精品解析：新疆乌鲁木齐市第九中学2026-2027学年第一学期第一次学情自测八年级数学试卷

2026-2027学年第一学期初二年级数学学情监测 一．单选题（分） 1. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：若线段 是的高，则过点B，且垂直． D选项中线段表示中边上的高． A、 B、C选项中线段不能表示任何边上的高． 3. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误，不符合题意； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误，不符合题意； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误，不符合题意； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练运用三边关系解决相关题型． 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 5. 如图，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等． 证，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形性质求出 ，结合平角定义求出 ，再利用平行线性质求解． 【详解】解： 是等腰直角三角形，， ， ，点 在同一直线上， ， ， ∴． 7. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 8. 已知a，b，c是的三边长，化简的结果为（ ） A. B. C. 2c D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c是的三边长， ，则， ， ，， ， ， 原式， 故选：D． 9. 如图，已知，点D为的中点，点E为的中点，若，则的面积是（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质求解三角形的面积，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，等底同高的三角形面积相等是解决本题的关键． 先利用点E为的中点，可求解的面积，再根据等底同高可知的面积与的面积相等即可求解． 【详解】解：因为点E为的中点， 则在中，为的中线， 根据三角形中线的性质可知，， 又因为点D为的中点， 则在中，为的中线， 根据三角形中线的性质可知，， 所以的面积是2． 故选：C． 二．填空题（分） 10. 若的三个内角的度数比为，则的形状是__________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，设三个内角的度数为，，，根据三角形的内角和定理列出方程，求解得到各内角的度数，即可解答． 【详解】解：设三个内角的度数为，，，根据三角形的内角和定理可得， ， 解得， ∴，， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定添加条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 12. 如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂线段最短和角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段的长度最短， ∴过点作，线段的最小值为， ∵是的平分线，点在上，，， ∴． 13. 如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 14. 如图，在四边形中，平分且．有下列结论： ①；②为的中点；③平分；④；⑤到的距离等于的一半．其中正确的结论有___________． 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的性质和判定．作于，证明和，即可得到，判断①；然后根据判断②⑤；根据判断③，根据全等三角形得到判断④解答即可． 【详解】解：作于， 如图，则， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，， ，即， 故①正确； ∴， ∴为的中点 故②正确； ，故⑤正确； ∵， 平分，故③正确； ， ， ， 故④正确． 故答案为： ①②③④⑤． 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 三．解答题（分） 16. 如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． 17. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，求的长 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得出相等的角，然后利用证明，得出相等的线段，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，，与 之间有什么关系？说明你的理由． 【答案】 ，，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由得出，由，得出，即可证明，则，，则． 【详解】略 19. 如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 【答案】证明：，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】先用平行线得到两组相等角，再由推导出，利用证明三角形全等，最后得到． 【详解】略 20. 如图，在和中，与交于点，且，．证明：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】先证，推导出，进而利用得到，推导出． 【详解】略 21. 如图，在与中，，，．试说明：． 【答案】解：因为， 所以，即， 又因为，， 所以， 所以． 【解析】 【分析】由，易得，再根据可证即可得． 【详解】解：略． 22. 证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 23. 在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． （1）如图1，若，则___________°； （2）利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 设， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ； （3） 【解析】 【分析】（1）可求，可得，，即可求解； （2）设，可得，可求，，即可求解； （3）可得，可求，由即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 由折叠得：，， ， ， ； 故答案：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得 ， ， ，恰好分别是与的平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初二年级数学学情监测 一．单选题（分） 1. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 5. 如图，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c是的三边长，化简的结果为（ ） A. B. C. 2c D. 0 9. 如图，已知，点D为的中点，点E为的中点，若，则的面积是（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 二．填空题（分） 10. 若的三个内角的度数比为，则的形状是__________． 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 12. 如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 13. 如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 14. 如图，在四边形中，平分且．有下列结论： ①；②为的中点；③平分；④；⑤到的距离等于的一半．其中正确的结论有___________． 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 三．解答题（分） 16. 如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 17. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，求的长 18. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，，与 之间有什么关系？说明你的理由． 19. 如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 20. 如图，在和中，与交于点，且，．证明：． 21. 如图，在与中，，，．试说明：． 22. 证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 23. 在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． （1）如图1，若，则___________°； （2）利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $