第二章 一元一次方程全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材北京版七年级上册

第二章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 列代数式及找规律 题型2 代数式的化简求值 题型3 单项式与多项式 题型4 同类项与合并同类项 题型5 等式性质 题型6方程知解求参数 题型7 一元一次方程定义 题型8 解一元一次方程 题型9 一元一次方程实际应用—和差倍分、动点类 题型10 一元一次方程实际应用—配套问题、工程问题 题型11 一元一次方程实际应用—销售利润、古代问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 规律探究 题型2 代数式综合问题 题型3 一元一次方程动点问题 题型4 一元一次方程方案选择问题 题型5 一元一次方程数字问题 题型6 一元一次方程新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 列代数式及找规律 1．科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动．据统计，参加“深海探秘”的有m人，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“太空遨游”的人数为_____人（用含m的代数式表示）． 2．用四个如图1所示的长为，宽为的长方形，拼成一个如图2所示的图形，则图2中大正方形的周长为________（用含，的代数式表示）． 3．如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 4．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 5．通过观察：，，，，，⋯在这列数中，第7个数是_____；第个数是_____ ◆题型2 代数式的化简求值 6．若，求的值 7．睡眠是打开创造力大门的一把神奇钥匙．科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（小时）可用公式（N是人的年龄）计算．请你用这个公式，计算12岁的小泽每天需要的睡眠时间（单位：小时）是______． 8．当时，代数式的值是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则多项式的值为_______ ． 10．若，则的值为_______． ◆题型3 单项式与多项式 11．单项式的系数是__________，次数是__________． 12．下列说法正确的是（    ） A．系数是，次数是2 B．多项式是二次三项式 C．一定是一个正数 D．一定是一个正数 13．若单项式是关于x，y的五次单项式，则______． 14．下列说法中正确的是（） A．单项式3的系数是，次数是4 B．的次数是2 C．32是二次三项式 D．单项式的系数是 15．多项式的次数为5，则_______，常数项为______． ◆题型4 同类项与合并同类项 16．下列各组式子中，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 17．关于的单项式，若的指数比的指数小1且都是正整数，则称该单项式是“升次单项式”，如，．给出下面四个结论：是“升次单项式”；“升次单项式”的次数可能是偶数；两个次数相等的“升次单项式”的和一定是“升次单项式”；若5个“升次单项式”的次数均低于10，则它们中必有同类项．以上结论中，正确的序号是（    ） A． B． C． D． 18．若，，则________． 19．若单项式与的和仍是单项式，则___________． 20．写出一个能与合并的单项式________． ◆题型5 等式性质 21．已知白昼时长（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为_________． 22．老师在黑板上写了一个等式，甲同学说，乙同学表示不一定，当时，这个等式也可能成立，甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 23．利用等式的性质求方程的解是________． 24．下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ◆题型6 方程知解求参数 25．关于的一元一次方程的解是，则的值是______． 26．关于的方程的解是整数，写出一个整数可能的取值______． 27．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是______． ◆题型7 一元一次方程定义 28．下列式子中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 29．已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值是_____ ． 30．已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值为______． 31．已知方程的解为，则a为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型8 解一元一次方程 32．解方程： (1) ； (2)； (3)． 33．解方程： (1)； (2)． ◆题型9 一元一次方程实际应用—和差倍分、动点问题 34．今年兄弟俩年龄之和是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年多少岁? 35．在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 36．中关村中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”“迷算巧想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动．其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学挑战赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加“音乐互动体验活动”的学生有_______人． 37．已知，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b； (1)求 、 ； (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P与点B的距离是3个单位长度； (3)在（2）的条件下，动点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发向数轴负方向运动，求几秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度． 38．如图，我们将一条数轴在原点和点处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折线数轴”，其中为“折线数轴”的原点，在“折线数轴”上，每个点对应的数就是把“折线数轴”拉直后对应的数，其中点到点的距离仍为、、的长度之和． 图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在“折线数轴”上的距离为．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要________秒； (2)、两点相遇于点，点所对应的数为________； (3)在到达原点之前，当_______时，、两点在数轴上的距离与、两点在数轴上的距离相等． 39．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若线段与线段上分别存在一点M，N，使得，则称线段是线段与线段的一条“半生线段”．数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为12． (1)下列几组点连成的线段中，线段与线段的“半生线段”有 （填序号）； ①点M1表示的数为，点N1表示的数为6； ②点M2表示的数为，点N2表示的数为7； ③点M3表示的数为，点N3表示的数为7． (2)点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，相遇时停止运动． ①两点出发t秒后，线段为线段与线段的“半生线段”，请求出t的值； ②当点P，Q出发时，点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），已知点R为线段AP的中点，是否存在某个时刻t（t为正整数），使得线段恰好为线段与线段的“半生线段”？若存在，请求出所有满足题意的m的值；若不存在，请说明理由． ◆题型10 一元一次方程实际应用—配套问题、工程问题 40．探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 41．某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 42．现有工厂生产盲盒，分为、两种包装，该工厂共有1000名工人， (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒或10个盲盒．且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒、多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 43．某电商公司“闪电购”在双十一期间面临巨大的客服咨询压力，公司有两种客服处理方式，客服机器人和人工客服专员，已知在双十一当天一个客服机器人工作24小时和一个人工客服专员工作8个小时共处理了1320个电话咨询，通过测量对比发现客服机器人平均每小时处理电话咨询的个数恰好是人工客服专员的倍，求客服机器人平均每小时处理电话咨询多少个？ 44．整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划安排8人完成此项工作，在工作一段时间后，接到通知需提前完成任务，因此增加了4人和他们一起工作，后这项工作全部完成．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作用了，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 45．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 46．3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ ◆题型11 一元一次方程实际应用—销售利润、古代问题 47．列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元． (1)九连环和华容道的单价分别是多少元？ (2)若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表： 魔方类型 正阶魔方 异形魔方 单价 元 元 若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 48．海淀区某超市推出民生优惠活动，苹果原价每千克元，香蕉原价每千克元，活动期间，苹果按原价的折销售，香蕉按原价的折销售．七年级（）班同学集体采购，购买苹果和香蕉共千克，付款元，求购买苹果和香蕉各多少千克． 49．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中有一道题，原文是：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．译文为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 50．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余两辆车无人乘坐；若每两人共乘一车，最终剩余九个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有辆车，依题意可列一元一次方程为___________． 51．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设人数是x人，据题意列一元一次方程，正确的是（   ） A． B． C． D． ◆题型1 规律探究 1．定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么__________． 2．如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是______________．（用含n的代数式表示） 3．观察下列代数式：，…，按照上述规律，第2024个代数式是 ______________． 4．观察下面的一列单项式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4……，根据你发现的规律，第n个单项式为_____．（n为正整数） ◆题型2 代数式综合问题 5．金秋十月，丹桂飘香．2025年10月15日下午，北师大二附中西城实验学校初一年级全体师生走出校园，前往有着七百余年历史的北京国子监，开展了一场以“礼敬先师，成规立范”为主题的研学活动．在辟雍大殿前，正逢国子监的工作人员为一块古典园林区域的景观升级进行规划．升级的区域为中央广场的一块长为米、宽为5米的长方形土地，想借鉴古典园林中‘花径’与‘草坪’相映成趣的设计，于是设计了如图的阴影区域，并准备在该阴影区域种花，其余区域则种植常绿草坪．根据设计，工作人员通过不同的方式计算花卉的种植面积，小英采用的方法（如图1）是（S表示面积，表示三角形），小智采用的方法是连接（如图2），将阴影部分的面积分成两部分，则． (1)用含或的式子表示：的长为__________米，的长为__________米： (2)请你选择上面其中一位工作人员的方法表示阴影部分的面积； (3)当米，米时，求阴影部分的面积； (4)国子监景观升级负责人员打算实施该种植方案，当米时，按市场价格：种植草坪的费用为每平方米20元，种植花卉的费用为每平方米110元．恰逢“双十一”，，两家园林绿化公司都推出了促销优惠方案，具体如下表： 绿化公司 种植草的价格 种植花的价格 公司 20 不超过8平方米的部分，120元/平方米；超过8平方米的部分，100元/平方米 公司 25 110元/平方米，每种植一平方米花送平方米草 设种植花的面积为平方米，请你用含的代数式分别表示选择，两公司完成种花种草所需的总费用．如果在（3）的条件下，请你通过计算帮忙选择，两家公司最优惠的一家． 6． 年，北京市燃油出租车具体收费标准如下： ①出租车收费标准公里以内收起步价元，再加1元燃油附加费，超过公里，超出部分按每公里元收费； ②预约叫车服务费：提前小时以上预约每次元，小时以内预约每次元； ③单程载客行驶超过公里的部分，按原价时段基本单价（元）加收的费用； ④出租车计价精确到米，超过米但不足米时按米计价，另外，每公里中的米计价元，后米计价按元． ⑤出租车收费结算以元为单位，精确到元（元以下四舍五入）． （注：如果车费不足起步价，则按起步价收费．） 结合以上信息，回答下列问题： (1)已知肖老师家距离学校公里，周五早上肖老师为了避开早高峰选择时预约出租车出发，一路畅通到达学校，请你计算一下肖老师早上上班的出租车费用是 元； (2)周五晚上，肖老师预约了周六上午乘出租车去机场，一路畅通到达机场，已知肖老师家距离机场（且为整数）公里，肖老师支付元（包括元高速收费站费用），则y＝ ． ◆题型3 一元一次方程动点问题 7．小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． (1)记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 数学家 徐光启 伽利略 牛顿 莱布尼兹 布丰 欧拉 高斯 华罗庚 生年 1562 1564 1642 1646 1707 1707 1777 1910 卒年 1633 1642 1727 1716 1788 1783 1855 1985 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世的人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； (2)小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． 8．对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中），并把、这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作．例如：原点表示数0，原点关于1的对称数组是． (1)如果点表示数，那么点关于2的对称数组是______； (2)如果，那么点表示的数是______，的值是______； (3)已知，，且在数轴上对应的点为、、、．若点、点从原点同时出发，都沿数轴正方向运动，且点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，当、、、四个点中有两个点重合时，求出点表示的数． 9．对数轴上的点进行如下操作：先把点沿数轴向左平移个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以，所得数对应的点为．若（是正整数），则称点为点的“联点”．例如，当时，若点表示的数为，则它的“2联点”对应点表示的数为． (1)当时， ①若点表示的数是，则它的“2联点”所表示的数是_______________； ②已知点的“2联点”是点，若点表示的数是4，则点表示的数为________________； (2)已知点的“6联点”表示的数为5，则点表示的数为__________________； (3)已知数轴上点表示的数为，点表示的数为3．若点从点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点从点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点始终为点的“联点”，直接写出的值． 10．在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点､点到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．例如：图中，点表示数，点表示数3，它们与基准点的距离都是2个单位长度，点与点互为基准变换点． (1)已知点表示数，点表示数，点与点互为基准变换点． ①若，则__________；②用含的式子表示，则__________； (2)对点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点．若点与点互为基准变换点，则点表示的数是__________； (3)点在点的左边，点与点之间的距离为8个单位长度．对､两点做如下操作：点沿数轴向右移动（）个单位长度得到，为的基准变换点，点沿数轴向右移动个单位长度得到，为的基准变换点，……，依此顺序不断地重复，得到．为的基准变换点，将数轴沿原点对折后的落点为，为的基准变换点，将数轴沿原点对折后的落点为，……，依此顺序不断地重复，得到．若无论为何值，与两点间的距离都是4，则__________． ◆题型4 一元一次方程方案选择问题 11．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 12．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准： TAXI起步费：14元 超3km费：超过的部分2.2元/km 远途费：超过10km的部分，加价1元/km 小A出行 起步费：10元 里程费：2.4元/km 远途费：超过10km的部分，加价0.8元/km 时长费：0.4元/min（速度：40km/h） 请回答问题：元旦期间，小明外出游玩，约车时发现小A出行有总费用打八折的优惠活动．于是小明决定选乘小A出行．付费后，细心的小明发现，相同的里程，享受优惠活动后的小A出行的费用还是比出租车多了1.8元．求小明乘车的里程数． ◆题型5 一元一次方程数字问题 13．初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数． 14．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 （1）的值为______； （2）的值为______． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 15．【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．                (1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方． (2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________； (3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由． (4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________． 6 1 2 3 7 4 5 0 12 3 18 17 11 5 4 19 10 16．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266． (1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则 ， ； (2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ； ； (3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则 ． ◆题型6 一元一次方程新定义问题 17．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 18．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 19．对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 一、选择题 1．方程的解是（    ）． A． B． C． D． 2．单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，1 C．，3 D．，2 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一件商品标价元，先涨价元，又打了九折，最终售价为（     ）元． A． B． C． D． 5．下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．把方程去分母，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在下面的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数．如果设这三个数的和是，那么这三个数中间的数用含有的代数式表示为（  ） A． B． C． D． 9．请根据下面小李和小张的对话，判断小张买液晶电视的预算是（   ） 小李：“小张，你之前提到的液晶电视买了没？” 小张：“还没，它的售价比我的预算多2000元呢！” 小李：“这台液晶电视现在正在打8折呢！” 小张：“太好了，这样比我的预算还要少400元！” A．8000元 B．10000元 C．12000元 D．14000元 10．同学走进中国科技馆参观时被大厅里会“跳舞”的“小球矩阵”吸引住了（如图1）．白色小球全部由计算机精准控制，每一只小球可以“悬浮”在大厅上空的不同位置，演绎着各种动态造型．已知每个小球分别由独立的电机控制．图2，图3分别是个小球可构成的两个造型，在每个造型中，相邻小球的高度差均为．为了使小球从造型一（如图2）变到造型二（如图3），控制电机使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧号小球同时运动，②，③，④号小球向下运动，运动速度均为3米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为米/秒，当每个小球到达造型二的相应位置时就停止运动．已知⑦号小球比②号小球晚秒到达相应位置，问②号小球运动了（   ）米 A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则______．（填“”“”或“”） 12．关于x的方程的解为，则a的值是______． 13．根据等式的性质填空： （1）若，则_______．       （2）若，则_______． （3）若，则_______．        （4）若，，则_______． 14．将数轴上一点P先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是_________． 15．小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 16．已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 17．运动会期间小穆为11位志愿者买餐，下表是一家快餐店套餐的价格和优惠情况： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 B餐 1份盖饭杯饮料 28 C餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小穆一共点了11份盖饭，5份小菜，x杯饮料． （1）若，则小穆一共花了______元． （2）若小穆一共花费了256元，饮料的杯数x是______． 18．如图，该图案由十一个六边形和六个黑点组成．现将，，，，0，1，2，3，4，5，6这十一个数分别填入图中的十一个六边形中，使得每个黑点周围的三个数之和都相等．若，2，6，x已填入图中，位置如图所示，则x表示的数是______；每个黑点周围的三个数之和为______． 三、解答题 19．下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是 ； (2)从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 20．解方程： (1)； (2)． 21．某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 22．如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 23．在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ，数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ； (2)数轴上表示数与数的两点和之间的距离可记作 ； 如果这两点之间的距离为，那么为 ． (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 24．为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 25．近期油价受国际形势影响而上涨，而我国电力价格基本稳定，居民日常出行驾驶燃油汽车的用车成本提升明显，新能源汽车中使用电力的纯电动汽车用车成本相对稳定，五一劳动节，小帆同学乘坐家人驾驶的一台纯电动汽车从家出发去外地游玩，去程时开空调，平均每百公里电耗，车辆自身电池容量为h，出发时满电状态，途中充电一次，补充电量．返程未充电，沿原路返回，因未开空调，平均每百公里电耗降至去程时的，车辆行驶至家时，电量余．求两地之间的距离为多少百公里？ 26．如图所示的框图表示解方程的流程． (1)第③步的名称是 ，依据是 ； (2)从第 步（填序号）开始出现错误．请你写出正确的解方程的过程． 27．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，十进制数（规定当时，）． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)我们知道在十进制下有乘法口诀“三五十五、三七二十一”，但是在某进位制下算式才是正确的，求该进位制是几进制； (2)在（）的条件下，是否存在某个两位十进制数转化为该进制的数恰好是，若存在，求出所有满足条件的十进制数，若不存在，说明理由． 28．解下列方程： (1)； (2)． 29．为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 30．端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 31．为推动城市公交车电动化替代，2026年继续支持新能源城市公交车及动力电池更新，根据更新新能源公交车及更换动力电池补贴政策，报废符合条件的旧车并购买补贴范围内的新能源公交车，每辆车可获得8万元补贴，对符合条件并更换动力电池的，每辆车补贴4.2万元．某公交公司计划将20辆符合补贴政策的老旧燃油公交车更新为新能源公交车，同时对现有符合补贴政策的10辆新能源公交车更换动力电池，总预算不超过1950万元．经过咨询，补贴前，更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用比购买1辆新能源公交车的费用低85%，补贴后，更换5辆新能源公交车的动力电池和购买1辆新能源公交车的总费用为146万元．则该公交公司能否按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换？ 32．用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 33．随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 34．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ 35．团扇，是我国传统工艺品与艺术品．如图①是一把六瓣花瓣型团扇的骨架示意图，主要包括扇面轮廓骨架和扇柄，如图②，其中扇面轮廓骨架由两条等长的扇面轮廓竹条，分别三等分后烤弯粘接在一起，扇柄由一根扇柄竹条制成，段为扇面部分，段为手持部分，已知扇柄竹条的长度比单根扇面轮廓竹条长，扇柄扇面部分的长度是扇柄竹条的，扇柄手持部分的长度比一个花瓣轮廓的长度长，求这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度． 36．学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 37．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 38．如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）． 39．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 40．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 41．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 列代数式及找规律 题型2 代数式的化简求值 题型3 单项式与多项式 题型4 同类项与合并同类项 题型5 等式性质 题型6方程知解求参数 题型7 一元一次方程定义 题型8 解一元一次方程 题型9 一元一次方程实际应用—和差倍分、动点类 题型10 一元一次方程实际应用—配套问题、工程问题 题型11 一元一次方程实际应用—销售利润、古代问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 规律探究 题型2 代数式综合问题 题型3 一元一次方程动点问题 题型4 一元一次方程方案选择问题 题型5 一元一次方程数字问题 题型6 一元一次方程新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 列代数式及找规律 1．科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动．据统计，参加“深海探秘”的有m人，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“太空遨游”的人数为_____人（用含m的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键．根据题意，“太空遨游”的人数与“深海探秘”人数之间的关系是2倍加20，直接代入代数式表示即可． 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为m人，则参加“太空遨游”的人数为人． 故答案为：． 2．用四个如图1所示的长为，宽为的长方形，拼成一个如图2所示的图形，则图2中大正方形的周长为________（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的周长和列代数式，理解题意是解决本题的关键． 先得出大正方形的边长为，即可表示出大正方形的周长． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为， 大正方形的周长为， 故答案为：． 3．如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意得到第1，2，3个图形所用的火柴棍的数量，由此得到规律，即可求解． 【详解】解：第1个图形需要6根火柴棍， 第2个图形需要11根火柴棍， 第3个图形需要16根火柴棍， 拼第个图形需要火柴棍的根数是， 故选：C． 4．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形中规律问题，根据第一个图形中三角形个数为；第二个图形三角形个数为；第三个图形中三角形个数为；找出相应规律即可求解． 【详解】解：第一个图形中三角形个数为， 第二个图形三角形个数为， 第三个图形中三角形个数为， …， ∴第个图案中，三角形的个数为：． 故选D． 5．通过观察：，，，，，⋯在这列数中，第7个数是_____；第个数是_____ 【答案】 【分析】根据前5个数归纳类推出一般规律，即可． 【详解】解：，，，，，⋯， 所以第7个数是；第个数是． ◆题型2 代数式的化简求值 6．若，求的值 【答案】4 【分析】根据绝对值的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 7．睡眠是打开创造力大门的一把神奇钥匙．科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（小时）可用公式（N是人的年龄）计算．请你用这个公式，计算12岁的小泽每天需要的睡眠时间（单位：小时）是______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，将年龄代入公式计算即可． 【详解】解：根据题意，睡眠时间公式为 ，其中 表示年龄． 小泽的年龄 ，代入公式得：， 因此，12岁的小泽每天需要的睡眠时间为小时， 故答案为：． 8．当时，代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求代数式的值，将直接代入代数式计算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 即代数式的值是． 故选：A． 9．已知，则多项式的值为_______ ． 【答案】20 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值．将多项式通过提取公因式变形为，然后利用已知条件进行代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：20． 10．若，则的值为_______． 【答案】2028 【分析】本题考查了代数式的求解，将已知条件直接代入表达式计算． 【详解】解：， 代入得． 故答案为：2028 ◆题型3 单项式与多项式 11．单项式的系数是__________，次数是__________． 【答案】 3 【分析】本题考查了单项式的相关概念，解决本题的关键是熟练掌握单项式的系数与次数． 单项式的系数是数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，由此求解即可． 【详解】解：单项式的数字因数为，即系数是； 字母的指数为1，的指数为2，指数之和为，即次数是3． 故答案为:；3． 12．下列说法正确的是（    ） A．系数是，次数是2 B．多项式是二次三项式 C．一定是一个正数 D．一定是一个正数 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数与次数、多项式的次数与项数、正负数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．根据单项式的系数与次数、多项式的次数与项数、正负数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、系数是，次数是，则此项错误，不符合题意； B、多项式共有三项，其中，的次数为2，的次数为1，的次数为0，所以多项式是二次三项式，则此项正确，符合题意； C、表示一个数，有可能是正数、零或负数，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以可能是零或正数，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 13．若单项式是关于x，y的五次单项式，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了单项式的次数，熟练掌握单项式次数的定义，是解题的关键．根据单项式次数的定义，单项式的次数是所有字母的指数之和，因此由题意可得：． 【详解】解：因为单项式是关于，的五次单项式，所以． 故答案为：5． 14．下列说法中正确的是（） A．单项式3的系数是，次数是4 B．的次数是2 C．32是二次三项式 D．单项式的系数是 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和项数的概念． 根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵单项式的系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母指数的和；多项式的次数是最高次项的次数，项数是单项式的个数． 对于A：单项式，系数为，次数为，正确； 对于B：单项式，次数为，错误； 对于C：多项式，项次数为，次数为2，次数为1，故为三次三项式，不是二次三项式，错误； 对于D：单项式，系数为，错误． 故选A． 15．多项式的次数为5，则_______，常数项为______． 【答案】 4 【分析】本题考查了多项式的次数、项，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 根据多项式次数的定义，最高次项的次数为5，由此确定的值，再根据常数项是不含字母的项，即可得出答案． 【详解】解：∵多项式的次数为5， ∴， 解得， ∴多项式为，常数项为． 故答案为：4；． ◆题型4 同类项与合并同类项 16．下列各组式子中，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的概念，解题关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项． 【详解】解：A中和都是常数，是同类项； B中和的字母相同，且相同字母的指数相同（m和n的指数均为1），是同类项； C中和的字母相同，且相同字母的指数相同（m的指数为2，n的指数为1），是同类项； D中和的字母相同，但相同字母的指数不同（前者m指数2、n指数3，后者m指数3、n指数2），不是同类项． 故选：D． 17．关于的单项式，若的指数比的指数小1且都是正整数，则称该单项式是“升次单项式”，如，．给出下面四个结论：是“升次单项式”；“升次单项式”的次数可能是偶数；两个次数相等的“升次单项式”的和一定是“升次单项式”；若5个“升次单项式”的次数均低于10，则它们中必有同类项．以上结论中，正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的次数，同类项． 根据单项式的次数，同类项，结合“升次单项式”的定义，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：“升次单项式”中，设的指数为（为正整数），则的指数为，次数为． ，指数4，指数5，4比5小1，符合定义，原说法正确； “升次单项式”的次数为奇数，不可能是偶数，原说法错误； 两个次数相等的升次单项式必为同类项，但和可能为零，零不是“升次单项式”，原说法错误； 次数低于10，则，可得，可取，，，，共四种可能，如果有个“升次单项式”，则必有同类项，原说法正确． ∴ 正确的为． 故选：． 18．若，，则________． 【答案】/ 【详解】解： ． 19．若单项式与的和仍是单项式，则___________． 【答案】12 【分析】该题考查了同类项的定义、合并同类项，根据同类项的定义，两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等． 【详解】解：因为单项式与的和仍是单项式，所以它们是同类项． ∴，， 解得：，． ∴． 故答案为：12． 20．写出一个能与合并的单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，是本题的解题关键． 根据同类项的定义求解即可． 【详解】解：能与合并的单项式有，等， 故答案为：（答案不唯一）． ◆题型5 等式性质 21．已知白昼时长（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为_________． 【答案】 【分析】根据题目给出的白昼时长的两个相等表达式，推导出正午时刻与日出时刻、日落时刻的关系，代入已知时间计算即可． 【详解】解：∵（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）， ∴正午时刻日出时刻日落时刻正午时刻， ∴正午时刻日出时刻日落时刻， ∴正午时刻（日出时刻日落时刻）， ∴正午时刻为（时分时分）（时分）时分， 即该地区这一天的正午时刻为． 22．老师在黑板上写了一个等式，甲同学说，乙同学表示不一定，当时，这个等式也可能成立，甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【答案】甲同学的说法错误，乙同学的说法正确．理由如下： 当时，不论为何值，等式都成立． 当时，等式两边除以，得． 等式两边除以，得． 所以，甲同学的说法错误，乙同学的说法正确 【详解】略 23．利用等式的性质求方程的解是________． 【答案】 【分析】利用等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立的性质对方程变形求解. 【详解】解：等式两边同时减去， 得， 化简，得. 24．下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：A选项，∵，两边同乘2得，移项得，故A错误. B选项，∵，两边同乘m得，故B错误. C选项，∵，两边同时加3得，移项得，故C正确. D选项，当时，恒成立，x与y不一定相等，故D错误. ◆题型6 方程知解求参数 25．关于的一元一次方程的解是，则的值是______． 【答案】2 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，正确理解方程的解是做题的关键．根据题意，将代入方程，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将代入方程，得， 即， 所以， 解得， 即的值是2． 故答案为：2． 26．关于的方程的解是整数，写出一个整数可能的取值______． 【答案】（或，，，任选其一即可） 【分析】本题主要考查了含参数的一元一次方程的整数解问题，熟练掌握“将方程整理为的形式，再根据为整数确定为的约数”是解题的关键． 先将方程整理为用表示的形式，再根据为整数的条件，确定为的约数，进而求出整数的可能取值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为的约数， ∵的约数为， ∴或或或， ∴或或或， 故答案为：（或，，，任选其一即可）． 27．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键求出a的值． 将代入方程中，求出a的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得， 则． 故答案为：3． ◆题型7 一元一次方程定义 28．下列式子中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：A．中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B．中不含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C．不是等式，不是方程，不是一元一次方程，不符合题意； D．是一元一次方程，符合题意． 29．已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值是_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程未知数的指数必须为1且系数不为0是解题的关键． 首先根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，得到，且系数，即可解得k的值． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且系数， 解得：或，， ∴， 故答案为：2． 30．已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程是只有一个未知数且未知数的次数是1的方程可知，的系数应为0，x的系数应不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：1． 31．已知方程的解为，则a为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：由题意得，将代入， 则， 解得． ◆题型8 解一元一次方程 32．解方程： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为，即可作答． （2）先去括号，移项，再合并同类项，系数化为，即可作答． （3）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 33．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得．系数化为1，得 ◆题型9 一元一次方程实际应用—和差倍分、动点问题 34．今年兄弟俩年龄之和是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年多少岁? 【答案】 兄今年33岁 【分析】利用年龄差不变的规律，结合当年年龄的倍数关系设未知数列方程求解． 【详解】解：设今年弟弟的年龄为岁，则曾经有一年哥哥的年龄为岁，当年弟弟的年龄为岁 ∵两人年龄差始终不变 ∴兄弟年龄差为岁 ∴哥哥今年的年龄为岁 根据题意列方程： 解得 哥哥今年年龄为（岁） 答：兄今年33岁． 35．在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 【答案】小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次，分析变化后的搜索量，根据“变化后小七的搜索量是小宇搜索量的4倍”，可列出方程，最后求解方程并求得小宇和小七的搜索量． 【详解】解：设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次， 根据题意列方程得：， 解得：， ∴小七的搜索量为：（次） 即小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次． 36．中关村中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”“迷算巧想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动．其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学挑战赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加“音乐互动体验活动”的学生有_______人． 【答案】42 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设三项都参加的人数为y，则参加“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数为，根据总人数为92，列方程求解． 【详解】解：设三项都参加的人数为y，则参加“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数为． 已知总人数为92，参加“中国古代科技展”的人数为48，参加“数学挑战赛”的人数为40，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数为20． 则， 整理得：， 解得， 故参加“音乐互动体验活动”的人数为． 故答案为：42． 37．已知，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b； (1)求 、 ； (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P与点B的距离是3个单位长度； (3)在（2）的条件下，动点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发向数轴负方向运动，求几秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度． 【答案】(1)；5 (2)3秒或9秒后，点P与点B的距离是3个单位长度 (3)1秒或3秒后，点P与点Q的距离等于3个单位长度 【分析】（1）根据绝对值的非负性质即可求解； （2）先求出与点B的距离为3个单位长度的点P的位置，即可求解； （3）分相遇前与相遇后两种情况． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即； （2）解：当点P在点B的左侧时，点P表示的数为， 此时点P运动的时间为（秒）； 当点P在点B的右侧时，点P表示的数为， 此时点P运动的时间为（秒）； 综上，3秒或9秒后，点P与点B的距离是3个单位长度； （3）解：设t秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度， 当点P与点Q相遇前，点P与点Q的距离等于3个单位长度， 则， 解得； 当点P与点Q相遇后，点P与点Q的距离等于3个单位长度， 则， 解得； 综上，1秒或3秒后，点P与点Q的距离等于3个单位长度． 38．如图，我们将一条数轴在原点和点处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折线数轴”，其中为“折线数轴”的原点，在“折线数轴”上，每个点对应的数就是把“折线数轴”拉直后对应的数，其中点到点的距离仍为、、的长度之和． 图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在“折线数轴”上的距离为．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要________秒； (2)、两点相遇于点，点所对应的数为________； (3)在到达原点之前，当_______时，、两点在数轴上的距离与、两点在数轴上的距离相等． 【答案】(1)19 (2) (3)或或 【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，分别计算各段所用的时间，相加即可得答案； （2）首先判断出P、Q两点相遇在线段于M处，设，根据相遇时P，Q运动所用的时间相等，列出方程求解即可； （3）分三种情况讨论，分别根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（秒）， 答：动点P从点A运动至C点需要19秒． （2）解：根据题意得，点P到达点O的时间为（秒），点P到达点B的时间为（秒）， 点Q到达点B的时间为（秒），点Q到达点O的时间为（秒）， ∴P、Q两点相遇在线段上于M处， 设， 根据题意得， 解得 答：点所对应的数为； （3）解：①当动点P在上，动点Q在上时，即时， 根据题意得， 解得； ②当动点P在上，动点Q在上时，即时， 根据题意得， 解得； ③当动点P在上，动点Q在上时，即时， 根据题意得， 解得； 综上所述，或或． 39．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若线段与线段上分别存在一点M，N，使得，则称线段是线段与线段的一条“半生线段”．数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为12． (1)下列几组点连成的线段中，线段与线段的“半生线段”有 （填序号）； ①点M1表示的数为，点N1表示的数为6； ②点M2表示的数为，点N2表示的数为7； ③点M3表示的数为，点N3表示的数为7． (2)点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，相遇时停止运动． ①两点出发t秒后，线段为线段与线段的“半生线段”，请求出t的值； ②当点P，Q出发时，点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），已知点R为线段AP的中点，是否存在某个时刻t（t为正整数），使得线段恰好为线段与线段的“半生线段”？若存在，请求出所有满足题意的m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①② (2)①t＝2；②存在，当t＝1时，m＝16；当t＝2时，m＝4 【分析】（1）根据“半生线段”的定义分别进行判断即可； （2）①根据题意列出方程， 解方程即可；②根据题意列出方程， 解方程求出整数解即可； 【详解】（1）解：∵点A表示的数为-6，点B表示的数为12， ∴线段与线段的“半生线段”， 由①点M1表示的数为，点N1表示的数为6，得，符合题意； 由②点M2表示的数为，点N2表示的数为7，得，符合题意； 由③点M3表示的数为，点N3表示的数为7，得，不符合题意； 故答案为：①②； （2）①∵点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发， ∴线段与线段的“半生线段”， ∴， 解得， ∴两点出发2秒后，线段为线段与线段的“半生线段”； ②∵点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数）， ∴线段与线段的“半生线段”为， ∵点R为线段的中点， ∴点R表示的数为， ∴线段， ∴， ∴， ∵t为正整数，m为正整数， ∴当时，； 当时，． ◆题型10 一元一次方程实际应用—配套问题、工程问题 40．探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 【答案】应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 首先设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件，再根据题中等量关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件， ∴根据题意得：，解得：， ∴制作机翼部件的成员数为名， ∴应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件． 41．某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 【答案】分配8名工人生产螺栓 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确得出等量关系列出方程是解答的关键． 设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， 所以可得，解得， 答：分配8名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 42．现有工厂生产盲盒，分为、两种包装，该工厂共有1000名工人， (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒或10个盲盒．且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒、多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人有600人； (2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和3个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒的工人人数为600人； （2）解：设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 43．某电商公司“闪电购”在双十一期间面临巨大的客服咨询压力，公司有两种客服处理方式，客服机器人和人工客服专员，已知在双十一当天一个客服机器人工作24小时和一个人工客服专员工作8个小时共处理了1320个电话咨询，通过测量对比发现客服机器人平均每小时处理电话咨询的个数恰好是人工客服专员的倍，求客服机器人平均每小时处理电话咨询多少个？ 【答案】客服机器人平均每小时处理电话咨询45个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设人工客服专员平均每小时处理电话咨询个，因为客服机器人平均每小时处理电话咨询的个数恰好是人工客服专员的倍，得客服机器人平均每小时处理电话咨询个，再结合一个当天客服机器人工作24小时和一个人工客服专员工作8个小时共处理了1320个电话咨询，进行列方程，解方程，即可作答． 【详解】解：设人工客服专员平均每小时处理电话咨询个，则客服机器人平均每小时处理电话咨询个． 根据题意列方程，得， 解方程，得． ． 答：客服机器人平均每小时处理电话咨询45个． 44．整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划安排8人完成此项工作，在工作一段时间后，接到通知需提前完成任务，因此增加了4人和他们一起工作，后这项工作全部完成．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作用了，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．根据工作量关系，总工作量等于各部分工作量之和，设实际用时x小时，其中前段8人工作小时，后段增加4人后共12人工作小时，根据工作效率列方程． 【详解】解：设实际完成这项工作用了，根据题意得： ， 故选：A． 45．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 46．3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 【答案】此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 【分析】设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，然后列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，根据题意得， 解得， （套） 答：此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． ◆题型11 一元一次方程实际应用—销售利润、古代问题 47．列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元． (1)九连环和华容道的单价分别是多少元？ (2)若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表： 魔方类型 正阶魔方 异形魔方 单价 元 元 若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】(1)九连环的单价是元，华容道的单价是元 (2)应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方个 ，理由如下： 设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个， 若购买正阶魔方，则， 解得：， 即购买九连环和魔方个，这与购买九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个不符合； 若购买异形魔方，则， 解得：， ， 购买九连环个，华容道个，异形魔方个符合题意； 答：应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方40个． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． (1)设九连环的单价是元，则华容道的单价是元，根据买个华容道和个九连环共需要元列方程可解得答案； (2)设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个，分两种情况列方程可得答案． 【详解】（1）解：设九连环的单价是元，则华容道的单价是元， 买个华容道和个九连环共需要元， ， 解得：， ， 答：九连环的单价是元，华容道的单价是元； （2）解：略． 48．海淀区某超市推出民生优惠活动，苹果原价每千克元，香蕉原价每千克元，活动期间，苹果按原价的折销售，香蕉按原价的折销售．七年级（）班同学集体采购，购买苹果和香蕉共千克，付款元，求购买苹果和香蕉各多少千克． 【答案】购买苹果千克，香蕉千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设购买苹果千克，则购买香蕉千克，根据苹果和香蕉的采购单价、对应的折扣，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设购买苹果千克，则购买香蕉千克， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得， 则购买香蕉：（千克）， 故购买苹果千克，香蕉千克． 49．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中有一道题，原文是：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．译文为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 当快马追上慢马时，两者行走的距离相等，慢马先走12天，因此慢马总行走时间为天，快马行走时间为x天，根据距离相等列方程即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马，则慢马行走时间为天， ∵快马行走距离为里，慢马行走距离为里，且追上时距离相等， ∴． 故选：A． 50．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余两辆车无人乘坐；若每两人共乘一车，最终剩余九个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有辆车，依题意可列一元一次方程为___________． 【答案】 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，设有辆车，根据总人数不变，由两种乘车方案列出方程． 【详解】解：设有辆车， 每三人共乘一车，最终剩余两辆车空，则总人数为；每两人共乘一车，最终剩余九人无车，则总人数为． 由于总人数相等，得方程． 故答案为：． 51．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设人数是x人，据题意列一元一次方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用(盈亏问题).通过两种不同的出钱方式，分别表示出物价，再根据物价不变建立等式． 【详解】解：设人数是人， ∵每人出钱，多出钱，∴物价为； ∵每人出钱，还差钱，∴物价为； ∵物价是固定不变的， ∴． 故选：C． ◆题型1 规律探究 1．定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么__________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了新定义以及数字变化规律，根据已知得出数据之间的变化规律是解题关键．理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可． 【详解】解：根据差倒数定义可得：，． ∴每三个循环一次，又余 1 ， 故和的值相等． 故答案为：3． 2．如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是______________．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可得第1个图形中有朵梅花，第2个图形中有朵梅花，第3个图形中有朵梅花，第4个图形中有朵梅花，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的梅花朵数是， 第2个图形中含有的梅花朵数是， 第3个图形中含有的梅花朵数是， 第4个图形中含有的梅花朵数是， 归纳类推得：第个图形中含有的梅花朵数是，（其中为正整数） 故答案为：． 3．观察下列代数式：，…，按照上述规律，第2024个代数式是 ______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给单项式可知， 单项式的系数依次为：，…， 所以第n个单项式的系数的符号可表示为：； 单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：； 所以第2024个代数式是． 故答案为：． 4．观察下面的一列单项式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4……，根据你发现的规律，第n个单项式为_____．（n为正整数） 【答案】 【分析】分别从单项式的系数与次数两方面总结即可得出规律，进而可得答案． 【详解】解：由已知单项式的排列规律可得第n个单项式为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的规律探求，通过所给的单项式找到规律，并能准确的用代数式表示是解题的关键． ◆题型2 代数式综合问题 5．金秋十月，丹桂飘香．2025年10月15日下午，北师大二附中西城实验学校初一年级全体师生走出校园，前往有着七百余年历史的北京国子监，开展了一场以“礼敬先师，成规立范”为主题的研学活动．在辟雍大殿前，正逢国子监的工作人员为一块古典园林区域的景观升级进行规划．升级的区域为中央广场的一块长为米、宽为5米的长方形土地，想借鉴古典园林中‘花径’与‘草坪’相映成趣的设计，于是设计了如图的阴影区域，并准备在该阴影区域种花，其余区域则种植常绿草坪．根据设计，工作人员通过不同的方式计算花卉的种植面积，小英采用的方法（如图1）是（S表示面积，表示三角形），小智采用的方法是连接（如图2），将阴影部分的面积分成两部分，则． (1)用含或的式子表示：的长为__________米，的长为__________米： (2)请你选择上面其中一位工作人员的方法表示阴影部分的面积； (3)当米，米时，求阴影部分的面积； (4)国子监景观升级负责人员打算实施该种植方案，当米时，按市场价格：种植草坪的费用为每平方米20元，种植花卉的费用为每平方米110元．恰逢“双十一”，，两家园林绿化公司都推出了促销优惠方案，具体如下表： 绿化公司 种植草的价格 种植花的价格 公司 20 不超过8平方米的部分，120元/平方米；超过8平方米的部分，100元/平方米 公司 25 110元/平方米，每种植一平方米花送平方米草 设种植花的面积为平方米，请你用含的代数式分别表示选择，两公司完成种花种草所需的总费用．如果在（3）的条件下，请你通过计算帮忙选择，两家公司最优惠的一家． 【答案】(1)； (2)阴影面积为 (3)阴影部分面积为 (4)A公司总费用为元或元，B公司总费用为元；家公司是最优惠的一家 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）分别根据小英和小智的方法即可得到答案； （3）根据（2）所求，直接代值计算求解即可； （4）先求出总面积，分别求出A、B公司的费用，并进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得，（米），（米）， 故答案为：，； （2）解：采用小英的方法：阴影面积 ； 采用小智的方法：根据题意得，阴影面积 ； （3）解：当时， ， ∴阴影部分面积为； （4）解：长方形总面积为平方米， ∴A公司总费用：种花面积为，种草面积为， 当时，种花的费用为元，种草的费用为元， 总费用 （元）； 当时，种花的费用为元，种草的费用为元， 总费用 （元）； B公司总费用：种花面积为，种草面积为， 种花的费用为元，种草的费用为元， 总费用 （元）； 在（3）的条件下时，种植花的面积为，即， ∴A公司费用（元）， B公司费用（元）， ∵， ∴家公司是最优惠的一家． 6． 年，北京市燃油出租车具体收费标准如下： ①出租车收费标准公里以内收起步价元，再加1元燃油附加费，超过公里，超出部分按每公里元收费； ②预约叫车服务费：提前小时以上预约每次元，小时以内预约每次元； ③单程载客行驶超过公里的部分，按原价时段基本单价（元）加收的费用； ④出租车计价精确到米，超过米但不足米时按米计价，另外，每公里中的米计价元，后米计价按元． ⑤出租车收费结算以元为单位，精确到元（元以下四舍五入）． （注：如果车费不足起步价，则按起步价收费．） 结合以上信息，回答下列问题： (1)已知肖老师家距离学校公里，周五早上肖老师为了避开早高峰选择时预约出租车出发，一路畅通到达学校，请你计算一下肖老师早上上班的出租车费用是 元； (2)周五晚上，肖老师预约了周六上午乘出租车去机场，一路畅通到达机场，已知肖老师家距离机场（且为整数）公里，肖老师支付元（包括元高速收费站费用），则y＝ ． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）出租车费用加预约叫车服务费加元燃油附加费即可求解； （2）出租车费用加预约叫车服务费加元燃油附加费，再加元高速收费站费用即可求解． 【详解】（1）肖老师早上上班的出租车费用是：(元) 故答案为：； （2）， 故答案为：元． 【点睛】此题考查了列代数式，有理数的混合运算的实际运用，理解题意，掌握收费标准是解决问题的关键． ◆题型3 一元一次方程动点问题 7．小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． (1)记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 数学家 徐光启 伽利略 牛顿 莱布尼兹 布丰 欧拉 高斯 华罗庚 生年 1562 1564 1642 1646 1707 1707 1777 1910 卒年 1633 1642 1727 1716 1788 1783 1855 1985 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世的人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； (2)小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)①75；188；②1708（答案不唯一） (2)①3；② 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的乘方，数字类规律探索，理解题意是解题关键． （1）①根据“历史数轴”的定义求解即可； ②画出各数学家的生卒年份数轴即可得解； （2）①根据“缺数码的数轴”的定义，得出不符合题意；当或时，不符合题意；即或，再分类讨论求解即可； ②分别求出；；，即得出规律，即得出． 【详解】（1）解：（1）①，； ②由题意画出年份如图， 由图可知这8位数学家中同时在世的人数最多的为1707到1716年，为四位数学家， ∴填写1707到1716年中任一个年份即可（不包含1707年和1716年）， 故可填1708． 故答案为：1708（答案不唯一）； （2）解：①表示24的点和表示68的点在正常数轴上的距离为， 由“缺数码的数轴”的定义可知原来距离为10的两点现在距离为9， 设缺码的数为k， ∵， ∴正常数轴中若以距离10为1组，则表示24的点和表示68的点之间有4组，还余4． 若，则，与不符； ∵中有和两数， ∴当或时，，与不符； ∴或． 当时，，，，，， ∴符合题意； 当时，，，，，， ∴不符合题意． 综上可知； ②由题意可知正常数轴距离为10的，现在距离为9； 原来距离为100的，现在距离为； 原来距离为1000的，现在距离为， ……， ∴； ； ， ……， ∴当为正整数，时， ∴． 8．对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中），并把、这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作．例如：原点表示数0，原点关于1的对称数组是． (1)如果点表示数，那么点关于2的对称数组是______； (2)如果，那么点表示的数是______，的值是______； (3)已知，，且在数轴上对应的点为、、、．若点、点从原点同时出发，都沿数轴正方向运动，且点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，当、、、四个点中有两个点重合时，求出点表示的数． 【答案】(1) (2) (3)点A表示的数为或 【分析】（1）求出到点P的距离为2的点所表示的数，即可解答； （2）由得到点P到表示数10的点与到表示数4040的点距离相等，因此10与4040的和的一半即为点P表示的数，进而可求出a的值； （3）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，当运动时间为t秒，可得到，，，．分四种情况讨论：①X，M重合时，②X，N重合时，③Y，M重合时，④Y，N重合时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示数， ∴到点P的距离为2的点所表示的数为，或， ∴点关于2的对称数组是． （2）解：∵， ∴点表示的数是， 的值是． （3）解：设点A表示的数为a，点B表示的数为b， ∵，， ∴， 点A从原点出发，速度是每秒3个单位长度，点B从原点出发，速度是每秒1个单位长度，设运动时间为t秒时，． ∴，，，． 当X、Y、M、N四个点中有两个点重合时，分以下几种情况讨论： ①当X，M重合时，， 解得， 此时， 即点A表示的数为； ②当X，N重合时，， 解得， 此时， 即点A表示的数为； ③当Y，M重合时，， 解得（不合题意，舍去）； ④当Y，N重合时，， 解得（不合题意，舍去）． 综上，点A表示的数为或． 9．对数轴上的点进行如下操作：先把点沿数轴向左平移个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以，所得数对应的点为．若（是正整数），则称点为点的“联点”．例如，当时，若点表示的数为，则它的“2联点”对应点表示的数为． (1)当时， ①若点表示的数是，则它的“2联点”所表示的数是_______________； ②已知点的“2联点”是点，若点表示的数是4，则点表示的数为________________； (2)已知点的“6联点”表示的数为5，则点表示的数为__________________； (3)已知数轴上点表示的数为，点表示的数为3．若点从点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点从点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点始终为点的“联点”，直接写出的值． 【答案】(1)①② (2)或或或； (3) 【分析】本题考查了新定义题型，正确理解题意是解题关键； （1）①由题意得：点的“2联点”所表示的数是：；②设点表示的数为，则，即可求解； （2）设点表示的数为，分类讨论当时，当时，当时，当时，四种情况即可求解； （3）由题意得：点表示的数为，点表示的数为；推出，整理得：；则与时间无关，解得，即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：点的“2联点”所表示的数是：； ②设点表示的数为， 则， 解得：； 即：则点表示的数为； （2）解：设点表示的数为， ∵是正整数， ∴当时，则，解得：； 当时，则，解得：； 当时，则，解得：； 当时，则，解得：； 综上所述：点表示的数为或或或； （3）解：由题意得：点表示的数为，点表示的数为； ∵点始终为点的“联点”， ∴，整理得：； 则与时间无关， ∴， ∴，得， ∴； 10．在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点､点到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．例如：图中，点表示数，点表示数3，它们与基准点的距离都是2个单位长度，点与点互为基准变换点． (1)已知点表示数，点表示数，点与点互为基准变换点． ①若，则__________；②用含的式子表示，则__________； (2)对点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点．若点与点互为基准变换点，则点表示的数是__________； (3)点在点的左边，点与点之间的距离为8个单位长度．对､两点做如下操作：点沿数轴向右移动（）个单位长度得到，为的基准变换点，点沿数轴向右移动个单位长度得到，为的基准变换点，……，依此顺序不断地重复，得到．为的基准变换点，将数轴沿原点对折后的落点为，为的基准变换点，将数轴沿原点对折后的落点为，……，依此顺序不断地重复，得到．若无论为何值，与两点间的距离都是4，则__________． 【答案】(1)①；② (2) (3)4或12 【分析】（1）①由基准变换点的定义可得：，从而可得答案； ②分两种情况讨论：当、当，结合基准变换点的定义列方程，即可得答案； （2）设点A表示的数为x，根据点A的运动找出点B，结合互为基准变换点的定义即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据点与点的变化找出变化规律“，，，，其中m为正整数．”，再根据两点间的距离公式即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：①由基准变换点的定义可得：， ∴； ②当，由基准变换点的定义可得：， ∴， 当，同理可得：， ∴， 综上所述：． （2）解：设点A表示的数为x， 根据题意得：， 解得：． （3）解：设点P表示的数为a，则点Q表示的数为， 由题知，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为a，表示的数为，…， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，…， ∴，，，，其中m为正整数． ∵与两点间的距离都是4， ∴若与的距离为4，则， 即， 解得：或， ∵m为正整数， ∴或都不合题意，舍去； ②若与的距离为4，则， 即， 解得或， 当时，； 当时，． 综上所述，或12． ◆题型4 一元一次方程方案选择问题 11．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，计算如下： 方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）略 12．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准： TAXI起步费：14元 超3km费：超过的部分2.2元/km 远途费：超过10km的部分，加价1元/km 小A出行 起步费：10元 里程费：2.4元/km 远途费：超过10km的部分，加价0.8元/km 时长费：0.4元/min（速度：40km/h） 请回答问题：元旦期间，小明外出游玩，约车时发现小A出行有总费用打八折的优惠活动．于是小明决定选乘小A出行．付费后，细心的小明发现，相同的里程，享受优惠活动后的小A出行的费用还是比出租车多了1.8元．求小明乘车的里程数． 【答案】6km或15km 【分析】设小明乘车里程数为km，分三种情况列方程解决问题． 【详解】解：设小明乘车的里程数为km. ：起步费元，超过km部分，每km元，超过km，每km加价元； 小A出行（优惠：总费用打8折）：起步费元，里程费，超过公里部分，每公里加价元；时长费（速度,因此时长为分钟，时长费元）. ①当时， 解得：(舍去)； ②当时， 解得：； 当时，， 解得： . 综上所述，小明乘车的里程数为6km或15km. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． ◆题型5 一元一次方程数字问题 13．初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数． 【答案】一班有36名学生 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意，设有名学生，打8折的钱数打9折的钱数，列方程即可． 【详解】解：设一班有名学生， 由题意可知：， 解得：， 答：一班有36名学生． 14．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 （1）的值为______； （2）的值为______． 【答案】 或 【分析】该题主要考查了推理的能力，方程的应用，解题的关键是表示出表格中数据． （1）根据题意得出，得到； （2）根据表格中甲次的和与乙次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得：， 故答案为：； （2）甲的总和乙的总和， 甲次的和与乙次的和不相同， 又， ①可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 ，即， ， ， 解得：， ； ②也可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 ，即， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：或． 15．【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．                (1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方． (2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________； (3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由． (4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________． 【答案】(1) 如下表： 6 1 2 3 7 4 5 0 (2)3 (3)能， 如下表： 12 3 18 17 11 5 4 19 10 (4)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，抓住幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可； （2）根据规则知，据此求解可得x的值； （3）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可； （4）根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和，可得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等．图中有四个三角形，四个三角形上的数字相加后，中间正方形四个顶点上的数字之和就多算了一遍，所以所给的8个数字的和除以3即可得到每个三角形三个顶点的数字之和，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）由题意知， 解得， 故答案为：3； （3）解：∵， ∴只要使每行、每列、每条对角线上的三个数的和为33即可． （4）解：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等， 每个三角形的三个顶点上的数字之和， ，， ，，， 所给的数剩下7，6，3，2，，， ，，，或，，，， 或， 或 故答案为∶或． 16．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266． (1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则 ， ； (2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ； ； (3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则 ． 【答案】(1)3，2 (2)1，2 (3)6 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）由，，即可求x、y的值； （2）由题意可得，，，，再推理出m、n的值即可； （3）根据运算法则，将表格补充，当千位是0时，；当千位是1时，；即可求k的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，2； （2）解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴或或或， ∵， ∴或或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1，2； （3）解：如图4， 当千位是0时，， 解得：（不合题意，舍去）； 当千位是1时，， ； 故答案为：6． ◆题型6 一元一次方程新定义问题 17．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 【答案】(1)是 (2)2 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，解题的关键是理解“和谐方程”的定义以及一元一次方程的解是解题的关键． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出m的值即可； （3）先解出方程的解为，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为，代入方程，结合题意得到方程组，求出a与b的值，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得： ∵与3互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与关于的方程是“和谐方程”， ∴，解得：． （3）解：解方程得：， ∵关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理得：， ∵无论m取任何有理数，上式都成立， ∴，，解得：，， ． 18．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）②；（2）95或97；（3）16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“友好方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）一元一次方程解得，由得，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】解：（1）一元一次方程的解是， 方程的解是，，故不是“友好方程”， 方程的解是或，当时，，故是“友好方程”， 故答案是：②； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是， 若，，则，解得， 若，，则，解得， 综上，a的值是95或97； （3），解得， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵分母m不能为0， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 19．对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式进行解答即可； （2）设线段、的中点为、，分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）设数轴上点、对应的数分别为、，则点所对应的数，依据相对离散度的计算公式分别得出、，根据，得到关于、的方程，然后运用分类讨论思想，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5， ，线段的中点表示的数是， ，线段的中点表示的数是， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设线段，的中点为，， 数轴上的点O表示的数是0，点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数是2， ，， 点，在数轴上表示的数分别为，， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 解得：或， 的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点、对应的数分别为、， 数轴上点、都在点的右侧（其中、不重合）， ，，且， ，，， 点是线段的中点， 点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 同理可得：， ， ， 分四种情况讨论： 当，时， 解得：， 、不重合， ， 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， 解得：； 综上，， ， ， ， 即：， ， 即：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． 一、选择题 1．方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的求解，利用等式的基本性质计算出方程的解即可． 【详解】解：， 等式两边同时减去，得， 等式两边同时除以，得， ∴方程的解为 ． 2．单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，1 C．，3 D．，2 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数的定义，单项式的系数是数字部分（包括符号），次数是所有变量的指数之和，根据定义判断各选项即可． 【详解】解：单项式 ，其中变量 和 的指数均为 1， 系数为，次数为 . 故选D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项：，计算正确． B选项：，计算错误． C选项：与不是同类项，不能合并，计算错误． D选项：，计算错误． 4．一件商品标价元，先涨价元，又打了九折，最终售价为（     ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：商品涨价10元后价格为元，打九折后最终售价为元． 5．下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 6．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）结果仍相等的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故A选项等式变形错误； B、若，则，故B选项等式变形错误； C、若，则，故C选项等式变形正确； D、若，当时，不成立，故D选项等式变形错误． 故选：C． 7．把方程去分母，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程去分母的运算，先确定分母的最小公倍数，再给方程两边每一项同乘该数，同时注意括号与符号的处理． 【详解】解：∵方程分母2和6的最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6，得 ， 化简得， 故选：D． 8．在下面的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数．如果设这三个数的和是，那么这三个数中间的数用含有的代数式表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，日历问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设中间的数为，可用表示出其余两个数，再根据这三个数的和是，列出方程求解即可． 【详解】解：设中间的数为， 则其余两个数分别为，， 设这三个数的和是， 则可得， 解得：， 故选：C． 9．请根据下面小李和小张的对话，判断小张买液晶电视的预算是（   ） 小李：“小张，你之前提到的液晶电视买了没？” 小张：“还没，它的售价比我的预算多2000元呢！” 小李：“这台液晶电视现在正在打8折呢！” 小张：“太好了，这样比我的预算还要少400元！” A．8000元 B．10000元 C．12000元 D．14000元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．根据对话内容建立方程求解预算即可． 【详解】解：设小张买液晶电视的预算是x元，则原售价为元，根据题意得： ， 解得：， 因此预算为10000元， 故选：B． 10．同学走进中国科技馆参观时被大厅里会“跳舞”的“小球矩阵”吸引住了（如图1）．白色小球全部由计算机精准控制，每一只小球可以“悬浮”在大厅上空的不同位置，演绎着各种动态造型．已知每个小球分别由独立的电机控制．图2，图3分别是个小球可构成的两个造型，在每个造型中，相邻小球的高度差均为．为了使小球从造型一（如图2）变到造型二（如图3），控制电机使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧号小球同时运动，②，③，④号小球向下运动，运动速度均为3米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为米/秒，当每个小球到达造型二的相应位置时就停止运动．已知⑦号小球比②号小球晚秒到达相应位置，问②号小球运动了（   ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．确定⑦号小球和②号小球的运动路程是解题关键．分别确定⑦号小球和②号小球的运动路程，即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：每个小球的高度差均为米， ②号由图2运动到图3的路程是， 同理⑦号由图2运动到图3的路程为， 根据题意得， 解得， ②号小球运动（米）， 故选：B． 二、填空题 11．若，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答，即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 12．关于x的方程的解为，则a的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解．将代入方程中，解关于a的方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：3． 13．根据等式的性质填空： （1）若，则_______．       （2）若，则_______． （3）若，则_______．        （4）若，，则_______． 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可； （4）根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．将数轴上一点P先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是_________． 【答案】 【分析】设原来点P表示的数为，根据数轴上点移动的变化规律，右移数值加，左移数值减，列方程求解． 【详解】解：设原来点表示的数为，根据题意得： 解得 ． 即原来点表示的数是． 15．小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设总工作量为1，甲每天完成，乙每天完成，合作时每天完成，x天完成的工作量为，等于总工作量1． 【详解】解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合作的工作效率为， 合作x天完成的工作量为， 根据题意，完成总工作量1， 故列方程为， 故答案为：． 16．已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 【答案】 【分析】先解关于x的一元一次方程，得到用含m的代数式表示x，再根据x是非负整数、m为整数，确定所有符合条件的m的值，最后计算所有符合条件的整数m的和即可． 【详解】解： 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∵原方程有解， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解是非负整数， ∴，且x为整数， 当时，把代入原方程得，此时等式不成立，故， 为正整数， ∴是负整数， ∵且是整数， ∴为负整数，且是的约数， 的可能取值为， ∴m的值是或或或， ∴符合条件的所有整数m的和为． 17．运动会期间小穆为11位志愿者买餐，下表是一家快餐店套餐的价格和优惠情况： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 B餐 1份盖饭杯饮料 28 C餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小穆一共点了11份盖饭，5份小菜，x杯饮料． （1）若，则小穆一共花了______元． （2）若小穆一共花费了256元，饮料的杯数x是______． 【答案】 264 5或8 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题目中的数量关系是解题的关键． （1）根据所点的套餐中共有6杯饮料，推出A，B，C套餐的份数，据此可解决问题． （2）根据题意，建立关于x的方程即可解决问题．（1）通过设定A餐、B餐、C餐的数量，根据盖饭、小菜和饮料的数量列出方程，求出优惠前总金额后应用优惠规则计算实际支付金额；对于第(2)问，根据实际支付金额反推优惠前总金额，再求解饮料杯数x． 【详解】解：设小穆点了a份A餐，b份B餐，c份C餐， 根据题意，盖饭总数为11，故， 小菜总数为5，故． 饮料总数为x，故． 由，代入，得． 优惠前总金额． 代入，得． 由，得，代入S，得． （1）当时，由，即，故． 则元． 由于元，满足优惠条件“消费满150元减24元”，故实际支付元． 故答案为264． （2）当实际支付元时，需分情况讨论优惠情况． 若S满足150元但不足300元，则，故元． 由，得，故． 则． 若S满足300元或以上，则，故元． 由，得，故． 则． 故或． 故答案为5或8． 18．如图，该图案由十一个六边形和六个黑点组成．现将，，，，0，1，2，3，4，5，6这十一个数分别填入图中的十一个六边形中，使得每个黑点周围的三个数之和都相等．若，2，6，x已填入图中，位置如图所示，则x表示的数是______；每个黑点周围的三个数之和为______． 【答案】 0 3 【分析】本题主要考查了数字规律探索，等式的性质，一元一次方程的应用，根据图中的三个数，结合题意得出x的值是解题的关键．根据，得出，同理得出，，从而得出；根据2、、6、0都用了一次，其他位置的数都用了2次，设每个点周围3个数之和为y，列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 根据图形可得：2、、6、0都用了一次，其他位置的数都用了2次， 设每个点周围3个数之和为y，则： ， 解得：， ∴每个点周围3个数的和为3． 故答案为：0；3． 三、解答题 19．下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是 ； (2)从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 【答案】(1)等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立 (2)②； 正确的解方程过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解一元一次方程的一般步骤，每一步都要注意运算规则和符号问题． （1）根据等式的基本性质进行解答即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． （2）从第②步开始出现错误，去括号时，去括号后应该是，而不是． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为的步骤，进行计算即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤，进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 21．某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 【分析】设未知数表示两种名著的单价，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲种名著的单价为元，则乙种名著的单价为元， 根据题意，得， 解得， 则， 故甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元． 22．如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 【答案】1.8米 【分析】根据题意设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米，列出一元一次方程求解x的值即可得出筒车的转轮半径． 【详解】解：设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米， 由题意得：， 解得：， ∴（米）， ∴筒车的转轮半径为1.8米． 23．在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ，数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ； (2)数轴上表示数与数的两点和之间的距离可记作 ； 如果这两点之间的距离为，那么为 ． (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 【答案】(1)， (2)，或 (3)，，， 【分析】（1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案； （2）根据两点之间的距离列式，得到，继而可求出答案； （3）根据，以及到的距离为，可得整数在与之间，可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离可记作， 数轴上表示和的两点之间的距离可记作； （2）数轴上表示与的两点和之间的距离可记作， 由题意得， 解得或； （3）， ， 即表示整数到的距离与整数到的距离之和为， 到的距离为， 整数在与之间， 符合题意的整数是，，，． 24．为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 【答案】骑行公共自行车的路程为 【分析】设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为，根据全程共用时列出方程，解方程即可． 【详解】解：设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为． ， 由题意得：， 解得：， 答：骑行公共自行车的路程为． 25．近期油价受国际形势影响而上涨，而我国电力价格基本稳定，居民日常出行驾驶燃油汽车的用车成本提升明显，新能源汽车中使用电力的纯电动汽车用车成本相对稳定，五一劳动节，小帆同学乘坐家人驾驶的一台纯电动汽车从家出发去外地游玩，去程时开空调，平均每百公里电耗，车辆自身电池容量为h，出发时满电状态，途中充电一次，补充电量．返程未充电，沿原路返回，因未开空调，平均每百公里电耗降至去程时的，车辆行驶至家时，电量余．求两地之间的距离为多少百公里？ 【答案】4 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设两地之间的距离为百公里，用表示去和返回过程中的电耗，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：设两地之间的距离为百公里，根据题意，得 ， 解得：， 答：两地之间的距离为百公里． 26．如图所示的框图表示解方程的流程． (1)第③步的名称是 ，依据是 ； (2)从第 步（填序号）开始出现错误．请你写出正确的解方程的过程． 【答案】(1)移项；等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式扔成立； (2) ②， 正确解答如下： 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据等式的性质1求解即可． （2）按照解一元一次方程得步骤解方程即可． 【详解】（1）解：第③步的名称是移项，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立； （2）略 27．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，十进制数（规定当时，）． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)我们知道在十进制下有乘法口诀“三五十五、三七二十一”，但是在某进位制下算式才是正确的，求该进位制是几进制； (2)在（）的条件下，是否存在某个两位十进制数转化为该进制的数恰好是，若存在，求出所有满足条件的十进制数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)该进位制是七进制； (2)存在，满足条件的十进制数为和． 【分析】本题考查了七进制数与十进制数的转化，一元一次方程，理解进制数的记数规则是解题的关键． （）设该进位制是进制，由题意，得，然后解方程即可； （）由题意得，应满足，整理得，由于，只能取大于等于且小于等于的整数，然后求出，的值即可． 【详解】（1）解：设该进位制是进制， 由题意，得， 解得， 答：该进位制是七进制； （2）解：由题意得，应满足， 整理得， 由于，只能取大于等于且小于等于的整数， 所以，或，， 所以满足条件的十进制数为和． 28．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）依次移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （2）解： 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 29．为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 【答案】295度 【分析】设王奶奶家4月份用电x度，推导出，再根据题意列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设王奶奶家4月份用电x度， ∵， ∴， 依题意，得 ， ， ． 答：王奶奶家4月份用电295度． 30．端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 31．为推动城市公交车电动化替代，2026年继续支持新能源城市公交车及动力电池更新，根据更新新能源公交车及更换动力电池补贴政策，报废符合条件的旧车并购买补贴范围内的新能源公交车，每辆车可获得8万元补贴，对符合条件并更换动力电池的，每辆车补贴4.2万元．某公交公司计划将20辆符合补贴政策的老旧燃油公交车更新为新能源公交车，同时对现有符合补贴政策的10辆新能源公交车更换动力电池，总预算不超过1950万元．经过咨询，补贴前，更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用比购买1辆新能源公交车的费用低85%，补贴后，更换5辆新能源公交车的动力电池和购买1辆新能源公交车的总费用为146万元．则该公交公司能否按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换？ 【答案】能 【分析】设补贴前购买1辆新能源公交车的费用为万元，则更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用为万元，根据更换5辆新能源公交车的动力电池和购买1辆新能源公交车的总费用为146万元列方程求出，再进一步计算判断即可． 【详解】解：设补贴前购买1辆新能源公交车的费用为万元，则更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用为万元， 根据题意，可得， 解得， （万元）， 补贴后，购买1辆新能源公交车的费用为（万元）， 更换1辆新能源公交车动力电池的费用为（万元）， 更新和更换完的总花费为（万元）， ， 该公交公司能按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换． 32．用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 【答案】包装盒的高为 【分析】根据题意可设包装盒高为，底面边长为，再根据图列出方程求解即可． 【详解】解：∵高与底面边长的比为， ∴设包装盒高为，底面边长为． 由图可得， 解得， ∴． 答：包装盒的高为． 33．随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 34．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【答案】(1) 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ (2)解：由（1）得， 解得， 答：A、B两地之间的路程为． 【分析】（1）根据时间路程速度，结合题意求解即可； （2）根据（1），结合回到A码头比去时少花了建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，去程的时间为， 回程的速度为，则回程的时间为， 填表见解析 （2）略 35．团扇，是我国传统工艺品与艺术品．如图①是一把六瓣花瓣型团扇的骨架示意图，主要包括扇面轮廓骨架和扇柄，如图②，其中扇面轮廓骨架由两条等长的扇面轮廓竹条，分别三等分后烤弯粘接在一起，扇柄由一根扇柄竹条制成，段为扇面部分，段为手持部分，已知扇柄竹条的长度比单根扇面轮廓竹条长，扇柄扇面部分的长度是扇柄竹条的，扇柄手持部分的长度比一个花瓣轮廓的长度长，求这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度． 【答案】这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度为 【分析】设单根扇面轮廓竹条的长度为，则扇柄竹条的长度为，花瓣轮廓的长度为，扇柄扇面部分的长度，扇柄手持部分的长度为，结合题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设单根扇面轮廓竹条的长度为，则扇柄竹条的长度为， ∵扇面轮廓竹条被三等分， ∴花瓣轮廓的长度为， ∵扇柄扇面部分的长度是扇柄竹条的， ∴扇柄扇面部分的长度， ∵扇柄手持部分的长度比一个花瓣轮廓的长度长， ∴扇柄手持部分的长度为， 由题意得， 解得， ∴这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度为． 36．学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 【答案】(1)兑换前购买圆规80个，笔记本60本 (2)用于兑换圆规的兑换券为2张 【分析】（1）根据圆规和笔记本的数量比设未知数，再根据总花费为1560元列出方程即可求解； （2）先计算出1560元可获得的兑换券总数，再设用于兑换圆规的兑换券为张，根据兑换后笔记本与圆规数量相同列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得， ∴，． 答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本． （2）解：∵， ∴可获得8张兑换券， 设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得． 答：用于兑换圆规的兑换券为2张． 37．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 【答案】(1) 此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2) 320 【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可； （2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可； 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人； （2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元）， 全部按门票原价八折购票需要（元）， ∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）． 38．如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）． 【答案】起跳板的宽度为米 【分析】设起跳板的宽度为米，由题意，表示出助跑道的长度，落地区的宽度，再根据落地区的宽度比助跑道的长度少22米，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设起跳板的宽度为米，由题意，得助跑道的长度为米，落地区的长度为米， ∵落地区的宽度与长度的比为， ∴落地区的宽度为米， ∵落地区的宽度比助跑道的长度少22米， ∴， 解得； 答：起跳板的宽度为米. 39．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 40．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能， 理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）略 （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 41．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：，． ．． 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2）解：“美好方程”的两个解的和为1， 另一个方程的解为：． 两个解的差为8， 或． 或； （3）解：．． 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为． 关于的一元一次方程可化为：． ． ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 列代数式及找规律 题型2 代数式的化简求值 题型3 单项式与多项式 题型4 同类项与合并同类项 题型5 等式性质 题型6方程知解求参数 题型7 一元一次方程定义 题型8 解一元一次方程 题型9 一元一次方程实际应用—和差倍分、动点类 题型10 一元一次方程实际应用—配套问题、工程问题 题型11 一元一次方程实际应用—销售利润、古代问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 规律探究 题型2 代数式综合问题 题型3 一元一次方程动点问题 题型4 一元一次方程方案选择问题 题型5 一元一次方程数字问题 题型6 一元一次方程新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 列代数式及找规律 1． 2． 3．C 4．D 5． ◆题型2 代数式的化简求值 6．4 7． 8．A 9．20 10．2028 ◆题型3 单项式与多项式 11． 3 12．B 13．5 14．A 15． 4 ◆题型4 同类项与合并同类项 16．D 17．A 18．/ 19．12 20．（答案不唯一） ◆题型5 等式性质 21． 22．甲同学的说法错误，乙同学的说法正确．理由如下： 当时，不论为何值，等式都成立． 当时，等式两边除以，得． 等式两边除以，得． 所以，甲同学的说法错误，乙同学的说法正确 23． 24．C ◆题型6 方程知解求参数 25．2 26．（或，，，任选其一即可） 27．3 ◆题型7 一元一次方程定义 28．D 29．2 30．1 31．A ◆题型8 解一元一次方程 32．(1) (2) (3) 33．(1) (2) ◆题型9 一元一次方程实际应用—和差倍分、动点问题 34． 兄今年33岁 35．小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次 36．42 37．(1)；5 (2)3秒或9秒后，点P与点B的距离是3个单位长度 (3)1秒或3秒后，点P与点Q的距离等于3个单位长度 38．(1)19 (2) (3)或或 39．(1)①② (2)①t＝2；②存在，当t＝1时，m＝16；当t＝2时，m＝4 ◆题型10 一元一次方程实际应用—配套问题、工程问题 40．应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件 41．分配8名工人生产螺栓 42．(1)生产盲盒的工人有600人； (2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 43．客服机器人平均每小时处理电话咨询45个 44．A 45．(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 46．此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． ◆题型11 一元一次方程实际应用—销售利润、古代问题 47．(1)九连环的单价是元，华容道的单价是元 (2)应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方个 ，理由如下： 设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个， 若购买正阶魔方，则， 解得：， 即购买九连环和魔方个，这与购买九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个不符合； 若购买异形魔方，则， 解得：， ， 购买九连环个，华容道个，异形魔方个符合题意； 答：应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方40个． 48．购买苹果千克，香蕉千克 49．A 50． 51．C ◆题型1 规律探究 1．3 2．/ 3． 4． ◆题型2 代数式综合问题 5．(1)； (2)阴影面积为 (3)阴影部分面积为 (4)A公司总费用为元或元，B公司总费用为元；家公司是最优惠的一家 6．(1)； (2) ◆题型3 一元一次方程动点问题 7．(1)①75；188；②1708（答案不唯一） (2)①3；② 8．(1) (2) (3)点A表示的数为或 9．(1)①② (2)或或或； (3) 10．(1)①；② (2) (3)4或12 ◆题型4 一元一次方程方案选择问题 11．(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，计算如下： 方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 12．6km或15km ◆题型5 一元一次方程数字问题 13．一班有36名学生 14． 或 15．(1) 如下表： 6 1 2 3 7 4 5 0 (2)3 (3)能， 如下表： 12 3 18 17 11 5 4 19 10 (4)或 16．(1)3，2 (2)1，2 (3)6 ◆题型6 一元一次方程新定义问题 17．(1)是 (2)2 (3) 18．（1）②；（2）95或97；（3）16 19．(1)， (2)或 (3) 一、选择题 1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 9．B 10．B 二、填空题 11． 12．3 13． 0 14． 15． 16． 17． 264 5或8 18． 0 3 三、解答题 19．(1)等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立 (2)②； 正确的解方程过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．(1) (2) 21．甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 22．1.8米 23．(1)， (2)，或 (3)，，， 24．骑行公共自行车的路程为 25．4 26．(1)移项；等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式扔成立； (2) ②， 正确解答如下： 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 27．(1)该进位制是七进制； (2)存在，满足条件的十进制数为和． 28．(1) (2) 29．295度 30．原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 31．能 32．包装盒的高为 33．0.9万件 34．(1) 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ (2)解：由（1）得， 解得， 答：A、B两地之间的路程为． 35．这把团扇的单根扇面轮廓竹条的长度为 36．(1)兑换前购买圆规80个，笔记本60本 (2)用于兑换圆规的兑换券为2张 37．(1) 此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2) 320 38．起跳板的宽度为米 39．(1)② (2)95或97 (3)16 40．(1)“分” (2)不可能， 理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； (3)“整” 41．(1) (2)或 (3) 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $