鸣在餐厅就餐时，思考了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（     ） ，密码 A．103545 B．113545 C．103549 D．143549 【答案】A 【分析】将等式右侧的六位数拆为三个两位段，分别寻找与左侧运算数的运算对应关系，总结规律后代入计算． 【详解】解：观察已知等式，可得， ， ， ． 【变式8-1】已知，成立，则的值是（     ） A．333000 B．333200 C．333300 D．333100 【答案】C 【分析】本题考查代数式的计算，利用拆分原式各项，转化为平方和与自然数和分别计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式． ∵ ， ∴ 当时，平方和为． ∵ ， ∴ 原式． 【变式8-2】观察下面三行数： ① ② ③ 取每行的第8个数，则这三个数的和为（     ） A．1025 B． C．1024 D． 【答案】A 【分析】对比三行数的对应项，得出第②③行与第①行的数量关系，代入计算三个数的和． 【详解】解：观察三行数，∵第①行第个数为，第②行每个数比第①行对应数大1，第③行每个数是第①行对应数的2倍， ∴第②行第个数为，第③行第个数为． 当时，三个数的和为． 【变式8-3】观察下列算式：，按照此规律，下一个等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得下一个等式的第一个乘数为1234，加数为4，结果为9876，即下一个等式为． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵m个3相加为，n个4相乘为， ∴原式． 2．按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式规律探究，理解题意、发现相关规律是解题的关键． 根据所给的多项式的项数、次数即可找到规律，然后运用规律求解即可． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项a的系数都为连续奇数，指数为1；第二项b的系数为1，b的指数为连续正整数， 故在第个多项式中：a的为，指数为1，b的系数为1，指数为，即． 故选：A． 3．下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，根据每个叙述的含义判断是否与代数式相符即可求解． 【详解】解：①中“x的4倍与y的和的2倍”表示为，故①错误； ②中总路程为，与代数式相符，故②正确； ③中总花费为，故③错误； 综上，正确的个数是1个； 故选：C． 4．若，，且则（     ） A．或 B．1或9 C．1或 D．9或 【答案】B 【分析】结合绝对值的多值性，根据筛选取值后计算. 【详解】解：∵，， ∴，. ∵， ∴当时，或，均满足条件. 当时，且，均不满足条件，舍去. 当，时，. 当，时，. 5．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（     ）． A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】将看成一个整体，整个式子就相当于一个一元二次方程，未知数是，只要求解这个一元二次方程，即可求出的值． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴，， ∴或， ∵， ， ∴， ∴要舍去， ∴的值为3． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为4，则第次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照运算程序依次计算每次输出的值，找到从第 3 次开始，循环序列为,,,,,，循环长度是 6，用 减去前面不参与循环的 2 次得到 ，除以 6 商 余 2，取循环中的第 2 个数字，就是第 次输出结果． 【详解】解：已知输入 ，规则： 为偶数，输出 ； 为奇数，输出 ． 第 1 次： 是偶数，，输出 2； 第 2 次： 是偶数，，输出 1； 第 3 次： 是奇数，，输出 ； 第 4 次： 是偶数，，输出； 第 5 次： 是偶数，，输出 ； 第 6 次： 是奇数，，输出； 第 7 次： 是偶数，，输出； 第 8 次： 是奇数，，输出 ； 第 9 次： 是偶数，，输出； 观察结果：从第 3 次开始循环：，循环节长度为 6． 先去掉前 2 次： 计算： 余数是 2，对应循环里第 2 个数：． 7．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是（     ） A．2 B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据差倒数定义计算前几项，找到循环周期后求解目标项． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ……， ∴数列以为周期循环，周期为3， ∵， ∴． 8．用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，…，照这样的规律搭下去，搭2026个三角形需要小木棒的根数为（） A．4048 B．4049 C．4052 D．4053 【答案】D 【分析】观察图形可知，每增加一个三角形需增加2根小木棒，据此得出规律即可求解． 【详解】解：∵搭1个三角形需3根小木棒，， 搭2个三角形需5根小木棒，， 搭3个三角形需7根小木棒，， 搭个三角形需小木棒的根数为， 当时，． 9．观察如图，每个图形中间是白色小正方形，周围是灰色小正方形． 照这样画下去，第个图形中有_________个白色小正方形，_________个灰色小正方形． 【答案】 【分析】根据所给图示，找出图形中白色小正方形和灰色小正方形的个数排列规律，即可推出第个图形中白色小正方形和灰色小正方形各有多少个． 【详解】解：第一个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）； 第二个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）； 第三个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）； 第个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为个． 第个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）． 10．观察下列等式：①；②；③；④．根据以上规律，则第⑤个等式为________． 【答案】 【分析】根据题目中的规律，即可得到第⑤个等式． 【详解】解：根据题目中的规律，得第⑤个等式为． 11．若有理数，互为相反数，，互为倒数，则__________． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义，得到，，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ ，互为相反数， ∴ ， ∵ ，互为倒数， ∴ ， 将，代入原式得： ． 12．若，，且，则的值是_________． 【答案】或 【详解】解：∵，， ，， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是或． 13．已知与互为相反数，则式子的值是______． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数和为0，结合平方和绝对值的非负性，求出和的值，代入所求式子计算即可 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， 将 ， 代入 ，得 14．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 【分析】（1）由绝对值的意义并结合题意可得，，再代入所求代数式计算即可得出结果； （2）由绝对值的意义可得，，再结合，得出，同号，分两种情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，同号， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为． 15．阅读理解，并解答问题： 观察下列各式：，，，… (1)若为正整数，请你猜想________． (2)请利用上述方法计算（要求写出计算过程）： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察给出的式子，归纳裂项相消的规律，直接写出猜想结果． （2）①利用（1）发现的裂项公式，把每一项拆成两个分数相减，中间项相互抵消，只剩下首尾两项再计算． ②先推导分母是两个相差2的奇数乘积的裂项公式，提取系数，再裂项相消，抵消中间项，最后化简求值． 【详解】（1）解：观察式子： ， ， ， 根据规律可得： ； （2）① ； ② ， ， ． 16．若、互为相反数，、互为倒数，，求的值． 【答案】代数式的值为或． 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义求出，，的取值，分情况代入代数式计算． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴． ∵，互为倒数， ∴． ∵， ∴或． 将，代入原式，得． 当时，原式． 当时，原式． 综上所述，代数式的值为或． 17．【观察】 定义一种新运算：；；． 【发现】 (1) ； (2)这种新运算 （填“具有”或者“不具有”）交换律； 【应用】 (3)计算：． 【答案】(1) (2)不具有 (3) 【分析】（1）根据给出的等式得出规律即可； （2）根据所得规律得出，，即可得出结论； （3）分步计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵，， ∴， ∴这种新运算不具有交换律； （3）解： ． 18．我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为24和3，其折叠阶数为______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为4，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的长为______； (3)代数关系：设矩形邻边长为和，最终能够折成正方形，若其折叠阶数为，则______（用含和的式子表示）． 【答案】(1)3 (2)80 (3) 【分析】（1）根据“折叠阶数”的定义求解； （2）正方形边长乘以即可； （3）根据题意找出规律列出代数式即可． 【详解】（1）解：，，， 即矩形邻边长为24和3，其折叠阶数为3； （2）解：原矩形的长为：； （3）解：由题意知，． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 29 页 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点06 代数式综合 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、代数式 2 知识点二、列代数式 3 知识点三、代数式的值 3 知识点四、数字类规律探索 3 知识点五、图形类规律探索 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 用字母表示数与代数式规范书写】 4 【题型2 根据文字描述列代数式】 4 【题型3 代数式的意义、正（反）比例关系】 5 【题型4 直接代入求代数式的值】 6 【题型5 整体代入求值（重点）】 6 【题型6 程序框图与代数式求值】 6 【题型7 图形类规律探索】 7 【题型8 数字类规律探索】 8 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 9 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 13 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・用字母表示数的规范书写 ・列代数式表达文字中的数量关系 ・代数式、单项式、多项式相关概念辨析 ・求代数式的值，直接代入求值 ・整体代入思想求值 ・代数式求值结合数轴、绝对值、非负性综合 ・选择填空基础题为主，文字阅读理解是关键 ・常结合生活情境列代数式，考查建模意识 ・整体代入是本单元高频难点，不需要单独求字母 ・常和绝对值、乘方非负性融合考查 考情解码： ・易错集中在书写格式不规范，漏括号、系数位置写错 ・文字语句理解偏差，倍数、差、和的顺序颠倒 ・负数、分数代入求值忘记添加括号 ・不会识别整体代换，执着单独求字母的值 ・属于代数入门板块，是后续整式、方程学习的基础 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、代数式 代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【例】x，2m，，，，是代数式； ，，不是代数式. 【注】代数式中不含“=”“>”“<”“≠”“≥”“≤”等关系符号。 知识点二、列代数式 1. 定义：把问题中涉及的数量关系，用含有**字母、数及运算符号**的式子表示出来，叫做列代数式。 2. 列代数式的关键步骤（三步法）： · 审：弄清题目中的已知量和未知量，找出关键词（如“和、差、积、商、倍、分、比……多/少”）。 · 找：确定运算顺序，先算什么、后算什么。 · 写：用字母代替未知量，按运算顺序写出代数式。 3. 易错提醒（避坑指南）： · 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如 应写成 。 · 乘号省略规则：数字与字母相乘省略乘号时，数字写在字母前面（如 3a 不写 a3；字母与字母相乘按字母顺序写（如 ab 不写 ba）。 · 除法写成分数形式（如 写为 ）。 · “和、差、积、商”的表达要完整读题，区分“a与b的和的平方”与“a与b的平方和”。 知识点三、代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点四、数字类规律探索 核心思路：观察一组数字，对比序号n（第n个数）与对应数值，找出通用代数式。 1. 等差型（相邻差固定） 例：3,5,7,9……，相邻差为2，通项：2n+1 方法：固定差值作为n的系数，代入n=1求常数项。 2. 等比型（相邻商固定） 例：2,4,8,16……，后项 ÷ 前项=2，通项： 3. 平方 / 平方变式 例：2,5,10,17，通项： 4. 符号交替规律 正负交替：用（n=1时负）或（n=1时正）控制符号。 > 步骤：标序号→算相邻差 / 商→猜想代数式→代入验证。 知识点五、图形类规律探索 核心思路:把图形个数转化为数字序列，按数字规律求解。 1. 方法 1：数图形，转化为数字 依次数第 1 个、第 2 个、第 3 个图形对应的数量，得到数列，求通项。 例：摆小棒，第 1 个图 4 根，第 2 个 7 根，第 3 个 10 根，数列4,7,10……，通项3n+1。 2. 方法 2：拆分图形 把图形拆成不变部分 + 随序号变化的变化部分，直接写出式子。 3. 验证 求出代数式后，代入前 3 个序号检验是否符合。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 用字母表示数与代数式规范书写】 【例1】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-2】在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型2 根据文字描述列代数式】 【例2】如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】甲、乙两地之间的公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，则汽车加快速度后可以早到（   ）小时 A． B． C． D． 【变式2-2】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】4月23日是“世界读书日”，学校开展了“读书分享”活动，小明看一本书，看了天，平均每天看6页，还剩50页没看，这本书的总页数用含有字母的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【题型3 代数式的意义、正（反）比例关系】 【例3】下列关于代数式“”所表示的意义的说法中正确的是（    ） A．与1的和 B．与1的和的相反数 C．与1的差 D．与-1的差的相反数 【变式3-1】某商场开展促销活动，促销方法是将原价为元的商品以元的价格出售．下列说法中，能正确表达这次促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打九折后，再降价10元 B．在原价的基础上降价10元后，再打九折 C．在原价的基础上打一折后，再降价10元 D．在原价的基础上降价10元后，再打一折 【变式3-2】下列选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．书的总页数为页，未读的页数与已读的页数 B．三角形的面积为，它的一边的长与这条边上的高 C．长方体的底面积为，它的体积与高 D．签字笔每支元，购买签字笔的总费用与购买的数量 【变式3-3】下面说法错误的是（   ） A．路程一定，时间与速度成反比例 B．如果，那么和成反比例 C．单价一定，总价和数量成正比例 D．工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例 【题型4 直接代入求代数式的值】 【例4】如果互为相反数，c，d互为倒数，，，且，那么的值为（     ） A．7 B． C．9 D． 【变式4-1】若，，且，则的值为（     ） A．或 B． C．1或5 D．或5 【变式4-2】若到原点的距离为，的倒数等于它本身，则是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】已知a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，则的值为（     ） A．1或3 B．或3 C．1或 D．或 【题型5 整体代入求值（重点）】 【例5】已知a，b均是整数，且，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 【变式5-1】代数式的值为，则代数式的值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．8 【变式5-2】多项式，当时，该多项式的值为65，则当时，它的值是（   ） A．72 B． C．79 D． 【变式5-3】当时，代数式的值为2025，则当时，代数式的值为（   ） A． B． C．2023 D．2025 【题型6 程序框图与代数式求值】 【例6】按下图所示的运算程序运行，能使运算输出的结果为1的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，再把输入，第二次输出的结果为，第三次输出的结果为，……这样下去，第2025次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图是一个运算程序框图，输入的值为，则输出的值是（     ） A． B． C． D．无法输出 【变式6-3】有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去……，第2026次输出的结果是（    ） A．4 B．6 C．3 D．8 【题型7 图形类规律探索】 【例7】瓦匠师傅常按图1所示的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙（如图2），第①个图用砖3块，第②个图用砖5块，第③个图用砖7块，……，则第⑧个图用砖的块数为（     ） A．15 B．17 C．19 D．21 【变式7-1】用黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图规律铺设，那么第个图案中白色瓷砖的块数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为（     ） A．37 B．45 C．55 D．66 【变式7-3】下图是小张用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第7个图案中正三角形有（     ） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 【题型8 数字类规律探索】 【例8】某校园餐厅把WIFI密码做成了数学题，小鸣在餐厅就餐时，思考了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（     ） ，密码 A．103545 B．113545 C．103549 D．143549 【变式8-1】已知，成立，则的值是（     ） A．333000 B．333200 C．333300 D．333100 【变式8-2】观察下面三行数： ① ② ③ 取每行的第8个数，则这三个数的和为（     ） A．1025 B． C．1024 D． 【变式8-3】观察下列算式：，按照此规律，下一个等式是（     ） A． B． C． D． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．若，，且则（     ） A．或 B．1或9 C．1或 D．9或 5．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（     ）． A．或 B． C．或 D． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为4，则第次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 7．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是（     ） A．2 B． C． D．不能确定 8．用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，…，照这样的规律搭下去，搭2026个三角形需要小木棒的根数为（） A．4048 B．4049 C．4052 D．4053 9．观察如图，每个图形中间是白色小正方形，周围是灰色小正方形． 照这样画下去，第个图形中有_________个白色小正方形，_________个灰色小正方形． 10．观察下列等式：①；②；③；④．根据以上规律，则第⑤个等式为________． 11．若有理数，互为相反数，，互为倒数，则__________． 12．若，，且，则的值是_________． 13．已知与互为相反数，则式子的值是______． 14．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 15．阅读理解，并解答问题： 观察下列各式：，，，… (1)若为正整数，请你猜想________． (2)请利用上述方法计算（要求写出计算过程）： ①； ②． 16．若、互为相反数，、互为倒数，，求的值． 17．【观察】 定义一种新运算：；；． 【发现】 (1) ； (2)这种新运算 （填“具有”或者“不具有”）交换律； 【应用】 (3)计算：． 18．我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为24和3，其折叠阶数为______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为4，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的长为______； (3)代数关系：设矩形邻边长为和，最终能够折成正方形，若其折叠阶数为，则______（用含和的式子表示）． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 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