重难点04 有理数的加减及简便运算（3大知识点9大题型、单元复习、期中复习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点04 有理数加减运算及简便技巧 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、有理数的加法运算 2 知识点二、有理数的减法运算 3 知识点三、常用简便方法 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 有理数的加法运算】 4 【题型2 有理数的减法运算】 6 【题型3 有理数的加减法的实际运用】 8 【题型4 有理数的加减法混合运算】 9 【题型5 省略加法和括号的形式】 11 【题型6 相反数配对简便计算、同号分组结合运算】 12 【题型7 凑整法（小数、整数凑整）、同分母分数分组加减】 15 【题型8 带分数拆分简便运算、 基准数法求和】 17 【题型9 有理数加减规律探究（裂项、循环求和）】 19 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 22 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 32 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・有理数加法、减法运算法则 ・加减互化，省略加号与括号的化简读写 ・加法交换律、结合律 ・相反数配对、同号分组简便计算 ・凑整法、同分母分组简便运算 ・带分数拆分、基准数法 ・有理数加减混合计算、实际应用、规律探究 ・以计算题为主，是期中必考基础大题 ・自主判断是否使用简便方法，不强制固定思路 ・分数、小数、带分数混合，设置符号陷阱 ・搭配生活情境出题，少量规律探究作为拔高小题 考情解码： ・易错集中在去括号变号不全，交换数字漏带前面符号 ・负带分数拆分符号处理出错 ・习惯顺序硬算，不会观察数字特征寻找简便组合 ・属于核心基础板块，重在训练符号意识和数感 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、有理数的加法运算 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【例】 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【例】 知识点二、有理数的减法运算 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 【例】 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 【例】计算： 解：原式 Step1：减号变加号，减数变相反 Step2：按照加法的运算步骤计算 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 知识点三、常用简便方法 （1） 相反数结合法：互为相反数优先相加，和为 0； （2） 同号结合法：所有正数、负数分别归类求和； （3） 凑整结合法：相加能够凑成整数、整十整百的优先配对； （4） 同分母结合法：分母相同或者容易通分的分数先结合； （5） 带分数拆分法：带分数拆成整数部分和分数部分分开计算；负带分数拆分注意： （6） 基准数法：一组大小接近的数，选定基准数，写成基准数 ± 差值计算。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 有理数的加法运算】 【例1】下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则逐项判断即可． 【详解】解：、，该选项计算错误； 、，该选项计算正确； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误． 【变式1-1】计算的值等于（     ） A． B． C．1013 D． 【答案】D 【分析】相邻两个数的和为1，共有1013对数，剩余一个，由此计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-2】小明在推导有理数加法法则：若，，且，则的结果（     ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．无法确定正负 【答案】A 【分析】将异号两数的和转化为较大绝对值减较小绝对值的形式，通过差的正负判断和的符号． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 即． 【变式1-3】对于有理数m、n，下列说法正确的有（     ） ①若，则m与n互为相反数； ②若，则m与n一定异号； ③若且两数同号，则且； ④若且两数异号，则； ⑤若，则。 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】通过相反数的定义、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则m与n互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但m与n同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即且，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，由，即， 若，则，可得， 若，则，整理得， 所以无论m取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 【题型2 有理数的减法运算】 【例2】已知，，且，则的值为(     ) A．3或7 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】将转化为是解题关键，结合绝对值的定义确定a、b的取值后计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，或，． 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为或． 【变式2-1】下列结论不正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 【答案】C 【分析】将减法运算转化为加法运算，结合加数的符号判断结果的正负． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，故本选项正确． B、∵，， ∴， ∴，故本选项正确． C、∵，， ∴，故本选项错误． D、∵，，， ∴，， ∴，故本选项正确． 【变式2-2】下列说法：①是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③任何有理数的绝对值都是正数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤若，则．其中正确的结论有（     ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】解：对于①：整数包括负整数、、正整数，负整数小于，故①错误； 对于②：有理数包括正有理数、、负有理数，其中既不是正数也不是负数，故②错误； 对于③：的绝对值是，但不是正数，故③错误； 对于④：例如，差大于被减数，故④错误； 对于⑤：若，则或，例如但，故⑤错误． 综上，正确的结论有个． 【变式2-3】下列算式中结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定解题核心目标为逐一计算四个选项的有理数加减运算结果，判断是否等于4．处理带分数、小数运算时，如果存在小数和分数混合的情况，那么统一转化为分数形式，方便通分计算；如果存在同分母分数，优先合并同分母分数简化计算．处理含绝对值、去括号的运算时，因为减去一个负数等于加上它的相反数，负数的绝对值是它的相反数，所以先完成去括号、去绝对值的符号化简，再按从左到右的顺序计算，也可以用加法交换律、结合律分组计算． 【详解】A.，不符合． B.，不符合． C.，符合． D.，不符合． 【题型3 有理数的加减法的实际运用】 【例3】某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋不同品牌的月饼，它们的质量最多相差（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先明确每种品牌月饼的质量范围，因为标注为的形式，所以质量最大值为标称值加上偏差，最小值为标称值减去偏差．要得到不同品牌两袋质量的最大差值，需先找到所有品牌质量的最大值和所有品牌质量的最小值，且最大值和最小值需来自不同品牌，如果两个最值来自不同品牌，那么二者的差就是最大可能差值．计算找到的最值的差，对应选项得出结果． 【详解】要找不同品牌两袋月饼的最大质量差，只需找到所有品牌中质量的最大值和最小值，再计算二者的差即可： 先分别确定三个品牌的质量波动范围： 标有的月饼，质量范围是 标有的月饼，质量范围是 标有的月饼，质量范围是 ， ， ， ∴从中任意拿出两袋不同品牌的月饼，它们的质量最多相差． 【变式3-1】5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示．那么北京时间10月15日20时应是（     ） A．纽约时间10月15日5时 B．巴黎时间10月15日13时 C．汉城时间10月15日19时 D．伦敦时间10月15日11时 【答案】B 【分析】借助数轴任意两点间的距离公式进行求解即可； 【详解】解：A选项：纽约对应数值为，和北京的时差是小时，纽约时间比北京晚13小时，计算得时，故纽约时间应为10月15日7时，A错误； B选项：巴黎对应数值为1，和北京的时差是小时，巴黎时间比北京晚7小时，计算得时，故巴黎时间为10月15日13时，B正确； C选项：汉城对应数值为9，和北京的时差是小时，汉城时间比北京早1小时，计算得时，故汉城时间应为10月15日21时，C错误； D选项：伦敦对应数值为0，和北京的时差是小时，伦敦时间比北京晚8小时，计算得时，故伦敦时间应为10月15日12时，D错误． 【变式3-2】陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，当莫斯科的时间记作时，陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨时．他在莫斯科看到天空的景象可能是（     ）． A．红日中天 B．繁星点点 C．夕阳西下 D．日出东方 【答案】B 【分析】用北京时间加上可得莫斯科的时间，据此可得答案． 【详解】解：∵ 以北京时间为标准，莫斯科时间记作时， ∴ 莫斯科时间比北京时间晚小时， ∵ 陈叔叔手表显示北京时间为早晨时， ∴ 莫斯科当地时间为时，即凌晨1时，此时天空繁星点点． 【变式3-3】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图表示的是，根据这种表示法，可推算出图所表示的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据红正黑负的定义，统计图 2 中算筹数量即可. 【详解】解：由题意可知，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图 2 中红色算筹有3根，表示，黑色算筹有6根，表示， 图 2 表示的算式是. 【题型4 有理数的加减法混合运算】 【例4】规定：用符号表示a，b两数中较小的一个，用符号表示a，b两数中较大的一个，如，，计算得（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】从内到外依次计算新定义括号的值，再代入原式进行有理数加减运算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ 原式． 【变式4-1】已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动2025次后所在点表示的数为（     ） A．1014 B． C．1013 D． 【答案】A 【分析】将相邻两次移动分组计算净位移，结合总次数的奇偶性求解最终位置． 【详解】 解：点M初始位置表示的数为1， 移动2025次的总位移为 ∵2025为奇数， ∴前2024次移动可分为1012组，每组位移和为 ∴前2024次总位移为 ∴总位移为 ∴最终位置表示的数为． 【变式4-2】小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（  ） A．第11个 B．第12个 C．第13个 D．第14个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第12个． 【详解】解： ， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是， ， 解得， 写错的运算符号第12个， 故选：B 【变式4-3】若规定表示不超过的整数中最大的整数，如则，，则的结果为（   ） A．1.46 B．1 C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据定义，解答即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：C． 【题型5 省略加法和括号的形式】 【例5】把（+6）﹣（﹣10）+（﹣3）﹣（+2）写成省略加号和的形式为（　　） A．6+10﹣3+2 B．6﹣10﹣3﹣2 C．6+10﹣3﹣2 D．6+10+3﹣2 【答案】C 【分析】利用去括号的法则求解即可． 【详解】（+6）-（-10）+（-3）-（+2）=6+10-3-2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是注意符号． 【变式5-1】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 【变式5-2】把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 【答案】C 【分析】根据省略括号的法则：奇数个负号省略成负号，偶数个负号省略成正号写出即可． 【详解】解：6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）＝6﹣4+7﹣3． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算中省略括号的写法，解题的关键是熟练掌握省略的法则． 【变式5-3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 【题型6 相反数配对简便计算、同号分组结合运算】 【例6】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数减法法则变形后，再运用加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式6-1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把的减法转变为加法，再根据有理数加法法则进行计算即可得答案． （2）把的减法转变为加法，再把化为分数后根据加法交换律和结合律计算即可得答案． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 【变式6-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数减法法则变形后，再运用加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型7 凑整法（小数、整数凑整）、同分母分数分组加减】 【例7】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ． 【变式7-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： . （2）解： . 【变式7-2】阅读下面的解题过程并解决问题： 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)计算过程中，第一步变形的依据是_________（填运算法则），从第_________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了_________、_________（填运算律）； (3)请直接写出运算结果，并就有理数运算给出一条建议． 【答案】(1)减法法则，二 (2)加法交换律、加法结合律 (3)；在有理数的运算中，注意符号的变化（答案不唯一） 【详解】（1）计算过程中，第一步变形的依据是减法法则； 从第二步开始出现错误； （2）第二步和第三步分别应用了加法交换律、加法结合律； （3）解：原式 ， 在有理数的运算中，注意符号的变化（答案不唯一）． 【变式7-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【题型8 带分数拆分简便运算、 基准数法求和】 【例8】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出结果； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 【题型9 有理数加减规律探究（裂项、循环求和）】 【例9】先观察再计算． (1)___________． (2)___________． (3)计算：．（写出过程） 【答案】(1) (2) (3)解： ． 【分析】（1）由有理数减法运算计算即可； （2）由有理数减法运算计算即可； （3）先由题中方法去绝对值，再由有理数加减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）略 【变式9-1】【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 (1)根据上面规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________；②________； ③________；④________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：________； (3)用简便的方法计算：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的性质化简； （2）首先化简绝对值，然后计算加减即可； （3）首先化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】（1）解：①；②； ③；④． （2）解： ； （3）解： ． 【变式9-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题； （2）根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ＝1 ＝1 ； 【点睛】本题考查了有理数的加减，根据例题掌握裂项相减是解题的关键． 【变式9-3】阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．有下列计算过程： ①； ②； ③． 其中，恰当运用运算律的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】逐一判断各计算过程是否符合加法运算律的要求，即变形前后加数不变，仅交换位置或改变结合方式，且能简化计算． 【详解】解：①等号左边的加数为，右边的加数为，将正数、负数分别结合，符合加法交换律与结合律，且简化计算，恰当运用运算律． ②等号两边加数均为，将同分母分数、负数分别结合，符合加法交换律与结合律，且简化计算，恰当运用运算律． ③等号两边加数均为，将能凑整的数分别结合，符合加法交换律与结合律，且简化计算，恰当运用运算律． 故恰当运用运算律的有3个． 2．魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数．若图表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图表示的计算过程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得题图表示的计算过程是． 3．称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为，，． A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 【答案】D 【详解】解：①由定义得，，故①正确； ②取，则，，，故②错误； ③若，则， 解得，故③错误； ④当时，，， 当时，，，和为； 当时，，，和为． 则的值为，，故④错误． 综上，正确的结论只有①． 4．计算，结果为（     ） A． B．− C． D． 【答案】C 【分析】观察算式正负交替的规律，将相邻两数分组求和简化计算. 【详解】解：原式， 每组和为，总组数为， 原式. 5．下列说法错误的是（     ） A．任何正数都大于它们的相反数 B．是整数也是有理数 C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等 D．绝对值不大于的所有整数的和为 【答案】C 【分析】根据正数的相反数是负数，正数大于负数可判断A正确；是整数，也是有理数，据此可判断B正确；互为相反数的两个数的绝对值也相同，据此可判断C错误；绝对值不大于的所有整数有、、、，利用有理数的加法法则求出这几个整数的和即可判断D正确；综上即可得出答案． 【详解】解：A．正数的相反数是负数，正数大于负数，故任何正数都大于它们的相反数，该选项说法正确，不符合题意， B．是整数，也是有理数，故该选项说法正确，不符合题意 C．绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故该选项说法错误，符合题意， D．绝对值不大于的所有整数为、、、，它们的和为，故该选项说法正确，不符合题意． 6．已知、为有理数，且，，，则各式中的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断、的正负和绝对值大小，借助数轴比较，，，的大小． 【详解】解：已知，，且， 则为正数，为负数，且， 把有理数，，，在数轴上如图表示： 故． 7．下面说法正确的有（     ） ①一个有理数不是正数就是负数； ②0是最小的整数； ③两个负数的和的绝对值一定等于它们绝对值的和； ④任何数的绝对值都大于0； ⑤两个正数互为相反数； ⑥两个有理数相加，和一定大于每一个加数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：∵有理数包括正有理数、、负有理数，∴①错误． ∵没有最小的整数，∴②错误． ∵两个负数相加，和为负数，其绝对值等于两数绝对值的和，∴③正确． ∵的绝对值等于，∴④错误． ∵只有符号不同的两个数互为相反数，正数符号均为正，不可能互为相反数，∴⑤错误． ∵两个负数相加，和小于每一个加数，∴⑥错误． 综上，正确的说法有个． 8．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． 数轴上，直尺上， ． 所以数轴上一个单位长度在直尺上的长度是． 因为直尺上，， 所以数轴上，． 所以点对应的数是 9．已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或1 C．1或 D．5或 【答案】A 【分析】先根据绝对值的定义推导a、b的所有可能取值，再结合计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴或，， ∴或． 10．如图，在数轴上，点表示的数是，现将点做如下移动：第次将点向左移动个单位长度至点，第次将点向右移动个单位长度至点，第次将点向左移动个单位长度至点，．按照这种移动方式进行下去，点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察点移动规律，奇数次向左，偶数次向右，移动距离为次数的倍，归纳出每次移动向右前进个单位，据此计算及． 【详解】解：由题意可知，点表示的数为， 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 每次移动，点向右移动个单位长度， ， 前次移动后，点表示的数为， 第次向左移动个单位长度， 点表示的数为． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：． 12．阅读理解题：求的值可用下面的三种方法： 方法一：（按法则进行运算）：． 方法二：通过画图发现的值等于1减去图中阴影部分的面积，即得． 方法三：由图得到启发，求：，，， 于是得： 1． (1)请你模仿上述任意两种方法求的值． (2)用合理的方法计算：． (3)用合理的方法求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿题中的三种方法任选两种方法进行计算即可求解； （2）模仿题中的方法三求解即可； （3）将原式变形为，然后模仿题中的方法三求解即可． 【详解】（1）解：用方法一计算：原式； 用方法二计算：如图，原式； 用方法三计算：原式 ． （任选两种方法即可） （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 13．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．也就是说，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2． 解决问题： (1)_________． (2)若，则_________，若，则_________． (3)利用数轴求出的最小值为_________． 【答案】(1)6 (2)4或； (3)7 【分析】（1）根据运算法则计算即可； （2），即数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为，故或；即数轴上表示数x的点与表示的点之间的距离等于表示数x的点与表示数的点之间的距离，由此即可求解； （3），即求数轴上表示的数到和的距离和的最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 或， 或； ， ， 表示的点到和到的距离相等， ， ； （3）解：， 当在和之间时距离之和最小， 此时． 14．根据以下素材，完成探索任务． 素材1 九月，丹桂飘香，中秋佳节如约而至．中秋节是我国重要的非物质文化遗产，自古就有赏月、品尝糕点的习俗．月饼作为中秋标志性美食，各式各样的口味走进千家万户．某烘焙坊精心制作莲蓉蛋黄月饼，包装成礼盒售卖，礼盒既适合家庭食用，也可以作为节日礼品送给亲友．食品出厂前，质检人员需要对每一盒产品称重检验，判断产品总重是否符合包装标注标准，保障商品质量 素材2 周末，小明从超市买回一盒莲蓉蛋黄月饼，一盒里面一共有8枚月饼．包装盒标签标注，这一盒月饼总质量合格标准为（）克． 回到家里，小明拿出家里精度较高的电子秤，依次称出盒中8枚月饼的质量，记录数据如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 60 为了简化计算，小明选定一个合适的标准质量，把每一枚月饼质量超过标准质量记作正数，不足标准质量记作负数，整理得到下面表格（部分数据没有填写完整）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 问题解决 (1)小明选取的这个标准质量是________克； (2)表格中________，________，________； (3)质量最大的那一枚月饼比质量最小的那一枚月饼重多少克？ (4)小明想要判断这一盒月饼总质量是否合格，请你写出计算过程，帮他说明理由． 【答案】(1)60 (2)；；0 (3)2克 (4)解：（克）， ∵， ∴这盒月饼总质量是合格的． 【分析】（1）根据第一枚月饼质量是克，记为克即可求解； （2）由标准质量为60克，进行运算即可； （3）用第二个表格中最大的正数减去最小的负数即可； （4）计算这盒月饼记录之和，再进行判断是否在至10之间即可． 【详解】（1）解：∵第一枚月饼质量是克，记为克， ∴小明选取的这个标准质量是（克）； （2）解：， ， ； （3）解：∵， ∴质量最大的那枚月饼比标准重量重克，质量最小的那枚月饼比标准重量少克， ∵（克）， 答：质量最大的那一枚月饼比质量最小的那一枚月饼重2克； （4）略 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 33 页 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点04 有理数加减运算及简便技巧 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、有理数的加法运算 2 知识点二、有理数的减法运算 3 知识点三、常用简便方法 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 有理数的加法运算】 4 【题型2 有理数的减法运算】 4 【题型3 有理数的加减法的实际运用】 5 【题型4 有理数的加减法混合运算】 6 【题型5 省略加法和括号的形式】 6 【题型6 相反数配对简便计算、同号分组结合运算】 7 【题型7 凑整法（小数、整数凑整）、同分母分数分组加减】 8 【题型8 带分数拆分简便运算、 基准数法求和】 9 【题型9 有理数加减规律探究（裂项、循环求和）】 10 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 12 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 17 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・有理数加法、减法运算法则 ・加减互化，省略加号与括号的化简读写 ・加法交换律、结合律 ・相反数配对、同号分组简便计算 ・凑整法、同分母分组简便运算 ・带分数拆分、基准数法 ・有理数加减混合计算、实际应用、规律探究 ・以计算题为主，是期中必考基础大题 ・自主判断是否使用简便方法，不强制固定思路 ・分数、小数、带分数混合，设置符号陷阱 ・搭配生活情境出题，少量规律探究作为拔高小题 考情解码： ・易错集中在去括号变号不全，交换数字漏带前面符号 ・负带分数拆分符号处理出错 ・习惯顺序硬算，不会观察数字特征寻找简便组合 ・属于核心基础板块，重在训练符号意识和数感 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、有理数的加法运算 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【例】 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【例】 知识点二、有理数的减法运算 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 【例】 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 【例】计算： 解：原式 Step1：减号变加号，减数变相反 Step2：按照加法的运算步骤计算 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 知识点三、常用简便方法 （1） 相反数结合法：互为相反数优先相加，和为 0； （2） 同号结合法：所有正数、负数分别归类求和； （3） 凑整结合法：相加能够凑成整数、整十整百的优先配对； （4） 同分母结合法：分母相同或者容易通分的分数先结合； （5） 带分数拆分法：带分数拆成整数部分和分数部分分开计算；负带分数拆分注意： （6） 基准数法：一组大小接近的数，选定基准数，写成基准数 ± 差值计算。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 有理数的加法运算】 【例1】下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的值等于（     ） A． B． C．1013 D． 【变式1-2】小明在推导有理数加法法则：若，，且，则的结果（     ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．无法确定正负 【变式1-3】对于有理数m、n，下列说法正确的有（     ） ①若，则m与n互为相反数； ②若，则m与n一定异号； ③若且两数同号，则且； ④若且两数异号，则； ⑤若，则。 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型2 有理数的减法运算】 【例2】已知，，且，则的值为(     ) A．3或7 B．或 C． D． 【变式2-1】下列结论不正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 【变式2-2】下列说法：①是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③任何有理数的绝对值都是正数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤若，则．其中正确的结论有（     ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-3】下列算式中结果为的是（     ） A． B． C． D． 【题型3 有理数的加减法的实际运用】 【例3】某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋不同品牌的月饼，它们的质量最多相差（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示．那么北京时间10月15日20时应是（     ） A．纽约时间10月15日5时 B．巴黎时间10月15日13时 C．汉城时间10月15日19时 D．伦敦时间10月15日11时 【变式3-2】陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，当莫斯科的时间记作时，陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨时．他在莫斯科看到天空的景象可能是（     ）． A．红日中天 B．繁星点点 C．夕阳西下 D．日出东方 【变式3-3】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图表示的是，根据这种表示法，可推算出图所表示的算式是（     ） A． B． C． D． 【题型4 有理数的加减法混合运算】 【例4】规定：用符号表示a，b两数中较小的一个，用符号表示a，b两数中较大的一个，如，，计算得（     ） A．1 B． C．3 D． 【变式4-1】已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动2025次后所在点表示的数为（     ） A．1014 B． C．1013 D． 【变式4-2】小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（  ） A．第11个 B．第12个 C．第13个 D．第14个 【变式4-3】若规定表示不超过的整数中最大的整数，如则，，则的结果为（   ） A．1.46 B．1 C．8 D．7 【题型5 省略加法和括号的形式】 【例5】把（+6）﹣（﹣10）+（﹣3）﹣（+2）写成省略加号和的形式为（　　） A．6+10﹣3+2 B．6﹣10﹣3﹣2 C．6+10﹣3﹣2 D．6+10+3﹣2 【变式5-1】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 【变式5-3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【题型6 相反数配对简便计算、同号分组结合运算】 【例6】计算： (1)； (2)． 【变式6-1】计算： (1)． (2)． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【变式6-3】计算： (1)； (2)． 【题型7 凑整法（小数、整数凑整）、同分母分数分组加减】 【例7】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式7-1】计算： (1)； (2)． 【变式7-2】阅读下面的解题过程并解决问题： 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)计算过程中，第一步变形的依据是_________（填运算法则），从第_________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了_________、_________（填运算律）； (3)请直接写出运算结果，并就有理数运算给出一条建议． 【变式7-3】计算： (1) (2) 【题型8 带分数拆分简便运算、 基准数法求和】 【例8】计算： (1) (2) 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【变式8-3】计算：； 【题型9 有理数加减规律探究（裂项、循环求和）】 【例9】先观察再计算． (1)___________． (2)___________． (3)计算：．（写出过程） 【变式9-1】【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 (1)根据上面规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________；②________； ③________；④________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：________； (3)用简便的方法计算：． 【变式9-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【变式9-3】阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．有下列计算过程： ①； ②； ③． 其中，恰当运用运算律的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数．若图表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图表示的计算过程是（     ） A． B． C． D． 3．称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为，，． A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 4．计算，结果为（     ） A． B．− C． D． 5．下列说法错误的是（     ） A．任何正数都大于它们的相反数 B．是整数也是有理数 C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等 D．绝对值不大于的所有整数的和为 6．已知、为有理数，且，，，则各式中的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下面说法正确的有（     ） ①一个有理数不是正数就是负数； ②0是最小的整数； ③两个负数的和的绝对值一定等于它们绝对值的和； ④任何数的绝对值都大于0； ⑤两个正数互为相反数； ⑥两个有理数相加，和一定大于每一个加数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（     ） A． B． C． D． 9．已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或1 C．1或 D．5或 10．如图，在数轴上，点表示的数是，现将点做如下移动：第次将点向左移动个单位长度至点，第次将点向右移动个单位长度至点，第次将点向左移动个单位长度至点，．按照这种移动方式进行下去，点表示的数是（     ） A． B． C． D． 11．计算： (1)； (2)． 12．阅读理解题：求的值可用下面的三种方法： 方法一：（按法则进行运算）：． 方法二：通过画图发现的值等于1减去图中阴影部分的面积，即得． 方法三：由图得到启发，求：，，， 于是得： 1． (1)请你模仿上述任意两种方法求的值． (2)用合理的方法计算：． (3)用合理的方法求的值． 13．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．也就是说，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2． 解决问题： (1)_________． (2)若，则_________，若，则_________． (3)利用数轴求出的最小值为_________． 14．根据以下素材，完成探索任务． 素材1 九月，丹桂飘香，中秋佳节如约而至．中秋节是我国重要的非物质文化遗产，自古就有赏月、品尝糕点的习俗．月饼作为中秋标志性美食，各式各样的口味走进千家万户．某烘焙坊精心制作莲蓉蛋黄月饼，包装成礼盒售卖，礼盒既适合家庭食用，也可以作为节日礼品送给亲友．食品出厂前，质检人员需要对每一盒产品称重检验，判断产品总重是否符合包装标注标准，保障商品质量 素材2 周末，小明从超市买回一盒莲蓉蛋黄月饼，一盒里面一共有8枚月饼．包装盒标签标注，这一盒月饼总质量合格标准为（）克． 回到家里，小明拿出家里精度较高的电子秤，依次称出盒中8枚月饼的质量，记录数据如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 60 为了简化计算，小明选定一个合适的标准质量，把每一枚月饼质量超过标准质量记作正数，不足标准质量记作负数，整理得到下面表格（部分数据没有填写完整）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 问题解决 (1)小明选取的这个标准质量是________克； (2)表格中________，________，________； (3)质量最大的那一枚月饼比质量最小的那一枚月饼重多少克？ (4)小明想要判断这一盒月饼总质量是否合格，请你写出计算过程，帮他说明理由． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 33 页 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $